1.4逻辑联结词“非”、“且”和“或”

逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析]p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案]x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值X 围．[答案]m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立， 故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值X 围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析]∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析]q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·某某师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析]p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值X 围是________．[答案]m ≤－2或－1<m <2[解析]p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值X 围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值X 围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数a 的取值X 围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析]ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意． 当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值X 围是(－10,0)∪[2,4)．。

1．2简单的逻辑联结词1．2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”设p是一个命题,用联结词“非”对命题p作全盘否定,得到新命题,记作綈p,读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p,q联结起来,得到新命题,记作p∧q,读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p,q联结起来,得到新命题,记作p∨q,读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”,“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同,前者是对命题的结论否定,后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s,则t”,则綈p：若s,则綈t,否命题：若綈s,则綈t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定,并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答] (1)3＋4>6是一个简单命题,“>”的否定即是“≤”,所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题,故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题,其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式,所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题,故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题,故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”,如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家,由于p是假命题,故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外,要注意改变原命题的真假,一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”,“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”,“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题,并判断它们的真假．(1)若a,b都是奇数,则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．解：原命题的否定：(1)若a,b都是奇数,则a＋b不是偶数,为假命题．(2)全等三角形不是相似三角形,为假命题．原命题的否命题：(1)若a,b不都是奇数,则a＋b不是偶函数,为假命题．(2)不全等的三角形不是相似三角形,为假命题．逻辑联结词“且”对下列各组命题,利用逻辑联结词“且”构造新命题,并判断它们的真假．(1)p：12是3的倍数,q：12是4的倍数；(2)p：π>3,q：π<2；(3)p：x≠0,则xy≠0,q：y≠0,则xy≠0.[自主解答] (1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”,是真命题．(2)p∧q：“π大于3且小于2”,是假命题．(3)p∧q：“x≠0,则xy≠0,且y≠0,则xy≠0”,是假命题．逻辑联结词“且”联结的是两个命题,若两个命题具有相同的条件,则联结后可以省略一个条件,而用“且”联结两个结论；若两个命题的条件不同,但结论相同,则不可以用“且”联结两个条件而省略一个结论(注：在不改变命题真假性的前提下,可以用),要完整地写出两个命题,用“且”联结．2．用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假．(1)24既是8的倍数,又是9的倍数；(2)y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数；(3)函数y＝sin x不仅是奇函数,还是周期函数．解：(1)命题“24既是8的倍数,又是9的倍数”可以改写为“24是8的倍数且是9的倍数”,因为“24是9的倍数”是假命题,所以这个命题是假命题．(2)命题“y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数”可以改写为“y＝x＋1是单调增函数且y＝x3是单调增函数”．因为“y＝x＋1是单调增函数”与“y＝x3是单调增函数”都是真命题,所以这个命题是真命题．(3)命题“函数y＝sin x不仅是奇函数,还是周期函数”可以改写为“函数y＝sin x是奇函数且是周期函数”．因为“函数y＝sin x是奇函数”与“函数y＝sin x是周期函数”都是真命题,所以这个命题是真命题．逻辑联结词“或”对下列各组命题,利用逻辑联结词“或”构造新命题,并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0,q：负数的平方大于0；(2)p：4＞5,q：4＜5；(3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1,q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2.[自主解答] (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”,即“非零实数的平方大于0”,是真命题．(2)p∨q：“4＞5或4＜5”,即“4≠5”,是真命题；(3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”,是假命题．p∨q形式的命题与p∧q形式的命题不同的是：两命题的条件相同时,p∧q形式的命题可以省去一个条件,而p∨q形式的命题则不可以(注：在不改变命题真假性的前提下,可以用)；两命题的结论相同时,p ∧q形式的命题有时不能用“且”联结两个条件,而p∨q形式的命题却可以．3．判断下列命题的真假．(1)4≥4；(2)仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形．解：(1)命题“4≥4”的含义是“4>4或4＝4”,其中“4＝4”是真命题,所以“4≥4”是真命题．(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“p∨q”形式的命题,其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形,q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．因为p真q假,所以p∨q为真,故原命题是真命题．解题高手妙解题什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围．[巧思] 因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,故p和q必有一真一假．因此可先求出p,q为真命题时a的取值范围,然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围．[妙解] 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅,所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解不等式得：－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数,则有a＋1>1,所以a>0.又p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p,q必是一真一假．当p真q假时有－3<a≤0,当p假q真时有a≥1.综上所述,a的取值范围是(－3,0]∪[1,＋∞)．1．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x,y至少有一个不为0 D．不都是零解析：xy≠0是指“x≠0,且y≠0”．答案：A2．若命题p：x∈A∩B,则綈p为( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：“x∈A∩B”是指“x∈A,且x∈B”,故綈p：x∉A或x∉B.答案：B3．(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0,ln(x＋1)>0；命题q：若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：当x>0时,x＋1>1,因此ln(x＋1)>0,即p为真命题；取a＝1,b＝－2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题．由复合命题的真假性,知B为真命题．答案：B4．已知命题p：6是12的约数,q：6是24的约数,则p∧q是________,p∨q是________,綈p是________．解析：p∧q：6是12和24的约数；p∨q：6是12或24的约数；綈p：6不是12的约数．答案：6是12和24的约数6是12或24的约数6不是12的约数5．命题p：0不是自然数,命题q：2是无理数,则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命题是________,假命题是____________．解析：显然p为假命题,q是真命题,故“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,“非p”为真命题,“非q”为假命题．答案：p或q, 非p p且q,非q6．对命题p：1是集合{x|x2<a}中的元素；q：2是集合{x|x2<a}中的元素,则a为何值时,“p或q”为真？a为何值时,“p且q”为真？解：若p为真,则1∈{x|x2<a},所以12<a,即a>1；若q 为真,则2∈{x|x 2<a},即a>4. 若“p 或q”为真,则a>1或a>4,即a>1； 若“p 且q”为真,则a>1且a>4,即a>4.一、选择题1．“p∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ∨q 为假命题,则p,q 均为假命题,故p ∨q 为假命题⇒綈p 为真命题,但綈p 为真命题 p ∨q为假命题．答案：A2．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上,q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上,则使命题p ∧q 为真命题的一个点P(x,y)是( )A ．(0,－3)B ．(1,2)C ．(1,－1)D ．(－1,1)解析：因为p ∧q 为真命题,所以p,q 均为真命题,即点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x ＋2的交点,故有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C.答案：C3．已知全集U ＝R,A ⊆U,B ⊆U,如果命题p ：3∈(A ∪B),则命题“綈p”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A)∩(∁U B) C.3∈∁U BD.3∉(A∩B)解析：由p ：3∈(A ∪B),可知綈p ：3∉(A ∪B), 即3∈∁U (A ∪B),而∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． 答案：B4．下列各组命题中,满足“p 或q”为真,且“非p”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中,若cos 2A ＝cos 2B,则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．p ：a ＋b≥2ab(a,b ∈R)；q ：不等式|x|>x 的解集为(－∞,0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M(0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：A 中,p,q 均为假命题,故“p 或q”为假,排除A ；B 中,由在△ABC 中,cos 2A ＝cos 2B,得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B,即(sin A ＋sin B)(sin A －sin B)＝0,所以A －B ＝0,故p 为真,从而“非p”为假,排除B ；C 中,p 为假,从而“非p”为真,q 为真,从而“p 或q”为真；D 中,p 为真,故“非p”为假,排除D.故选C.答案：C 二、填空题5．命题“若abc ＝0,则a,b,c 中至少有一个为零”的否定为：________,否命题为：________. 解析：否定形式：若abc ＝0,则a,b,c 全不为零． 否命题：若abc ≠0,则a,b,c 全不为零．答案：若abc ＝0,则a,b,c 全不为零 若abc≠0,则a,b,c 全不为零6．已知命题p ：x≤1,命题q ：1x ＜1,则綈p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)．解析：p ：x≤1⇒綈p ：x ＞1⇒1x ＜1,但1x ＜1x ＞1.∴綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－ba ,命题q ：关于x 的不等式(x －a)(x －b)＜0的解集为{x|a ＜x ＜b},则“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p,q 均为假命题,所以“p∨q”“p∧q”为假命题,“綈p”为真命题． 答案：綈p8．已知条件p ：(x ＋1)2>4,条件q ：x>a,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：由綈p 是綈q 的充分而不必要条件,可知綈p ⇒綈q,但綈q 綈p,又一个命题与它的逆否命题等价,可知q ⇒p,但pq,又p ：x>1或x<－3,可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1},所以a≥1.答案：[1,＋∞) 三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p 且q”“非p”形式的复合命题,并判断真假． (1)p ：1是质数,q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线一定相等,q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z,q ：0∈N.解：(1)因为p 假q 真,所以p 或q ：1是质数或1是方程x 2＋2x －3＝0的根,为真命题；p 且q ：1是质数且1是方程x 2＋2x －3＝0的根,为假命题；非p ：1不是质数,为真命题．(2)因为p 假q 假,所以p 或q ：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直,为假命题；p 且q ：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直,为假命题；非p ：平行四边形的对角线不一定相等,为真命题．(3)因为p 真q 真,所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N,为真命题；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N,为真命题；非p ：NZ,为假命题．10．设命题p ：函数f(x)＝log a x(a>0,且a≠1)在(0,＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a32＝0(a>0,且a≠1)的解集只有一个子集．若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时,应有a>1. 当命题q 是真命题时,关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解,所以Δ＝4－4log a 32<0,解得1<a<32.由于p ∨q 为真,则p 和q 中至少有一个为真, 又p ∧q 为假,则p 和q 中至少有一个为假, 所以p 和q 中一真一假, 当p 假q 真时,有⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1<a<32，不存在符合条件的实数a ； 当p 真q 假时,有⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a≤1或a ≥32，解得a≥32,综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

第一章 1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”一、选择题1．若p 是真A ．p 且q 是真C ．非p 是真[答案] D[解析] 本题主要考查逻辑联结词．利用2．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cosx 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．非q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真[答案] C[解析] 本题考查对“p 且q”真假判定：全真为真，一假则假．3．下列A ．方程x 2－x ＋2＝0的两根是－2,1B ．方程x 2＋x ＋1＝0没有实根C ．2n －1(n ∈Z)是奇数D ．a 2＋b 2≥0(a，b ∈R)[答案] D[解析] A 选项中－2,1都不是方程的根；B 选项不是“p 或q”的形式；C 选项也不是“p 或q”的形式；D 选项中a 2＋b 2≥0由a 2＋b 2>0或a 2＋b 2＝0构成，且是真4．如果A ．B ．C ．D ．[答案] D[解析] “p 或q”为真，“p 且q”为假，则p 、q 一个真一个假，故5．已知p 与q 是两个①只有当②只有当③只有当④只有当其中真A ．③B ．②和③C ．②和④D ．③和④ [答案] B[解析] 利用“p 或q”与“p 且q”真假表判断．6．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p 且q”为真A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) [答案] C[解析] 由题意知点P(x ，y)的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3y ＝－x 2，验证各选项知，只有C 成立．二、填空题7．分别用“p 或q”、“p 且q”、“非p”填空：(1)(2)(3)[答案] (1)p 且q (2)p 或q (3)非p8．已知命题p ：函数f(x)＝log 0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k<0，则函数h(x)＝k x在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是________________．①③[答案] ②③[解析] 由3－x>0，得x<3，所以又由k<0，易知函数h(x)＝k x在(0，＋∞)上是增函数，所以 综上可知三、解答题9．分别指出由下列各组(1)p ：2＋2＝5，q ：3>2；(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数；(3)p ：∅，q ：∅＝{0}．[解析] (1)p 假q 真故“p 且q”为假，“p 或q”为真，“非p”为真(2)p 假q 假故“p 且q”为假，“p 或q”为假，“非p”为真(3)p 真q 假故“p 且q”为假，“p 或q”为真，“非p”为假．10．指出下列(1)(2)(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”；(4)[解析] (1)此(2)此(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：2∈Q；q：2∈R，因(4)此一、选择题1．已知A．(非p)或q B．p且qC．(非p)或(非q) D．(非p)且(非q)[答案] C[解析] 本题考查非p为假2．A．假命题B．真命题C．与D．与[答案] B[解析] 由题意可知，“p且r”是真3．已知则在A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[答案] C[解析] 本小题考查了p1是真∴q1：p1或p2是真∴q3：(非p1)或p2为假∴真4．已知A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2}C ．{a|a≥1}D ．{a|－2≤a≤1}[答案] A [解析] “p 且q”为真，即p 、q 同为真．对于二、填空题5．已知[答案] 方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝2且方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝3 假命题方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝2或方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝3 假命题[解析] ∵p ：方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝2，q ：方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝3，∴p 且q ：方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝2且方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝3，为假p 或q ：方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝2或方程x 2－5x ＋6＝0的根是x ＝3，为假 6．已知命题p ：函数f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：关于x 的不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果[答案] 1≤a≤2[解析] 因为f(x)＝lg(ax 2－x ＋116a)的定义域为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝1－14a 2＜0，即a ＞2.因为2x ＋1＜1＋ax(x ＞0)⇒a ＞2x ＋1－1x ⇒a ＞22x ＋1＋1恒成立，又因为x ＞0，所以22x ＋1＋1＜1，解得a≥1.因为命题“p 或q”为真命题，命题“p 且q”为假命题，所以p ，q 中一个为真一个为假．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2，a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ a≤2，a≥1解得1≤a≤2.三、解答题7．写出下列(1)a 、b 、c 都相等；(2)任何三角形的外角都至少有两个钝角；(3)(x －2)(x ＋5)>0.[解析] (1)a 、b 、c 不都相等，也就是说a 、b 、c 中至少有两个不相等．(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．(3)因为(x －2)(x ＋5)>0表示x<－5或x>2，所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.另解：(x －2)(x ＋5)>0的否定是(x －2)(x ＋5)≤0，即－5≤x≤2.8．设有两个[解析] 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4＜0.解这个不等式得：－3＜a ＜1.对于q ：f(x)＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1＞1，所以a ＞0.又p 且q 为假当p 真q 假时有－3＜a≤0，当p 假q 真时a≥1.综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．。

1．4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。

3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。

4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或. 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。

5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙插
入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路。