第四章高中数学学科知识-集合、逻辑与算法初步题库1-2-10

第四章高中数学学科知识-集合、逻辑与算法初步题库1-0-8问题：[单选]已知A={x｜x-1}，那么正确的是（）。

A.AB.BC.CD.D问题：[单选]设U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（）。

A.AB.BC.CD.D问题：[单选]下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集中元素个数为0；④任一集合必有两个或两个以上的子集。

其中正确的有（）。

A.0B.1C.2D.3(世界杯小组赛 /)问题：[单选]设全集，若，则（）。

A.A={1，8}，B={2，6}B.A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}C.A={1，8}，B={2，3，5，6}D.A={1，3，8}，B={2，5，6}问题：[单选]不能描述算法的是（）。

A.流程图B.伪代码C.数据库D.自然语言问题：[单选]下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）。

A.i100B.i=100C.i50D.i=50问题：[问答题]设集合，若，求a的取值范围。

由图可知，A表示的是黑色区域，B必须包含A，可得a≥2。

问题：[问答题]50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确的有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有多少人？方框里的总人数是50人，两个椭圆里的人数分别是40和31，黑色区域的人数为40+31+4-50=25。

高中数学集合与常用逻辑复习题集附答案高中数学集合与常用逻辑复习题集附答案I. 集合A. 集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的对象（元素）组成的整体。

我们可以用大写字母来表示一个集合，用小写字母来表示集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合A。

B. 集合的运算1. 并集对于两个集合A和B，它们的并集表示由A和B中的所有元素组成的集合。

用符号∪表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集对于两个集合A和B，它们的交集表示同时属于A和B的元素组成的集合。

用符号∩表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差集对于两个集合A和B，它们的差集表示属于A而不属于B的元素组成的集合。

用符号-表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

C. 集合的关系与判断1. 子集关系如果集合A的所有元素都属于集合B，那么集合A是集合B的子集，用符号⊆表示。

例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。

2. 相等关系如果集合A是集合B的子集，同时集合B是集合A的子集，那么集合A和集合B相等，用符号=表示。

例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2}，则A=B。

3. 空集与全集空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

全集是指讨论的范围内的所有元素组成的集合。

我们通常用符号U表示全集。

II. 布尔代数与常用逻辑A. 布尔代数的基本运算布尔代数是一种由0和1组成的代数系统，它包括与、或和非三种基本运算。

1. 与运算与运算表示两个命题同时为真时结果为真，否则为假。

用符号∧表示。

例如，命题p：天晴，命题q：温度适宜，p∧q表示天晴且温度适宜。

2. 或运算或运算表示两个命题至少有一个为真时结果为真，否则为假。

高三数学专题复习01 集合及逻辑一、填空题1．已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = ．【答案】()1,+∞2．已知A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|ax －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合为 ． 【解析】∵A ∪B=A ∴BA又A={x|x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}3．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)|12y M x y x +⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-,那么()()U U C M C N =____________.【解析】根据题意，对集合2(,)|12y M x y x +⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭变形可得{}(,)|4,2M x y y x x ==-≠，分析可得集合M 表示直线4y x =-上除点(2,2)-之外的所有点，进而可得u C M 代表直线4y x =-外的所有点和点(2,2)-；同理可得集合N 代表直线4y x =-外的所有点,以及u C N代表直线4y x =-上的所有点，由交集的概念可得{}()()(2,2)u u C M C N =-．4．集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）及（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为_________.【解析】当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A 1为单元素集时，A 2=∁A A 1或A ，此时A 1有三种情况，故拆法为6种；当A 1为双元素集时，如A 1={a ，b}，A 2={c}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，此时A 1有三种情况，故拆法为12种；当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种； 综上，共27种拆法．5．命题“若a 2+b 2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是________． 命题p:“x R ∃∈，使”的否定¬p 是________．【答案】若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠；x R ∀∈,使6．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q”为假命题，则“(⌝p)∧(⌝q)为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x”，故①错误；“p ∨q”为假命题说明p 假q 假，则(⌝p)∧(⌝q)为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．答案②7．设集合(){}(){}(){},,,,20,,0u x y x R y R A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤，那么点)3,2(P ()u A C B ∈⋂的充要条件是_________. 【解析】(){}=,0u C B x y x y n +-＞，∴把点P 坐标代入相应的不等式得：m<-1,n<5.8．设集合|{t P =数列2*(N )n a n tn n =+∈单调递增}，集合|{t Q =函数tx kx x f +=2)(在区间),1[∞+上单调递增}，若“t P ∈”是“t Q ∈”的充分不必要条件，则实数k 的最小值为 ．【解析】由数列2*(N )n a n tn n =+∈单调递增得：10n n a a +-≥对*N n ∈恒成立，即210,(21)n t t n ++≥≥-+对*N n ∈恒成立，所以max [(21)] 3.t n ≥-+=-由函数tx kx x f +=2)(在区间),1[∞+上单调递增得：0,0k t =>或0,12tk k->≤.因为“t P ∈”是“t Q ∈”的充分不必要条件，所以max 0,2()3,k k t >≥-=即min 33,.22k k ≥=9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，有下列命题：①在△ABC 中，A ＞B 是sinA ＞sinB 的充分不必要条件；②在△ABC 中，A ＞B 是cosA ＜cosB 的充要条件；③在△ABC 中，A ＞B 是tanA ＞tanB 的必要不充分条件．其中正确命题的序号为________． 【答案】②【解析】 由正弦定理，可知A ＞B ⇔a ＞b ⇔sinA ＞sinB ，故A ＞B 是sinA ＞sinB 的充要条件，所以①错；由于函数y ＝cosx 在(0，π)内为减函数，故在△ABC 中，A ＞B 是cosA ＜cosB 的充要条件，所以②对；当A ＝6π，B ＝23π时，tanA ＞tanB ，而此时A ＜B ，当A ＝23π，B ＝6π时，A ＞B ，但tanA ＜tanB ，故在△ABC 中，A ＞B 是tanA ＞tanB 的既不充分也不必要条件，所以③错．故填②.10．设命题p ：非零向量a ，b ，|a |＝|b |是(a ＋b )⊥(a －b )的充要条件；命题q ：平面上M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使MA ＝sin 2αMB ＋cos 2αMC ，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；③¬p ∧q ；④¬p ∨q .其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上) 【答案】①③④【解析】(a ＋b )⊥(a －b )⇔(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |，故p 是真命题． 若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ， 使MA ＝x MB ＋y MC (x ＋y ＝1)；若MA ＝sin 2αMB ＋cos 2αMC ，则A ，B ，C 三点共线． 故q 是假命题．故p ∧q ，¬p ∧q ，¬p ∨q 为假命题．11．记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=•则“t=1”是“ABC ∆为等边三角形”的 。

集合复习题带答案解析1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A∩B。

答案：A∩B={2,3}。

解析：集合A与集合B的交集是指同时属于A和B 的元素组成的集合。

2. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A∪B。

答案：A∪B={1,2,3,4}。

解析：集合A与集合B的并集是指属于A或B 的所有元素组成的集合。

3. 集合A={1,2,3}，求A的补集。

答案：若全集U={1,2,3,4,5}，则A的补集为{4,5}。

解析：集合A的补集是指全集中不属于A的元素组成的集合。

4. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，判断A是否是B的子集。

答案：否。

解析：若集合A的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。

在本例中，元素1属于A但不属于B，因此A不是B的子集。

5. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，求A∆B。

答案：A∆B={1,2,4,5}。

解析：集合A与集合B的对称差是指属于A或B但不属于A∩B的元素组成的集合。

6. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A-B。

答案：A-B={1}。

解析：集合A与集合B的差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合。

7. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求B-A。

答案：B-A={4}。

解析：集合B与集合A的差集是指属于B但不属于A的元素组成的集合。

8. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，判断A和B是否不相交。

答案：否。

解析：若集合A与集合B没有共同元素，则称A和B不相交。

在本例中，元素3同时属于A和B，因此A和B相交。

9. 集合A={1,2,3}，求A的幂集。

答案：A的幂集为{∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}。

解析：集合A的幂集是指由A的所有子集构成的集合，包括空集和A本身。

10. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A∩(B∪{5})。

高中数学集合与常用逻辑用语专题100题(含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U B A ⋃为（ ） A ．{}1,3B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3D ．{}0,2,3,42．已知集合{}{}2|3,|560A x x B x x x =<=-+<，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．A B =R3．已知集合{}210A x x =->，{}3180B x x =-+>，则A B =（ ） A ．1,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()3,6-D ．()6,3-4．已知集合{}13A x x =-<≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}1,0,2,3-B ．{}0,3C ．{}0,2D ．{}0,2,35．已知集合{}3xA yy ==∣，{}0,1,2B =，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,2 B ．()0,+∞ C ．{}0,1,2 D ．[)0,+∞6．设集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -≤<7．设R x ∈，则“12x -≤<”是“23x -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知集合{}10A x ax =-=，{}24,N B x x x =≤<∈，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭9．已知A ，B 为实数集R 的两个非空子集，若A B ，则下列命题正确的是（ ）A ．xB ∀∈，x A ∈ B ．x B ∃∉，x A ∈C ．x A ∀∈，x B ∈D ．x A ∃∈，x B ∉10．设2x ππ<<，则“2cos 1x x <”是“cos 1x x >-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设集合{}1,2,3A =，{}23B x Z x =∈-<<，则A B ⋃=（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3-12．已知全集{}1,0,1,2,3,4,6M =-，集合{}{}N|04,N|26P x x Q x x =∈<<=∈<<，则()MP Q =（ ）A ．{}6B ．{}1,0,3,4,6-C ．{}4,5D ．{}413．已知集合13log 1A x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}4B x x =<，则A B =（ ） A ．13x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．143x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}4x x <14．设集合{}1,2,4A =，{}Z 13B x x =∈≤<，则A B ⋃=（ ） A ．{}1,2B ．[)1,4C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,415．已知全集为U ，集合A ，B 为U 的非空真子集，()U UA B B ⋃=，则()U B A ⋂=（ ） A ．AB ．BC ．∅D ．U16．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：1a >，q ；()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在()0,∞+上为增函数B ．p ：1a >，1b >，q ：()x f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象不过第二象限C ．p ：2x ≥且2y ≥，q ：224x y +≥D ．p ：a c b d +>+，q ：a b >且c d >17．已知集合91log 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}4B x x =<，则A B =（ ）A ．{}03x x <<B ．{}13x x <<C ．{}14x x <<D ．{}34x x <<18．命题：0,sin(1)1x x ∃>-≥的否定为（ ） A ．0,sin(1)1x x ∃>-< B ．0,sin(1)1x x ∃≤-≥ C ．0,sin(1)1x x ∀>-<D ．0,sin(1)1x x ∀≤-<19．集合{}sin y y x ==（ ） A ．RB ．{}11x x -≤≤C ．{}01x x ≤≤D ．{}0x x ≥20．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A BB ．B AC ．A B =D ．A B =∅21．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．622．已知不等式组20,100x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，构成的平面区域为D ．命题p ：对()x y D ∀∈,，都有30x y -≥；命题():,q x y D ∃∈，使得22x y ->．下列命题中，为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧-23．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,6A =，{}2,3,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}1,6C ．5,6D ．{}1,324．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00e 1xx -< B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<25．已知命题p ：角θ为第二或第三象限角，命题q ：sin tan 0θθ+<，命题p 是命题q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．已知集合{|212}x A x =≤，则N A 的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3227．已知全集{0,U =1,2,3,4}，集合{}1,4A =，集合{}3,4B =，则()UB A =( )A ．{0,1,2,3}B ．{}4C ．{2,3,4}D ．{}0,228．已知a ，b 为实数，则“a b >”是“()()sin10sin10log 21log 21a b ︒︒-<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件29．已知集合{}|2x A x x N *=∈，{}2|log (1)0B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2C ．∅D ．{}0,1,230．已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．631．“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示焦点在x 轴上椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件32．定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉.已知集合{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则A B -=（ ）A ．{}0B ．{}1,3-C ．{}2,4,5D ．{}1,0,2,3,4,5-33．设集合{|2}M x x =≤，{}540N x x =-≥，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．(,2]-∞C ．5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦34．已知集合21A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,1,2,3B =---，则A B =（ ）A ．3,2,1,2,3B ．{}2,1--C ．{}1,1,2,3-D ．{}3,2--35．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件可以是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β垂直于同一个平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一条直线36．已知,m n 是平面α内的两条直线，则“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件的37．已知集合{}2|430A x x x =-+<，11142xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ）． A ．∅ B ．(1,3) C ．(1,2] D ．[0,3)38．设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B =（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．[)0,1D ．()1,+∞39．已知直线a 、b 、l 和平面α、β，a α⊂，b β⊂，l αβ=，且αβ⊥．对于以下命题，下列判断正确的是（ ） ①若a 、b 异面，则a 、b 至少有一个与l 相交； ①若a 、b 垂直，则a 、b 至少有一个与l 垂直． A ．①是真命题，①是假命题 B ．①是假命题，①是真命题 C ．①是假命题，①是假命题D ．①是真命题，①是真命题40．命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，20x < B ．R x ∀∈，20x ≥C ．0R x ∃∈，200x < D ．0R x ∃∈，200x ≥41．已知{}1,0,1,3,5A =-，(){}40B x x x =-<，则A B =（ ） A ．{}0,1B ．{}1,1,3-C ．{}0,1,3D ．{}1,342．下列有关命题的说法正确的是( ) A ．若+=-a b a b ，则a b ⊥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则命题p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥D ．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，n β，那么αβ⊥ 43．已知集合{}{14,|1A x x B x x =≤≤=≤-或}3x ≥，则RA B ⋂=（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)3,+∞D ．[)1,344．设x ∈R ，则“230x x -<”是“41x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件45．命题“对x R ∀∈，都有sin 1x ≤-”的否定为（ ） A ．对x R ∀∈，都有sin 1x >- B ．对x R ∀∈，都有sin 1x ≤- C ．0x R ∃∉，使得0sin 1x >-D ．0x R ∃∈，使得0sin 1x >-46．命题“0x ∀>，220x x ++≥”的否定是（ ） A ．0x ∃>，220x x ++< B ．0x ∀>，220x x ++< C ．0x ∃≤，220x x ++<D ．0x ∀≤，220x x ++<47．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,52,3,4,5S T ==，，则()U S T ⋃=（ ） A ．{3，5}B ．{2，4}C ．{1，2，3，4，5}D ．{2，3，4，5，6}48．设集合{}{}29,1,1,2,3A x x B =<=-，则A B =（ ）A ．{1,1,2}-B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,1,2,3}-49．已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件50．已知全集{}N 06U x x =∈<<，{}3,4,5A =，{}2,4B =，则()U A B =（ ） A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}251．若集合{}2,0xA y y x ==≥，(){}2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}1x x ≥C ．{}12x x ≤<D ．{}2x x <52．设命题:p 函数23y x =在()0,∞+上单调递减；命题:q 若2a =，则直线1:220l ax y +-=与直线2:2220l x ay a +-+=平行，则下列结论中是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∨53．已知m ，n 不全为0，则“直线20mx ny --=与圆224x y +=相离”是“点(,)m n 在圆224x y +=内”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件54．命题“()00,x ∃∈+∞，002sin 0xx +<”的否定是( )A ．(),0x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥B ．()0,x ∀∈+∞，2sin 0x x +≥C ．()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +≥D ．()00,x ∃∈+∞，002sin 0xx +>55．已知全集R,{0},{2}U A x x B x x ==≤=≥∣∣，则集合()U A B ⋃=（ ） A ．{0}xx >∣ B ．{2}xx <∣ C ．{02}xx ≤≤∣ D ．{02}xx <<∣ 56．已知全集{}{}R,0,2||U A x x B x x ==≥=≤，则集合()UA B =（ ）A ．{|0x x ≤或2}x ≥B ．{|0x x <或2}x >C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<57．设集合{}2230x x x --≤，102B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}2,3 B ．[)3,∞-+ C ．[]2,3D ．[)1,-+∞58．设集合{}2,4,8,16A =，{}5B x x =≤，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}2,4B ．{}4,8C ．{}8,16D ．{}2,1659．已知非零向量11,a x y ，22,b x y ，则“1212x x y y =”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件60．已知集合201x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭，{}3log 1B x x =≤∣，则A B =（ ） A ．(,1)(2,3]-∞-⋃ B ．(2,3] C ．()0,2D ．(,2)-∞61．下题中，正确的命题个数为（ ） ①函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域为()()1,11,-+∞；① 已知命题:N P x ∀∈，31x ≥则P 命题的否定为:3N,1x x ∃∈≤；①已知()f x 是定义在[0，1]的函数，那么“函数()f x 在[0，1]上单调递减”是“函数()f x 在[0，1]上的最小值为f (1)”的必要不充分条件；①被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、 桥轮合一的摩天轮假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度3π A ．1B ．2C ．3D ．462．“20m -<<”是“方程2212x y m m-=+”表示椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件63．已知集合{}12A x x =<≤，{}2320B x x x =-+≤，则A B =（ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x ≤≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤64．设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}1,0,1,2A =-，{}3,0,2,3B =-，则()⋃=U B A （ ）A ．{}3,3-B ．{}0,2C ．{}1,1-D ．{}3,2,0,2,3--65．设集合{}{2324,2xM x x N x -=≤=≥，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．52,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦66．设集合{}{}215,4A x N xB x x =∈≤≤=，则A B =（ ） A ．{1,2}B ．{}1,2,3C ．{}3,4,5D ．{4,5}67．已知集合{}|12A x x =-<<，[)0,4B =，则A B ⋃=（ ） A ．()1,-+∞B ．()1,4-C ．()0,4D ．()1,468．已知向量(),1a x =，(),9b x =-，则“3x =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件69．设R x ∈，则“2x <”是“11x -<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件70．已知集合{|03}A x x =<<，集合{|1}B x x =<，则A B ⋃=（ ）A ．()3-∞，B ．()1∞-，C ．()01，D ．()03，71．下列说法正确的是（ ） A ．若P Q ∨为真命题，则P Q ∧为真命题 B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．已知R a ∈，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 D ．“x ∀、R y ∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-”是真命题 72．设a >0，b >0，则“94a b +≤”是“49ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件73．设集合()(){}110A x x x =+-<，{}0B y y =>，则()RA B =（ ）A ．∅B ．[)0,1C ．()1,0-D ．(]1,0-74．已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ） A ．M N ⋂=∅ B ．M N ⊆ C ．N M⊆D ．()U N M U ⋃=75．若集合{}2Z |340A x x x =∈--<，{B x x =>，则A B =（ ）A ．()1,4-B ．)4C ．{}2,3D ．{}376．“tan α=是“43πα=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件77．“x y ≠”是“x y ≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件78．设集合{}N 2M x x =∈>-，集合{}237N x x =+<，则M N =（ ）A ．()2,2-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}0,1,279．设集合{}22S x x =-≤，{}2,1,0,1T =--，则S T（ ）A ．{}2,1--B ．{}2,1-C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1--80．已知集合{}21A x x =-<<，集合{}B x m x m =-≤≤，若A B ⊆，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．(]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞81．设集合{}2,1S =--，{}1,2T =-，则S T （ ）A ．{}1-B ．{}2,2-C ．{}2,1,1--D ．{}2,1,0,1-- 82．设a ∈R ，则“2a =-”是“直线1l ：20ax y +=与直线2l ：()140x a y +++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件83．下列命题中，真命题的是（ ）A ．7个身高各不相同的人排成一排照相，个子最高的站正中间，从正中间向左边一个比一个矮，从正中间向右边也一个比一个矮，则共有30种不同的排法B ．“1a >，1b >”是“1ab >”的充分不必要条件C ．函数sin y x =的周期是2πD ．随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()34E X =，()916D X =，则34p =84．已知a ，R b ∈，下列四个条件中，使“1ab>”成立的必要不充分条件是（ ） A ．a b >B ．1a b >+C ．1a b >=D ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭85．设集合{}0A x x =<，{}1B x x =≤，则()A B =R （ ） A ．∅B ．[]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞86．已知命题0:p x ∃∈R ，03sin 2x =；命题:q x ∀∈R ，cos 122x≥．则下列命题为真命题的是（ ）． A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∧二、多选题87．下列说法正确的是（ ）A ．市教委为了解附中高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从我校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知我校高一、高二，高三年级学生之比为6①5①4，则应从高三年级中抽取20名学生B ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2g 0 l 1x +<”D ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 88．下列选项中，与“2x x >”互为充要条件的是（ ）A ．1x >B ．222x x >C ．11x <D ．|(1)|(1)x x x x -=-89．下列说法中正确的有（ ）A ．若0a b <<，则2ab b >B ．若0a b >>，则b a a b> C ．(0,)∀∈+∞x ，“1x m x+≥恒成立”是“2m ≤”的充分不必要条件 D ．若0,0,1a b a b >>+=，则11a b+的最小值为4 三、填空题 90．等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，513a a =. 若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中仅有2个元素，则实数λ的取值范围是______．91．命题“若0a >，则二元一次不等式10x ay +-≥表示直线10x ay +-=的右上方区域（包含边界）”的条件p ：_________，结论q :_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.92．已知集合{}2,1,2A =-，}1,B a =，且B A ⊆，则实数a 的值是___________．93．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______． 94．给出如下四个命题：①“抛物线24y x =的焦点坐标是()1,0”为真命题；①若p ：02x x <-，则p ￢：02x x -≥； ①“1x ∀≥，212x +≥”的否定是“1x ∃<，212x +<”；①“任意[]1,2x ∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥.其中不正确的命题的是 ___________.四、解答题95．设全集U ＝R ，集合{}|32A x a x a =≤≤+，1|284x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． (1)当1a =-时，求()U A B ⋃；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．96．已知函数()()4log 5f x x =-+()g x x α=(α为常数)，且()g x 的图象经过点(P .(1)求()f x 的定义域和()g x 的解析式；(2)记()f x 的定义域为集合A ，()g x 的值域为集合B ，求()A B ⋂R .97．已知集合A 为函数9lg2x y x-=-的定义域，集合B 是不等式()2280x a x -++≥的解集(1)4a =时，求R A B ⋂；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．98．已知函数22()(21)2ln 4f x a x x x =+--，e 是自然对数的底数，0x ∀>，e 1x x >+.(1)求()f x 的单调区间；(2)记p ：()f x 有两个零点；q ：ln 2a >.求证：p 是q 的充要条件.要求：先证充分性，再证必要性.99．已知5:21p x ≥+，22:20q x mx m --≤，其中0m >． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)是否存在m ，使得p ⌝是q 的必要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．五、双空题100．已知函数()221x b f x x +=+是定义在[]22-,的奇函数，则实数b 的值为_________；若函数()22g x x x a =-++，如果对于[]12,2x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是__________．参考答案：1．C【解析】【分析】利用集合的补集与并集运算求解.【详解】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，所以{}0,1,3U B =，(){}0,1,2,3U B A ⋃=．故选：C ．2．A【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】解不等式2560x x -+<得：23x <<，则有{|23}B x x =<<，因此有{}{|23}|3x x x x <<⊆<，即B A ⊆，C 不正确，A 正确；A B B =≠∅，B 不正确；R A B A ⋃=≠，D 不正确.故选：A3．A【解析】【分析】先解不等式，再根据集合交集运算即可求解.【详解】 因为12A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}6B x x =<，所以1,62A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭． 故选：A.4．D【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意得：{}0,2,3A B =,故选：D5．A【解析】【分析】先求出A ，再根据交集的定义可求A B .【详解】{}|0A y y =>，故{}1,2A B =，故选：A.6．B【解析】【分析】先解出集合B ，再直接计算交集.【详解】 因为{}11A x x =-≤≤，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<≤． 故选：B ．7．A【解析】【分析】 解不等式23x -≤，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】 由23x -≤可得323x -≤-≤，解得15x -≤≤， 因为{}12x x -≤< {}15x x -≤≤，因此，“12x -≤<”是“23x -≤”的充分而不必要条件. 故选：A.8．D【解析】求出集合B ，由已知可得出A B ⊆，分0a =、0a ≠两种情况讨论，结合A B ⊆可求得实数a 的取值.【详解】 因为{}{}24,N 2,3B x x x =≤<∈=，由A B B ⋃=可得A B ⊆.当0a =时，A B =∅⊆，合乎题意；当0a ≠时，1A B a ⎧⎫=⊆⎨⎬⎩⎭，则12a =或3，解得12a =或13. 因此，实数a 的取值集合为110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故选：D.9．C【解析】【分析】根据真子集的含义，即可判断出答案.【详解】因为A B ，故由真子集的定义可得知x A ∀∈，x B ∈，故选：C10．B【解析】【分析】根据余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由cos 1x x >-且(,)2x ππ∈，可得(cos )cos 1x x x x -=<， 所以cos cos cos 1x x x x x ⋅<<，即2cos 1x x <，所以必要性成立； 当23x π=时，可得222(cos )1336πππ⋅=<，满足2cos 1x x <， 但22cos cos 1333x x πππ=⨯=-<-，即充分性不成立， 所以“2cos 1x x <”是“cos 1x x >-”的必要而不充分条件.11．D【解析】【分析】先求出{}1,0,1,2B =-，从而求出并集.【详解】{}1,0,1,2B =-，A B ⋃={}1,0,1,2,3-故选：D12．D【解析】【分析】利用集合间的运算关系逐一判断即可【详解】由题可知{}{}{}1,2,3,1,0,4,6,3,4,5M P P Q ==-=，①{}4M P Q =，故选：D13．B【解析】【分析】 根据对数函数的单调性解不等式求集合A ，再由集合的交运算求A B .【详解】 由题设，11133311log 1log log (0,)33A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=>=>=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，而{}4B x x =<， 所以A B =103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B14．C【解析】【分析】求出集合B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】 因为{}{}Z 131,2B x x =∈≤<=，故{}1,2,4A B ⋃=.故选：C.15．B【解析】【分析】由题干信息画出韦恩图，求出答案.【详解】因为()U U A B B ⋃=，所以U A B ⊆，由韦恩图可知：()U B A B =.故选：B16．D【解析】【分析】利用对数函数的性质可判断A ；利用指数函数的性质可判断B ；利用不等式的性质及取特值法可判断CD.【详解】对于A ，利用对数函数的性质可知，p 是q 的充要条件，故A 错误；对于B ，利用指数函数的性质知()x f x a b =-过定点()0,1b -，若函数图像不过第二象限，则1a >，1b >，所以p 是q 的充要条件，故B 错误；对于C ，当2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥，但224x y +≥不能推出2x ≥且2y ≥，例：取0x =且2y =满足224x y +≥，所以p 是q 的充分不必要条件，故C 错误； 对于D ，a b >且c d >可推出a c b d +>+，反过来取1,3,2,1a c b d ====-满足a c b d +>+，所以p 是q 的必要不充分条件，故D 正确；故选：D17．D【解析】【分析】根据对数函数的单调性解不等式求集合A ，再由集合的交运算求A B .【详解】由题设，{|3}A x x =>，而{}4B x x =<，所以A B ={}34x x <<.故选：D18．C【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.【详解】根据特称命题的否定为全称命题，因此命题：0,sin(1)1x x ∃>-≥的否定为“0,sin(1)1x x ∀>-<”.故选：C.19．B【解析】【分析】利用正弦函数的值域可得正确的选项.【详解】{}{}[]sin 111,1y y x y y ==-≤≤=-，故选：B.20．B【解析】【分析】解不等式，得到()1,2A =-，进而判断两集合的关系.【详解】220x x --<，解得：12x -<<，所以()1,2A =-，故B A ，其他选项均不正确. 故选：B.21．B【解析】【分析】首先要理解A -B 的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.【详解】因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U 1,0,1,3A B -=-. 故选：B.22．B【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域D ，结合图形由线性规划的知识可判断命题p 、 q 的真假，然后根据复合命题真假判断结论即可求解.【详解】不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分（包含边界）所示．根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p 为真命题，命题q 也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD 错误，B 选项正确．故选：B23．B【解析】【分析】由补集和交集的定义可求得结果.【详解】由题设可得{}1,5,6U B =，故(){}1,6U A B =，故选：B.24．D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】命题“0R x ∃∈，00e 1x x -≥”为特称量词命题，其否定为R x ∀∈，e 1x x -<； 故选：D25．D【解析】【分析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.当角θ为第二象限角时，sin 0,cos 0,cos 10θθθ><+>， 所以sin sin cos sin sin (cos 1)sin tan sin 0cos cos cos θθθθθθθθθθθθ+++=+==<， 当角θ为第三象限角时，sin 0,cos 0,cos 10θθθ<<+>， 所以sin sin cos sin sin (cos 1)sin tan sin 0cos cos cos θθθθθθθθθθθθ+++=+==>， 所以命题p 是命题p 的不充分条件.当sin tan 0θθ+<时，显然，当角θ可以为第四象限角，命题p 是命题p 的不必要条件. 所以命题p 是命题q 的既不充分也不必要条件.故选：D26．C【解析】【分析】求出N={0,1,2,3}A ，即得解.【详解】解：由题得2log 1222122,log 12x x ≤=∴≤.因为2222log 8log 12log 16,3log 124<<∴<<.所以N={0,1,2,3}A .所以N A 的子集个数为4216=个.故选：C27．D【解析】【分析】根据集合并集和补集的计算方法计算即可.【详解】A ①B ＝{1，3，4}，()U B A ={0，2}.故选：D.28．B【解析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.【详解】解：因为0sin101<<，所以sin10log x y ︒=在()0,∞+上单调递减，当a b >时，()sin10log 21a ︒-和()sin10log 21b ︒-不一定有意义，所以“a b >”推不出“()()sin10sin10log 21log 21a b ︒︒-<-”；反之，()()sin10sin10log 21log 21a b ︒︒-<-，则21210a b ->->，即12a b >>， 所以“()()sin10sin10log 21log 21a b ︒︒-<-”可推出“a b >”.所以“a b >”是“()()sin10sin10log 21log 21a b ︒︒-<-”的必要不充分条件.故选：B.29．B【解析】【分析】分别求出集合,A B ，根据集合的交集运算得出答案.【详解】由题意知：{}{}|20,1,2x A x x N *=≤∈=，{}{}2|log (1)02B x x =-== {}2A B ⋂=.故选：B.30．C【解析】【分析】求出A B 的集合，然后找出子集个数即可.【详解】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集故选：C31．C【分析】 先根据方程2212x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆求出x 的取值范围，再根据充分必要条件的定义即可求解.【详解】解：①方程2212x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆， 0202m m m m >⎧⎪∴->⎨⎪>-⎩，解得：12m <<，∴“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示焦点在x 轴上椭圆”的必要不充分条件. 故选：C.32．C【解析】【分析】根据题中定义直接求解即可.【详解】因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=，故选：C33．D【解析】【分析】求解简单不等式，解得集合,M N ，再求集合的交集即可.【详解】 因为集合{}22M x x =-≤≤，54N x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 所以52,4M N ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 故选：D .【解析】【分析】解分式不等式，求得集合A ，再根据集合的交集运算，求得答案。

高中数学--《集合与逻辑》测试题（含答案）1.“lna＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A解：“3a＞3b”⇔“a＞b”，“lna＞lnb”⇔“a＞b＞0”，∵“a＞b＞0”是“a＞b”的充分而不必要条件，故“lna＞lnb”是“3a＞3b”的充分而不必要条件，故选：A．2.若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【答案解析】C解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．3.设集合An＝{1，2，3，...，n}（n≥2，n∈N），集合P⊆An，如果对于任意元素x∈P，都有x﹣1∈P或x+1∈P，则称集合P为An的自邻集．记(1≤k≤n，k∈N)为集合An的所有自邻集中最大元素为k的集合的个数．（1）直接判断集合P＝{1，2，3，5}和Q＝{1，2，4，5}是否为A5的自邻集；（2）比较和的大小，并说明理由．（3）当n≥4时，求证：．【答案解析】（1）解：因为A5＝{1，2，3，4，5}，所以P＝{1，2，3，5}⊆A5，Q＝{1，2，4，5}⊆A5，因为5﹣1∉P，5+1∉P，所以P＝{1，2，3，5}不是A5的自邻集，因为1+1＝2∈Q，2﹣1∈Q，4+1＝5∈Q，5﹣1＝4∈Q，所以Q＝{1，2，4，5}是A5的自邻集；（2）解：A10＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其自邻集中最大元素为6的集合中必含有5和6，则有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}，共9个，即，其自邻集中最大元素为5的集合中必含有4和5，则有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共5个，即，其自邻集中最大元素为3的集合中必含有2和3，则有{2，3}，{1，2，3}，共2个，即，所以＞；（3）证明：记集合An＝{1，2，3，...，n}（n≥2，n∈N）所有子集中自邻集的个数为an，由题意可得，当n≥4时，，，则有an＝an﹣1+，①自邻集中含有n﹣2，n﹣1，n这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n后的集合为D，因为n﹣2，n﹣1∈D，所以D仍是自邻集，且集合D中的最大元素为n﹣1，所以含有n﹣2，n﹣1，n这三个元素的自邻集的个数为；②自邻集中含有n﹣1，n这两个元素，不含n﹣2，且不只有n﹣1，n这个两个元素，记自邻集除n﹣1，n之外最大元素为m，则2≤m≤n﹣3，每个自邻集中去掉n﹣1，n这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为m，可将此时的自邻集分为n﹣4种情况：含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，••••••含有最大数为n﹣3的集合个数为，则这样的集合共有；③自邻集只含有n﹣1，n这两个元素，这样的自邻集只有1个，综上可得，，因为，，故，所以，故．4.设非零向量，，则“（﹣）•（+）＝0”是“||＝||”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】C解：（﹣）•（+）＝0⇔⇔⇔||＝||，故“（﹣）•（+）＝0”是“||＝||”的充要条件．故选：C．5.设不等式x2≤5x﹣4的解集为A，关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为M．（1）求集合A；（2）条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【答案解析】解：（1）x2≤5x﹣4即（x﹣1）（x﹣4）≤0，故A＝[1，4]；（2）∵x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1，故M＝[a，a+1]，∵条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，∴M⊆A，故，解得：1≤a≤3，故实数a的取值范围是[1，3]．6.（多选题）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩（B∪C） B．A∪（B∩C）C．A∩C U（B∩C） D．（A∩B）∪（A∩C）【答案解析】AD解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：A∩（B∪C）或（A∩B）∪（A∩C）．故选：AD．7.已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案解析】B解：∵a2+b2＝0⇔a＝0且b＝0，ab＝0⇔a＝0或b＝0，∴“ab＝0”是“a2+b2＝0”的必要不充分条件．故选：B．8.已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案解析】C解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．9.已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak，1，Ak，2，Ak，3，…，Ak，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m，j∈N*时，设Ak，j＝{x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．（Ⅰ）若n＝5，（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；（ⅱ）求T[1]+T[2]+[3]的值；（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]＝1024，求n的值．【答案解析】【分析】理解定义：S（Ak，j）＝xk﹣xk﹣1+xk﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1，T[k]＝S（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+…+S（Ak，m）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．解：（Ⅰ）若n＝5，（i）取A4，j＝{1，2，3，4}，S（A4，j）＝4﹣3+2﹣1＝2．j的最大值为3．（ii）枚举法：集合A含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]＝15；集合A含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]＝20；集合A含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]＝30；∴T[1]+T[2]+T[3]＝65．（Ⅱ）对于集合A的子集，可以分两类，一类含n，一类不含n；如果有集合{x1，x2，...，xk，n}（x1，x2，...，xk，n∈Z，且x1＜x2＜...＜xk＜n），则存在唯一与之对应的集合{x1，x2，...，xk}，满足S（{x1，x2，...，xk}）+S（{x1，x2，...，xk，n}）＝n，且这样的集合有（1≤k＜n）组，最后还剩下集合{n}；∴T[1]+T[2]+…+T[n]＝n（++...+）+n＝2n﹣1•n，令2n﹣1•n＝1024，得n＝8．10.命题p：∃x＞0，x2+x﹣1≥0，则￢p：．【答案解析】∀x＞0，x2+x﹣1＜0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．。

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语经典知识题库单选题1、已知集合A={0,1,2}，B={ab|a∈A,b∈A}，则集合B中元素个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：由列举法列出集合B的所有元素，即可判断；解：因为A={0,1,2}，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，故B={ab|a∈A,b∈A}={0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素；故选：C2、若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D分析：根据集合元素的互异性即可判断.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选：D．<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）3、已知集合A={x|x+2x−4A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A，再根据补集的运算得到∁R A，再根据交集的运算即可得出答案.<0}=(−2,4)，因为A={x|x+2x−4所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.4、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C7、若不等式|x−1|<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．{a∣a≥3}B．{a∣a≥1}C．{a∣a≤3}D．{a∣a≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，令不等式的解集为A，可得{x|0<x<4}⊆A，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，设不等式的解集为A，则{x|0<x<4}⊆A，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.8、命题“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是（ ）A ．∃x ≥0,x 2+ax −1<0B ．∃x ≥0,x 2+ax −1≥0C ．∃x <0,x 2+ax −1<0D ．∃x <0,x 2+ax −1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是“∃x <0,x 2+ax −1<0”. 故选：C9、集合M ={2,4,6,8,10},N ={x |−1<x <6 }，则M ∩N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，所以M ∩N ={2,4}．故选：A.10、已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题11、以下满足{0,2,4}⊆A⊊{0,1,2,3,4}的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}答案：AC分析：直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.由题意可知，集合A包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC12、设全集U={1,2,3,4,5}，集合S={1,2,3,4}，则∁U S的子集为（）A．{5}B．{1,2,5}C．{2,3,4}D．∅答案：AD分析：根据补集和子集的定义即可求出答案.因为C U S={5}，集合{5}的子集有：∅，{5}.故选：AD.13、已知集合A={x∣1<x<2}，B={x∣2a−3<x<a−2}，下列命题正确的是A．不存在实数a使得A=B B．存在实数a使得A⊆BC．当a=4时，A⊆B D．当0⩽a⩽4时，B⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2 解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2 即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.14、已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B =A ∩C B ．B ∪C =C C ．B ∩A =BD ．A =B =C答案：BC解析：根据集合A,B,C 中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.对于A 选项，A ∩C 除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A 选项错误.对于B 选项，锐角是小于90∘的角，故B 选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC小提示：本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.15、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.16、下列说法中不正确的是（）A．0与{0}表示同一个集合B．集合M＝{3, 4}与N＝{(3, 4)}表示同一个集合C．方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D．集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示答案：ABC分析：根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.对于A中，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；对于B中，集合M＝{3， 4}表示数3,4构成的集合，集合N＝{(3， 4)}表示点集，所以B不正确；对于C中，方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}，根据集合元素的互异性，可得方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1， 2}，所以C不正确；对于D中，集合{x|4<x<5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.17、给定命题p:∀x>m，都有x2>8.若命题p为假命题，则实数m可以是（）A．1B．2C．3D．4答案：AB分析：命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题. 再把选项取值代入检验即得解.解：由于命题p为假命题，所以命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题.当m=1时，则x>1，令x=2,22<8，所以选项A正确；当m=2时，则x>2，令x=2.5,2.52<8，所以选项B正确；当m=3时，则x>3，x2>9，x2≤8不成立，所以选项C错误；当m=4时，则x>4，x2>16，x2≤8不成立，所以选项D错误.故选：AB18、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，解出集合M 和P.选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合.选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[1,+∞)，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[1,+∞)，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．19、已知集合A ={x |1<x <2 }，B ={x |2a −3<x <a −2 }，下列说法正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得A =BB ．当a =4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AD分析：选项A 由集合相等列方程组验算；选项B 由a =4得B =∅，故不满足A ⊆B ；选项C 、D 通过假设B ⊆A 求出实数a 的取值范围可判定.选项A ：若集合A =B ，则有{2a −3=1,a −2=2,，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A =B ，故选项A 正确.选项B：当a=4时，B={x|5<x<2}=∅，不满足A⊆B，故选项B错误.若B⊆A，则①当B=∅时，有2a−3≥a−2，a≥1；②当B≠∅时，有{a<1,2a−3>1,a−2<2此方程组无实数解；所以若B⊆A，则有a≥1，故选项C错误，选项D正确.故选：AD.20、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}C．{x|x≤9,x∈N∗}D．{x|0≤x≤9,x∈Z}答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A正确；对B，{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B正确；对C，{x|x≤9,x∈N∗}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C错误；对D，{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D错误.故选：AB.填空题21、设集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是___________. 答案：(−3,−1)分析：由题意，S∪T=R，可得a<−1,a+8>5，求解即可由题意，集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，因为S∪T=R，故可得a<−1,a+8>5解得a∈(−3,−1).所以答案是：(−3,−1)22、已知条件α：m<x≤2m+5，条件β：0≤x≤1，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围为___________.答案：[−2,0)分析：根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.∵α是β的必要条件∴{x|0≤x≤1}⊆{x|m<x≤2m+5}∴{m<02m+5≥1，解得：−2≤m<0，即m的取值范围为[−2,0).所以答案是：[−2,0)23、已知命题“∃x∈R,mx2−x+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是_________.答案：m≥14解析：求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围若命题“∃x∈R,mx2−x+1<0”是假命题，则“∀x∈R,mx2−x+1≥0”为真命题，显然m=0时，不满足题意，故只需满足{m>0Δ=1−4m≤0，解得m≥1 4 .所以答案是：m≥14.小提示：本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在R上恒成立求参数的问题，属综合基础题.。

专题一集合与逻辑关系词一、选择题（本大题共39小题，共195.0分）1.下面几组对象可以构成集合的是（）A. 视力较差的同学B. 2013年的中国富豪C. 充分接近2的实数的全体D. 大于-2小于2的所有非负奇数【答案】D【解析】【分析】根据集合元素所具有的性质逐项判断即可．本题考查集合的定义、集合元素的性质，属基础题，理解相关概念是解决问题的关键．【解答】解：集合的元素具有“确定性”、“互异性”、“无序性”，选项A、B、C均不满足“确定性”，故排除A、B、C.故选D．2.下列不属于集合中元素的特性的是（）A. 确定性B. 真实性C. 互异性D. 无序性【答案】B【解析】解：集合元素有三个特性：确定性，互异性，无序性，故选：B集合元素有三个特性，确定性，互异性，无序性，分析四个答案，可得结论．本题考查的知识点是集合的含义，其中熟练掌握集合元素的三个特性，是解答的关键．3.已知集合M={x∈Z|-2＜x≤1}，则M的元素个数为（）A. 4B. 3C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】本题考查集合中元素个数的求法，考查列举法表示集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题，利用列举法表示集合M，由此能出M的元素个数．【解答】解：∵集合M={x∈Z|-2＜x≤1}={-1，0，1}，∴M的元素个数为：3．故选B．4.下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错对于②，∅是任意集合的子集，故②对对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错故选：C．据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．5.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. Q⊆PD. P∩Q=∅【答案】C【解析】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q⊆P，故选：C．通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断．6.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为（）A. {x=-1，x=5}B. {x|x=-1或x=5}C. {x2-4x-5=0}D. {-1，5}【答案】D【解析】解：根据题意，解x2-4x-5=0可得x=-1或5，用列举法表示可得{-1，5}；故选：D．根据题意，解x2-4x-5=0可得x=-1或5，即可得{x|x2-4x-5=0}={-1，5}，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．7.已知集合P={0,2,4,6}，集合Q={x∈N|x≤3}，则P∩Q=（）A. {2}B. {0,2}C. {0,1,2,3,4,6}D. {1,2,3,4,6}【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的表示和交集的运算，是个基础题，比较容易.【解答】解：∵P={0,2,4,6}，Q={x∈N∣x≤3}={0,1,2,3},∴P∩Q={0,2}，故选B.8.下列能表示集合的是（）A. 很大的数B. 聪明的人C. 大于√2的数D. 某班学习好的同学【答案】C【解析】解：对于选项A：很大的数；B：聪明的人；D：学习好的同学；描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项C大于√2的数，故选C．从集合的定义入手，集合中的元素是确定的、互异的、无序的特征，判定选项的正误即可．本题考查了集合的确定性、互异性、无序性，集合的定义，属于基础题．9.下列表述正确的是（）A. 0∈∅B. {0}∈∅C. {0}⊆∅D. ∅⊆{0}【答案】D【解析】根据元素和集合之间的关系进行判断即可．本题主要考查元素和集合关系的判断和表示，要正确理解空集的含义，比较基础．解：A．∅不含有任何元素，∴0∈∅错误．B．∅不含有任何元素，∴{0}∈∅错误．C．∅不含有任何元素，∴{0}⊆∅错误．D..∅不含有任何元素，∴∅⊆{0}正确．故选：D．10.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＞0，x∈A}，则B＝（）A. {－1，0}B. {－1}C. {0，1}D. {1}【答案】D【解析】解：∵A={-1，0，1}，B={x|x＞0，x∈A}，∴B={1}．故选：D．直接由交集的运算性质计算得答案．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，是基础题．11.已知集合A={x|x2-x-2≤0，x∈Z}，则集合A非空子集的个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-x-2≤0，x∈Z}={x|-1≤x≤2，x∈Z}={-1，0，1，2}，∴集合A非空子集的个数为：24-1=15．故答案为：15．故选：B．先求出集合A={-1，0，1，2}，由此能求出集合A非空子集的个数．本题考查集合的非空子集的个数的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则A. A＝BB. A⊇BC. A⊆BD. A⋂B=⌀【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式和集合的关系和运算，属于基础题.【解答】解：A＝{x|x2－4x＋3＜0}={x|1＜x＜3}，可得A⊆B.故选C.13. 设集合A ={x |x 2-4x +3＜0}，B ={x |2x -3＞0}，则A ∩B =（ ）A. （-3，-32）B. （-3，32）C. （1，32）D. （32，3）【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集及其运算,同时考查二次不等式的求解,解不等式求出集合A ，B ，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A ={x |x 2-4x +3＜0}=（1，3）， B ={x |2x -3＞0}=（32，+∞），∴A ∩B =（32，3）， 故选D .14. 已知集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】解：∵集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6，8}， ∴A ∩B ={2，4}，∴A ∩B 中元素的个数为2． 故选：B ．利用交集定义先求出A ∩B ，由此能求出A ∩B 中元素的个数．本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．15. 设集合A ={1，2，6}，B ={2，4}，C ={1，2，3，4}，则（A ∪B ）∩C =（ ）A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，6} 【答案】B【解析】解：∵集合A ={1，2，6}，B ={2，4}，C ={1，2，3，4}， ∴（A ∪B ）∩C ={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B ．由并集定义先求出A ∪B ，再由交集定义能求出（A ∪B ）∩C ．本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．16. 已知集合A ={x |x ＞-2}，B ={x |x ≥1}，则A ∪B =（ ）A. {x |x ＞-2}B. {x |-2＜x ≤1}C. {x |x ≤-2}D. {x |x ≥1}【答案】A【解析】解：集合A ={x |x ＞-2}，B ={x |x ≥1}， 则A ∪B ={x |x ＞-2}． 故选：A ．根据并集的定义写出A ∪B ．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．17.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∪B=（）A. （-1，1）B. （-1，2）C. （-1，0）D. （0，1）【答案】B【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|-1＜x＜1}，则A∪B={x|-1＜x＜2}=（-1，2）．故选：B．化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁U A=（）A. {1，3，5，6}B. {2，3，7}C. {2，4，7}D. {2，5，7}【答案】C【解析】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，∴∁U A={2，4，7}．故选：C．根据全集U以及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．19.命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A. 若a＞b，则a+c≤b+cB. 若a+c≤b+c，则a≤bC. 若a+c＞b+c，则a＞bD. 若a≤b，则a+c≤b+c【答案】C【解析】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆命题的应用问题，是基础题．20.已知全集U={2，3，5，7，9}，A={2，|a-5|，7}，C U A={5，9}，则a的值为（）A. 2B. 8C. 2或8D. -2或8【答案】C【解析】解：U={2，3，5，7，9}，C U A={5，9}，∴A={2，|a-5|，7}={2，3，7}，∴|a-5|=3，解得：a=2或8，故选：C．求出集合A中的元素，得到|a-5|=3，解出即可．本题考查了补集的定义，考查绝对值问题，是一道基础题．21.设全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x-1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {x|x≤-1或x≥3}B. {x|x＜1或x≥3}C. {x|x≤1}D. {x|x≤-1}【答案】D【解析】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），由x2-2x-3＜0得-1＜x＜3，即A=（-1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（-1，+∞），则∁U（A∪B）=（-∞，-1]，故选：D．由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．22.已知全集U=R，集合A={x|x2>4}，B={x|x＋3≤0}，则(C U A)∩B等于（）x−1A. {x|−2≤x<1}B. {x|−3≤x<2}C. {x|−2≤x<2}D. {x|−3≤x≤2}【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合A、B，从而求出C U A，由此能求出(C U A)∩B．本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x2>4}={x|x>2或x<−2}，≤0}={x|−3≤x<1}，B={x|x＋3x−1∴C U A={x|−2≤x≤2}，∴(C U A)∩B={x|−2≤x<1}．故选Ａ．23.已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A. [0，1）B. （0，2]C. （1，2）D. [1，2]【答案】C【解析】解：由P中不等式变形得：x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24.已知全集U＝{1,3,5,7},集合A＝{1,3},B＝{3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为（）A. {3}B. {7}C. {3,7}D. {1,3,5}【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．先求出A∪B={1，3，5}，阴影区域表示的集合为∁U（A∪B），由此能求出结果．【解答】解：∵全集U={1，3，5，7}，集合A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：∁U（A∪B）={7}．故选B．25.下列语句不是命题的是（）A. -3＞4B. 0.3是整数C. a＞3D. 4是3的约数【答案】C【解析】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可．本题考查了命题的定义，属于基础题．26.命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的逆否命题是（）A. 若a＜b，则a-1＜b-1B. 若a-1＞b-1，则a＞bC. 若a≤b，则a-1≤b-1D. 若a-1≤b-1，则a≤b【答案】D【解析】解：命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的逆否命题是“若a-1≤b-1，则a≤b”．故选：D．根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目．27.命题“若|x|+|y|=0，则x=0或y=0”的逆否命题是（）A. 若|x|+|y|=0，则x=0且y=0B. 若|x|+|y|≠0，则x≠0或y≠0C. 若x=0或y=0，则|x|+|y|≠0D. 若x≠0且y≠0，则|x|+|y|≠0【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的关系，是基础题，直接对原命题进行逆否命题变换即可求得答案.【解答】解：命题“若|x|＋|y|=0，则x=0或y=0”的逆命题为若x=0或y=0，则|x|＋|y|=0，此命题的否定为若x≠0且y≠0，则|x|＋|y|≠0 .故选D.28.命题P：“若x＞1，则x2＞1”，则命题P：以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：命题P：“若x＞1，则x2＞1”，它是真命题；它的否命题是：“若x≤1，则x2≤1”，它是假命题；逆命题是：“若x2＞1，则x＞1”，它是假命题；逆否命题是：“若x2≤1，则x≤1”，它是真命题；综上，这四个命题中真命题的个数为2．故选：B．根据四种命题之间的关系，分别写出原命题P的否命题、逆命题和逆否命题，再判断它们的真假性．本题考查了四种命题之间的关系和命题真假性的判断问题，是基础题．29.“若x，y∈R，x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题是（）A. 若x，y∈R，x，y全不为0，则x2+y2≠0B. 若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2=0C. 若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2≠0D. 若x，y∈R，x，y全为0，则x2+y2≠0【答案】C【解析】解：依题意得，原命题的题设为若x2+y2=0，结论为则x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0，故选C．由已知可得，原命题的题设P：x2+y2=0，结论Q：x，y全为零．在根据原命题依次写出否命题、逆命题、逆否命题．否命题是若非P，则非Q；逆命题是若Q，则P；逆否命题是若非去，则非P写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识30.“若x2=1，则x=1”的否命题为（）A. 若x2≠1，则x=1B. 若x2=1，则x≠1C. 若x2≠1，则x≠1D. 若x≠1，则x2≠1【答案】C【解析】解：同时否定条件和结论即得命题的否命题，即若x2≠1，则x≠1，故选：C根据否命题的定义进行判断．本题主要考查四种命题的判断，根据否命题的定义是解决本题的关键．31.下列命题是真命题的为（）A. 若1x =1y，则x=y B. 若x2=1，则x=1C. 若x=y，则√x=√yD. 则x<y，则x2<y2【答案】A【解析】【分析】本题主要考查命题的真假，属于基础题.【解答】解：A，显然成立，故是真命题；B，x=-1或x=1,故是假命题；C，当x<0,y<0时，不成立，故是假命题；D，如果x=-3,y=1时，不成立，故是假命题.故选A.32.∀x∈R，x2-2x+3≥0的否定为（）A. ∀x∈R，x2-2x+3≤0B. ∀x∈R，x2-2x+3＜0C. ∃x0∈R，x02−2x0+3≤0D. ∃x0∈R，x02−2x0＋3<0【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，本题考查全称命题的否定的概念，属基础题目.【解答】解：∀x∈M,p(x)的否定∃x0∈M,¬p(x0),故选D.33.若a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查充要条件的判断，属基本题型的考查，较简单．判断充要条件，即判断“a＞0，b＞0”⇒“a+b＞0”和“a+b＞0”⇒“a＞0，b＞0”是否成立，可结合不等式的性质进行判断．【解答】解：当“a＞0，b＞0”时，由不等式的性质可知“a+b＞0”，反之若“a+b＞0”，如a=-1，b=2，不满足“a＞0，b＞0”，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的充分不必要条件故选A．34.已知甲：x＜0或x＞1，乙：x≥2，则甲是乙的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】甲：x＜0或x＞1，则甲：A=（-∞，0）∪（1，+∞），乙：x≥2，则乙：B=[2，+∞），又B⊊A，即甲是乙的必要不充分条件，故选：B．先写出命题甲、乙所对应的集合，甲：A=（-∞，0）∪（1，+∞），乙：B=[2，+∞），再结合两集合的包含关系B⊊A，再判断即可，本题考查了集合与充要条件之间的关系，充分条件、必要条件、充要条件，属简单题35.“b＞a＞0”是“1a ＞1b”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当b＞a＞0时，1a ＞1b成立，反之当b＜0，a＞0时，满足1a＞1b，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“1a ＞1b”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．36.“a＞b”是“a3＞b3”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：由于函数y=x3在R上单调递增，∴a3＞b3⇔a＞b．∴“a＞b“是“a3＞b3”的充要条件．故选：C．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．是基础题．37.下列命题为真命题的是（）A. 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B. “x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件C. 命题“若x＜1，则x2-2x-3=0”的否命题为：“若x＜1，则x2-2x-3≤0”D. 已知命题p：∃x∈R，使得x2+x-1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1＞0．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断和全称命题、特称命题的否定.由复合命题的真值表判断A；利用充分必要条件的定义判断B；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题，再判断其真假，由此判断C；利用特称命题的否定为全称命题，判断D.【解答】解：对于A，∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，故A为假；对于B，当x=5成立时有52-20-5=0，即x2-4x-5=0成立，当x2-4x-5=0成立时，有x=-1或x=5，不一定有x=5成立，故“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件；故B为真；对于C，命题“若x＜1，则x2-2x-3=0”的否命题为：若x≥1，则x2-2x-3≠0，为假命题；故C假；对于D，∵命题p：∃x∈R，使得x2+x-1＜0是特称命题，∴¬p为：∀x∈R，使得x2+x-1≥0，故D为假.故选B.38.若命题“p∧q”和“¬p”都为假命题，则（)A. p∨q为假B. q假C. q真D. 不能判断q的真假【答案】B【解析】【分析】本题考查了复合命题真假的判断,根据条件∵命题“p∧q”为假，且“¬p”为假，得命题p为真，q为假，从而可得选项，属基础题．【解答】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬p”为假，∴命题p为真，q为假，则p或q为真，故选B．39.“¬p是真”是“p∨q为假”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：“¬p是真”则p为假．“p∨q为假”则p与q都为假．∴“¬p是真”是“p∨q为假”的必要不充分条件．故选：B．“¬p是真”则p为假．“p∨q为假”则p与q都为假．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

高中数学集合运算练习题及参考答案2023数学学科作为一门基础学科，在高中阶段的重要性不言而喻。

其中数学集合运算作为初步数学理论的基础之一，是高中数学中必不可少的部分。

本文主要针对高中数学集合运算练习题及参考答案进行详细阐述，旨在帮助读者更好的理解和掌握集合运算。

一、基础概念在进行集合运算练习题之前，我们需要了解一些数学中的基础概念，如下：1.集合：由一个或多个互异的元素所构成的整体。

2.子集：若A、B是两个集合，且集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则A是B的子集。

3.真子集：若A是B的子集，且A≠B，则A是B的真子集。

4.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

5.交集：由同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合。

6.差集：由属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合。

二、练习题及参考答案下面是一些集合运算的练习题及参考答案：1.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求并集A∪B。

解：A∪B={1,2,3,4}。

2.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求交集A∩B。

解：A∩B={2,3}。

3.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求差集A-B。

解：A-B={1}。

4.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A是否是B的子集。

解：A是B的子集。

5.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A是否是B的真子集。

解：A不是B的真子集。

6.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断B是否包含于集合A中。

解：B不包含于集合A中。

7.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的笛卡尔积。

解：A×B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}。

8.设A、B、C是三个集合，若A×B=C，则C包含的元素个数为多少？解：C包含的元素个数等于A集合中的元素个数乘以B集合中的元素个数。

专题一集合、逻辑与不等式§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．解答：(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A ＝{2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集．记作：A ∩B ．对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集．记作：A ∪B ．如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集．记作U A ．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．答：(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b a b a b a =+，则b －a ＝______．【分析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则a b 没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab ＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1答案一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【例题分析】例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；(2)逆命题：若A≠⊂B，则A∩B＝A；是真命题；否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题；逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．有时一个命题的真假不易判断，可以判断其逆否命题的真假，因为二者是等价的．例2 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【分析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例3设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p 是q的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例4命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2答案一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1 否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．§1－3 不等式(含推理与证明)【知识要点】1．不等式的性质．(1)如果a＞b，那么b＜a；(2)如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c(如果a＋c＞b，那么a＞b－c)；(4)如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；(5)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；(6)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；(7)如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N＋，n＞1)；(8)如果a ＞b ＞0，那么)1,N (>∈>+n x b a n n ；2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若a ∈R ，则)R (0.0||;02+∈≥≥≥a a a a ．3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：如果a 、b ∈R ＋，那么.2ab b a ≥+当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 其他常用的基本不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，(a －b )2≥0． 如果a 、b 同号，那么.2≥+b a a b 5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．【例题分析】例1 若a ＞b ＞c ，则一定成立的不等式是( )A ．a ｜c ｜＞b ｜c ｜B ．ab ＞acC ．a －｜c ｜＞b －｜c ｜D ．cb a 111<< 【分析】关于选项A ．当c ＝0时，a ｜c ｜＞b ｜c ｜不成立．关于选项B ．当a ＜0时，ab ＞ac 不成立．关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a －｜c ｜＞b －｜c ｜，正确．关于选项D ．当a ＞b ＞0＞c 时，cb a 111<<不成立．所以，选C ． 例2 a ，b ∈R ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜ B ．若a ＞b ，则ba 11< C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a ＞b ，则1>b a 【分析】关于选项A ．当a ＝－1，b ＝－2时，｜a ｜＞｜b ｜不成立．关于选项B ．当a ＞0，b ＜0时，ba 11<不成立． 关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a 3＞b 3，正确．关于选项D ．当b ＜0时，1>ba 不成立．所以，选C ． 【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例3 解下列不等式：(1)x 2－x －1＞0； (2)x 2－3x ＋2＞0； (3)2x 2－3x ＋1≤0； (4);021>--x x (5)｜2x －1｜＜3； (6).1212≤--x x 解：(1)方程x 2－x －1＝0的两个根是251,21±=x x 结合函数y ＝x 2－x －1的图象，可得不等式x 2－x －1＞0的解集为}.251251|{+>-<x x x 或 (2)不等式x 2－3x ＋2＞0等价于(x －1)(x －2)＞0，易知方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝2，结合函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，可得不等式x 2－3x ＋2＞0的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．(3)不等式2x 2－3x ＋1≤0等价于(2x －1)(x －1)≤0，以下同(2)的解法， 可得不等式的解集为}.121|{≤≤x x (4)021>--x x 等价于(x －1)(x －2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．(5)不等式｜2x －1｜＜3等价于－3＜2x －1＜3，所以－2＜2x ＜4，即－1＜x ＜2，所以不等式｜2x －1｜＜3的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．(6)不等式1212≤--x x 可以整理为,021≤-+x x ,021≤-+x x 等价于.021021=-+<-+x x x x 或以下同(4)的解法，可得不等式的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．3、不等式0>--bx a x 与(x －a )(x －b )＞0同解；不等式0<--b x a x 与(x －a )(x －b )＜0同解； 4*、不等式｜f (x )｜＜c 与－c ＜f (x )＜c 同解；不等式｜f (x )｜＞c 与“f (x )＞c 或f (x )＜－c ”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“≤”号的处理．例4 解下列关于x 的不等式；(1)ax ＋3＜2； (2)x 2－6ax ＋5a 2≤0．解：(1)由ax ＋3＜2得ax ＜－1，当a ＝0时，不等式解集为∅；当a ＞0时，不等式解集为}1|{ax x -<；当a ＜0时，不等式解集为}1|{a x x ->． (2)x 2－6ax ＋5a 2≤0等价于不等式(x －a )(x －5a )≤0，当a ＝0时，不等式解集为{x ｜x ＝0}；当a ＞0时，不等式解集为{x ｜a ≤x ≤5a }；当a ＜0时，不等式解集为{x ｜5a ≤x ≤a }．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的． 要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．如(2)的解决过程中，当解出方程(x －a )(x －5a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝5a 之后，需要画出二次函数y ＝x 2－6ax ＋5a 2的草图，这时两根a 与5a 的大小不定，需要讨论，当分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a 与5a 的大小，画出二次函数y ＝x 2－6ax ＋5a 2的草图写出解集了．例5 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，m ＜0．求证：⋅->-db mc a m 证明：方法一(作差比较) ,))(()]()[())(()]()[(d b c a d c a b m d b c a c a d b m d b m c a m ---+-=-----=--- 由已知b －a ＜0，c －d ＜0，又m ＜0，所以m [(b －a )＋(c －d )]＞0，因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0， 所以0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b m ，所以⋅->->---db mc a md b m c a m 即,0 方法二因为c ＜d ＜0，所以c －d ＜0，又a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a －b ＞c －d ，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以d b c a -<-11，又因为m ＜0，所以⋅->-d b m c a m例6 已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：(1)a ＞0；(2).2->ac 证明：(1)假设a ≤0，因为a ＞b ＞c ，所以b ＜0，c ＜0．所以a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾．(2)因为b ＝－a －c ，a ＞b ，所以，所以2a ＞－c ，又a ＞0，所以a c ->2，所以.2->a c例7 已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于41. 证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 均大于41， 即,41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a ,21)1(,21)1(,21)1(>->->-a c c b b a 因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以1－a ，1－b ，1－c ∈(0，1)， 所以1)1(2)1(>-≥+-b a b a ，同理(1－b )＋c ＞1，(1－c )＋a ＞1，所以(1－a )＋b ＋(1－b )＋c ＋(1－c )＋a ＞3，即0＞0，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于41． 【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证,db mc a m ->-只需证明m (b －d )＞m (a －c )(因为b －d ＞0，a －c ＞0)，即只需证明b －d ＜a －c ，即只需证明a －b ＞c －d ，而由已知a －b ＞0，c －d ＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等．证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论．例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；第二个图有2行，每行有2＋2个点；第三个图有3行，每行有3＋2个点；……第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点． 答：80．练习1－3答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B二、填空题5．n1 6．{x ｜2＜x ＜3} 7．{x ∈R ｜1≤x ≤3｜ 8．④ 三、解答题 9．答：(1)}210|{-<>x x x 或；(2)}253253|{+-<<--x x ； (3)}230|{<<x x ；(4){x ｜－1＜x ＜5}；(5)}310|{<<x x ．10．证明：ab ＋bc ＋ca ＝b (a ＋c )＋ac ＝－(a ＋c )(a ＋c )＋ac ＝－a 2－ac －c 2 0]43)2[(]434[22222≤++-=+++-=c c a c c ac a 所以ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解：(1)原不等式⇔(x ＋a )(x －3a )＜0．分三种情况讨论：①当a ＜0时，解集为{x ｜3a ＜x ＜－a }；②当a ＝0时，原不等式⇔x 2＜0，解集为∅；③当a ＞0时，解集为{x ｜－a ＜x ＜3a }．(2)不等式ax 2－x ＞0⇔x (ax －1)＞0．分三种情况讨论：①当a ＝0时，原不等式⇔－x ＞0，解集为{x ｜x ＜0}；②当a ＞0时，x (ax －1)＞0⇔x (x －a 1)＞0，解集为}10|{ax x x ><或； ③当a ＜0时，x (ax －1)＞0⇔x (x －a 1)＜0，解集为}01|{<<x a x ．习题1答案一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C11 / 11 提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-x x ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。