误差理论与测量平差基础第五章 条件平差

《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。

本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。

◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。

课程性质为必修课、考试课。

本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。

◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。

测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。

平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。

计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。

平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。

第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。

二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。

只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。

2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。

3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。

第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。

第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。

第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。

重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。

难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。

要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。

第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。

重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。

难点：函数模型的线性化，随机模型。

要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。

误差理论与测量平差习题编写葛永慧付培义胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系第一章 绪论习题..................................................... 2 第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题............................... 3 第三章 条件平差习题................................................. 4 第四章 间接平差习题................................................. 7 第五章附有限制条件的条件平差习题.................................... 2 第六章 误差椭圆习题................................................. 4 第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题......................... 6 第八章 近代平差理论习题 (7)第一章 绪论习题1.1 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。

1.2 已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1m 、2m ，求下列函数的中误差：（1） 2132L L x -=； （2）212132L L L x -=； （3）)cos(sin 211L L L x +=1.3 已知观测值L 及其协方差阵LL D ，组成函数AL X =和BX Y =，A 、B 为常数阵，求协方差阵XL D 、YL D 和XY D 。

1.4 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？ 1.5 有一角度测20测回，得中误差24.0''±，问再增加多少测回，其中误差为82.0''±？ 1.6 设对某量进行了n 次独立观测，得观测值i L ，权为),,2,1(n i p i =，试求加权平均值[][]p pL x =的权x p 。

《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲一、基本信息二、教学目的与任务误差理论与测量平差基础是一门专业基础课，以培养学生掌握测量数据处理的基本方法和原理为目的。

课程内容包括误差理论和测量平差基础两部分。

误差理论主要讲授误差来源、分类、性质、分布、数字特征、传播及主要应用，以误差分布、数字特征及传播律为重点。

测量平差基础主要讲授条件平差、间接平差等经典测量平差基本理论、方法、估计理论及精度评定。

通过本课程的学习，学生应掌握误差理论和测量数据处理的基本原理和方法，了解测量平差的发展过程和近代测量平差方法，能够应用测量平差基本理论和方法进行测绘数据处理和精度分析，培养学生解决工程控制网的数据处理和测绘工程实践能力，为进一步学习测量数据处理理论和后续课程的学习打下坚实的理论基础。

三、教学内容与要求（一）绪论2学时1、观测误差2、测量平差学科的研究对象3、测量平差的简史和发展4、本课程的任务和内容要求：明确观测误差产生的原因，掌握误差分类和特点、观测误差的处理方法，了解测量平差的发展历史和本课程的主要任务和特点，明确平差理论研究的对象和所要解决的问题，提出本科程的学习方法。

（二）误差分布与精度指标2学时1、偶然误差的特性2、衡量精度的指标3、精度、准确度和精确度要求：熟悉随机变量的数字特征，掌握偶然误差的规律性，理解方差、协方差阵的概念和涵义；掌握精度、准确度、精确度等概念的区别和联系。

（三）协方差传播律及权8学时1、协方差的传播2、协方差传播律的应用3、权与定权的常用方法4、协因数阵与权阵5、协因数传播律6、协方差传播律及其在测量上的应用7、系统误差的传播要求：熟记方差、协方差传播律的基本公式，掌握非线性函数线性化的方法；掌握权与定权的常用方法，理解方差、权、与协因数的关系；了解系统误差的传播规律。

（四）平差数学模型与最小二乘原理4学时1、测量平差概述2、函数模型3、函数模型线性化4、测量平差的数学模型5、参数估计与最小二乘原理要求：明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念，掌握必要观测数和多余观测数的计算方法，熟记各种平差方法的数学模型；了解参数估计和最小二乘原理。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。

测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。

误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。

若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。

因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。

为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。

此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。

误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。

正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。

第五章条件平差§5-1条件平差原理条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。

图5-15. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha = m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1=,h2= m,h3= m，求改正数条件方程和各段离差的平差值。

在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=,观测了5条路线的高差:h1=，h2=0. 821 m，h3=，h4=，h5= m。

各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。

有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为h1=1 .335 m，S1=2 km;h2= m，S2=2 km;h3= m，S3=3km。

试按条件平差法求各高差的平差值。

如图 5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″；L3=301°45′42″，=10″.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。

5-2条件方程5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表示观测高差)。

(a) (b)图5-65. 2. 11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中P i 为待定坐标点)。

第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。

观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。

X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。

二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。

三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。

等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。

非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。

四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。

其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。

偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。

五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。

§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。

2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。

3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。

误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础引言在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。

从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。

然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。

一、误差的分类一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。

在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。

1. 按照产生原因分类ⅰ.人为误差如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。

ⅱ.仪器误差如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散噪声等。

ⅲ.环境影响如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。

2.从系统设备模型分类ⅰ.常规误差该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。

如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。

常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。

ⅱ.偶然误差偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。

如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。

因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。

二、测量值的平差原理平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。

该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。

平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。

测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。

1.多项式平差多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。

《误差理论与测量平差基础》课程学习指南2011.09一、课程学习目标通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。

二、课程知识结构本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。

误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。

测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。

课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。

学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。

三、基本要求1、基本知识部分：1)误差理论部分✧了解观测误差产生的原因；✧掌握误差分类及其处理方法；✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布；✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标；✧了解测量平差的任务和内容。

✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。

2)测量平差基础部分✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念；✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法；✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。

✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。

2、理论联系实际部分1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。

2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。

3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。

3、近代平差部分掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。

四、学习建议1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。

2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨公式中的符号所对应的向量。

3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识；4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。