数学人教版八年级上册分式方程的应用工程问题

工程问题公式：1、工作效率×工作时间=工作总量2、画表格分析例1、为了改善生态环境，防止水土流失，我校组织初二所有同学们去荒坡上种植1000棵树。

后来有了初三的学长和学姐们支援，每天比原计划多种25%,结果提前5天完成任务。

求原计划每天种多少棵树？1、网购成为现代人最热的购物方式，同时带动了快递业的发展节奏。

一间快递公司升级了包裹分拣的设备后，平均每人每天比原来要多分拣50件包裹，搞得现在分拣600件包裹所需的时间与原来分拣450件包裹所需时间相同，求现在平均每人每天分拣多少件包裹？2、师傅和徒弟加工同一种零件，师傅比徒弟每小时多加工30个，师傅加工900个零件的时间和徒弟加工600个零件的时间相同。

求师傅和徒弟每小时分别能加工多少个零件？3、小明是学校图书馆A书库的志愿者，小伟是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库读者当天归还图书的整理工作。

已知某天图书馆A书库恰好有120册图书需整理，B书库恰好有80册图书需整理，小明每小时整理图书的数量是小伟每小时整理图书数量的1.2倍。

他们同时开始工作，结果小伟比小明提前15分钟完成工作。

求小明和小伟每小时分别可以整理多少册图书？4、服装厂设计了一款新式冬装，想尽快制作8700件投入市场。

现在有A、B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共同完成了3300件后，B车间出现故障，剩下的全部由A车间单独完成，结果前后共用20天完成。

求A、B两车间每天分别能加工多少件？5、甲、乙两个工程队合做一项工程，需要16天完成。

现在两队合做9天，甲队因有其他任务调走，乙队再做21天完成任务。

求甲、乙两队独做各需几天完成任务？。

第2课时 分式方程的实际应用——工程问题教师备课 素材示例●复习导入 1．解方程：(1)1－x －32x ＋2＝3x x ＋1；(2)2x －1＝4x 2－1. 【答案】(1)x ＝1；(2)原方程无实数根．2．列方程解应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．3．工程问题等量关系式：工作总量＝__工作效率×工作时间__．4．(1)一件工作，甲单独做需要3 h 完成，乙单独做需要4 h 完成，则甲的工作效率为__13__，乙的工作效率为__14__，则甲乙合作__1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14__h 完成；(2)一件工作，甲单独做需a h 完成，乙单独做需要b h 完成，则甲的工作效率为__1a __，乙的工作效率为__1b __，则甲乙合作__1÷⎝ ⎛⎭1a ＋1b __h 完成．【教学与建议】教学：通过复习导入课题，激发学生对本节课的学习兴趣．建议：通过回顾与思考，加深对分式方程及工程问题步骤的认识．●情景导入 1．列方程解应用题的一般步骤是什么？这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题同样适用．2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．求乙队单独完成需要的时间．(1)工程问题最基本的等量关系式是：工作总量＝__工作效率×工作时间__；(2)本题的等量关系式是__甲工作总量＋乙工作总量＝1__； (3)甲队单独施工1个月完成总工程的13，半个月完成总工程的__16__，则甲的工作总量＝__13__＋__16__；(4)设乙队单独施工一个月能完成总工程的__1x__，那么乙队施工半个月完成总工程的__12x__； (5)列出的方程为__13＋16＋12x＝1__． 【教学与建议】教学：利用解方程的步骤学习解工程问题的分式方程，使学生及时进入学习状态．建议：解决问题后归纳出列分式方程解应用题的步骤，体会工程问题基本等量关系式．工程问题常用的等量关系式：(1)工作量＝工作效率×工作时间；(2)各个工作者的工作量之和为1.【例】(1)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x个，可列方程：__240x ＝2401.5x＋2__. (2)一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天．根据题意，得2x ＋x x ＋3＝1.解得x ＝6.经检验，x ＝6是原分式方程的解，且符合题意．答：规定日期是6天．(3)市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造480 m 的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．①求乙工程队每天能改造道路的长度；②若甲队工作一天的改造费用为8万元，乙队工作一天的改造费用为6万元，如需改造的道路全长为8 000 m ，如果安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造，求改造该段道路所需的总费用．解：①设乙工程队每天能改造道路的长度为．根据题意，得480x －4801.5x＝2，解得x ＝80.经检验，x ＝80是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙工程队每天能改造道路的长度为80 m ；②设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m 天完成．根据题意，得80×1.5m ＋80m ＝8 000，解得m ＝40.则40×8＋40×6＝560(万元).答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为560万元．高效课堂 教学设计1．会分析题意，找到等量关系．2．掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤．3．体会分式方程的数学模型对解决实际问题的重要作用．▲重点利用分式方程解决实际问题．▲难点列分式方程表示实际问题中的等量关系．◆活动1 新课导入1．回顾列方程解应用题的步骤．2．解方程：(1)x －3x －2＋1＝32－x ；(2)2x －1＝4x 2－1. 3．列方程解应用题的一般步骤是什么？◆活动2 探究新知教材P 152 例3.提出问题：(1)本题的等量关系是什么？(2)这个题目应该怎么设？设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，那么乙队施工半个月完成总工程的多少？(3)根据题目的已知能不能得出甲队施工半个月能完成总工程的多少？两队施工半个月能完成总工程的多少？(4)根据上面的分析能否列出方程？列出的方程是什么？(5)这是一个分式方程，应该怎样解这个分式方程呢？对解出的答案是否需要检验呢？如何检验？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意；(2)找：找出__等量__关系；(3)设：设__未知数__，一般设所求的量；(4)列：列分式方程；(5)解：解分式方程；(6)验：先检验求出的解是否是__原方程__的解，再检验解是否符合题意；(7)答：写出答案．◆活动4 例题与练习例 某工人原计划在规定时间内恰好加工1 500个零件，改进了工具和操作方法，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1 500个零件时，比原计划提前了5个小时，问原计划每小时加工多少个零件？解：设原计划每小时加工x 个零件．根据题意，得1 5002x ＋5＝1 500x，解得x ＝150. 检验：当x ＝150时，2x ≠0，∴x ＝150是原分式方程的解．答：原计划每小时加工150个零件．练习1．教材P 154 练习第2题．2．甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成，那么乙队单独完成总量需要(D)A ．6天B ．4天C ．3天D ．2天3．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多装2台，设乙队每天安装x 台，根据题意，下列所列方程中正确的是(D)A ．66x ＝60x －2B ．66x －2＝60xC ．66x ＝60x ＋2D ．66x ＋2＝60x4．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成了任务．下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：记者：“你们是用9天完成4 800 m 长的河堤加固任务的吗？”驻军工程指挥官：“是的，我们加固600 m 后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．解：设原来每天加固x m ．根据题意，得600x ＋4 800－6002x＝9.去分母，得1 200＋4 200＝18x(或18x ＝5 400).解得x ＝300.检验：当x ＝300时，2x ≠0(或分母不等于0).∴．5．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道，铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．解：设原计划每天铺设管道x m ．由题意，得120x ＋300－120（1＋20%）x＝30，解得x ＝9.经验验，．◆活动5 课堂小结列分式方程解决实际问题．1．作业布置(1)教材P 155 习题15.3第4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

分式方程的应用（1）教学设计一．教学目标：1．知识目标：会分析题意找出相等关系，并能列出分式方程解决实际问题.2．能力目标：通过让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，进一步体会化归思想。

3.情感目标：通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。

二．教学重点﹑难点：1．重点：列分式方程解决实际问题.2．难点：找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化.3．突破方法:设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.三．教学过程：(一)复习提问：1．解分式方程的步骤(1)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根．2．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．3．由学生讨论，工程问题的基本公式是什么？在学生讨论的基础上，基本公式：工作量=工时×工效．本节课我们将学习列分式方程解决实际问题。

(二)探究新知：一、创设情境问题:你能解决如下生活问题吗？某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6小时完成一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1小时完成了后一半任务。

如果设单独采用机械装运x 小时可以完成后一半任务，请找出此题中存在的等量关系.x 满足怎样的方程？二、典例精讲例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。

哪个队的施工速度快？（鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究）分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋。

《列分式方程解应用题—工程问题》教学设计【三维目标】1.使学生能分析题目中的等量关系；2.掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；3.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

【教学重难点】重点：列分式方程解应用题.难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.【教学过程】（一）复习在工程问题中，主要的三个量是：工作量、工作效率、工作时间。

它们的关系是：工作量=____________工作效率=__________工作时=______________（二）讲授新课例1．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。

哪个队的施工速度快？思考：这是____问题，总工作量为____分析：等量关系，甲队工作量+乙队工作量=1解：设乙队单独做需x 个月完成工程，由题意，得 13+13×12+12x=1 2x+x+3=6x 方程两边同乘以6x 得解得 x=1检验：当x=1时 6x ≠0 ∴x=1是原方程的根∴乙队单独做1个月完成∵甲队1个月只做∴乙队施工速度快随时小结：列分式方程解应用题的一般步骤1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.例2.王芳加工180个零件的时间，张楠可以加工240个，又已知王芳每小时比张楠少加工5个，求每人每小时各加工多少个零件？ 31解：设张楠每小时做x个零件，则王芳每小时做(x－5)个零件。

整理，解得x=20经检验，x=20是所列方程的解。

x－5=20－5=15答：王芳每小时加工15个零件，张楠每小时加工20个零件。

说明：工作问题涉及三个基本量：工作量S，时间t，工作效率v，它们之间的关系t=sv ,v=st.（三）课堂练习练习1：要在规定日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，则刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。

列分式方程解决工程实际问题(1)认真读题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的相等关系;(2)设出未知数，用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系;(3)根据相等关系列出方程;(4)求出所列方程的解;(5)检验方程的解是否符合问题的实际意义;(6)写出答案。

呈现问题：一项工程，甲队单独施工15天完成，乙队单独施工9天完成。

现在由甲队先工作3天，剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天可以完成?分析:本题涉及工作总量，工作效率，工作时间三个量之间的关系。

他们有如下的相等关系:工作总量=工作效率*工作时间工作效率=工作总量/工作时间本题给出了甲、乙单独完成工作的时间(即给出了工作效率甲: 1/15,乙1/9)本题中的相等关系:甲队3天的工作量+甲、乙两队合作若干天的工作量=工作总量甲队工作量+乙队工作量=工作总量设还需要x天才能完成任务。

解:设还需要x天才能完成任务。

根据题意列方程，得（1/15+1/9）x= 12/15解这个方程，得x=4.5 答:甲、乙两个队合作还需要4.5天才能完成任务。

练习:1、甲、乙两人共同加工840个零件，预计8天完成，如果甲每天比乙多加工5个零件，那么，甲、乙每天加工多少个零件?2、打印一份文件，甲单独完成要4小时，乙单独完成要6小时，如果甲、乙两人合作完成，需要多少小时?3、打印一份文件，甲单独完成要4小时，乙单独完成要6小时，如果甲、乙两人合作完成，需要多少小时?4 答:甲、乙两人合作完成，需要2小时24分。

小结:1、通过本节的学习分析，我们能够运用列表法、示意图法分析解决工程问题应用题,能找出已知数和未知数之间的关系，根据相等关系列出方程.2、我们归纳出工程问题与行程问题一样，都是c=ab型的问题。

作业: 预习书上124页例7。