逻辑连接词且或非

考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。

逻辑连接词逻辑连接词，也被称为连词、连接词或连接词汇，是用来连接两个句子、短语或单词的词语。

它们在句子中起到连接和衔接关系的作用，使得文章更加连贯和通顺。

在写作中，正确使用逻辑连接词非常重要，可以使句子之间的关系更加明确，使文章结构更加清晰。

下面我将介绍一些常用的逻辑连接词，并给出使用示例。

1. 并列连接词：并列连接词用来连接并列的句子、短语或单词，表示相同、相似或并列的关系。

例如：- 而且（用来连接两个或多个陈述意见或事实的句子）：我喜欢旅行，而且我认为旅行可以增长见识。

- 或者（用来表示选择）：你可以选择去看电影或者去逛商场。

- 并且（用来连接两个相似的陈述或动作）：她努力工作，并且她总是取得好成绩。

2. 递进连接词：递进连接词用来表示递进或增加的关系，表明后面的内容与前面的内容相比更进一步或更加详细。

例如：- 而且（用来表示进一步补充）：他不仅会弹钢琴，而且还会演奏吉他。

- 此外（用来表示另外增加的信息）：我喜欢旅行。

此外，我也喜欢尝试不同的美食。

- 而且还（用来进一步增加信息）：这座城市不仅风景优美，而且还有许多历史名胜古迹。

3. 转折连接词：转折连接词用来表示转折或对比的关系，表明后面的内容与前面的内容相比有所不同。

例如：- 但是（用来表示转折）：我很喜欢运动，但是我不太擅长游泳。

- 然而（用来表示转折或对比）：他刚开始很有信心，然而最后还是失败了。

- 尽管（用来表示让步）：尽管下雨了，但是我们还是决定去露营。

4. 因果连接词：因果连接词用来表示因果关系，表明前面的内容是后面内容的原因或结果。

例如：- 因为（用来表示原因）：我昨天没有上课，因为我生病了。

- 所以（用来表示结果）：她努力学习，所以她考试取得了好成绩。

- 由于（用来表示原因）：由于天气不好，比赛被取消了。

5. 条件连接词：条件连接词用来表示条件关系，表明后面的内容是前面内容的条件。

例如：- 如果（用来表示假设或条件）：如果你明天有时间，我们可以一起去看电影。

二元逻辑连接词在中国，作为一个文学传统丰富的国家，语言是我们最重要的工具之一。

在日常生活中，我们经常使用逻辑连接词，并将它们应用到我们的语言中。

这些连接词可以用于连接单个单词，短语或者句子，从而为我们提供更加清晰和连贯的语言表达。

以下是一些常用的中文二元逻辑连接词。

1. 不仅...而且（bù jǐn...ér qiě） - 表示两个事物并存，用于加强语句中的语气。

例如：这位艺术家不仅在音乐上很出色，而且在绘画方面也有很高的才华。

2. 无论...还是（wú lùn...hái shì） - 表示两个或多个选项不重要，可以任选其一。

例如：无论你选择去看电影还是做运动，我都会支持你。

3. 虽然...但是（suī rán...dàn shì） - 表示一种让步关系，用于表达对一个现象或事实的承认，并对其进行转折或反驳。

例如：虽然这件事让我很难过，但是我不会放弃我的梦想。

4. 既然...就（jì rán...jiù） - 表示某种前提条件，意为“如果…，那么就…”。

例如：既然你已经买了机票，那么就来探望我吧。

5. 或者...或者（huò zhě...huò zhě） - 表示两个或多个选项之间的“或”的关系。

例如：你可以选择在家里看电影，或者到电影院观看大银幕。

以上是一些常用的中文二元逻辑连接词，它们能够帮助我们在语言表达中更好地传递信息，使得文章、讲话等等更加高效和有条理。

学习和掌握这些连接词，对提升我们的写作水平和语言表达能力非常有帮助。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作┑p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________2．若命题p：x∈A∩B，则非p是________________3．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)4．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．5．下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．． 探究点二 全称(存在性)命题及真假判断 例2 判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.变式迁移2若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．探究点三 全称命题与存在性命题的否定 例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取例 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3≤0，则綈p为________．2．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．3．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．6．命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．7．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．二、解答题9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0∈∅，q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5，q：27不是质数．10．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．11．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p 或q为真，p且q为假，求m的取值范围．。

1.3简单的逻辑联结词一、教学目标 【核心素养】培养学生的数学抽象，构建基本的数学逻辑体系． 【学习目标】（1）通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； （2）能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容； （3）知道命题的否定与否命题的区别． 【学习重点】逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； 【学习难点】逻辑联结词“或”的含义； 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1：阅读教材P 14—P 17,，思考：“或”“且”“非”的含义 任务2：“p ∧q ”、“p ∨q ”、“非p ”形式命题的真假如何判断 2．预习自测1．已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∨ C ．p q ∧ D ．()()p q ⌝∧⌝ 答案：B解析：由已知得命题p 是真命题，命题q ⌝是真命题，所以命题q 是假命题，根据复合命题的真假判断p q ∨是真命题，其他选项都是假命题，故选B ． 考点：复合命题真假的判断．2．已知命题:p 若π6α=，则1sin 2α=；命题:q 若1sin 2α=，则π6α=．下面四个结论中正确的是（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是真命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是假命题 答案：B解析：由题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以p q ∨是真命题，故选B ．考点：复合命题的真假判断． 3．下列说法错误的是（ ）A ．若命题“p q ∧”为真命题，则“p q ∨”为真命题B ．若命题“p q ⌝∨”为假命题，则“p q ∧⌝”为真命题C ．命题“若a b >，则22ac bc >”的否命题为真命题D ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 答案：D解析：对于A ：若“p q ∧”为真命题，则p ，q 都是真命题，所以“p q ∨”为真命题，故A 正确； 对于B ：若“p q ⌝∨”为假命题，则,p q ⌝都是假命题，∴p 是真命题，q ⌝是真命题，所以“p q ∧⌝”为真命题，故B 正确；对于C ：“若a b >，则22ac bc >”的否命题为“若a b ≤，则22ac bc ≤”，∵c 2≥0，∴由a b ≤可得到22ac bc ≤，故C 正确；对于D ：命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”，方程20x x m +-=有实数根只需1140,,4m m ∆=+≥≥-所以不一定得到0m >，所以D 错．故选D ．（二）课堂设计1．知识回顾（1）学生自己写两个命题p，q，并判断其真假．（2）再将两个命题用“或、且、非”联结，能否判断真假？2．问题探究问题探究一：逻辑连接词观察与思考:想一想：从串联电路A B C之间的一些关系，我们能得到什么样的启示？阅读与举例：请大家阅读教材中P14所举例的例子，并试着举一些类似的命题．探究：考察下列命题:（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3不是有理数；想一想：这些命题的构成各有什么特点？1．逻辑连结词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2．三种命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示命题1．用联结词“且（and）”联结命题p和命题q，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．2．用联结词“或(or)”联结命题p和命题q，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．3．对一个命题p全盘否定(not)，就得到一个新命题，记作__________，读作_________或__________．问题探究二：三种命题真假判断1．“p且q”形式的复合命题真假：2．“p或q”形式的复合命题真假：3．“非p”形式的复合命题真假：3．课堂总结【知识梳理】1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．“p∧q”“p∨q”“非p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“¬p”命题的真假．【重难点突破】含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q 为假．（一真必真）(2)p∧q：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q 为假．（一假必假）(3)非p：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真（真假相反）4．随堂检测1．“xy≠0”是指（）A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0解析：【知识点：逻辑联结词】答案：A2．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3∉{1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：【知识点：逻辑联结词】①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C．3．若条件p：x∈A∩B，则¬p是（）A．x∈A且x∉BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈A∪B答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，四种命题】由p：x∈A∩B，得p：x∈A且x∈B，∴¬p是x∉A或x∉B．4．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．¬q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案：C解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】因周期T＝2π2＝π，故p为假命题．因函数y=cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题，所以p∧q为假．5．已知P：2＋2＝5，Q：3＞2，则下列判断正确的是（）A．“P∨Q”为假，“¬Q”为假B．“P∨Q”为真，“¬Q”为假C．“P∧Q”为假，“¬P”为假D．“P∧Q”为真，“P∨Q”为假答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】由题意可知，P假、Q真，所以P或Q为真，P且Q为假，非Q为假，非P为真，故选B．（三）课后作业★基础型自主突破1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．⌝p是真命题D．⌝q是真命题答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则（）A．p∨q为假命题B．q为假命题C．q为真命题D．(¬p)∧(¬q)为真命题答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】p∧(¬q)为真命题，故¬q为真命题，所以q为假命题．3．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】“p或q”的否定是：“¬p且¬q”是真命题，则¬p、¬q都是真命题，故p、q都是假命题．4．命题p：2不是质数，命题q：2是无理数，在命题“p∧q”、“p∨q”、“¬p”、“¬q”中，假命题是__________________，真命题是__________________．答案：“p∧q”“¬q”；“p∨q”“¬p”解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】因为命题p假，命题q真，所以命题“p∧q”假，命题“p∨q”真，“¬p”真，“¬q”假．5．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z．若“p∧q”，“¬q”都是假命题，则x的值组成的集合为_____________．答案：{－1,0,1,2}解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎨⎧ x 2－x <6x ∈Z ，即⎩⎨⎧－2<x <3x ∈Z，因此x 的值可以是－1,0,1,2． 6．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题． 其中正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】 答案：A“非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题⇒p 与q 均为真命题． 7．分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：6<6，q ：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分；(3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点，q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解； (4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数． 答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】(1)∵p 为假命题，q 为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． 8．写出下列命题的否定： (1)若a >b >0，则1a <1b ；(2)a 、b ∈N ，若ab 可被5整除，则a 、b 中至少有一个能被5整除；(3)若x2－x－2＝0，则x≠－1且x≠2．答案：见解析解析：【知识点：命题的否定】(1)若a>b>0，若1a≥1b．(2)正方形的四条边不全相等．(2)a、b∈N，若ab可以被5整除，则a、b都不能被5整除；(3)若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2．★★能力型师生共研9．已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∧qD．p∧(¬q)答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵p为真命题，q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题，故选D．10．已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x ＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是（）A．(9，＋∞)B．{0}C．(－∞，9]D．(0,9]解析：【知识点：逻辑联结词，充分必要条件】答案：C11．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真 答案：C解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．12．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．(⌝p )∨q B ．p ∧q C ．(⌝p )∧(⌝q ) D ．(⌝p )∨(⌝q ) 答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以(¬p )∨(¬q )为真命题．13．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是（ ）A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题 答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．14．已知命题p ：函数f (x )＝|lg x |为偶函数，q ：函数g (x )＝lg|x |为奇函数，由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“¬p ”形式的新命题中，真命题是________________． 解析：【知识点：逻辑联结词，命题的否定，命题真假的判断】答案：¬p函数f (x )＝|lg x |为非奇非偶函数，g (x )＝lg|x |为偶函数，故命题p 和q 均为假命题，从而只有“¬p ”为真命题．15．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2) ⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0．又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3．由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3． 所以q 为真时，2<x ≤3． 若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为¬p 是¬q 的充分不必要条件，所以A ⊆B ．所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2．所以实数a 的取值范围是(1,2]．16．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断，一元二次方程解的讨论】 由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2．又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2．∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2．∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2．∵命题“p∨q”为假命题，a>2，或a<－2．∴a>2或a<－2．即a的取值范围为{a|}★★★探究型多维突破17．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．(¬p)∧(¬q)D．p∨(¬q)解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】答案：A取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．18．在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两球员各投篮一次．设命题p：“甲球员投篮命中”；q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员投中”可表示为（）A．p∨qB．p∧(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∨(¬q)解析：【知识点：逻辑联结词，命题的否定】答案：A至少有一名球员投中为p∨q．19．已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax ＋1>0对x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵函数y＝a x在R上单调递增，∴a>1，∴p ：a >1．∵不等式x 2－ax ＋1>0时x ∈R 恒成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2． ∴q ：0<a <2．又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥2，∴a ≥2．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤10<a <2，∴0<a ≤1，综上可知，实数a 的取值范围是(0,1]∪[2，＋∞)20．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2，则⎩⎨⎧ Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2．若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0．解得1<m <3，即q ：1<m <3． ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真．∴⎩⎨⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2． ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．（四）自助餐1．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是（ ）A ．p 假q 假B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真D ．p 假q 真答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对．答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．3．已知命题p、q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断,充分必要条件】p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/p∧q为真．4．命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是（）A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】答案：B当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1．当q真时a2-a>0,解得a<0或a>1．∵p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,∴p,q 中一真一假．(1)当p 真q 假时,得0≤a ≤1．(2)当p 假q 真时得a>1,由(1)(2)得所求a 的取值范围是a ≥0．故选B ．5．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真答案：C【知识点：逻辑联结词,命题真假判断】y ＝log a (ax ＋2a )＝log a a (x ＋2)＝1＋log a (x ＋2)，当x ＝－1时，log a (x ＋2)＝0， ∴函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象过定点(－1,1)，故p 真；如果函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则函数y ＝f (x －3)的图象关于点(6,0)对称，故q 假，∴选C ．6．p ：函数f (x )＝lg x ＋1有零点；q ：存在α、β，使sin(α－β)＝sin α－sin β，在p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0，∴p 真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，∴q 真，故p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假，¬q 为假．7．分别用“p ∧q ”、“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是__________________形式；(2)命题“5小于或等于7”是__________________形式；(3)命题“正数或0的平方根是实数”是__________________形式．答案： p ∧q ；p ∨q ；p ∨q解析：【知识点：逻辑联结词】8．设命题p ：a 2<a ，命题q ：对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1>0，命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围是__________________．答案：－12<a ≤0或12≤a <1解析：【知识点：逻辑联结词】由a 2<a 得0<a <1，∴p ：0<a <1；由x 2＋4ax ＋1>0恒成立知Δ＝16a 2－4<0，∴－12<a <12，∴q ：－12<a <12，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，p 假q 真时，－12<a ≤0，p 真q 假时，12≤a <1，∴实数a 的取值范围是－12<a ≤0或12≤a <1．9．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中为真命题是__________________． 解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】答案：p ∨q ，¬p∴∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真；∵x －2x －1≤0⇔⎩⎨⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0⇔1<x ≤2．∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假．10．已知命题p ：1x －1<1，命题q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________________．答案：(－∞，－2)解析：【知识点：逻辑联结词,充分必要条件】命题p ：1x －1<1，∴x >2或x <1． 命题q ：x 2＋(a －1)x －a >0，∴(x ＋a )(x －1)>0．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．∴－a >2，∴a <－2．11．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0． 所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2．所以命题q ：a <2． ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎨⎧ －2<a <2a ≥2，此不等式组无解． (2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．12．已知p ：|3x －4|>2；q ：1x 2－x －2>0；r ：(x －a )(x －a －1)<0． (1)¬p 是¬q 的什么条件；(2)若¬r 是¬p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词,充分必要条件】(1)p ：|3x －4|>2⇒x >2或x <23，q ：1x 2－x －2>0⇒x >2或x <－1， ¬p ：23≤x ≤2，¬q ：－1≤x ≤2，∴¬p ⇒¬q ，¬q ⇒/ ¬p ，∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．(2)r ：a <x <a ＋1，¬r ：x ≥a ＋1或x ≤a ．∵¬r 是¬p 的必要不充分条件，∴a ≥2或a ＋1≤23，即a ≥2或a ≤－13．数学视野建立逻辑的语言，使逻辑学象数学那样也有一套完美的、通用的符号，其思想也可以追溯到莱布尼茨．他认为，我们可以建立一种普遍的、没有歧义的语言，通过这种语言，就可以把推理转变为演算．一旦发生争论，我们只要坐下来，拿出纸和笔算一算就行了．这里，他实际上提出了数理逻辑的两个基本思想：构造形式语言和建立演算．但是，对于他所设想的语言，他要求：“它能这样地形成和排列符号，使得它能表达一些思想，或者说使得它们之间具有和这些思想之间的关系相同的关系．一个表达式是一些符号的组合，这些符号能表象被表示的事物，表达式的规律如下：如果被表示的那个事物的观念是由一些事物的一些观念组成的，那么那个事物的表达式也是由这些事物的符号组成的．”（张家龙，第46-47 页）莱布尼茨的这些论述，实际上就是要将逻辑形式化．不过莱布尼茨没有实现他的两个设想．1879年，逻辑学家弗雷格发表了名著的《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》．在这本书中，弗雷格借鉴了两种语言，一种是传统逻辑使用的语言，另一种是算术的语言．从而成功地构造了一种逻辑的形式语言，即：一种表意的符号语言，并且用这种语言建立了一个一阶谓词演算系统，实现了莱布尼茨提出建立一种普遍语言的思想．其实，在莱布尼茨之前，从亚里士多德开始，对逻辑学的研究所使用的语言就是一种半形式化的语言．这种半形式化的语言就是用字母表达一般概念．。

数学逻辑连接词数学逻辑连接词：因为、所以、当且仅当、若、或者、不然、只要、除非、无论、即使因为数学逻辑连接词的存在，我们能够清晰地表达数学推理中的关系、条件和结论。

这些逻辑连接词不仅能帮助我们建立论证的逻辑链条，还能使我们的数学论述更加准确和严谨。

因为是一个常用的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用因为时，通常是为了引述已知条件或前提。

例如，在证明一个几何问题时，我们可以说：“因为三角形ABC是等边三角形，所以它的三条边相等。

”所以是一个表示推理结果的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用所以时，通常是为了得出结论或推理的结果。

例如，在证明一个数学定理时，我们可以说：“已知a=b且b=c，所以a=c。

”当且仅当是一个表示充分必要条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用当且仅当时，通常是为了表达两个条件是等价的。

例如，在判断一个数是偶数的充分必要条件时，我们可以说：“一个整数是偶数当且仅当它能被2整除。

”若是一个用于表示条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用若时，通常是为了表达一个条件或假设。

例如，在证明一个数学命题时，我们可以说：“若n是一个质数，则n不能被任何小于n的正整数整除。

”或者是一个表示选择关系的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用或者时，通常是为了表达两个或多个条件中的至少一个成立。

例如，在判断一个方程有解时，我们可以说：“方程x^2-3x+2=0有解，或者方程x^2-5x+6=0有解。

”不然是一个表示否定关系的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用不然时，通常是为了表达一个条件的否定。

例如，在证明一个数学猜想时，我们可以说：“如果存在一个正整数n，使得n^2+1是一个完全平方数，那么这个猜想是错误的。

”只要是一个表示充分条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用只要时，通常是为了表达一个条件的充分性。

例如，在判断一个数是质数的充分条件时，我们可以说：“只要一个整数n不能被任何小于n的正整数整除，那么n是一个质数。