测量平差第三章

测量平差第三章.题目：试确定各图形按条件平差时的条件式个数及其条件方程式。

解答：()a 条件方程式个数：422r =-=条件方程式为：1430A B H h h h H +++-= 1230A H h h h H +++-=()b 条件方程式个数：844r =-=条件方程式为：4583872761650000h h h h h h h h h h h h +-=+-=+-=+-=()c 条件方程式个数为：1284r =-=条件方程式为：()d 条件方程式个数为：431r =-=条件方程式为：12343600L L L L +++-=.题目：如图3-18所示水准网，A 、B 两点的高程已知，各观测高差及路线长度如表3-6所列。

试用条件平差法计算未知点的高程平差值231233465798681211100000h h h h h h h h h h h h h h h +-=++-=+--=+--=及2P 和3P 之间平差后高差值7ˆh 的中误差。

图3-18解答：7,3, 4.n t r n t ===-=平差值条件方程为：12356734613000h 0A Bh h h hh h h h h H h H -+-=+-=--=+--=改正数条件方程为：1255673461370703040v v v v v v v v v v v -+--=+-+=+-+=--=令C=1，观测值的全倒数为：11122112P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111,,T T N AP A K N W V P A K ---===得： []()[]131011410015210230.46070.14610.12360.23600.14610.31460.11240.12360.12360.11240.32580.25840.23600.12360.25840.58430.43 2.8 4.40.3 3.8 1.2 2.01.359 2.0120.2590.6400.6530.999 1.652TT N N mm hh V -=--------=-----=+=- ()m下面求平差后7h 的中误差：[]123745670000001h h h h h h h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]~00000001, 3.0()Tf mm σ==+10.7416T T T ff Q f Qf f QA N AQf ---=中误差为：7h+2.6mm σ==.题目：如图所示的中点三角形，其内角观测值为等精度独立观测值，试用条件平差法，计算各观测角值的平差值及CD 边长的平差后的相对中误差。

(公式重新编辑)解答： n=9，t=4,r=5条件方程为：改正数条件方程为：127348569789112233445566''''6425313.10;1.10;1.90;1.80;cot cot cot cot cot cot 0;sin sin sin 1 3.3sin sin sin v v v v v v v v v v v v v L v L v L v L v L v L w L L L w L L L ρ+++=+++=+++=+++=-+-+--=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭由0AV W -=得：4127348569789531642ˆˆˆ1800;ˆˆˆ1800;ˆˆˆ1800;ˆˆˆ1800;ˆˆˆsin sin sin 10ˆˆˆsin sin sin L L L L L L L L L LL L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=-=1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.00000.00000.00000.0000 1.00001.00000.00000.00000.0000 1.00000.00000.00000.00000.00000.0000 1.0000 1.00000.00000.0000 1.00000.00000.00000.00001.6724 1.09981.500A =-0.00000.00000.0000 1.0000 1.0000 1.000052.6086 2.2723 1.84670.00000.00000.0000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3.10001.10001.90001.800033.0000w -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,p E Q p E -===3.00000.00000.0000 1.00000.57260.0000 3.00000.00001.0000 1.10810.00000.00003.0000 1.00000.42561.0000 1.0000 1.0000 3.00000.00000.5726 1.10810.42560.000021.6364TN AQA ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦11.25081.06120.77102.7981.6278K N w --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]1 1.4716 3.0410 2.2530 4.4359 1.6771 5.0279 1.53060.7814 1.0508TT v p A K -==-----'''''''''''''''''''''''''''305241.7421638.2334057.1205822ˆ234514.2282602.91065041.21252038.41274840.4LL v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2657ˆˆsin sin ˆˆˆsin sin CDL L S ABL L =两边取微分得：52672567ˆˆ6262ˆ25''''5757ˆˆ626267''''5757''ˆˆˆˆˆ2567sin sin sin sin cot cot sin sin sin sin sin sin sin sin cot cot sin sin sin sin ˆcot cot cot cot CDCDL L S L L S L L L L CDd d L L L L d AB L AB L L L L L d d L L L L AB L AB L L L L L d L d L d L d L d S ρρρρρ=---Φ==-+-令[]1''00 1.099800 2.7223 1.84670.3028005.5072ˆ 3.485ˆ8.18TTT T T ff ff f Q f Qf f QA N AQf cm σσσ-=-=-===±==CD 边相对中误差为：125200ff CDCDS σσρ==题目：设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程式为：1210260246k k ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 试求：（1）单位权中误差0σ；（2）若已知某一平差函数式T F L f∧=,并计算得[]/44f f p =，[]/16af p =，[]/4bf p =，其中[]/f f p =62221212n nf f f ppp++⋅⋅⋅，试求该平差值函数的权倒数1Fp及中误差F σ。

解答：（1）由条件平差的法方程可知111026,246T Taa AP A W N AP A W ---=--⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦要求单位权中误差0ˆσ=W的维数即为r ,所以2r =.1111,T T T TTTTaa V P A K V K AP V PV K AP PP A K K N K----==∴==K 为可求量。

1,182T T aa K V PV K N K -⎡⎤===⎢⎥-⎣⎦0ˆ3σ===（2）由于 []1111ˆˆ111111()(/)([/],[/])**([/],[/])102164416444404244T T T FF aa LL T T T aa T aa Q f Q f f P P A N AP f f P f f P A N AP ff f p af p bf p N af p bf p ----------==-=-=⋅--⎡⎤⎡⎤=-⋅⋅=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则0 3.0 6.0F σσ=±.题目：设有等精度观测的条件方程为：1233472567201010v v v v v v v v v v -++=⎫⎪+++=⎬⎪+++-=⎭试组成法方程。

解答：由条件方程得：7111000000110010100111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]211T W =--，1111111p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以法方程10T AP A K W --=,其中1T N AP A -=，1K N W -=解答：⑴由题意可知：()()8511313518ˆsin ;;ˆsin ˆsin ˆˆsin 180ˆˆˆsin sin ˆˆsin sin L BC BD BC BC BD AB AB BD L L BD AB L L L L L AB BCL L ===--+∴=全微分得AB 边得权函数式为：()()()()()()()13111335588''121311358''8ˆˆˆˆˆˆcot cot cot cot cot ˆˆˆˆcot cot 0cot 0cot 00cot ˆˆAB T BCd L L L dLL L dL L dL L dL dL dL BC L L L L L L L dL f dLρρ=+-+++-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ⑵平差后9ˆBEBC L αα=+，由于9ˆL 没有参加平差，故899ˆL L =9BE BC L αα=+则9911BE BEL L Q Q P αα===．题目：试按平差条件法求证在单一水准路线（图3-23）中，平差后最弱点在水准路线中央。

1h 2h解答：设每公里的测量中误差为0σ, h 1的水准路线长度为X ，则h 2的水准路线长度为S-X.则[]11111ˆ11A A h H H h v H v ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦ []1121111ˆˆ211111111h h h v H H v h v v D σσσσ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]10201121122222011020,()100()h h A B v v Xv H h h H Sh h h X X XX X S X SS SS X S σσσσσσσσ===-++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦10[]2220110200100()h v X X X S X S S X S σσσσ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦[]11221111ˆˆ211111111h h h v H H v h v v X D X S σσσσ⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上式对X 求导并另其等于零得：11ˆˆ120H H XdD S=-= X=S/2时11ˆˆH H D 取 最大值。