湘教版 作业 逻辑联结词“非” “且”和“或”

逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。

1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”1．理解逻辑联结词“非”、“且”和“或”的含义．2．会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．“非p”命题与“否命题”有什么不同？提示“非p”命题与“否命题”完全不同，前者是对命题结论的否定，后者是既否定条件又否定结论．2．如何区分命题的否定与否命题？提示概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所得到的命题．构成：对于“若p则q”形式的命题，其否定命题为“若p则乛q”，也就是不改变条件，只否定结论；而其否命题则为“若乛p则乛q”，也就是条件和结论都否定．真假：命题的否定的真假与原命题相反；而否命题的真假与原命题无关．1．用逻辑联结词构成新命题(1)设p是一个命题，联结词“非”是对命题p作否定，得到一个新命题，记作“乛p”，读作“非p”或“不是p”．(2)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”，读作“p且q”．(3)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“p或q”．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 乛p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真要点一乛p命题例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.规律方法乛p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写乛p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”．跟踪演练1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集．(4)p：5不是75的约数；解(1) 乛p：y＝sin x不是周期函数．命题p是真命题，乛p是假命题；(2) 乛p：3≥2.命题p是假命题，乛p是真命题；(3) 乛p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，乛p是假命题；(4) 乛p：5是75的约数．命题p是假命题，乛p是真命题．要点二p∧q命题、p∨q命题例2将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：(1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．解(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等．由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．(2)p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分．由于p是真命题，q是真命题，所以p ∧q是真命题．(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数．由于p是假命题，q是真命题，所以p ∧q是假命题．规律方法判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．跟踪演练2指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．(1)(n－1)·n·(n＋1) (n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；(2)函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，并且不等式x2＋x＋2<0无解；解(1)此命题为“p∧q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1) (n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1) (n∈N*)能被3整除．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p∧q”为真命题．(2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中，p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2<0无解．因为p为真命题，q也为真命题，所以“p∧q”为真命题．例3对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．(3)p：π是整数，q：π是分数．解(1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．(2)p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．(3)p∨q：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题．规律方法判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．跟踪演练3分别指出下列命题的形式及命题的真假：(1)相似三角形的面积相等或对应角相等；(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等．因为p假、q真，所以p∨q为真命题．(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为p假、q真，所以命题p∨q是真命题．(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：p ：周长相等的两个三角形全等；q ：面积相等的两个三角形全等用“或”联结后构成的新命题，即p ∨q .因为命题p ，q 都是假命题，所以命题p ∨q 是假命题．要点三 p ∨q 、p ∧q 、乛p 命题的综合应用例4 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“乛q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1. 命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0. 由于⎩⎨⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4. 因为“p ∨q ”与“乛q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．规律方法 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、乛p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，乛p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪演练4 设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x的方程x2＋2x＋log a 32＝0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“乛p∨乛q”也为真，求实数a的取值范围．解当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋log a32＝0无解，所以Δ＝4－4log a32<0，解得1<a<32.由于“p∨q”为真，所以p和q中至少有一个为真，又“乛p∨乛q”也为真，所以乛p和乛q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；p真q假时，a≥32.综上所述，实数a的取值范围是[32，＋∞)．1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sinB”的充要条件，则()A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真答案 D解析命题p假，命题q真．2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．乛q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真 答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数．p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(乛p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(乛p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4答案 C解析 p 1是真命题，则乛p 1为假命题；p 2是假命题，则乛p 2为真命题； ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，∴q 3：(乛p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(乛p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．3．若命题p为真，则“乛p”为假；若p为假，则“乛p”为真，类比集合知识，“乛p”就相当于命题p对应的集合A在全集U中的补集∁U A.因此(乛p)∧p为假，(乛p)∨p为真．4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.。

简单的逻辑联结词【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题． 要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q ∧的真与假．2．与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念． 要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p q ∨的真与假．2．与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念． 3．“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：qp（1）p 成立且q 不成立； （2）p 不成立但q 成立； （3）p 成立且q 也成立．要点三：逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”． 规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题． 要点诠释：1．逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．2．下面是一些常用词的否定：注意：“一定”的否定不是“一定不”． 3．否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p ⌝．如：命题p ： 若1x =，则(1)(1)0x x -+=． 命题p 的否命题：若1x =/，则(1)(1)0x x -+=/． 命题p 的否定p ⌝：若1x =，则(1)(1)0x x -+=/． 4．“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定⇔p ⌝且q ⌝； “p 且q ”的否定⇔p ⌝或q ⌝. 要点四：简单命题与复合命题 1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” “且” “非”构成的命题叫做复合命题． 2. 复合命题的构成形式： （1）p 或q ；记作：p q ∨； （2）p 且q ；记作：p q ∧；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p ⌝. 3.复合命题的真假判断要点诠释：1. 当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题． （1）李明是老师，赵山也是老师； （2）1是合数或质数； （3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或” “且” “非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或” “且” “非”的概念对复合命题进行结构分解. 【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师． （2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1是合数， q ：1是质数． （3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p ： 平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ： 集合A 是A B I 的子集， q ：集合A 是A B U 的子集； （3）p ： 211x +≥， q ：34>． 【答案】（1）p q ∧：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p q ∧：集合A 是A I B 的子集，且是A U B 的子集； （3）p q ∧：211x +≥，且34>．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题 （1）1是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2是偶数也是质数． 【答案】（1）p 或q 的形式，其中p ：1是奇数， q ：1是偶数； （2）非p 的形式， 其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q 的形式，其中p ：2是偶数， q ：2是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或” “且” “非”，若含有，请指出其中p q 、的基本命题． （1）正方形的对角线垂直相等； （2）2是4和6的约数；（3）不等式2560x x -+>的解为32x x ><或； （4）平行四边形的对角线不一定相等. 【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等． （2）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数； q ：2是6的约数． （3）是简单命题，而不是用“或” “且” “非”联结的复合命题； （3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或” “且” “非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分；（3）6是12或18的约数． 【答案】（1）p 且q 的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p（3）p 或q 的形式，其中p ：6是12的约数，q ：6是18的约数． 类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6都是30的约数； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）方程210x x ++=无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q 的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8是30的约数， q ：6是30的约数， ∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分， ∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ： 方程210x x ++=有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q 、非p 的形式的命题并判断真假． （1）p ：平行四边形的一组对边平行， q ：平行四边形的一组对边相等； （2）p ：2{1,3,5,7}∈， q ：2{2,4,6,8}∈； （3）p ：1{12}∈，， q ：{1}⊆{12}，； （4）p ：2{|1}x x ∅=<， q ：∅◊2{|1}x x <； （5）p ：34<， q ：34=． 【答案】（1） p 或q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非p ： 平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2） p 或q ：2{1,3,5,7}∈或2{2,4,6,8}∈，即2{1,2,3,4,5,6,7,8}∈（真命题）；p 且q ：2{1,3,5,7}∈且2{2,4,6,8}∈（假命题）； 非p ： 2{1,3,5,7}∈/（真命题）. （3） p 或q ：1{12}∈，或{1}⊆{12}，（真命题）； p 且q ：1{12}∈，且{1}⊆{12}，（真命题）； 非p ： 1{12}∈/，（假命题）. （4） p 或q ：2{|1}x x ∅=<或∅◊2{|1}x x <，即2{|1}x x ∅⊆< （真命题）；p 且q ：2{|1}x x ∅=<且∅◊2{|1}x x <（假命题）； 非p ： 2{|1}x x ∅=</（真命题）.（5） p 或q ：34<或34=，即34≤（真命题）；p 且q ：34<且34=（假命题）； 非p ： 34</，即34≥（假命题）． 【变式2】已知命题p ：33ß； q ：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假 B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真 C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假 D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假 【答案】D【解析】 p ：33ß，是真命题， q ：3＞4是假命题，根据真值表：p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，所以选D ．【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（ ）A ．命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题B ．命题“p q ∧”为真命题时，命题p 一定是真命题C ．命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命题D ．命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假命题 【答案】B例4. 如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么 （ ） A .命题p 一定是真命题 B .命题q 一定是真命题 C .命题q 一定是假命题D .命题q 可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假. 【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题， ∴p 是假命题，∵“p 且q ”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题， ∴选项为D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（ ） A. p q ，均为假命题 B. p q ，均为真命题C. p q ，中至少有一个为真命题D. p q ，中至多有一个为真命题 【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）p ：若0x ß且0y ß，则0x y +ß． 【解析】(1) p ⌝：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）； (2) p ⌝：若0x ≥且0y ≥，则0x y +<（假命题）； p 的否命题是：若0x <或0y <，则0x y +<（假命题）． 【总结升华】1. “0x ß且0y ß”的否定是“0x <或0y < ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题 “ABC ∆是直角三角形或等腰三角形”的否定是 ； 【答案】ABC ∆既不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：若220x y +=，则x ，y 全为零； （2）p ：若3x =且5y =，则8x y +=． 【答案】(1) p 的否定：若220x y +=，则x ，y 不全为零 （假命题）；p 的否命题：若220x y +=/，则x ，y 不全为零 （真命题）； (2) p 的否定：若3x =且5y =，则8x y +=/ （假命题）； p 的否命题：若3x =/或5y =/，则8x y +=/ （假命题）． 【变式3】 “220x y +=/”是指 （填出符合条件的所有选项） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 至少有一个不是0D ．x ，y 都不是0E ．x ，y 不都是0 【答案】B 、C 、E【解析】220x y +=/是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x ，y 不都是0，0x ≠或0y ≠． 类型四：复合命题的应用例6．已知命题2560p x x +：－ß；命题04q x <<：．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】 由2560x x +－ß得x ≥3或x ≤2． ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4．则{x |x ≥3或x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤0或x ≥4}． ∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根；命题q ：方程244(2)10x +m x+－＝无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ⌝”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根， ∴2m >， ∵方程244(2)10x +m x+－＝无实数根，∴13m << 由条件可知，p 假q 真，。

逻辑联结词“非〞、“且〞和“或〞知识梳理1、联结词“非〞设p是一个命题，非是对命题p作否认。

得到命题“非p〞记为：补集〕。

〔区别：否命题同时否认条件和结论，命题的否认只否认结论〕例如：矩形的对角线相等的否命题不是矩形的对角线不相等。

其命题的否认为矩形的对角线不相等。

2、联结词“且〞联结两个命题p、q得到新命题“p且q〞，记为(交集)3、联结词“或〞联结词“或〞用来联结两个命题p、q得到新命题“p且q〞，记作〔并集〕4、常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题，复合命题的构成形式是：p或q；p且q；“非p〞形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q〞形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q〞形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真。

典例剖析题型一联结词“非〞例1：写出以下命题p的否认。

〔1〕p：π是大于5的实数。

〔2〕p：矩形的对角线互相垂直。

〔3〕p：16不是5的倍数。

题型二联结词“且〞例2：根据以下命题中的p、q，写出命题并判断其真假。

(1)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线互相垂直。

(2)p：函数y=x2在(0,+∞)上单调递增；q：函数y=x2在〔-∞，0〕上单调递减备选题例3：根据以下命题的p、q写出命题“〞，并判断其真假。

：5是集合{2，3，4}中的元素。

q：3是集合{2，3，4}中的元素。

：方程x2+x-1=0有两个正实数根。

q：方程x2+x-1=0有两个负实数根点击双基1、假设命题“〞为假，且“〞为假，那么〔〕A.或为假B.假C.真D.不能判断的真假2、对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，以下说法正确的选项是〔〕且q为假或q为假 C.非p为真 D.非p为假3、假设命题“p或q〞为真，“非p〞为真，那么〔〕真q真假q真真q假假q假4、由命题p：不等式x2+2x-8<0的解集是：{x|-4<x<2}、q：不等式x2+2x-8<0的解集是：{x| x<-4或x> 2}构成的“p或q〞形式的复合命题是.5、假设p：“平行四边形一定是菱形〞，那么“非p〞为.课外作业一、选择1、假设命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.那么以下命题中为真的是〔〕且q或q C.非p D.非p且非q2、“至多有三个〞的否认为〔〕A.至少有三个B.至少有四个C.有三个D.有四个3、如果命题“p且q〞与命题“p或q〞都是假命题，那么〔〕A.命题“非p〞与命题“非q〞的真值不同B.命题p与命题“非q〞的真值相同C.命题q与命题“非p〞的真值相同D.命题“非p且非q〞是真命题4、给出命题:p:3>1,q:4∈{2,3},那么在以下三个复合命题:“p且q〞“p或q〞“非p〞中,真命题的个数为〔〕5、：┓p且q为真，那么以下命题中的假命题是：〔〕①p；②p或q；③p且q；④┓qA.①④B.①②③C.①③④D.②③④6、命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，那么以下命题中为真命题的是〔〕A. B. C. D.7、条件，条件，那么是的〔〕A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、命题假设，那么是的充分而不必要条件；命题函数的定义域是，那么〔〕A.“或〞为假B. “且〞为真C. 真假D.假真二、填空9、命题p：“平行四边形对角线相等〞、q：“平行四边形对角线互相平分〞构成的“p且q〞形式的复合命题是。

逻辑联结词“非”、“且”和“或”
【学习目标】
通过教学实例，了解逻辑联结词“非”、“且”、“或”的含义，能正确地表述相关数学内容。

【学习重点】
1．正确理解逻辑联结词“非”、“且”、“或”的含义。

2．能正确表述这“”、“”、“”这些新命题。

【学习难点】
简洁、准确地表述新命题“”、“”、“”
【学习过程】
一、新知学习
1．逻辑联结词有哪些？它们的定义分别是什么？
2．如何用数学符号表示逻辑联结词？
二、检测练习
1．若命题∧q为假，且为假，则（）
A．∨q为假B．q为假
C．q为真D．不能判断
2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（）
A．简单命题
B．“或q”形式的复合命题
C．“且q”形式的复合命题
D．“非”形式的复合命题
3．对于命题和q，下列结论中正确的是（）
A．真，则∧q一定真
B．假，则∧q不一定假
C．∧q真，则一定真
D．∧q假，则一定假。

2013-2014学年高中数学1.2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”活页训练湘教版选修1-1基础达标（限时20分钟）1．命题“梯形的两对角线不互相平分”的形式为()．A．p或q B．p且qC．非p D．简单命题解析命题“梯形的两对角不线互相平分”是命题“梯形的两对角线互相平分”的否定，故选C.答案 C2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()．A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D3．若p是真命题，q是假命题，则()．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案 D4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________命题．解析5≥5，即5>5或5＝5.答案p∨q真5．由命题p：6是12的约数，命题q：6是24的约数．构成的“p∨q”形式的命题是_________________，“p∧q”形式的命题是_________________，“綈p”形式的命题是__________________．答案6是12或24的约数6是12和24的约数6不是12的约数6．分别写出由下列各组命题构成的p∨q、p∧q、綈p形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N Z.(3)p ∨q ：x 2＋1>x －4或x 2＋1<x －4；p ∧q ：x 2＋1>x －4且x 2＋1<x －4；綈p ：x 2＋1≤x －4.综合提高 （限时25分钟）7．已知命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )．A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2. 可验证各选项中，只有C 正确．答案 C8．已知α1，α2，α3是三个互相平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别交于P 1，P 2，P 3，那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析 如图，过l 上一点作平面α1，α2，α3的垂线，垂足分别为O 1，O 2，O 3，则O 1O 2＝d 1，O 2O 3＝d 2，显然P 1O 1∥P 2O 2∥P 3O 3，∴P 1P 2∶P 2P 3＝d 1∶d 2，∴P 1P 2＝P 2P 3⇔d 1＝d 2.答案 C9．命题p ：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R )的最大值为2，命题q ：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为2.若p ∧q 是真命题，则ω＝________．解析 p ∧q 为真命题，p 为真命题，q 也为真命题，∴2πω＝2，∴ω＝π. 答案 π10．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．解析 对于p ，当a ≥0，b ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.答案 綈p11．已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，若p ∧q 、綈q 同时为假命题，求x 的值． 解 p ：|x 2－x |≥6得x 2－x ≥6或x 2－x ≤－6，由x 2－x ≥6解得{x |x ≥3或x ≤－2}．由x 2－x ≤－6解得x ∈∅.所以p ：{x |x ≥3或x ≤－2}．已知p ∧q 、綈q 同时为假命题，所以p 为假命题，q 为真命题．所以－2<x <3且x ∈Z ，得到x ＝－1，0，1，2.12．(创新拓展)已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12. q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1⇒m ≥1. (2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，0<m <1⇒0<m ≤12. 综上，得m ≥1或0<m ≤12.。

《1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”》教案三维目标知识与技能1．了解含有“且”“或”“非”的命题的含义；2．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系。

过程与方法1．通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。

2．通过学习，体会从特殊到一般的探究性学习方法。

情感态度与价值观通过本节课的学习，体会探索的乐趣，培养学生创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力。

教学重点:通过实例，使学生了解含有“且”“或”“非”的命题的含义，能正确的表述相关的数学内容. 教学难点:复合命题的真假判断，正确的用“且”“或”“非”表述新命题。

教学方法:启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程：【师】复习提问充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断方法并举例之后，让学生思考问题一：下列三个命题之间什么关系（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除。

问题二：下列三个命题之间什么关系（1）27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数。

问题三：下列两个命题之间什么关系 （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除。

【生】问题一中的（3）是（1）（2）之间用词“且”联结起来的；问题二中的（3）是（1）（2）之间用词“或”联结起来的；问题三中的（2）是（1）的否定。

【师】像“且”“或”等词在逻辑学中叫什么，数学中这样的词有哪些？点题，板书课题。

新课学习：1．逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词（logical connectives ）． 不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题．（了解） 我们常用小写拉丁字母,,,p q r 表示命题．问题一中的命题（3）的构成形式为：p 且q ；记做q p ∧ 问题二中的命题（3）的构成形式为：p 或q ；记做q p ∨ 问题三中的命题（2）构成形式为：非p ．记做p ⌝。