北京高中数学知识应用竞赛试题及参考标准答案

第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部，即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点，如右图．假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩，令枫叶不动，矩形框转动，依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部，而框始终是矩形．请说明，存在一个转动位置，这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部．解：设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a 和b ．若a −b =0，这个矩形就是正方形．若a −b ≠0，不妨设a −b ＜0．在矩形转动时，a −b 的值也会随之变化．当旋转90º后，得到的矩形和最初的矩形重合，但a −b ＞0了．即a −b 的值是在[0,90º]上的转动角θ的连续函数，设a −b =f (θ)，于是，f (0)＜0，f (90º)＞0，由函数的零点存在定理可知，在上述转动中，一定有一个位置θ0，使f (θ0)=0，即a −b =0，这时的矩形框就是正方形框．从而这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形框内部．二、（满分20分）野外失火，火势以失火点为中心，匀速的向四周呈圆形蔓延．在火情发生t 0时间后，消防队员发现火情，随即迅速开始修建防火带．（1）消防队员修建的防火带是以失火点为圆心的圆，从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别以火蔓延的速度的4倍修建防火带，求防火带围成的最小面积S ．（2）再给出一个修建防火带的方案？使防火带围成的面积比S 小．解：（1）设修建防火带的时间为t ，火势的蔓延速度为v ，修建的圆形防火带的半径R 不小于火势蔓延的圆的半径r ．因为πR =4vt ，r =v (t 0+t )，当面积取S 时，R =r ，即04()vt v t t π=+，得04t t ππ=−，所以，S =πR 2=24()vt ππ=22216(4)v t ππ−．（2）因为04t t ππ=−≈3.65t 0，不难得出，如果（1）的方案是从A 处开始修建，那么，向失火点方向靠近一点儿取点B （比如AB =1.5t 0，如右图），从这一点向垂直于AB 的两边修建，至C 、D 后，再修建圆弧形，即整个防火带围成的形状比圆少了一个弓形，面积缩小了．（缩小面积的方案很多，只要计算无误即算正确）三、（满分20分）广发银行推出一款理财产品“广发银行薪满益足140925版网银专属版”，42天，投资起点50,000元，高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍．销售费率0.10%—0.30%，托管费率0.03%．年化收益率预计为5.35%，发售期为2014年9月24日至2014年10月7日，收益起始日期为10月8日，收益终止日期为11月19日，单利计算利息．理财产品中途若取出，则按银行活期利率计算利息．收益公式：理财收益=申购本金×理财产品实际年化收益率×365实际理财天数其中，实际年化收益率=年化收益率−销售费率−托管费率．BA CD示例：理财本金为5万元，实际理财天数为197天，理财产品到期实际年化收益率为5.70%，则投资者的理财收益=50000×5.7%×197365=1538.22元．华夏基金公司推出一款货币型基金“华夏财富宝”，该基金的收益分配是按日结转份额的，每日收益支付方式只采用红利再投资（即红利转基金份额）方式．该货币型基金除去法定休息日外，随时可以申购和赎回，没有时间的限制．一般规定在交易日的15:00前赎回，资金到帐为2个交易日（T+2日）．日每万份基金净收益和7日年化收益率的计算方法如下：日每万份基金净收益=当日基金份额的已实现收益当日基金份额总额×100007日年化收益率（%）=365717111100% 1000010000R R⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞+××+−×⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋯其中，R i为最近第i个自然日（包括计算当日）的每万份基金净收益．每万份基金净收益采用四舍五入保留至小数点后第4位，7日年化收益率采用四舍五入保留至百分号内小数点后第2位．表1为2014年10月8日至11月18日“华夏财富宝”的日每万份基金净收益和7日年化收益率．投资人手上恰有10万块钱，10月8日至11月19日期间想进行投资，请问：（1）为了获得最大收益，投资人是投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”还是“华夏财富宝”？两种投资的差额为多少？（2）投资人想尽可能地保持资金的流动性（保证尽可能多的资金随时可用），那么10万块对两种产品如何配置，能使得获得的收益介于两者中最高收益的95%与最小收益的110%之间？解：（1）“广发银行薪满益足140925版网银专属版”单利计算利息，投资42天，当销售费率为0.30%时，收益为42100000 5.35%0.3%0.03%577.64365×−−×=（）．“华夏财富宝”复利计算利息，投资42天，收益为12421000001111496.57100001000010000R R R ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞×+⋅+⋅⋅+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⋯．因此投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”收益高．二者比较，差额为81.07元．（2）获得的收益介于两者中最高收益的95%和最小收益的110%之间，即为收益小于577.64×0.95=548.758元，大于496.57×1.1=546.227元．设分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”x 1、x 2元，列方程为1124221242546.227(5.35%0.3%0.03%)3651111548.758100001000010000100000x R R R x x x ⎧<⋅−−×⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎨+⋅+⋅+⋅⋅+−<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪+=⎪⎩⋯解得1612465.43.726740x <<，但由于高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍，因此分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”62000元和38000元，或63000元和37000元．四、（满分20分）储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板，每一层称为一个储药槽．每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格．一个储药槽内只能摆放同一种药品．右图为并排的三个储药柜．为保证药品从储药格内顺利取出，要求放入药盒后，储药格内留有不小于2mm 的横向间隙，同时还要求药盒在储药格内放置时不会出现并排重叠（一个格内不能放两个药盒）、药盒不能在格内侧翻或水平旋转．假设药盒的长度＞宽度＞厚度，并且药盒在格内放置时要求（长×宽）面在左右，（宽×厚）面在前后，（长×厚）面在上下．为方便储药柜的制造，储药格的宽度类型越少越好．不同尺寸的药盒种类有成百上千种．表2所列的仅仅是20个不同的样品．请你就这20种药盒尺寸规格，给出能够存放这些药盒，且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案（无需考虑存放药盒的数量多少）．表2（度量单位：mm ）药盒编号长度宽度厚度药盒编号长度宽度厚度112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738解：药盒的长，宽，厚分别为记为a ,b ,c ．则有a ＞b ＞c ．假设用d 表示出药槽内竖隔板之间的宽度．欲使药盒在格内放置时不会出现并排重叠，必须有c ＜d ＜2c （1）欲使药盒不能在格内侧翻，必须有d（2）欲使药盒不能在格内水平旋转，必须有d（3）由（1）、（2）、（3），隔板之间的宽度必须满足c ＜d ＜min{2c,,（4）由于a ≥b ，再由（4），得c ＜d ＜min{2c,}（*）当b时，有2c ．由（*），隔板之间的宽度应取2c ．当c ≤b≤时，有2c=．由（*），隔板之间的宽度应．综上，隔板之间的宽度应取．这表明，在满足不会出现并排重叠和侧翻、或0+2的储药格内可以存放的药盒厚度c 的范围是c 0≤c0．由表2可知，药盒的厚度分布在10mm 至56mm 之间，于是，最少需要五种间隔，见表（2）．为了寻找S 与A 的关系，先将A =4×10k 变形为4A =10k ，两边取对数，得k =lg 4A，又2=10lg2,于是S =5×2k =5(10lg2)lg 4A =5(10lg 4A )lg2=5(4A )lg2=(lg 254)A lg2=3.29A lg2=3.29A 0.301．即物种的数量是岛屿的面积的函数，其表达式是S =3.29A 0.301．表（2）度量单位：mm 储药格宽度存储药盒的厚度14.1+210.0—14.120.0+214.1—20.028.2+220.0—28.240.0+228.2—40.056.4+240.0—56.4。

3．8 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997)第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行．【初赛试题】1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题．(1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数y ＝f(x)，画出y＝f(x)(0＜x＜7)的图象．2．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？(你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果．)3．中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用．若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？4．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3—111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米)5．“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：试估计我国1999年的人口数．6．如图3—107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)．请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．7．一房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图3—108，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)．8．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米)．某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)9．改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题．北京怀柔县某村一农民承包了100亩(中低产)地．土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份(秋天)收玉米后可种冬小麦，第二年6月(夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦．有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示．这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生．试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？(为了便于计算，不妨假定从1995～1997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同．)10．1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况．截流从8∶55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米．11∶50时，播音员报告宽为34.4米，到13∶00时，播音员又报告水面宽为31米．这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙．从8∶55到11∶50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11∶50到13∶00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米．从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙．但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好．现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算，使你的计算结果更切合实际．【初赛试题解答要点与参考答案】1．(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.4＋1.6×(12.5－4)＝24(元)，等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为合计 24＋0.8＝24.8(元)．………………………………(5分)(2)行驶23.7公里，按24公里计价．车费为10.4＋1.6×(15－4)＋2.4×(24－15)＝49.6(元)，等候7分钟，按5分钟计价．等候费为合计 49.6＋1.6＝51.2(元)．……………………………(10分)(3)据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3—110．…………………………………(15分)2．易知V＝πr2h，设材料比重为ρ，侧面材料厚度为b，则用料为A＝2πr×h×b×ρ＋2πr2×2b×p…………………………………………………………(10分)这样，r与h之比是1∶4时，用料最少．………(15分)(市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果．)此段不计分．3．解法一一年期存两次(按复利计算)获利金额为(四舍五入精确到分)P1×2＝104(1＋5.67％)2－104＝1166.15元．两年期存一次获利金额为P2＝2×104×5.94％＝1188.00元．∴ P2＞P1×2……………………………………………(5分)存一次一年期再存一次两年期的获利金额为P1＋2 ＝104(1＋5.67％)(1＋2×5.94％)－104＝1822.36元．三年期存一次获利金额为P3＝3×104×6.21％＝1863．00元．∴ P3＞P1＋2．又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为P2+3＝104(1＋2×5.94％)(1＋3×6.21％)－104＝3272.32元．五年期存一次的获利金额为P5＝5×10 4×6.66％＝3330.00元．∴ p5＞P2+3．三年期存两次的获利金额为P3×2＝P3+3＝104(1＋3×6.21％)2－104＝4073.08元．两年期存三次的获利金额为P2×3＝104(1＋2×5.94％)3－104＝4004.17(元)∴ P3×2＞P2×3．存一次五年期再存一次一年期的获利金额为P5+1＝104(1＋5×6.66％)(1＋5.67％)－104＝4085.81(元)．∴ P5+1＞P3+3．∵ P n+m＝P m+n，(m，n∈N)∴由上述计算推知：存一次五年期一次一年期所获收益最大．为4085.81(元)．……………………………………………………(15分)解法二直接计算P1×6，P1×4+2，P1×2+2×2，P2×3，P1×3+3，P1+2+3，P3×2，P1+5进行比较，得出P1+5最大．4．以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P(4，2)，Q(0，6)的抛物线在该坐标系中的方程为令x＝3，得因此货车限高＝3.75－0.5＝3.25≈3.2(米)．答：货车的限高为3.2米．………………………………………(15分)(注：答3.3米也算对)5．第一步：在直角坐标系上做出人口数的图形．…………………………………………………………………(5分)第二步：估计出这图形近似地可以看做一条直线．…………………………………………………………………(8分)第三步：用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.4～12.6亿之间均算正确答案．……………………………………………………………………(15分)方法一：选择能反映直线变化的两个点，例如 (1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为：N＝14.088t－26915.842代入t＝1999，N＝1246.07≈12.46(亿)．方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t＝1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值．方法三：可采用最通用的“最小二乘法”求出直线方程．这里简单地介绍一下最小二乘法．设(x1，y1)，(x2，y2)，…(x k，y k)是平面直角坐标系下给出的一组数据，若x1＜x2＜…＜x k，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数．根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线(不是直线)，我们的问题是确定一条直线y＝bx＋a，使得它能最好地反映出这组数据的变化．这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函由于系数是常数，不妨令l1＝Σ(x i－x)2，l2＝Σ(y i－y)(x i－x)，l3＝Σ(y i－y)2，通过配方有用最小二乘法可以求出N＝14.51006t－27753.54649，代入t＝1999，得N≈12.52亿．…………………………………………(15分)6．常见有两种测量方案．方案1 P位于开阔地域，则测量方案如下图3—112所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角α和β．……………………………………(5分)设AB为x，PA为y，则计算公式为方案2 若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3—113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．……………………………………………………………(5分)设AB＝x，PA＝y，则计算公式为说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．7．解法一如图3—114，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．………(5分)从图中可见h＝AEsinθ，又AE＝AG＋GF＋FE，其中AG＝0.48，GF＝CDcosθ＝0.28cosθ，FE＝FCctgθ＝0.48ctgθ．因此h＝AEsinθ＝(0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ)sinθ………………………………………………………………(10分)＝0.48(sinθ＋cosθ)＋0.28cosθsinθ…………………………………………………………………(15分)解法二在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、 KN紧贴C、 D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周， A点到CD的距离始终不大于AK＋KO(O是CD中点)．而AK＋KO≈0.82＜0.9．…………………………………(15分)8．把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图3—115(Ⅰ)和(Ⅱ)．切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体．…………………………………………………………………(6分)取3块原料，2块按切法(Ⅰ)切割，1块按切法(Ⅱ)切割．得到29个第一种长方体和30个第二种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法(Ⅰ)切割， 30块按切法(Ⅱ)切割，共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料．…………………………………………………………………(13分)此时，材料的利用率为………………………………………………………………………(15分)9．第一步：承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税费为2×(50＋60)×100＝12000元．第二步根据给定数据计算出每种作物收支费用表如下：第三步：两年内只能有以下两种种植模式．………………(5分)Ⅰ 1995年秋种冬小麦→夏收完种玉米→秋收完再种冬小麦→夏收完再种玉米→1997年秋收玉米．Ⅱ 1995年不种→1996年春种花生→秋收后种冬小麦→夏收后再种玉米→1997年秋收玉米．按模式Ⅰ每亩地两年纯收入1096元/亩，按模式Ⅱ每亩地两年纯收入1153元/亩．第四步：设按模式Ⅰ种x1亩，模式Ⅱ种x2亩，总收入应该为y＝f(x1，x2)＝1096x1＋1153x2－12000－2×1.68×1000．其中x1和x2应受到如下条件的限制：(1)x1≥0，x2≥0，(2)x2≤20，(3)x1＋x2＝100，(4)300x1≥21000(缴纳公粮和口粮)．………………(12分)第五步：由于模式Ⅱ获利多，所以在满足条件(3)和(4)的前提下应该尽量多地采用模式(Ⅱ)．所以只要计算一下x2＝20时，能否满足条件(4)即可．∵300×80＞21000，∴令x1＝80，x2＝20可取得最大收益．y max＝1096×80＋1153×20－12000－1680×2＝87600＋23060－12000－1680×2＝95300(元)．………………………………………………………………………(15分)(像第8题，第9题这类问题在数学上称做规划问题或整数规划问题．)10．说明：建模的合理性有以下两个评价要点：(1)回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点．(2)注意到回填速度是在逐渐加快；水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快．在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点．下面的计算模型可供参考．为简便计，回填体积可用龙口水流的截面面积代替，假设截面为等经175分钟回填后，龙口宽为34.4米．设此时截面与原截面相似(如图3—109)．则此时的水深h1满足故h1＝51.6(m)．此时尚待回填的面积A1＝17.2×51.6＝887.52(m2)到13∶00尚待回填的面积A2＝15.5×(15.5×3)＝720.75(m2)．从11∶50到13∶00回填的平均速度为比以前的速度加快了．在回填过程中，回填速度是越来越快的．可建立各种模型进行计算，下面举出两种算法．下午1∶00～2∶00，回填面积为143×1.336＝191.048．2∶00～3∶00 回填面积为143×1.336 2＝255.24．此时，待填面积为720.75－(191.048＋255.24)＝274.462．需个小时，即在下午3点48分龙口即可合龙．……………………(15分)方法二：假设回填速度v与水深l成反比．因为水深与待填面积Sm2/小时，故回填面积为224.67m2．所以下午4∶00，待填面积仅为720.75－192.36－224.67－296.33＝7.39，可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估算，下午4点龙口即可合龙．………………………………………………………(15分)【复赛试题】1．(14分)年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货．每月月底可售出全部货物，获得毛利(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20％．每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60％．此外小王每月还要支出生活费300元．余款作为下月投入资金用于进货．如此继续，问到年底小王拥有多少资金？若贷款年利率为10.98％，问小王的纯收入为多少？2．(14分)某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形(如图3—116的阴影部分)．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒．(接缝用料忽略不计)问：(1)包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)(2)画出你设计的剪裁图．3．(14分)一底面积为S(分米)2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水．设容器的质地是均匀的且薄厚相同(包括盖)，问h为多少时使容器和水整体的重心最低．4．(12分)中国邮政贺年(有奖)明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，97、98年公布的获奖号码(其尾数)如下：97年98年特等奖 400656 一等奖 963639一等奖 877175 二等奖 07594二等奖 50725，20460 三等奖 7655，6839，4754三等奖 2463，5502 四等奖 090，433四等奖 626 803，796五等奖 84 624纪念奖 3 五等奖 9试问：(1)哪一年获奖的概率大？(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5％)(2)若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？5．(12分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架．主要有四道工序：打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．6．(12分)现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？7．(污水处理问题)(12分)沿河有三城镇1、2和3，其地理位置如图3—117所示，污水需处理后方可排入河中．用Q表示污水量(吨/秒)，L 表示管道长度(公里)，按照经验公式，建污水处理厂的费用为P1＝73Q0.712(千元)，铺设管道的费用为P2＝0.66Q0.51L(千元)，已知三城镇的污水量分别为Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5，L的数值如图所示．三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送．试问：(1)从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；(2)如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担．试计算在上述建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；(3)请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议．并计算各城镇的费用．8．(10分)中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：(1)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；(2)球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；(3)积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球(踢进球数减被踢入球数)多的队排名在前．(4)若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前．以下是甲B联赛(共赛22轮)第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分武汉雅琪 10 6 3 29/18 36深圳平安 9 5 5 34/27 32深圳金鹏 8 5 6 32/38 29河南建业 8 5 6 20/18 29广州松日 7 7 5 27/19 28沈阳海狮 7 7 5 28/23 28佛山佛斯弟 8 2 9 26/28 26辽宁双星 7 4 8 20/19 25上海浦东 7 4 8 28/23 25上海豫园 6 5 8 23/29 23天津万科 5 7 7 22/23 22火车头杉杉 2 3 14 14/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯弟沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯弟辽宁双星——深圳金鹏佛斯弟——杉杉杉杉——广州松日广州松日——天津万科辽宁双星——天津万科沈阳海狮——杉杉上海豫园——武汉雅琪武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由．【复赛试题解答要点与参考答案】1．设第n个月月底的资金为a n元，贷款金额为a0，则a n+1＝a n·(1＋20％)－a n·20％·60％－300＝1.08a n－300，……………………………………5分又a0＝10000元，于是a1＝10500元．依题意，b＝10500，c＝1.08，d＝－300，纯收入为a12－10000(1＋10.98％)＝8390.6元．……………14分答：小王年底有资金19488.6元，纯收入为8390.6元．2．如图3—118建立直角坐标系：………………………………………………………………………3分依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故AD＝2r，AB＝2πr，………………………………………6分于是A点的坐标为(πr，r)．⊙O′的方程为：(x－20)2＋(y－20)2＝20 2．(2) ………………………………………………………………………10分将(1)代入(2)得(πy－20)2＋(y－20)2＝20 2，求解得y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)．……………………………………………………………………12分∴r≈3.01(cm)．于是O″(0，6.02)，O′(20，20)，而 r＋20＝23.01＜24.41，所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是6.02(cm)．………………………………………14分3．解法一容器质地均匀且薄厚相同(包括盖)，故其重心高度为设容器和水整体的重心高度为x分米，则x满足以下方程：它恰好等于水面高度h．………………………………………………………………………6分整理得 Sh2－2Shx＋MH－2Mx＝0，由于h是非负实数，所以，x2S2－M(H－2x)≥0．(2)………………………8分使重心位置最低的x一定是使(4)成立的x最小非负值．由二次不等式可知，使(2)成立的x值为因此，x的最小值为4．设发行了n张明信片，其中k张获奖，则任买一张，获奖概率为1997、1998两年明信片号码均为六个数组成，可以认为发行了10 6张．…………2分(1)由于两年发行明信片数均为n＝10 6，为了比获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少．1997年获奖明信片张数为1＋1＋20＋200＋1000＋10000＋100000＝111222．1998年获奖明信片张数为1＋10＋300＋5000＋100000＝105311．故 1997年获奖概率大于 1998年获奖概率．…… 8分相差为1.12％－0.53％＝ 0.59％……………………………12分5．我们用字母来表示工序：S—抛光；P—喷涂保护层；A—组装；N —贴厂名标签．解法一按题目的工艺流程要求，全部可能的生产流程及所用的时间可由图3—119给出．图中箭头所示方向为工艺的流程，每个箭头下方的字母为所执行的工序，上方为该工序所用的时间，方括号内为已完成的工序．………………………………………………………………………10分所有可能的流程共四条：ASPN、SAPN、SPAN、SPNA，所用的时间分别为16分钟、18分钟、18分钟、18分钟，生产流程ASPN所用时间最少．即为了使加工时间最短，应先组装，然后抛光，再喷涂保护层，最后贴厂名标签．……………………………………………12分解法二将生产流程图画成“树”(画出流程图10分，计算出时间12分)解法三按工艺流程的要求，S、P、N三个工序，只能有顺序S→P→N，而A可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程A→S→P→NS→A→P→NS→P→A→NS→P→N→A…………………………………………………10分计算各流程所用时间，得出最优流程．………………………12分6．甲厂只生产上衣1350件/月，甲厂只生产裤子2700件/月；乙厂只生产上衣2000件/月，乙厂只生产裤子3000件/月．………………………………………………………………………4分我们的目的是设计一种方案使总产量超过原总产量900＋1200＝2100．发挥乙厂生产上衣的优势，让乙厂全部生产上衣，共2000件，让甲这样的生产方案可生产2233套成衣，超过原总产量133套．……………………………12分7．设C i为城镇i单独建污水厂所需费用(i＝1，2，3)，则C1＝73×50.712≈230(千元)，C2＝73×30.712≈160(千元)，C3＝C1≈230(千元)．若城镇i，j合作在城镇j建厂，设C ij(i＜j)为从城i到城j铺设管道的费用(i，j＝1，2，3)，则C12＝73×(5＋3)0.712＋0.66×50.51×20＝350(千元)，C13＝73×(5＋5)0.712＋0.66×50.51×(20＋38)＝463(千元)，C23＝73×(5＋3)0.712＋0.66×30.51×38＝365(千元)．(1)按题设三城镇的污水处理只有五种方案．方案1 各城分别建厂处理污水，总费用C1＋C2＋C3＝230＋160＋230＝620(千元)……………1分方案2 城1，城2合作处理污水，城3单独处理污水，总费用C12＋C3＝350＋230＝580(千元)……………………2分方案3 城1，城3合作处理污水，城2单独处理污水，总费用C13＋C2＝463＋160＝623(千元)………………3分方案4 城2，城3合作处理污水，城1单独处理污水，总费用C23＋C1＝365＋230＝595(千元)……………………4分方案5 三厂合作在城3建厂，并铺设城1及城2到城3的管道，总费用为73×(5＋3＋5)0.712＋0.66×50.51×20＋0.66×(5＋3)0.51×38＝453.4＋30＋72.4＝555.8(千元)………………………5分方案5所用费用最少，三厂合作在城3建厂并铺设管道是最优方案．(2)三城合作建污水厂费用为73×(5＋3＋5)0.712＝453.4(千元)．按三城镇污水量的比例5∶3∶5来分担这一费用，城1，104.6(千元)，174.4(千元)．城1到城2的管道费0.66×50.51×20＝30(千元)应由城1负担，城 2到城 3的管道费0.66×(5＋3)0.51×38＝72.4(千元)按城1，城2污水量的比例5∶3，由城1，因此，城1负担费用为174.4＋30＋45.25＝249.65(千元)………………………………………………………………………6分城2负担费用为104.6＋27.15＝131.75(千元)，城3负担费用为174.4(千元)，三城总负担费用249.65＋131.75＋174.4＝555.8(千元)……………………………………………………………………… 8分但由于249.65＞230＝C1，即此时城1负担的费用比它单独建污水厂所付费用还多，这对城1是不公平的，分配方案有不合理之处．………………………………………………………………………10分(3)这小题没有标准答案，答案是开放性的，比如把总费用555.8(干元)按C1，C2，C3的比例分别负担等，只要能设计出“合理”的方案均可．………………………………………………………………12分8．使用排除法．排除法的目的是确定“是否存在一种使雅琪队无法出线的比赛结果”．排除的原则是“排除那些有利于雅琪队出线的情况，仅考虑尽量少的不利雅琪队出线的情况”．这个思想明确，可以清楚地确定出以下原则：原则1：设后三轮雅琪队均以大比分告负；原则2：除了雅琪队其余各队分为二类：第一类队在后三轮即使全胜，其积分也少于36分；第二类队后三轮全胜积分可以达到或超过36分．原则3：使第二类中尽量多的队积分达到或超过36分，为此可以任意决定第一类队的比赛结果．根据以上三原则施行如下步骤：1°根据原则2，第一类队包括排在第七位(佛斯第队)以后的各队，第二类队包括：平安队、金鹏队、建业队、松日队和海狮队．2°设第二类的队与第一类队或雅琪队的比赛中均以大比分取胜，其结果为：平安队胜浦东队和双星队，积36分；金鹏队胜豫园队和双星队，积35分；建业队胜豫园队和浦东队，积35分；松日队胜万科队和杉杉队，积34分；海狮队胜杉杉队，积31分．3°设平安队积36分便可以净胜球排在雅琪队之前，这样，平安队即使负于海狮队亦可排在雅琪队之前．这样可使海狮队从平安队处得3分．积34分．4°这样，还有两场比赛即：金鹏对海狮，松日对建业，其中金鹏积35分，海狮积34分；松日积34分，建业积35分．显然，在金鹏与海狮之间，松日与建业之间，至多有一个队可达到或超过36分．这就是说，第二类队中至多有三个队排在雅琪队之前，而甲B有四支队可晋升甲A，故雅琪队一定可以晋升甲A．注解决这类问题，还可以使用穷举法，罗列出后三轮的所有可能的比赛结果，每一种比赛的结果都可以得到一种球队的排序，如果存在着一种比赛结果的排序使雅琪队被列在第五位或低于第五位，则说明雅琪队不能“一定晋升”．否则的话，就说明无论后三轮怎样的比赛结果的排序中雅琪队都在前四名，故雅琪队“一定晋升”．这种方法是可行的方法，尤其是比赛球队不多的情况下，穷举法的核心是要保证列举出“所有可能”，做到这一点并非容易，常常借助于计算机，给出“列出所有可能”的程序，由计算机来完成罗列和判别．一般说这种方法过于繁杂，在球队很多时，即使用计算机亦难于实现．例如此题：仅就积分结果来说，还须比赛18场，每场两个结果(或分胜负，或平)，共计218种！人为列举是无法实现的，计算机也要工作一段时间．。

第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）从2018年10月1号我国开始执行的新的个人所得税法，使个人所得税税负水平更趋合理．（1）小王在北京某高新技术产业工作，税前收入每月15000元．执行新税法之后，小王比原来每月少交多少个人所得税？（2）有一种速算个税的办法：应税所得额×对应档的税率−对应档的“速算扣除数”．如应税所得额是10000元，它对应的所得税在旧个税方案下是：10000×25%−1005=1495（元）．请按照这一算法，算出应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是多少？（3）请计算出表2内的数X，并给出各级“速算扣除数”的递推算法的一般表达式．表1个人所得税税率表（执行至2018年9月30日）级数月应税额所在区间（对应起征额3500元）税率速算扣除数（元）1不超过1500元3%02超过1500元至4500元部分10%1053超过4500元至9000元部分20%5554超过9000元至35000元部分25%10055超过35000元至55000元部分30%27556超过55000元至80000元部分35%55057超过80000元部分45%13505表2个人所得税税率表（2018年10月1日起试行）级数月应税额所在区间（对应起征额5000元）税率速算扣除数（元）1不超过3000元3%02超过3000元至12000元部分10%2103超过12000元至25000元部分20%14104超过25000元至35000元部分25%X5超过35000元至55000元部分30%44106超过55000元至80000元部分35%71607超过80000元部分45%15160解：（1）查阅税法，“五险一金”为不计税所得，假设小王的“五险一金”是3000元．按旧税法，应税所得额D旧=15000−3000−3500=8500（元）将D按旧税率表分段，即8500=1500+3000+4000，旧个税上交额M旧=1500×3%+3000×10%+4000×20%=1145（元）；按新税法，应税所得额D新=15000−3000−5000=7000（元）按新税率表分段，即7000=3000+4000，将D新个税上交额M新=3000×3%+4000×10%=490（元）则有M新−M旧=490−1145=−655，即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税655元．（注：若不考虑“五险一金”，所得结论为M新−M旧=790−1870=−1080（元），即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税1080元．也算对．）（2）应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是10000×10%−210=790（元）（3）由上面的案例可以发现：本级的“速算扣除数”=上一级最高应纳税所得额×(本级税率−上一级税率)+上一级的“速算扣除数”由此可以得到X=25000(25%−20%)+1410=1250+1410=2660（元）一般推导如下：设a n表示应税额依次分段的端点，r n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的所得税率，b n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的“速算扣除数”，其中n∈{1,2,3,4,5,6}．由表2得到：n0123456a n030001200025000350005500080000r n3%10%20%25%30%35%45%设T表示应税额，T∈(a n,a n+1)，Q表示对应应交的个人所得税额，于是Q=(T−a n)r n−[(a n−a n−1)r n−1+(a n−1−a n−2)r n−2+…+(a1−a0)r0]=T·r n−[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]定义“速算扣除数”b n=[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]于是得到Q=T·r n−b n，b n=(r n−r n−1)a n+b n−1．由此算出：b1=(r1−r0)a1=7%×3000=210（元）b2=(r2−r1)a2=10%×12000+210=1410（元）b3=(r3−r2)a3=5%×25000+1410=2660（元）b4=(r4−r3)a4=5%×35000+2660=4410（元）b5=(r5−r4)a5=5%×55000+4410=7160（元）b6=(r6−r5)a6=10%×80000+7160=15160（元）．二、（满分20分）在晴空万里，蓝天白云的天气下，也许你看到的是“假蓝天”，原因是臭氧（O3）污染．城市近地层臭氧是典型的二次污染物，主要是由人类活动排放的挥发性有机物、氮氧化物和一氧化碳在太阳光的作用下经过一系列复杂的光化学反应生成的，其带来的温室效应影响着全球的臭氧浓度变化．空气中少量的臭氧使人有一种“新鲜”的感觉，因为臭氧有杀死某些细菌和微生物的能力，但是过量的臭氧对人体和生物都是有害的．王同学在网站上浏览北京综合检测值变化时，感觉到臭氧的浓度变化似乎与温度和湿度变化有关．为了研究在不同季节，温度和湿度对臭氧浓度的影响，王同学记下了2018年7月2日（代表盛夏）和2018年11月2日（代表深秋）的数据，见表1和表2．请依此回答下面的问题：（1）分别画出每一天臭氧浓度关于温度变化的散点图和臭氧浓度关于湿度变化的散点图，并分别建立回归方程；（2）在盛夏和深秋，哪个季节温度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?哪个季节湿度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?解：（1）臭氧浓度关于温度、湿度变化的散点图如下：表12018年7月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化表22018年11月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)2:004024762:0055803:003323823:0044824:002923854:0044835:002423845:0033876:002223846:0033897:002223787:0034878:003024758:0036799:003825729:00586611:0062267011:0017115512:0085286412:0027134913:00121295613:0033144614:00146315014:0038164315:00162305315:0041164216:00170315016:0043174317:00179315117:0033155118:00179315018:0012116519:00175305119:008107420:00178295920:00897721:00167285921:00788022:00120285922:00678423:00105276223:006782从图中可以看出，四个图的样本点均呈条状分布，臭氧浓度与温度、湿度都有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y =ax +b 来近似刻画它们的关系．计算回归方程的斜率与截距的公式为：121()()()ni i i n i i x x y y a x x b y ax==⎧--⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎩∑∑设x 1为7月2日北京市的温度，x 2为7月2日北京的湿度，x 3为11月2日北京市的温度，x 4为11月2日北京市的湿度；y 1为7月2日北京市的臭氧浓度，y 2为11月2日北京市的臭氧浓度．经计算，y 1=19.42x 1−425.34（Ⅰ）y 1=−4.72x 2+408.34（Ⅱ）y 2=2.91x 3−11.52（Ⅲ）y 2=−0.80x 4+70.40（Ⅳ）（2）2018年7月2日平均臭氧浓度为105.48μg/m 3，2018年11月2日平均臭氧浓度为16.48μg/m 3．1°根据回归方程（Ⅰ）和（Ⅲ），温度每变动1℃，7月2日的臭氧浓度变化：19.42/105.48×100%=18.41%；11月2日的臭氧浓度变化：2.91/16.48×100%=17.65%．2°根据回归方程（Ⅱ）和（Ⅳ），湿度每变动1%，7月2日的臭氧浓度变化：4.72/105.48×100%=4.47%；11月2日的臭氧浓度变化：0.80/16.48×100%=4.85%．因此，就温度而言，盛夏的温度对臭氧浓度变化影响大一些；就湿度而言，深秋的湿度对臭氧浓度变化影响大一些．三、（满分20分）将一个8×8的棋盘分割成四个部分，其中两个是梯形，另外两个是三角形，如图1所示．将这四个部分重新拼接，可以得到一个5×13的长方形，多出了一个小正方形，如图2所示．（1）对这种现象你如何解释?给出解释的数学证明．（2）对于n ×n 的正方形棋盘，n 取什么正整数时，可以用这种切割重拼的方式得到一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1？举出一个例子．（3）对于n ×n 的正方形棋盘，做类似的切割和拼接，会不会出现k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1？如果存在，试给出一般的规律．解：（1）猜测：拼接有缝隙．为了观看清楚，将缝隙夸张地用图4所示，首先证明∠ENG ＜180°．由图3可知，tan ∠2=83，tan ∠4=−tan ∠3=−52，显然83＞52，所以∠2＞∠3；图3ABCD3412图42413EFGH MN 图1图2所以∠2+∠4=∠2+180°−∠3=180°+(∠2−∠3)＞180°．即∠ENG ＜180°．易证∠ENG =∠EMG ，即四边形EMGN 是平行四边形．S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·(−sin(∠2+∠4))=|EN |·|NG |·(−sin ∠2·cos ∠4−cos ∠2·sin ∠4)=|EN |·|NG |·(82||||EN NG ⋅−35||||EN NG ⋅)=1．（2）设分割方式同上，如图5所示，AD 边上分割点为P ，AP :PD =a :b ，则a +b =n ．同（1）的过程，得平行四边形EMGN ，令S EMGN =1，即EN |·|NG |·(||||n b a EN NG -⋅−||||b aEN NG ⋅)=1即n (b −a )−ba =1即(b +a )(b −a )−ba =1即b 2−ab −a 2−1=0显然a ≠b ,且b ＞a ．解关于b的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 1382155144b 25133489233n382155144377当n 取3,8,21,55,144,377,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第四项起的偶数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1．例如55×55的正方形，将55分成21+34，拼成长方形，则正方形的面积为55×55=3025，长方形的面积为(55+34)34=3026．事实上，a ,b 取值依顺序构成从第二项起的斐波那契数列：1,2,3,5,8,13,21,34,…．（3）如果n ×n 的正方形经分割再拼接成k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1，应该满足以下关系：∠2+∠4＜180，即拼接时会形成重合，重合部分是一个平行四边形ENGM ，如图6．令S ENGM =1，即S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·sin(∠2+∠4)=1EN |·|NG |·(−||||n b a EN NG -⋅+||||b aEN NG ⋅)=1即−(b +a )(b −a )+ba =1即b 2−ab −a 2+1=0解关于b 的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 125133489b 1382155144n25133489233图5A BCD3412P abn 2413EFGHM N 图6当n 取2,5,13,34,89,233,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第三项起的奇数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1．山毛榉和被害虫侵害的云杉这三种群落状态，这个林地被划分为成行成列的状态，我们可以用Z k (i ,j )表示在第k 年时林地中第i 行、第j 列的方块地区的群落状态．令Z k (i ,j )=0表示第k 年时该地块为绿叶云杉林地，Z k (i ,j )=1表示第k 年时该地块为山毛榉林地，Z k (i ,j )=2表示第k 年时该地块为被云山蚜虫危害的云杉林地．请回答下列问题：（1）依据题目给出的相互更替规则，使用Z k (i ,j )表示法给出从第k 年到第k +1年各方块林地植物群落更替的表达式，即群落更替模型；（2）根据上述模型，选择一种算法语言，写一个小程序，通过计算机计算初始状态为右图，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局．解：（1）群落更替的模型：如果Z k (i ,j )＞0，则Z k +1(i ,j )=Z k (i ,j )−1；如果Z k (i ,j )=0，则当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=2时，Z k +1(i ,j )=2；当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=0或1时，Z k +1(i ,j )=0．00000000000000000000000000000000021210000001212000000000000000000000000000000000（2）使用上述模型编制的MATLAB计算程序是>>A0=[zeros(20,20)],A1=A0,A0(10:11,9:12)=[2,1,2,1;1,2,1,2];>>For i=2:19>>For j=2:19>>B2=[A0(i-1,j),A0(i+1,j),A0(i,j-1),A0(i,j+1)]>>if A0(i,j)>0,A1(i,j)=A0(i,j)-1>>elseif max[B2]=2,A1(i,j)=A0(i,j)+2>>elseif max[B2]=0,A1(i,j)=A0(i,j),end>>end>>end根据此程序的计算，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局如下图所示：第一年后第二年后第三年后000000000000000000000002020000000000000000020000000021212000 000202000000212120000210101200 002101000002100002002100202120 000010120000200001200212020012 000020200000021212000021010120 000000000000002020000002121200 000000000000000000000000202000五、（满分20分）中国高铁发展迅速，使有些原本乘飞机到某地出行的旅客改乘高铁了．现在要模拟一次寒假与父母或亲友外出旅行，先选定一个时间，并设定一个既可以乘飞机（经济舱）到达，也可以乘高铁（二等座）到达的目的地．（1）列出影响选择交通工具的各种因素；（2）为这次模拟出行选定乘坐交通工具的方案，并说明选择的理由．解：答题要点（1）影响因素主要有两大方面，一方面是由交通工具产生的，包括乘坐交通工具的时间成本，交通工具的舒适性，安全性，正点率，价格；另一方面是由旅行者产生的，对于不同的旅行者，其价值取向不同，个人感受不同，还有个性化的需求．（2）要先调查上述影响因素在这次出行中的具体情况，将各种影响因素的情况进行主次排序，或进行量化，在多因素分析中，作出相对优化的选择，形成出行方案．（注：这个题的解答是很开放的，只要有来自实际的调查分析，逻辑清楚，比较完整，自圆其说，即看作正确．酌情给分，宜粗不宜细．）。

（1）解答：北京为东八区，阿姆斯特丹为东一区。

两者相差7小时。

我们计算时一律换成北京时间：北京起飞时为11:55，在阿姆斯特丹降落时北京时间为（15:15+7小时=22:15），故从北京到达姆斯特丹飞行了（22:15-11:55=10小时20分）。

阿姆斯特丹起飞时北京时间为（21:25+7小时=次日4:25），在北京降落时为次日14:10，故从阿姆斯特丹返回北京飞行了（14:10-4;25=9小时45分）。

由于中纬度有西风带，高空的风为自西向东吹，故从北京到达姆斯特丹为逆风，用时长。

从阿姆斯特丹返回北京为顺风，用时短。

另外从北京到达姆斯特丹和从阿姆斯特丹返回北京时飞机的航线不同对用时也会造成影响。

（2）解答：因为：库存会增加成本所以：只有在下季度的正常生产、加班生产及外协生产都要满工作量的情况下才要对本季度考虑外协生产安排，换句话来说，如果本季度进行了外协生产，且本季度末的库存不空，则下季度的正常生产、加班生产及外协生产都满工作量因为：笫三季度的需求为1 500，最大生产为750+150+200=1100所以：笫二季度末的库存最小为l500—1100=400因为：笫二季度的需求为850，最大生产为450+90+200=740所以：笫一季度末的库存最小为850+400—740=510所以：笫一季度的生产任务最小为5 10+300—250=560因为：560—450—90=20所以：笫一季度最小要进行20千克的外协生产所以：为使成本最小，则笫二、三季度的正常生产、加班生产及外协生产都要满工作量若笫三季度未有库存，则笫四季度的正常生产、加班生产及外协生产也要满工作量，但450+90+200>3 00+350，不符题意所以：笫三季度末没有库存，300+350—450—90=1 1 0，正常生产、加班生产要满工作量，外协生产的任务是110千克根据上述分析，可作如下的全年生产计划笫一季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产20千克笫二季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产200千克笫三季度：正常生产750千克，加班生产1 50千克，外协生产200千克笫四季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产11 0千克（3）解答：1.主要因素：地上路面的周边环境：决定需刷卡进站的人数人流量越大，则进站的人越多乘客的素养：决定刷卡速度素养越高，进站时速度越快地铁站管理工作：决定能同时刷卡的人数刷卡机越多，能同时刷卡的人越多2.“合理”一词的数学描述：如呆有n个人要进站，这些人进站刷卡时平均要用t秒钟，那么要设多少台刷卡机才能使这些人在限定的时间T内全部进站。

第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题1.根据国家版权局?书籍稿酬暂行规定?,书籍稿酬由根本稿酬和印数稿酬组成.根本稿酬的标准为：〔1〕著作稿酬每千字10至30元,确有学术价值的,可适当提升,但每千字不超过40元；〔2〕词书稿有两种计酬方法：其一是按一般著作稿标准另加15%至20%计算〔词条书目〕；其二是按每千字20元至30元计算,另增加20%至30%的根本稿酬〔百科全书词条〕.印数稿酬的标准为：〔1〕一般书籍,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的8%.印数超过一万册的,其超过局部每千册付根本稿酬的0.8%.〔2〕确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的30%,印数超过一万册的,计算方法同〔1〕.根据以上内容,解答以下问题.〔1〕假设印x 千册,试写出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函数关系式；〔2〕假设王教授出版了一本25.4万字的书,印数1.8万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬.2．小童的父亲要到美国访问,受人之托希望多带点东西.中国民航的?国际旅客须知?中有关规定："计件免费行李额"中规定"适用中美、中加国际航线上的行李运输…….经济和旅游折扣票价,免费交运的行李数为两件,每件箱体三边之和不超过62英寸〔158厘米〕,但两件之和不得超过107英寸〔273厘米〕,每件最大重量不得超过32公斤."试问这两个箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请到市场上看看,商店出售的行李箱的尺寸与你计算所得结果是否近似？为什么？3．今年年初由中国建设银行北京市分行印发的?个人住房贷款简介?的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题.其中指明贷款额最高为拟购置住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年.个人住房贷款利率如附表1所示.借款人在借款期内每月以相等的月均还款额归还银行贷款本金和利息.附表2列出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和.试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的.近年来国务院批准,中国人民银行决定从1999年9月21日起,延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房.各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年.每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款水平等因素与借款人协商确定.个人住房款年利率最高水平降为5.88%.并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下〔含5年〕为年利率5.31,5年以上为年利率5.88%.请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和,并与原附表2中的同期贷款的负担情况比拟,住房贷款的负担各降低了多少.附表2 中国建设银行北京分行个人住房贷款1~20年月均还款金额表〔借款额为壹万元〕单位：元自1998年12月7化工厂从今年一月起,假设不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处分,第一个月.如果从今年一月起投资500万元增加回收净化设备〔改造设备时间不计〕,一方面可以改善环境,另一方面也可以大后的前5个月中的累计净收入是生产时间 n〔以月为单位〕的二次函数,生产前1、前2、前3个月的累计收入分别可万元,以后稳定在第5个月的水平.同时该厂不但不受罚,而且还将得到环保部门一次性100万元的奖励.问经过多少个后的纯收入多于不改造时的纯收入.世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为2.5亿,1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为50亿,到1999年底,地球上的人口数到达了60亿.请你根据20世纪人口增长规律推测,到哪年世界人口将到达100少人口？庆庆典活动的中央广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人,每列长大能到达满意的观礼效果？某1000个人中有10个人患有一种病,现要通过验血把这10个病人查出来,假设采用逐个人化验的方法需化验999次坏情况下化验次数,如果碰巧,可能首先化验的10个人全是病人,10次化验就够了.下面讨论的化验次数均指最坏情少化验次数,人们采用分组化验的方法,即把几个人的血样混在一起,先化验一次,假设化验合格,那么这几个人全部正明这几个人中有病人,再对它们重新化验〔逐个化验,或再分成小组化验〕.一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小,不超过100次.参考解答〕此时x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此书25.4万字〔254千字〕,所以最高稿酬为16629.888≈16629.89〔元〕,最低稿酬为11.44×254=2095.76 〔元〕解设长、宽、高分别为a,b,c 显然a>0,b>0,c>0. 假设a+b+c 一定〔≤158〕,,当且仅当a=b=c 时等号成立,因此箱子为正方体时体积最大.个正方体箱子的边长分别为a,b,(a>0,b>0). 由条件知3(a+b)≤273,,为求最大取等号,故得a+b=91代入b=91-a ,那么显然,当时, 有最小值,且题意及上述,要在且a+b=91 ,即 ,的条件下求f(a) 的最大值,而,于是得箱子的边长分别为厘米和厘米时,其体积之和为最大.即为：调查思考：商店出售的箱子三边长与计算所得误差很大,原因：〕正方体箱子不易携带.〕正方体箱子容量大,但易超重.很多货运箱的形状与手提行李箱相比,近似于正方体,由于货运箱可更多地考虑其容积问题.解设贷款额〔本金〕为A〔元〕,货款期限为n〔月〕,月利率为 ,月均还款额为B,令利金额,那么=n 时,,于是贷款期5年时,元,得总额 60B=11784.60,利息负担总额60B-A=1784.60 ,得到附表2上相应的值.货款利率后,还款款 60B=11408.4,总利息60B-A=1408.4 ,与原附表2中的同期货款的负提相比,每月少交6.27 元.一共n>60〔10年〕,, 同理可得,月均还款69.24,总还款16617.6,总利息6617.6,与原来比,每月省11.69元,共省2805.6元.解设不改造设备,按原条件生产,n 个月累计收入为a(n),改造设备后生产,n个月累计收入为b(n).由条于是101=b(1)=a+b+c204=b(2)=4a+2b+c309=b(3)=9a+3b+c方程组,得到a=1, b=100, c=0 于是简单计算可以发现,5个月内投资不能见效.这是由于b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11],b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] , (n>5),, 化简得时时,经过9个月投资才可见效.题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差.因此寻找人口增长规律时不需要,也不应吻合.数据中20世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律时,不必要考虑20世纪以前的数据资料,在20世纪人口增长速度是逐渐变快的,因此用直线变化〔匀速的；做为人口增长的模型,一般可以使用指数关系 ,其中N(t) 为t 时人口数,a,r 为式取对数可得它是关于t 的线性模型,这里 ln为以e底的对数.利用1930~199 8.33,r=0.0162,(亿) (1930≤t≤1999)的拟合效果为〔人口单位：亿〕代1930 1960 1974 1987 1999数20 30 40 50 60数19.49 31.70 39.78 49.11 56.61,可用于预报.t)=100 ,可求出t=2030.84 ,故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将到达100亿,而于2100年解下面给出一个简单的解法,但它是较粗糙的,不过也实用.满意,可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的局部是一样的.礼者居高a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的局部高度为b 米.意,每列从第一个人到最后一个人〔第95人〕有94个间空,列长192米,那么每列相邻二人平均间距约单起见,不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米,那么一、二排间距为 x米,那么〔米〕解我们给出如下的方法：00人中任取64人,把他们的血样混合化验〔一般地,n 个人中有k 个病人,令s 使,那么从人一组,当n=1000 ,k=10 时,这64人混合血样合格〔化验是阴性〕,那么这64个人正常,可排除,无需再化验,再从剩下未化验的人中.这64人混合血样不合格〔化验呈阳性〕,说明这64人中有病人.把这64个人,分为两组,每组32人.一组的混合血化验,即可确定有病人的一组.〔即只需化验一次,假设化验的这组血样成阴性,那么病人在样成阳性,这组有病人,但此时,另一组也可能有病人〕.作为最坏的可能情形,我们无法保证另一组的32人的一组后,把另一组人退回到未化验的人群中去.病人的这组32人,再分为两组,每组16人,重复上述过程.即化验一次,确定有病人的一组,把另一组退回下去,直到找到一个病人为止.至此一共化验了7次.未化验的人中任取64人重复上述过程.,对每次64人混合血化验成阳性的,通过7次化验可找到1个病人,由于共有10个病人,因此,这样的情形 次.对每次64人混合血化验成阴性的,由于1000=15×64+40 ,化验次数不超过15次.的化验次数不超过70+15=85次.。

第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）我们常常会发现在商店里买同一种商品，大包装的比小包装的合算。

如某种品牌的牙膏，质量30克的每支2.50元/支，质量120克的每支8.50元。

如果不考虑运输成本，假设一支牙膏的价格=（牙膏的生产成本＋包装成本）（1＋固定比例的商业利润率），而生产成本与商品的重量成正比，包装成本与商品包装的表面积成正比，商业的固定利润率为20%。

（1）分析下面的结果有何不妥：设220克牙膏的合理价格为x 元，于是有220120120308.508.50 2.50x −−=−−解得：x =15.17（元）（2）请你给出一种方式，计算出一支220克的这种牙膏的合理价格.（3）给出该商品的单位质量的价格C 与质量M 的关系，说明当M 增加时C 会减少。

（4）到市场上做一个调查，对照（2）中的方式，看看是否符合实际，若不符合，请给出适当的分析。

解：（1）问题在于，求解用的是线性模型，价格11152y x =+，其中x 是牙膏的质量（克）。

这样把牙膏的生产成本和包装成本等同地看成了x 的一次函数，随着x 的增加而等幅度的增加。

这与题目中“包装成本与商品包装的表面积成正比”不符合。

（2）可以将不同规格但同种的商品外包装看作是相似的，由题设，商品的价格=1.2×（牙膏的生产成本＋包装成本）；又，生产成本∝商品的质量M ，包装成本∝商品的表面积S ，商品的体积V ∝M 。

于是S ∝23V ∝23M 。

可设：合理价格y =a ×M +b ×23M ，其中a ，b 是待定系数。

由同种商品的两种规格的已知价格可定出a ，b ，于是解方程组23233030 2.501201208.50a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得a ≈0.05，b ≈0.1，于是y =0.05×M +0.1×23M 。

取M =220时得：y =14.64(元)，这是我们所要的结果，也就是220克的同种牙膏售价14.64元。