高中数学知识点题库 096通项

第16讲数列的通项6种常见题型总结【题型目录】题型一：已知()n f S n =，求n a 题型二：叠加法（累加法）求通项题型三：叠乘法（累乘法）求通项题型四：构造法求通项题型五：已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【典型例题】题型一：已知()n f S n =，求na 【例1】已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且121n n S +=-，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．2n n a =B ．3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【答案】B【分析】当2n ≥时，由1n n n a S S -=-求出2n n a =；当1n =时，由11a S =求出1a ；即可求解.【详解】当2n ≥时，121n n S -=-，1112212n n nn n n a S S +---+=-==；当1n =时，1111213a S +==-=，不符合2n n a =，则3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足123235n a a a na n ++++= ，求{}n a 的通项公式．【题型专练】1.已知数列{}n a 的前n 项和是2320522nS n =-+，(1)求数列的通项公式n a ；(2)求数列{||}n a 的前n 项和.2．（2022·浙江·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则51a a -=______.【答案】7【分析】将1n =代入根据11a S =可得出答案；当2n ≥时由1n n n a S S -=-，求出5a ，从而可得出答案.【详解】当1n =时，21112110a S ==-⨯+=；当2n ≥时，()()22121121123n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦-=-=.所以52537a =⨯-=，所以51707a a -=-=.故答案为：73．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（）A ．21n -B ．21n +C ．2nD ．121n +-【答案】C 【解析】【分析】当1n =时，求1a ，当2n ≥时，由题意得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，可求得n a ，即可求解.【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得，1112n n a -=，即12n n a -=，综上，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=- ，故选：C.题型二：叠加法（累加法）求通项【例1】在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021【例2】已知数列{}n a 满足1=2a ，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（）A．290B．325C．362D．399【例4】已知数列{}n a 满足11a =-，()*12N n n a a n n a a +-=∈，则9a =______．【例5】已知数列{}n a 中，11a =，39a =，1{}n n a a +-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12log n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得2022n T 成立的最小整数n .【答案】(1)2n a n =；(2)使得2022≥n T 成立的最小整数n 为101121-.【分析】（1）根据等差数列的定义求出2a ，从而可求出{}1n n a a +-的通项，再利用累加法求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ，解不等式2022≥n T 求n 的范围，确定满足条件的最小整数.【题型专练】1．若1=1a ，12nn n a a n +-=-，*n ∈N ，则=n a _________．2．数列{}n a 满足1122n n na a a -==-，，则=n a _____．3．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)21n a n n =-+(2)证明见解析【分析】（1）运用累加法即可求出{}n a 的通项公式；（2）运用裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为12n n a a n +-=，11a =，4．已知数列{}n a 满足：12a =，21a =，2145n n n a a a +++=（*n ∈N ）．(1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．5．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，24S =，对任意的*N n ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足*11(N )n n c c n a a +-=∈，11c =，求数列{}n c 的通项公式；题型三：叠乘法（累乘法）求通项【例1】已知数列{}n a 满足12n n a na n +=+，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式是（）A ．2(1)n a n n =+B ．1(1)n a n n =+C ．1n a n=D ．12n n a +=【例2】在数列{}n a 中，1=1a ，22a =，2n n a n+=，则12233420222023a a a a a a a a ++++= （）A ．20202021⨯B ．20212022⨯C ．20222023⨯D ．20232024⨯【例3】已知数列{}n a 满足()4(21)1N n n S n a n *=++∈，则n a =___________．【例4】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知112a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1nn n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T .【例5】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()21N n n S n a n *=+∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)对于任意的正整数n ，21,2,n n n n a n a a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【例6】在数列{}n a 中，11a =，且2n ≥，1231231n n a a a a a n -++++=- .(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1n b a a =，且数列{}n b 的前项n 和为n S ，证明：3n S <.【题型专练】1．数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =⋅（2n ≥，n 为正整数），且11a =，则n a =______．2．数列{}n a 满足：11a =，()()*12312312,N n n a a a a n a n n -=++++-≥∈ ，则通项n a =________．3．设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈，且1+≠n n a a ，求数列{}n a 的通项公式_________4．已知数列{}n a 满足：12a =，12n n n a a n ++=，求数列{}n a 的通项公式.5．已知数列{}n a 中，11a =，()121n n a a n n -=≥-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求13523n a a a a +++++ .【答案】(1)n a n =，1n ≥；(2)244n n ++.【分析】（1）利用累乘法求出2n ≥时n a n =，通过验证11a =也满足n a n =，从而求出通项公式为n a n =，1n ≥；（2）根据第一问得到数列{}n a 为等差数列，进而利用等差数列求和公式进行求解.6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，2n n S n a =．(1)求2a ，3a ；(2)求{}n a 的通项公式．【例1】已知数列{}n a 中，114,46n n a a a +==-，则n a 等于（）A ．2122n ++B ．2122n +-C ．2122n -+D ．2122n --【例2】若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（）A ．2020231⋅+B ．2020321⋅-C ．2020321⋅+D ．2021321⋅-【例3】（多选题）已知数列{}n a 满足132a =，16nn n a a +=+，则下列结论中错误的有（）A ．113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为11321n -⋅-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为213nn --【例4】（多选题）已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)221n a +=，则关于数列{}n a 的说法正确的是()A ．27a =B ．{}n a 是递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列【例5】在①121n n a a +=+；②122n n S n +=-+；③24n n S a n =-+三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1=1a ，_____.(1)求n a ；(2)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.【例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222(N )n n n S a n +*=-+∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设4nn na b =，若123n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．【题型专练】1.（多选题）数列{}n a 的首项为1，且121n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．37a =B ．数列{}1n a +是等比数列C ．21n a n =-D ．121n n S n +=--【答案】AB【分析】根据题意可得()1121n n a a ++=+，从而可得数列{}1n a +是等比数列，从而可求得数列{}n a 的通项，再根据分组求和法即可求出n S ，即可得出答案.2．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则数列{}1n n a a +的前n 项和为______．3．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，则{}n a 通项n a =______；4．已知数列{}n a 满足24a =，113n n n n a a a a ++-=.求数列{}n a 的通项公式;5．已知数列{}n a 的前n 项和23n n S a n =+-，求{}n a 的通项公式．【答案】121n n a -=+，*n ∈N .【分析】根据12,n n n n a S S -≥=-，构造等比数列即可.【详解】23n n S a n =+-．①当1n =时，11213=+-a a ，可得12a =，当2n ≥时，()11213--=+--n n S a n ，②①－②得121n n a a -=-，则()1121n n a a --=-，而111a -=不为零，故{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，则112n n a --=，∴数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，*n ∈N ．6．设数列{}n a 满足12a =，()1212n n a a n -=-≥.（1）设1n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求满足1036n S ≤的n 的最大值.7．已知正项数列{}n a 满足11a =，且11n n n n a a a a ++-=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记22nn a b n =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：12n S <．8．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.(1)求数列{}1n a +的前5项；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)前5项依次为2,4,8,16,32；(2)122n n S n +=--.【分析】（1）由题设112(1)n n a a ++=+，根据等比数列的定义写出{}1n a +的通项公式，即可得前5项；（2）应用分组求和，结合等比数列前n 项和公式求n S .(1)由题设112(1)n n a a ++=+，而112a +=，9．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1231n n a b n ++=+，1231n n a b n ++=+，则n n a b -=______，n n a b +=______．【答案】2n2n【分析】由题设有112()n n n n a b a b ++-=-，根据等比数列的定义判断{}n n a b -为等比数列，进而写出通项公式，令n n n c a b =+则12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，结合已知{2}n c n -是常数列，即可得{}n n a b +的通项公式.【详解】由题设，11(2)(2)0n n n n a b a b +++-+=，则112()n n n n a b a b ++-=-，而112a b -=，所以{}n n a b -是首项、公比均为2的等比数列，故2nn n a b -=，11(2)(2)62n n n n a b a b n +++++=+，则112()()62n n n n a b a b n +++++=+，令n n n c a b =+，则1262n n c c n ++=+，故12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，而111220c a b -=+-=，所以{2}n c n -是常数列，且20n c n -=，则2n n n c a b n =+=.故答案为：2n ，2n .题型五：已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且122n n a S +=+N n *∈（），则下列说法中错误．．的是（）A ．112a =B ．4792S =C ．{}n a 是等比数列D ．{}1n S +是等比数列【例2】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列{}n a 的前n 项和为()*N 33n n S a n =+∈，则数列{}n a 的通项公式是n a =___________.所以{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，故1(2)n n a -=-.故答案为：1(2)n --【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2na n a ⋅的前n 项和.【例4】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21N n n S n a n =+∈.(1)求证:数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例5】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①()21,0n n n S n a a =+>；②22,0n n n n a a S a +=>；()2n a n ≥中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=1a ，_____________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)[]x 表示不超过x 的最大整数，记[]lg n n b a =，求{}n b 的前100项和100T .【题型专练】1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1202n n n a S S n -+=≥.求n a 和n S .3．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()11,2,3,n a n =+=⋅⋅⋅.求{}n a 的通项公式.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*21N n n a S n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：11132a a a +++<L .5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S =，121n n a S +=+．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若12log n b a =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，131n n S S +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31log n n b a +=，若数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <.。

高二数学数列的通项公式题库数列是数学中重要的概念之一，它在高中数学中也占据着重要的地位。

数列的通项公式是指可以通过一个公式来表示数列中每一项的数值的规律。

掌握数列的通项公式对于解决数列相关的问题至关重要。

本文将为大家提供一份高二数学数列的通项公式题库，帮助大家巩固和提升对数列通项公式的理解和应用能力。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

在等差数列中，通项公式的形式为An = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

下面是一些关于等差数列通项公式的题目：1. 求等差数列2，5，8，11，...的第n项通项公式。

2. 已知等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的值。

3. 若等差数列的前三项分别是5，8，11，则该数列的公差是多少？4. 若等差数列的前n项和为100，首项为2，公差为3，求n的值。

5. 求等差数列4，1，-2，-5，...的第n项通项公式。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

在等比数列中，通项公式的形式为An = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

下面是一些关于等比数列通项公式的题目：1. 求等比数列1，2，4，8，...的第n项通项公式。

2. 已知等比数列的首项是2，公比是3，求第4项的值。

3. 若等比数列的前三项分别是3，6，12，则该数列的公比是多少？4. 若等比数列的前n项和为80，首项为5，公比为2，求n的值。

5. 求等比数列0.5，1，2，4，...的第n项通项公式。

三、斐波那契数列斐波那契数列是指该数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

在斐波那契数列中，通项公式的形式为An = An-1 + An-2，其中A1和A2为已知值。

下面是一些关于斐波那契数列的题目：1. 求斐波那契数列的通项公式。

2. 求斐波那契数列的第n项的值。

3. 求斐波那契数列的前n项和。

4. 若斐波那契数列的第5项是8，第6项是13，求第7项的值。

数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝1，n ≥2；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k=-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤1)1)11n n n n n n n n n +=<<=-+++-(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

第4讲：数列求通项(重点题型方法与技巧)目录类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a 角度2：将题意中的n a 用1n n S S --替换 角度3：已知等式中左侧含有：1ni i i a b =∑类型二：累加法 类型三：累乘法 类型四：构造法 类型五：倒数法类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a典型例题例题1．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式； 【答案】(1)2n n a =由22n n S a =-，得1122S a =-，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=， ∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴{}n a 的通项公式为2n n a =．例题2．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()()22210n n S n n S n n -+--+=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； 【答案】(1)2n a n =n，则数列2)2)n 可得S 为公差的等差数列，)(1221n =1114043⎛++-20224045. ·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列(2,n n ≥∈()1n ++- 【详解】由题意得：()111n a a n +=++-，()11n n a -++-②，()()112,n n a n +=+≥434=，…，1n n a n a -=，时，1a 不满足3na n++=3na n++=，11n a n -++=-123n -=⋅，23n n a n -=⋅23n n -++⋅(22)3n n ++-⋅)121333n -+++-3(12)3n n n ⋅=-⋅-． ·黑龙江·双鸭山一中高二开学考试）已知数列(31n +++(31n +++(1332n⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ na a n++=n a a n ++=11n a n -++=-1n a n =，当，2121a a=满足上式，，因此数列{}n a n是常数列，即2n =. 2n a na ++=2n a na ++=12n a -++=，212n a -++=②，()121n n a +--221,2a a a =适合上式，所以数列12n -.2n n a ++=2n n a ++=11n n a --++=两式相减得：2n n n na =，故*N 时，n a 2log n a a +)()22462n n +++++1222n n n +=++-.济南市历城第二中学模拟预测）在数列{项和为n S ，且22=-n n S b ．12n n a a -⋅⋅=时也成立 2-，即1b =12--n b ④()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】1n n a a +-2时，n a -121=-，a ，，以上各式相加得：)[]1212(1)n n -++-+++-)[]2122212(1)n n -++++-+++-12(1) 2122n n n n --=--=也适合上式， ()*1)N 2n -∈． (1)2n n --．(21n ++-·四川广安·高一期末（理））已知数列的通项公式；1-37722a a ==累加得：7822a a -++=82252a a =+故选：D武功县普集高级中学高二阶段练习）已知数列(23)n ++-符合上式，∴n b =弥勒市一中高二阶段练习）的通项公式；(1)3a 是3S 与23121a a q S a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(2)由（1）得：20222023a a ++B ．2021【详解】由已知，数列{}n a ，1n a n +=123121a a =，213313n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅(1)1)21(2121n n n n +⋅⋅==+⋅-⋅⋅，1n +，即21)(N )n a n ++⋅+∈，420222023a a a ++2022(2404420222023⨯++==⨯2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列________________. 2n ⋅a11211341n n a n a n --⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+， 1)+.(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-n S ①)113n n a S --=，②)()(1132n n n n n a a na n a n +-=⇒=+13a 也满足上式，()12n na n +∴=+(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-同类题型归类练高三专题练习）已知数列{}n a 满足a1(452221144414n n n aa a ---⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=1a ，∴1(1)(26)4n n n a --=．取得最小值，最小值为3642--=. 211S S S ⨯⨯⨯6543⨯⨯⨯⨯成立，(1321221212353···121,232531a a n n a n n a a n n --⋅⋅⋅=⋅⨯⨯=-≥--满足上式，的通项公式为21n a n =-．类型四：构造法典型例题【详解】14n a a +=24,2-=所以数列1224n -=⨯．（2022·全国·高二课时练习）已知数列145(2)n a +4 【答案】C【详解】解：由题意可知，112(++=12n a +=145(2)n a +145(21n -2(2)45460n -，即(2n +246n ，因为C ．1132n -+++11133213n n --+++=+-（2022·全国·高二期中）n S =___________. 23n - 132+--n设实数λ满足113n a +++·全国·高三专题练习）已知数列123n ++-·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列___________.。

数列通项总结一、累加法（逐差相减法）1、d a a n n +=+1（d 为常数），等差数列2、)(1n f a a n n +=+，变形为)(1n f a a n n =-+，前提)1()1(-++n f f 可求⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--=--=----)1()2()1(12211f a a n f a a n f a a n n n n 这1-n 个等式累加得:)1()2()1(1-+++=-n f f f a a n 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

例2：已知数列1}{1=a a n 中，且k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+， 3,2,1=k （1）求53,a a （2）求}{n a 的通项公式. 二、累积法（逐商相乘法）1、n n qa a =+1（q 为常数），等比数列2、n n a n f a )(1=+，变形为)(1n f a a nn =+，前提)1()2()1(-⨯⨯⨯n f f f 可求 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=---)1()2()1(12211f a a n f a a n f a a n n n n这1-n 个等式累乘得: )1()2()1(1-⨯⨯⨯=n f f f a a n例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

三、公式法1(2)n n n a S S n -=-≥，)1(11≥-=++n S S a n n n例1：已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

解：由11a S ==111(1)(2)6a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n n a S S ++=-=1111(1)(2)(1)(2)66n n n n a a a a ++++-++得11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=从而{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n a }的通项为n a =2+3(n-1)=3n-1. 例2：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 四、待定系数法1、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

高中数学通项公式题型通项公式是高中数学中的一个重要知识点，它是一种能够推算出数列每一项的公式。

在考试中通项公式题型常常出现，因此学生需要熟练掌握解题方法。

一、等差数列通项公式等差数列是一种每一项之间差相同的数列，其通项公式为：$a_n = a_1 +(n-1)d$其中，$a_n$ 表示第 n 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。

例如，某等差数列的首项为 3，公差为 2，求第 10 项，可以使用通项公式：$a_{10} = 3 + (10-1) \times 2 = 21$二、等比数列通项公式等比数列是一种每一项之间比值相同的数列，其通项公式为：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$其中，$a_n$ 表示第 n 项，$a_1$ 表示首项，$q$ 表示公比，$n$ 表示项数。

例如，某等比数列的首项为 3，公比为 2，求第 5 项，可以使用通项公式：$a_5 = 3 \times 2^{5-1} = 48$三、等差数列前 n 项和公式等差数列前 n 项和公式为：$S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$其中，$S_n$ 表示前 n 项的和，$a_1$ 表示首项，$a_n$ 表示第 n 项，$n$ 表示项数。

例如，某等差数列的首项为 2，公差为 3，求前 4 项的和，可以使用前n 项和公式：$S_4 = \dfrac{4}{2}(2 + 2+3\times (4-1)) = 20$四、等比数列前 n 项和公式等比数列前 n 项和公式为：$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$其中，$S_n$ 表示前 n 项的和，$a_1$ 表示首项，$q$ 表示公比，$n$ 表示项数。

例如，某等比数列的首项为 2，公比为 3，求前 3 项的和，可以使用前n 项和公式：$S_3 = \dfrac{2(1-3^3)}{1-3}=-26$。

等比数列的通项及前n 项和性质7大题型总结【考点分析】考点一：等比数列的基本概念及公式①等比数列的定义：q a a n n =-1（或者q a ann =+1）．②等比数列的通项公式：m n m n n q a q a a --⋅=⋅=11．③等比中项：若三个数a ，A ，b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且有ab A =2（Aba A =）．④等比数列的前n 项和公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1111)1(111q q q a a qqa q na S n nn 考点二：等比数列的性质①通项下标和性质：在等比数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，则q p n m a a a a ⋅=⋅．特别地，当t n m 2=+时，则2t n m a a a =⋅．②等比数列通项的性质：11-=n n qa a ，所以等比数列的通项为指数型函数．③等比数列前n 项和的常用性质：()qaq q a q q a S n n n -+--=--=1111111，即r kq S n n +=，其中0=+r k 【题型目录】题型一：等比数列的基本运算题型二：等比中项及性质题型三：等比数列通项下标的性质及应用题型四：等比数列前n 项片段和的性质及应用题型五：等比数列前n 项和的特点题型六：等比数列的单调性题型七：等比数列新文化试题【典型例题】题型一：等比数列的基本运算【例1】在各项为正的递增等比数列{}n a 中，1261356421a a a a a a =++=，，则n a =（）A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯【例2】数列{}n a 中，12,m n m n a a a a +==，若177121022k k k a a a ++++++=- ，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．17所以1111772222k k ++-=-，故6k =.故选：B​.【例3】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且133520,5a a a a +=+=，则使得121n a a a < 成立的正整数n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【例4】各项为正数且公比为q 的等比数列{}n a 中，2a ，32a ，1a 成等差数列，则54a 的值为（）A B C D 【例5】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，3520a a +=，2664a a =，则6S =（）A ．31B ．36C ．48D ．63【例6】若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．【例7】已知等比数列{}n a ：1-，2，4-，8，…，若取此数列的偶数项246,,a a a ，…组成新的数列{}n b ，则8b 等于（）A ．102B ．102-C ．152D ．82【答案】C【分析】由题可得()12n n a -=--，进而即得.【详解】由题可得()()11122n n n a --=-⨯-=--，所以()151516822a b =--==.故选：C.【例8】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且3698S S =，则5S =（）A ．31B ．3116C ．31或5D ．3116或5【例9】已知数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（）A ．21n -B ．12n -C ．122n -D ．2n 【答案】C【分析】将21n n a a +=两边同时取常用对数，即可得数列{}lg n a 是以lg 2为首项，2为公比的等比数列，从而求得数列{}n a 的通项公式.【例10】已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a 14a =，则122n m n+++的最小值为（）A ．118+B ．2615C ．74D ．2815【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m nm n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B【例11】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且29a =，3136S a -=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例12】已知等差数列{}n a 的前n 项和为510,9,100n S a S ==.(1)求{}n a 的通项n a ；(2)设数列{}n b 满足：{}2,n an n b b =的前n 项和为n T ，求使200n T <成立的最大正整数n 的值.【答案】(1)21n a n =-；(2)4.【分析】（1）利用1,a d 表示题干条件，求解即可得解；（2）先证明{}n b 是等比数列，利用等比数列求和公式求解n T ，解不等式即可.（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又5109,100a S ==，【题型专练】1.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误的是（）A ．=2q B ．数列{}+2n S 是等比数列C ．数列{}lg n a 是公差为2等差数列D ．8510S =2．已知数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +=⋅，*N n ∈，则下列说法正确的是（）A ．22a =B ．434a a -=C ．{}2n a 是等比数列D ．12122n n n a a +-+=3.（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列{}n a 中，若存在两项,(,N*)m n a a m n ∈，使得14a =，且3212a a a =+，则19m n+的最小值为（）A ．114B ．83C ．103D ．1454．（2022·全国·模拟预测（文））设{}n a 是等比数列，且123a a +=，236+=a a ，则56a a +=（）A ．12B ．24C ．32D ．48【答案】D【分析】根据{}n a 是等比数列，且满足123a a +=，236+=a a ，计算出其通项公式n a ，然后代入56a a +计算即可.【详解】{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则由123a a +=，236+=a a 得：121232(1)3(1)6a a a q a a a q +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，12n n a -\=，45562248a a ∴+=+=.故选：D.5．（2022·山东泰安·三模）已知数列{}n a 满足：对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则20a =（）A ．203B ．153C ．103D ．53【答案】C 【解析】【分析】由递推关系判断数列{}n a 为等比数列，再由等比数列通项公式求20a .【详解】因为对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，所以112a a a =，11n n a a a +=，又23a =，所以1a =，所以11n na a a +=，所以数列{}n a 是首项为1a ，公比为1a 的等比数列，所以()()1111n nn a a a a -=⋅=，所以()2010201=3a a =，故选：C.6．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______.7.已知等比数列{}n a 的公比1q >，4a a +=，3a =2n a =___________.8.设等比数列{}n a 的前n 项各为n S ，已知11a =，23S =，则3S =___________.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a a +=，244a a +=，则5S =______．10．已知在正项等比数列{}n a 中1323,,22a a a 成等差数列，则20222021a a =+__________．故答案为：9.11．正项等比数列{}n a 中,1=1a ,534a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .【答案】(1)12n n a -=，(2)=6m 【分析】(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.根据534a a =列方程,解出q 即可得出结果.(2)由(1)的结果可求出n S ,将63m S =代入求解即可.（1）设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =或=2q ,{}n a 为正项等比数列,所以=2q .故12n n a -=.（2）由(1)得=2q ,∴则21n n S =-. 63m S =,∴264m =,解得=6m .12．已知公比小于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若100n n S a >，求n 的最小值．题型二：等比中项及性质【例1】三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（）A ．49B ．36C ．4D ．1【答案】D【分析】设原来的三个数为9、9d +、92d +，根据题意可得出关于d 的等式，解出d 的值，即可得解.【详解】设原来的三个数为9、9d +、92d +，由题意可知，19a =，211a d =+，3292a d =+，且2213a a a =，所以，()()2119229d d +=+，即241400d d +-=，解得10d =或14-.则3a 的所有取值中的最小值是292141-⨯=.故选：D.【例2】若a ，b ，c 为实数，数列1,,,,25--a b c 是等比数列，则b 的值为（）A ．5B ．5-C ．5±D ．13-【答案】B【分析】根据等比数列的性质求得b 的值.【详解】设等比数列的公比为q ，所以()210b q =-⋅<，根据等比数列的性质可知()()212525b =-⨯-=，解得5b =-.故选：B【例3】已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（）A ．6-B ．4-C ．8-D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列，所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+，解得26a =-，故选：A【例4】已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211220221,1a a a a a a <> ，则（）A ．20221a >B ．当2021n =时，12n a a a 最小C ．当1011n =时，12n a a a 最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=【例5】设2log3，lg x，81log2三个数成等比数列，则实数x=______．【例6】已知公差不为0的等差数列{}n a中，11a=，4a是2a和8a的等比中项.(1)求数列{}n a的通项公式：(2)保持数列{}n a中各项先后顺序不变，在k a与1(1,2,)ka k+= 之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b，记{}n b的前n项和为n T，求20T的值.【答案】(1)n a n=，(2)2101【分析】（1）设数列{}n a的公差为d，根据等比中项列出方程求得d即可得到通项公式.（2）由题意计算出k a在{}n b中对应的项数，然后利用分组求和即可.（1）设数列{}n a的公差为d，因为4a是2a和8a的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d=⋅⇒+=++且11a=则1d=或0d=（舍）【题型专练】11-1+的等比中项是（）A B ．C ．D ．2±2.若四个正数a b c d ,,,成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，是b 和c 的等比中项，则x 和的大小关系为（）A ．x y >B ．x y≥C ．x y<D ．x y≤3.若不为1的正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当1x >时，log a x ，log b x ，log c x （）．A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列4.已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______．5.已知等差数列{}n a 的公差为3-，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则15a =__________.【答案】30-【分析】将1a 和公差代入等式，求解1a ，写出通项公式n a ，代入15n =，可求出结果.【详解】解：因为3a 是1a 和4a 的等比中项，且公差为3-，所以21111(6)(9)12a a a a -=-⇒=，所以1515330n a n a =-⇒=-.故答案为：30-.6.已知1,,4a --成等差数列，1,,4b --成等比数列，则ab =____________.又由1,,4b --成等比数列，可得2(1)(4)4b =-⨯-=，解得2b =±，所以5ab =±.故答案为：5±.7.若依次成等差数列的三个实数a ，b ，c 之和为12，而a ，b ，2c +又依次成等比数列，则a ＝______．【答案】2或8【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】由题意可得2212(2)b a c a b c b a c =+⎧⎪++=⎨⎪=+⎩，整理得210160a a -+=，解得2a =或8a =，故答案为：2或88.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A ．1132B ．1114C ．1102D ．10【答案】B【解析】不妨设插入两个正数为,a b ，即3,,,9a b ∵3,,a b 成等比数列，则23a b=,,9a b 成等差数列，则92a b+=即2392a b a b ⎧=⎨+=⎩，解得92274a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33a b =-⎧⎨=⎩（舍去）则4511144a b +==故选：B ．题型三：等比数列通项下标的性质及应用【例1】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1bb a a +-⋅的值是（）A ．B ．1-C ．D3【例2】已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则10a =（）A ．1或8B ．1-或8C ．1或8-D ．1-或8-【例3】设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a ⋅= ，那么36930a a a a = （）A ．102B ．202C ．162D ．152【答案】B【分析】根据等比数列的性质，设14728A a a a a = ，25829B a a a a = ，36930C a a a a = ，则A ，B ，C 成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案【详解】设14728A a a a a = ，25829B a a a a = ，36930C a a a a = ，则A ，B ，C 成等比数列，公比为10102q =，且2B A C =⋅,由条件得302A B C ⋅⋅=，所以3302B =，所以102B =，所以102022C B =⋅=.故选：B【例4】等比数列{}n a 满足*0,n a n N >∈且23233(2)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，logn a-+++=1221L （）A ．(21)2n n -B ．()222n n-C ．22n D ．22n n-【例5】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，11168313225a a a a a a ++=，则113a a 的最大值是__．【例6】已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记n n a a a T 21=，则使得1n T >的最小正数n 为（）A ．36B ．35C ．34D ．33【例7】在正项等比数列{}n a 中，44a =，则（）A ．358a a +≥B ．3514a a +的最小值为1C ．2611242aa-⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 4【答案】AB【分析】AB 选项，先根据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，【例8】在等比数列{}n a 中，1234516a a a a a ++++=，314a =，则a a a a a ++++=______．【题型专练】1.已知递增等比数列{}n a ，10a >，2464a a =，1534a a +=，则6a =（）A ．8B ．16C ．32D ．642.在等比数列{}n a 中，472a a +=，298a a =-，则110a a +=（）A ．5B ．7C ．－5D ．－7当4724a a =-⎧⎨=⎩时，解得1312a q =⎧⎨=-⎩，()1039111112187a a a q a =+=+⨯-=-=-+；故选：D3.等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______【答案】5【解析】利用等比数列下标和的性质可知22243465,a a a a a a ==，再进行化简即可求解出结果.【详解】2435462a a a a a a ++ ()222335535225a a a a a a =++=+=，又 等比数列{}n a 中，0n a >，355a a ∴+=，故答案为：5．【点睛】本题考查等比数列下标和性质的运用，难度一般.已知{}n a 是等比数列，若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.4.若等比数列{}n a 中的5a ，2019a 是方程2430x x -+=的两个根，则31323332023log log log log a a a a ++++ 等于（）A ．20243B ．1011C．20232D ．10125.已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足11a >，2021202210a a ->，2021202201a <-，则（）A ．1q >B ．2020202210a a -<C ．2021T 的值是n T 中最大的D ．使1n T <成立的最小正整数n 的值为40426.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552b =，则99B =()A ．512B ．32C ．8D ．2【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a = ,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项.7.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若16113a a a π++=，1598b b b =，则（）A ．1111S π=B ．210461sin2a ab b +=C ．3783a a a π++=D ．374b b +≥8.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且210101013101110122e a a a a ⋅+⋅=，则122022ln ln ln a a a +++= ___________.【答案】2022【分析】根据等比数列的性质化简得到210111012e a a =，由对数的运算即可求解.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以210101013101110121011101222e a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，即210111012e a a ⋅=，所以()1011202212202212202210111012ln ln ln ln ln 2022a a a a a a a a lne ++⋅⋅⋅+====故答案为：20228.在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a ==∑___________.【答案】9【解析】先由35727a a a =，利用性质计算出53a =，然后利用对数的运算性质计算931log i i a =∑即可.【详解】∵{}n a 为正项等比数列，∴若m n p q +=+都有m n p qa a a a =∴2192837465==a a a a a a a a a ==又35727a a a =，∴3527,a =即53a =，∴2192837465==9a a a a a a a a a ===∴93333311289log log log log log i i a a a a a =++++=∑ ()()()()31932833734635log log log log log a a a a a a a a a =++++33333log 9log 9log 9log 9log 3=++++=2+2+2+2+1=9故答案为：9【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．题型四：等比数列前n 项片段和的性质及应用【例1】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，110=S ，1330=S ，=40S （）A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【答案】D【分析】由{an }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例2】设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知83=S ，67S =，则789a a a ++等于（）A ．18B ．18-C ．578D ．558【例3】若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22S =46S =+，则78a a +=（）A ．32+B ．32+C ．16+D ．16+【例4】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2-，10S ，20S 成等差数列，则20102S S -=______，3020S S -最小值为______．【答案】28【分析】根据等差中项可求出201022S S -=；利用10S ，1200S S -，3020S S -成等比数列，结合基本不等式可得3020S S -最小值.【详解】因为2-，10S ，20S 成等差数列，所以102022S S =-+，所以201022S S -=，【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）A ．若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++（a ，b ，c 为常数），则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等比数列【答案】BC【分析】由n S 得n a ，进而可判断A 和B ；由等差数列的性质判断C ；举反例判断D.【详解】根据题意，依次分析选项：对于选项A ：因为2n S an bn c =++，11a S a b c ==++，当2n ≥时，()()()221112n n n a S S an bn c a n b n c a n b a -⎡⎤=-=++--+-+=⋅+-⎣⎦，所以()(),12,2n a b c n a a n b a n ⎧++=⎪=⎨⋅+-≥⎪⎩，所以只有当0c =时，数列{}n a 成等差数列，故A 错误；对于选项B ：因为122n n S +=-，112a S ==，当2n ≥时，()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==，符合上式，所以2n n a =，则数列{}n a 成等比数列，故B 正确；对于选项C ：数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，L 是公差为2n d （d 为{}n a 的公差）的等差数列，故C 正确；对于选项D ：令()1nn a =-，则2S ，42S S -，64S S -，L 是常数列0,0,0, ，显然不是等比数列，故D 错误.故选：BC.【题型专练】1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S =，2436S =，则16S =（）A ．24B ．12C ．24或－12D ．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出16S ，再检验即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以8S ，168S S -，2416S S -成等比数列，因为812S =，2436S =，所以()()21616121236S S -=⨯-，解得1624S =或1612S =-，因为816880S S q S -=>，所以160S >，则1624S =．故选：A2.已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）A ．B ．C ．12D ．15【答案】C【分析】利用等比数列的性质可得()()210551510S S S S S -=×-，代入数据即可得到答案【详解】解：由等比数列的性质可得51051510,,S S S S S --也为等比数列，又5153,39S S ==，故可得()()210551510S S S S S -=×-即()()210103339S S -=-，解得1012S =或109S =-，因为等比数列各项为正，所以1012S =，故选：C3.若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（）A ．AB C+=B ．2B AC=C ．()22A B C A B +=+D ．()()A C AB B A -=-S 4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，621S =，则84S =（）A ．83B ．133C ．5D ．75.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若33S =，则3S S =+______.题型五：等比数列前项和的特点【例1】在数列{}n a 中，1n n a ca +=（c 为非零常数），且其前n 项和23n n S k -=+，则实数k 的值为（）A ．1-B ．13-C ．19D ．19-【例2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是A ．4B ．2C ．2-D ．4-【例3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S t +=+，则数列的通项公式n a =______________.【题型专练】1.一个等比数列的前n 项和为(12)2nn S λλ=-+⋅，则λ=（）A ．1-B ．1C ．2D ．32．等比数列{}n a 的前n 项和23nn S m =+⨯，则m =（）A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】A【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】116a S m ==+，当2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以11436m -⨯=+，得2m =-，所以A 正确.故选：A.3．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，1n n S a t +=+，则t =_______.题型六：等比数列的单调性【例1】等比数列满足如下条件：①10a <；②数列{}n a 单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式n a =________.【例2】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“20222023a a <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】D【例3】已知等比数列{}n a ，下列选项能判断{}n a 为递增数列的是()A ．10a >，01q <<B ．10a >，0q <C ．10a <，1q =D ．10a <，01q <<【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列{}n a ，下列说法正确的是（）．A ．当10a >时，1q >B ．当10a >时，0q <C ．当10a <时，01q <<D ．11nn a a +<【答案】AC【题型专练】1.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}n a 为递增数列的充要条件是（）A ．10a >，1q >B ．10a <，01q <<C ．1lg 0a q >D ．1lg 0a q <【答案】C【分析】分析可知0q >，分10a <、10a >两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的q 的取值范围，即可得出结论.【详解】因为11n n a a q -=，若0q <，则数列{}n a 为摆动数列，与题意不符，所以，0q >.①若10a <，则对任意的N n *∈，0n a <，由1n n n a a a q +<=可得1q <，即01q <<；②若10a >，则对任意的N n *∈，0n a >，由1n n n a a a q +<=可得1q >，此时1q >.所以，{}n a 为递增数列的充要条件是10a >，1q >或10a <，01q <<，当10a >，1q >时，lg 0q >，则1lg 0a q >；当10a <，01q <<时，lg 0q <，则1lg 0a q >.因此，数列{}n a 为递增数列的充要条件是1lg 0a q >.故选：C.2.在等比数列{}n a 中，公比是q ，则“1q >”是“()*1N n n a a n +>∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如11a =-，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当11a =-时，则1n n a q -=-，因为1q >，所以1n n q q ->，所以1n n q q --<-，故()*1N n n a a n +<∈，所以1q >不能推出()*1N n n a a n +>∈，当11a =-时，则1n n a q -=-，由()*1N n n a a n +>∈，得1n n q q -->-，则1n n q q -<，所以01q <<，所以()*1N n n a a n +>∈不能推出1q >，所以“1q >”是“()*1N n n a a n +>∈”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ．若{}n a 为递增数列且10a <，则（）A ．1q <-B ．10q -<<C ．01q <<D ．1q >【答案】C【分析】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比q 的范围即可.【详解】由题意，11n n a a q -=，又10a <，∴要使{}n a 为递增数列，则0q >，当01q <<时，{}n a 为递增数列，符合题设；当1q >时，{}n a 为递减数列，符合题设；故选：C.题型七：等比数列新文化试题【例1】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,1 33⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】【分析】利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13，第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29，第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427， ，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=+++=-⎪⎝⎭，由题意可知，24135n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 35n ≤，解得 3.97n =，又n 为整数，所以需要操作的次数n 的最小值为4.故选：A.【例2】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【例3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1 [0,] 3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1 [0, 9，21 [,] 93，27[,] 39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n ⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A【例4】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出40尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的2倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（）A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天因为22()32n f n n n ++=+在0n >上单调递增，当5n =时，7(5)25152168164f =++=>，而6(4)1612292164f =++=<，故2232()164n n n f n +++=≥的解为5,N n n ≥∈,故至少需要5天，故选：D ．【例5】费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为221(n+记做)n F ，其中n 为非负数．费马对0n =，1，2，3，4的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到1732年，数学家欧拉发现52521F =+为合数，宣布费马猜想不成立．数列{}n a 满足()2log 1n n a F =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 满足2020n S >的最小自然数是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【题型专练】1.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（）A ．420只B ．520只C ．20554-只D ．21443-只【答案】B【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n n n a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205故选：B ．2.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第(1,2,3,)n n =⋅⋅⋅个图中的图形的周长为n a ，则5a =（）A ．2569B ．25627C ．51227D ．51281【答案】C【解析】【分析】根据题图规律确定第n 个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长.【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长132a =⨯；第二个图有12条边，各边长为23，故周长22123a =⨯；第三个图有48条边，各边长为29，故周长32489a =⨯；……所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n 个图的边有134n -⋅条，边长是首项为2，公比为13的等比数列，则第n 个图的边长为112(3n -⋅，故4451512342()327a =⨯⨯⨯=.故选：C3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A ．该人第五天走的路程为14里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里4.北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；L ．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（）（参考数据lg 30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】【分析】分析可知“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫ ⎪⎝⎭，L ，“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以要得到一个长度不小于40的分形图，只需满足4403n ⎛⎫ ⎪⎝≥⎭，则4lg lg4012lg23n ≥=+，即()2lg2lg312lg2n -≥+，解得12lg210.60212.82lg2lg30.6020.477n ++≥≈--，所以至少需要13次分形．故选：C.5.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）A．4B．5C．6D．76.毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第n次生长得到的小正方形的个数为na，则数列{}n a的前n项和n S=___________.【答案】122n +-##122n +-+7．（多选题）如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（）A ．37142L π=+B ．31132S π=C ．1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．1212n n n S S π++=-【答案】ABD【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (112122)n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=-...1212n n n S S π---=-，累加可得3521 (2222)n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD。

第三节 数列的基本概念、通项公式、递推公式一． 数列相关基础概念1. 数列的项：数列中的每一个数2. 数列的表示：{}123,,,...,,...,.n n a a a a a n N ∈*简记为，3. 递增数列：后面的每一项都比前一项大，即1,.n n a a n N +>∈*4. 递减数列：后面的每一项都比前一项小，即1,.n n a a n N +<∈*5. 常数列：数列中的每一项都相等，即1=,.n n a a n N +∈*6. 通项公式：数列{}n a 第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子表示，这个式子叫做通项公式，如21,.n a n n N =+∈*递推公式：已知数列的第1项（或前几项），从第二项（或某一项）开始的任意一项n a 与它的前一项-1n a 的关系可以用一个公式表示，此公式叫做递推公式，如+121,.n n a a n N =+∈*二．数列的表示方法1、 通项公式法如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为 ；的通项公式为；的通项公式为 ；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结考点一：已知()n f S n =，求na 利用()()⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a S n nn ，注意一定要验证当1=n 时是否成立【精选例题】【例1】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且121n n S +=-，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．2n n a =B ．3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【答案】B【详解】当2n ≥时，121nn S -=-，1112212n n n n n n a S S +---+=-==；当1n =时，1111213a S +==-=，不符合2n n a =，则3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.故选：B.【例2】定义123nnp p p p +++⋅⋅⋅+为n 个正数123,,,,n p p p p ⋅⋅⋅的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n，则10a 等于（）A ．85B ．90C ．95D ．100【例3】（多选题）定义12n n H n-+++= 为数列{}n a 的“优值”．已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，下列关于数列{}n a 的描述正确的有（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为递增数列C ．2022202520222S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得112222n n n n a a a H n -+++== ，所以112222n nn a a a n -+++=⋅ ，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅ ，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以()32n n n S +=，所以32n S n n +=，故2022202520222S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，2S ，4S ，6S 不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．【例4】设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（）A ．21n -B ．21n +C ．2nD ．121n +-【答案】C【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得，1112n n a -=，即12n n a -=，综上，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=- ，故选：C.【跟踪训练】1.无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2nn S =，则下列结论中正确的有（）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 中存在三项成等差数列D ．{}n a 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2nn S =2n ∴≥，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，11122a S ===，不符合上式，12,1,2,2,n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩所以{}n a 不是等比数列，故A 错误；又122a a ==，所以{}n a 不是递增数列，故B 错误；假设数列{}n a 中存在三项,,r m s a a a 成等差数列，由于122a a ==，则*,,N ,2r m s r m s ∈≤<<，所以得：11122222m r s m r s a a a ---=+⇒⨯=+11222m r s --∴=+，则11122r m s m ----∴=+，又11021s m s m ----≥⇒≥且120r m -->恒成立，故式子11122r m s m ----=+无解，{}n a 中找不到三项成等差数列，故C 错误；21*22(N )n n a n -∴=∈，212(1)21242n n n na a ++-∴=={}2n a ∴是等比数列，即{}n a 中偶数项成等比数列，故D 正确.故选：D ．考点二：叠加法（累加法）求通项若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=-+，则称数列{}n a 为“变差数列”，求变差数列{}n a 的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121≥-+⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n n f f f f a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累加法。