分类讨论思想在中学数学中的应用

分类讨论思想在中学数学中的应用摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学．它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化．本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则．并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等式，函数，数列和排列组合中的应用等．关键词：分类讨论数学思想解题策略中学数学The application of classification Discuss ideas in the middleschool mathematicsAbstract：The application of classification discuss ideas is an important mathematical thought, at the same time is also an important problem-solving strategies, it reflects the piecemeal plot zero for the whole thought and classify and organize．It is an important role in development, it runs through the entire middle school mathematics．It can reveal the inherent laws of mathematical objects, contribute to the summary of the mathematical knowledge, the knowledge principled．This article in turn described the classification of the thought of the meaning of classification discuss the ideological criteria and classification of the principles disc ussed．And focus illustrate the idea of classification of discussion in the triangle, a quadratic equation, a collection of the absolute value of the problem, inequalities, functions, the number of columns and the application of such arrangement．Key words：Classification discuss Mathematical thought Problem-solving strategies Middle school mathematics．目录1 引言 (4)2 简述分类讨论思想 (4)3 分类讨论思想的标准 (4)4 分类讨论的原则 (5)5 分类讨论思想在中学数学中的应用 (5)5.2分类讨论思想在一元二次方程中的应用 (7)5.3分类讨论思想在集合中的应用 (9)5.4分类讨论思想在绝对值问题中的应用 (10)5.5分类讨论思想在不等式中的应用 (11)5.6分类讨论思想在函数中的应用 (13)5.7分类讨论思想在数列中的应用 (14)5.8分类讨论思想在排列组合中的应用 (15)6 小结 (16)7 参考文献 (17)1 引言数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考．有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育．这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法．从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的．分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的．2 简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．通过对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏．3 分类讨论思想的标准[]1一般地，在集合A 上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P ，把A 划分为子类12,,...,n A A A ，这时，在12,,...,n A A A 上实施对问题的讨论等价于在A 上实施对问题的讨论，把P 就叫做分类讨论的标准．例如，对方程20(0)ax bx c a ++=≠及2=4b ac ∆-来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是0∆>还是0∆=还是0∆<，这时我们可以简单的说按∆分类．又如，讨论函数log (0,1a y x a a =>≠且）的单调性，其分类讨论标准是01a <<还是1a >，可以理解为按a分类．又如sin()2n n z π∈的值，其分类讨论标准可确定为n是奇数还是偶数，并可简单的认为按n 分类．4 分类讨论的原则[]1为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破．一般地，在集合A 上讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P 把A 划分为12,,...,n A A A 的并集，而后，分别在12,,...,n A A A 上讨论这个数学问题与在A 上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的．分类时，要遵循以下三条原则：①,1,2,...,i A i n ≠∅=；②,,,,1,2,...,i j A A i j i j n =∅≠= 且； ③12...n A A A A = ； 下面阐述这三条原则各自的作用.“①,1,2,...,i A i n ≠∅=”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什么意义了；“②,,,,1,2,...,i j A A i j i j n =∅≠= 且”可以保证问题不会重复，也就是说，在1A 上讨论问题，肯定不含23,,...,n A A A 中的元素；在2A 上讨论问题，肯定不含13,,...,nA A A 中的元素；“③12...n A A A A = ”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在12,,...,n A A A 上讨论问题，其总和等于在A 上讨论同一问题．5 分类讨论思想在中学数学中的应用 5.1分类讨论思想在三角形中的应用5.1.1 三角形的边长不明确时需分类讨论[]2例1 如果三角形的两边长分别是 23 cm 和 10 cm , 第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 不明确具体,因此需分两种情况讨论．解 ①当第三边的长为 23cm 时, 其三边长分别为 23cm 、23 cm 、10 cm ,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此, 这三边构成三角形.所以第三边的长为 23 cm ； ②当第三边的长为 10 cm 时, 其三边长分别为 10cm 、10 cm 、23 cm ,因为101023+<，所以它不能构成三角形,故第三边长不能为10cm．综上所述,第三边的长为23cm．评注题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密, 将会出现漏解或错解．5.1.2 三角形的高不明确时需分类讨论[]2例2 在三角形 A BC中,AB= 8，030ABC∠=，A C= 5，则B C等于多少？分析根据题意可知，∠A BC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形A BC 的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能正确、圆满地解决问题．解i）当AD落在A B C∆的内部时，如图（1）所示，在R t A B D∆中，因为8,30AB ABC=∠=，所以4,8cos30A DB D==⋅=同理，在R t A C D∆中，3DC===，所以3BC BD D C=+=．BD 图（1）ii）当AD落在A B C∆外部时，如图（2）所示，此时A B C∆为钝角三角形，同上，在R t A B D∆中，4,A DB D==,3Rt ACD DC∆=中，所以3BC BD DC=-=，B图（2）综上所述，边BC的长为3或．5.2分类讨论思想在一元二次方程中的应用例1 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的取值范围．分析 方程是“二次型”的方程，是否为一元二次方程，视二次项系数取值而定，因此需对二次项系数是否为零进行分类讨论．解 i ）当20m =，即0m =时，方程为一元一次方程10x +=，有实数根1x =-；ii ）当20m ≠，即0m ≠时，方程为一元二次方程，由有实根的条件得，22(21)4410,m m m ∆=+-=+≥得14m ≥-，且0m ≠．综上，得14m ≥-．评注 字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件，一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”．这都表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求．例2[]3 当m 是何整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．分析 本例中条件“二次方程”限定0m ≠，但需要对m 可能取得的整数通过分类讨论验证其取值能否满足条件，使两个方程的根都是整数．解 由于给出的关于x 的方程式一元二次方程，所以二次项系数不为零，即0m ≠，又由于方程均有实根，所以21(4)440,m ∆=--⨯≥解得1m ≤，又222(4)41(445)0m m m ∆=--⨯⨯--≥，解得54m ≥-．所以514m -≤≤．又m 是整数，且0m ≠，所以11m =-或．当1m =-时，方程2440mx x -+=为2440x x +-=，解得方程的根为1222x x =-+=--，它的根不是整数，故1m =-舍去．当1m =时，方程2440mx x -+=为2440x x -+=，解得方程的根为122x x ==，此时方程2244450x mx m m -+--=的根为125,1x x ==-，均为整数，所以 1m =．例3[]3 若实数,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，求1111b a a b --+--的值．分析 首先根据实数,a b 是否相等分类讨论，此类中a b =的情况很容易被忽略．解 当a b =时，1111b a a b --+-- =2；当a b ≠时，由方程的定义知，,a b 是方程2850x x -+=的两个根，所以8,5a b ab +==，所以211()2()222011()1b a a b a b ab a b ab a b --+-+-++==----++．综上所述：当a b =时，11211b a a b --+=--；当a b ≠时，112011b a a b --+=---．评注 从上面的例题中我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类 所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行；②分类应当没有遗漏；③分类应是没有重复的； （3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳并作出结论．5.3分类讨论思想在集合中的应用例1[]4 同时满足：（1）{}1,2,3,4,5M ⊆；（2）若,(6)a M M M ∈-∈则的非空集合M 有多少个？并写出这写出这些集合来． 解 按集合M 中元素个数分类讨论：i ）M 中只有1个元素时，若3,6633M a M ∈-=-=∈则，所以{}3M =； ii ）M 中有2个元素时，满足条件的M 有2个：{}{}1,5,2,4M M ==； iii ）M 中有3个元素时，满足条件的M 有2个：{}{}1,3,5,2,3,4M M ==； iv ）M 中有4个元素时，满足条件的M 只有1个：{}1,2,4,5M =； v ）M 中有5个元素时，满足条件的M 也只有1个：{}1,2,3,4,5M =； 所以适合条件的集合M 共有7个．例2[]4 设{}2|(2)10,,A x x b x b b R =++++=∈求集合A 中所有元素之和． 解 2(2)10,x b x b ++++=22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=≥．当0b =时，121x x ==-．{}1A =-，此时集合A 中所有元素之和为-1； 当0b ≠时，集合A 中含两个元素，此时，由韦达定理知，集合A 中所有元素之和为(2)b -+．例3[]4 设{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B = ，求实数a 的取值范围．解 {}{}2|400,4A x x x =+==-，因为,A B B B A =⊆ 所以．i)22=41)4(1)0,1B a a a =∅∆+--<<-时，（即 ． ii){}{}04B B ==-或时，2241)4(1)0a a ∆=+--=（．即 1a =-． 此时方程222(1)10x a x a +++-=化为20x =．即120,0x x ==．所以{}0B =满足条件．iii ）{}0,4B =-时，由韦达定理知2-21)410a a +=-⎧⎨-=⎩（， 得 1a =．综上所述，实数a 的取值范围为11a a =≤-或．5.4分类讨论思想在绝对值问题中的应用绝对值的代数定义：()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．例1[]5 若2016,2a b ==，求a b +的值． 解 因为2016,2a b ==．所以2016,2a b =±=±．当2016,2a b ==时，2018a b +=； 当2016,2a b ==-时，2014a b +=； 当2016,2a b =-=-时，2018a b +=-； 当2016,2a b =-=时，2014a b +=-．例2[]5 有理数2x -到有理数-1的距离是3，有理数1y +到3的距离是5，且x y>，求x y x y +-和的值．分析 在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即2422x x -=--=或；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即1218y y +=-+=或．解 依题意得2422x x -=--=或，1218y y +=-+=或．解得24,37x x y y =-=-=-=或或．因为x y>，所以2,34,3x y x y =-=-==-或．所以x y +的值为-5或1，x y -的值为1或7．例3[]6 解不等式2116x x ++->．分析 解这个不等式的关键在于确定211x x +-和的符号，由于x 的不同取值，211x x +-和可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论．解 令210x +=，得12x =-；令10x -=，得1x =；所以在实数集内应以112-和为分类标准，分成三个区间来讨论： i ）当12x ≤-时，原不等式可化为2116x x --+->，解得2x <-；ii ）当112x -<≤时，原不等式可化为2116x x ++->，解得4x >（舍去）；iii ）当1x >时，原不等式可化为2116x x ++->，解得2x >；综上，原不等式的解集合为{}|22x x x <->或．评注 可见分类讨论思想关键在于怎么分类，要由题意确定分类的标准，要周密考虑，做到不重不漏．5.5分类讨论思想在不等式中的应用例1[]6 不等式x x≥的解集是（）{}{}{}{.|22.|02.|2002.|00A x x B x x x C x x x D x x x -≤≤≤≤≤-≤<<≤≤<<≤或0<或或．分析 使不等式有意义的x 的范围是240,0x x -≥≠，即20x -≤<或02x <≤．题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式，宜先分类讨论区掉绝对值符号，化为无理不等式处理．解 （1）当0x >时，||1x x =，原不等式等价于1.≥-由240x -≥，且0x >,得02x <≤．（2）当x<0时，1x x=-，原不等式等价于1≥，由240x -≥，且241x -≥，且0x <，得x ≤<．所以原不等式的解集为{}|002x x x ≤<<≤或，故应选（B ）． 评注 此题是关于自变量的分类讨论，运用分类讨论可以起到简化运算的作用，使问题得到顺利解决．例2[]6 解关于x 的不等式20()x a a R x a-<∈-．分析 因为22()()00x a x a x a x a---<⇔<-，所以此不等式可以转化为一元二次不等式2()()0.x a x a --<因2a a 与大小不能确定，故需分类讨论．解 由题意得20()x a a R x a-<∈-等价于2()()0x a x a --<．（1）若0a =，则20a a ==，不等式变为20x <，无解； （2）若1a =，则21a a ==，不等式变为2(1)0x -<，无解； （3）若01a <<，则2a a <，所以2a x a <<； （4）若01a a <>或，则2a a >，所以2a x a <<． 综上所述，当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅； 当01a <<时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<； 当01a a <>或时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<．评注 此题是含参型不等式题，属于一级分类讨论问题,通过正确的分类 ，可以使复杂的问题得到清晰、完整 、严密的解答．应注意最后要将结果归纳总结．5.6分类讨论思想在函数中的应用[]7例1 当m 为何值时，函数21(3)45(0)m y m x x x +=++-≠是一次函数． 解 （1）当211m +=且340m ++≠，即0m =时，函数75y x =-，此时是一次函数；（2）当210m +=，即12m =-时，函数542y x =-，此时是一次函数；（3）当30m +=，即3m =-时，函数45y x =-，此时是一次函数；评注 解题时，如果使用的概念是有范围限制的或分类定义的，那就需要的分类讨论．本题已知函数是一次函数，21(3)m m x ++可能是一次项，常数项或零，所以需要分类讨论．例2 已知关于x 的函数2(4)(21)y m x m x m =---+的图像与x 轴总有交点，求m 的取值范围．解 （1）当40m -=，即4m =时，函数为一次函数，图像与x 轴有一个 交点；（2）当40m -≠时，此时函数为二次函数，[]2(21)4(4)0m m m ∆=----≥，解得112m ≥-，所以当40m -≠且112m ≥-时，函数图像与x 轴有交点．综合（1）（2），当112m ≥-时，图像与x 轴总有交点．评注 函数中最高项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性 ，这时就需要分类讨论．本题是函数图象与x 轴总有交点 ，并没有说明有几个交点，所以未知数最高项的系数要分类讨论．5.7分类讨论思想在数列中的应用例1[]8 已知等差数列{}n a 首项10a ≠，它的前n 项和为n S ，求lim n n nna S →∞的值．解 在等差数列{}n a 中，设公差为d ， （1）当公差0d =时，11,n n a a S na ==，所以11limlim1n n n nna na S na →∞→∞==；（2）当公差0d ≠时，11(1)(1),2n n n n a a n d S na d-=+-=+，所以11(1)limlim21(1)2n n n nna na n n d S na n n d→∞→∞+-==+-．所以1(0)lim2(0)n n nd na d S →∞=⎧=⎨≠⎩．例2[]8 已知等差数列{}n a 中，123a =，公差3d =-，求数列{}||n a 的前n 项和n S ．解 23(1)(3)263n a n n =+--=-，若2630n a n =-≥，得262833n ≤=，于是，当8n ≤时，21212349 (22)n n n S a a a a a a n n =+++=+++=-+当9n ≥时，121289.........n n n S a a a a a a a a =+++=++---=128122(...)(...)n a a a a a a +++-+++ =234920022n n +-．所以22349(18)22349200(9)22n n n n S n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩． 评注 {}n a 是等差数列，但{}n a 不一定是等差数列，通过对00n n a a ≥<及的讨论，将其转化为等差数列求和．5.8分类讨论思想在排列组合中的应用例1[]9 用01234、、、、这五个数字, 组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？分析 由于该三位数是偶数,，故末尾数字必须是偶数,又因为0不能排首位,故0 就是其中的“特殊”元素, 应优先安排.按0排在末尾和0不排在末尾分为两类．解 ( 1)0排末尾时, 有24A 个；（2）0不排末尾时，有111233A A A 个； 由分类加法计数原理，共有偶数24A +111233A A A =30个． 例2[]9 由123456、、、、、六个数可组成多少个无重复且是6 的倍数的五位数？ 分析 6的倍数的数既是2的倍数,又是3的倍数．其中3 的倍数又满足各个数位上的数字和是3的“倍数”的特征．而且6个数之和为1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6= 21恰好是3的倍数,要使得取得的五位数是3的倍数，必须且只须去掉一个能被3整除的数3或6．因此从6个数中取5个数，可分成两类讨论．解 第一类：由1、2、3、4、5、6作数码；首先从2、4、6中任选一个作个位数字有13A ，然后其余四个数字在其他数位上全排列有44A ，所以14134N A A =⋅；第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上方法有14224N A A =⋅；故12120N N N =+=．评注 分类讨论思想在组合问题里是经常见到的，我们在分类的时候要注意：分类标准要统一，分类结果要全面，分类的方法要合理．例3[]10 把字母,,,,,a b c d e f 共7个元素排成一列，要求a 不在首位，b 不在末位，求排法种数？分析 此题除可从特殊元素考虑（由于a 不能排首位，则可a 拍中间五位或末位）外，也可以从特殊位置——首位考虑，首位不能排a ，则只能排b 或其它五个元素．解 （1）首位排b ，排法数：66A ；（2）首位排除a 、b 外的其它5个元素之一，排法数：115555A A A 因此，共有66A +115555A A A =720+3000=3720种不同的排法数．评注 是以特殊元素还是特殊位置作为分类标准，均会产生不同的解法．但我们在分类时，必须保证分类各情况独立、无重复、无遗．6 小结通过以上的例子我们可以发现分类法，在数学中的应用是相当多的，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重不漏，每次分类必须保持在同一标准．但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论．有的题目虽然含有分类因素,但不要急于分类讨论，要首先对问题作深人研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单．但是，由以上的讨论以及例题分析，我们可以看出分类讨论思想不是一个单一的思想，独立的思想．它往往和数形结合思想、整体思想等等联系在一起，因此，要学好分类讨论思想，就要在日常生活中加强意识，更好的把它与其他思想相结合，做到举一反三、融会贯通．7 参考文献[1]傅荣强．新课标.高中数学.高中数学思想方法[G] .北京：龙门书局，2009.[2]杨怀宏.分类讨论思想在初中数学中的应用[J].数学大世界(初中生适用),2010,(03) .[3]任永生.活用分类讨论思想解决方程问题[J].数学学习与研究,2011,(04) .[4]郭可银.谈分类讨论思想在解题中的应用[J].数理化学习(高中版),2005,(04) .[5]纪丽雪.分类思想在初中数学教学中的渗透[J].新课程(教育学术版),2007,(11) .[6]施建昌.分类讨论思想在解不等式中的应用[J].数理化学习(高中版),2005,(04) .[7]谢春玲.分类讨论思想在函数中的应用[J].中学生数理化,2007,(05) .[8]杨瑞敏.分类讨论的思想方法在解数列题中的应用[J].数理化学习(高中版),2005,(03) .[9]陈东升.排列组合中的分类讨论思想[J].中学生数学(高中版),2009,(07) .[10]李绍亮.分类讨论思想在组合问题中的应用[J].数学学习与研究,2010,(07) .。