初一数学分类讨论思想的运用及常见题型

找规律经典模型及例题汇总一、a n n a 与例题：（10西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）。

∴第6个整数是67326=+，第n 个整数是32+n （n 为正整数）． 练习：1、（10怀柔二模）按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．答案：1125，122+n n2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________． 答案：12)1(1+-+n n例题：（10通州一模）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .解：第8年的老芽数是21a ，新芽数是13a ，总芽数是34a ，则比值为3421． 练习：1、（08石景山一模）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8……，则这列数的第8个数是 ． 答案:212、(09房山二模)填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.5675320531108975答案：7,9,11,176二、（n )1(-与1)1(+-n ）例题：（09通州二模）12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，……那么第10个数据是 ；第n 个数据是 .∴第10个数据是33 ，第n 个数据是33)1(1--+n n ． 练习：1、（10房山一模）一组按规律排列的式子：2581114916,,,,...(0)a a a a a --≠，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．答案：2364a-，1321)1(-+-n n a n2、（10门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）,则第n 个式子是 （n 为正整数）答案：na n n13)1(--3、（09崇文一模）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）．答案：8，)1(2)1(11+-++n n例题：（08通州二模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 ． ∴第10行倒数第三个数是3601901721=-． 练习：1、（08大兴一模）自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… … … … …. …. ….. ………. 答案：199052、如图的数字方阵中，方框所缺的数，按照适宜的规律填上（ ） A 、100 B 、128 C 、129 D 、130 答案：C例题：（11平谷二模）如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处． 故答案为：671，上．练习：1、（08崇文一模）观察下列等式：1312-=，2318-=，33126-=，43180-=，531242-=，…….通过观察，用你所发现的规律确定200831-的个位数字是 . 答案：32、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 答案：B ，603，6n+3例题：（09平谷一模）已知：,434434,323323,212212+=⨯+=⨯+=⨯……若ba ×10=b a+10（a 、b 都是正整数），则a+b 的最小值是 ．∴a+b 的最小值是19 练习：１.（10密云一模）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数答案：A例题1：（10昌平一模）观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案照这样它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有个三角形，第n （1n ，且n 为整数）个图案中三角形的个数为 （用含有n 的式子表示）． 解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；第n 个图案中，有6+4（n-1）=4n+2（个）三角形．例题2.（10西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n Dn的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A nB nC nD n 能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有n 的式子表示）. 答案为：4n 2-4n ．练习：．1、（10大兴一模）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是x第1个第2个第3个…答案：)2(+n n2、（08顺义二模）如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．答案：5n+23、（08丰台二模）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n + 答案：B4、（10丰台一模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形(图4)…图①图②图③图④答案：80个.例题：（10海淀一模）如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322BDC 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．S 2=S △B3C2A -S △AC2D2=21×4×3 - 21×4×332 即第n 个图形的面积S n =13+n n． 练习：1、（11丰台二模）已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥ 于点E 1，联结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案：S 1=41,S n = 2)1(1+n S △ABC ．A2、（10平谷一模）如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律，第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．答案：4, 8n-43、（10延庆二模）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥答案：1)41(2,32---n ππ4、（10门头沟一模）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）.1P2P3P......B 1B 2A 1A OB答案:2n-25.（11延庆二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(． 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111； 延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A … 按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________； 第n 个正方形的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．答案：5×（23）4，5×（23）2n-2．例题：（10丰台二模）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．联结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；联结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°，……．按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 …… 第n 个菱形边长 1 3 33()13-n练习：1、09西城二模）如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方（形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示C 1D 1C 2DC ABD C 2A n 的纵坐标答案：2，()212+n .2、（09延庆二模）如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是答案：123-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n3、（08昌平一模）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边 长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中：第一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt ABC △的各边上；第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在11Rt APM △的各边上,……, 其他正方形依次放入。

初一分类讨论典型例题
以下是初一分类讨论典型例题：
1.分类讨论正方形的对角线问题：设正方形的边长为a，b，c，求对角线长度d。

解题过程中需要用到勾股定理、直角三角形的边长关系等知识点。

2.分类讨论三角形的分类问题：设三角形的三边为a，b，c，求三角形的分类。

解题过程中需要用到三角形的分类定理、直角三角形的边长关系等知识点。

3.分类讨论平行四边形的对角线问题：设平行四边形的两对邻边分别为a，b，c，d，求对角线长度。

解题过程中需要用到勾股定理、平行四边形的对角线定理等知识点。

4.分类讨论圆的分类问题：设圆的半径为r，直径为d，求圆的分类。

解题过程中需要用到圆的直径、半径、面积等知识点。

5.分类讨论函数的分类问题：设函数的定义域为[a,b]，值域为[0,1]，求函数的分类。

解题过程中需要用到函数的定义、值域等知识点。

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨
初中数学中的分类讨论思想是指通过将问题进行分类，针对不同的情况进行讨论，从而解决问题的思维方法。

它在解题中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解问题，从多个角度思考问题，并找到解决问题的方法。

分类讨论思想适用于解决有多种情况的问题。

有些问题可能有多个可能的状态，如果将所有情况都综合考虑，可能会使问题变得复杂，难以解决。

而分类讨论思想可以将问题分成若干小问题，分别考虑每个小问题，从而降低问题的难度。

某班有男生和女生两种情况，要求统计男生和女生人数的比例。

我们可以将问题分成两个小问题，分别计算男生和女生的人数，然后求比例，这样就可以分段进行计算，简化问题。

分类讨论思想适用于解决多个变量的问题。

有些问题中存在多个变量，通过分类讨论可以将问题分成多个情况，分别考虑每个情况下的变量取值范围，从而得出最终结果。

要求求解方程2x+y=5的整数解。

我们可以将问题分成两个小问题，分别讨论x、y取整数的情况，从而找到满足条件的解。

当x=1时，y=3满足方程；当x=2时，y=1满足方程；当x=3时，y=-1不满足方程。

这样就可以通过分类讨论得到方程的整数解。

分类讨论思想在解题中还可以帮助学生培养逻辑思维能力。

通过将问题进行分类，学生需要思考问题的各个方面，理清各种情况之间的关系，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。

在解决数列问题时，学生需要分类讨论数列的公式、首项、公差等不同情况下数列的特点和求解方法，从而找到解决问题的线索。

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨初中数学中，分类讨论是一个非常重要的解题思想。

它的基本思想是把一个问题分成几个小问题，从而便于解决。

分类讨论可以应用在很多不同类型的问题中，例如代数问题、几何问题、概率问题等等。

在代数问题中，分类讨论可以帮助我们找到方程的根，或者确定一些特定的解。

例如，当我们遇到一个带有绝对值的方程时，我们可以将其分为两种情况：当变量大于等于0时，绝对值内部的表达式与之相等；当变量小于0时，绝对值内部的表达式的相反数与之相等。

这样，原来的方程就被拆成两个方程，我们可以解决这两个方程，得到原方程的解。

在几何问题中，分类讨论可以帮助我们确定几何形状或特点等。

例如，当我们需要求一个三角形的面积时，如果已知三边长度，则我们可以根据海伦公式来计算；如果已知两边和夹角，则我们可以根据正弦公式、余弦公式或正切公式来计算；如果已知一个角和这个角对边的长度，则我们可以根据正弦公式来计算。

通过分类讨论，我们可以根据不同的已知条件选择不同的公式，从而求出所需的结果。

在概率问题中，分类讨论可以帮助我们计算事件发生的概率。

例如，当我们需要求两个骰子点数之和为6的概率时，我们可以将其分为两种情况：第一个骰子为1，第二个骰子为5；第一个骰子为2，第二个骰子为4。

这样，我们就可以计算出这两种情况的概率，并将其相加得到所求的概率。

总之，分类讨论是一个非常强大的解题思想，在初中数学中应用广泛，可以帮助我们解决各种不同的问题。

当我们遇到一个问题时，如果发现它比较复杂或者难以直接解决，就可以考虑使用分类讨论的方法，将其分成几个小问题，逐个解决，最终得到答案。

中考分类讨论思想常见的六种类型：
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。

1、方程:
若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论。

2、等腰三角形:
如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决。

3、直角三角形:
在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解。

4、相似三角形:
如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论。

解题反思：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．
5、一次函数:
已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论。

6、圆:
圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论。

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析摘要：初中数学是初中教学体系中的重要组成部分，数学学习需要掌握许多数学思想，比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。

分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同，将数学研究对象分为不同种类的数学思想，它贯穿于数学学习的整个过程，也是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。

本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。

关键词：七年级;数学教学;分类讨论思想一、步步为营，在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想（一）在基本概念的理解中，渗透分类思想七年级学生刚刚从小学进入中学，初中数学相对于小学数学其难度加大了许多，一些学生内心会产生恐惧心理。

因此，教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案，将初中复杂的数学知识变得简单化，消除部分同学的畏惧心理，从而提高学生的学习效率。

而分类思想刚好能够满足以上需求。

教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手，比如，在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯，教师可以作为切入点，将数学分类思想渗透到数学概念中，以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。

如教学有理数的两种分类方法：第一种将有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。

第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。

经过以上两种分类，可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解，帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。

（二）在知识生成过程中，巧用分类思想新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题，即以“生活教学”为主。

因此，在实际数学教学过程中，尤其是在某些公式或者数学性质的教学时，教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。

例如，教师在教学有理数的乘除法则时，可以从三个方面引导学生进行归纳，分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况，最后学生可以得出“同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”的数学结论，以上讨论的方法具有完整清晰的思路，能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。

例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式，是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一，其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。

分类讨论能让学生们深入地探究数学知识，例如，以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点，它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。

在初一数学中，分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。

通过分类讨论的方式，学生们可以将之前学习过的内容，按照类别联系起来，例如：初一数学中，物体绕着图形旋转时发生的变化情况，这种现象其实是多类问题的总称，包括椭圆、圆形、抛物线等，分类讨论是通过将其进行分类分析，再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。

另外，也可以将初一数学学习的数与比联系起来，即“分式”，这一概念也是分类讨论的重点，学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类，根据不同类别的情况，来推断出正确的结果。

因此，分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一，它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面，有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。

同时，分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣，增强学生们对数学学科的钟爱之情，从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。

例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用1. 引言1.1 概述数统计等。

【概述】分类讨论思想是指在解决问题时，将问题按照不同的特征或条件进行分类，然后分别讨论每个类别下的情况，最终得出综合结论的思维方法。

在初中数学学习中，分类讨论思想被广泛运用于解决各种类型的数学问题，尤其在解决复杂的问题和提高问题解题能力方面具有重要意义。

通过分类讨论思想，学生可以将复杂的问题进行分解，逐步解决，提高问题解决的效率和准确性，培养逻辑思维和分析问题的能力。

本文将重点讨论分类讨论思想在解初中数学题中的应用，分析其基本概念、应用案例、具体技巧，比较与其他解题方法的优劣以及在数学学习中的重要性。

通过本文的探讨，旨在深入探析分类讨论思想在数学学习中的实际意义，并探讨未来在该领域的研究方向。

1.2 研究背景在传统的教学模式中，学生往往是被passively 授予知识，缺乏对知识的主动探索和应用能力。

而分类讨论思想的引入可以打破这种被动学习的模式，鼓励学生思考问题的本质和解决方法，培养其独立思考和创新能力。

通过对不同情况的分类讨论和比较，学生可以更深入地理解问题，掌握解题的基本思路和方法，提高解题效率和准确度。

研究分类讨论思想在初中数学题中的应用具有积极意义，可以有效促进学生数学思维的发展，提高其解决实际问题的能力。

也为教师提供了一种新的教学方法和手段，有助于激发学生学习兴趣，提高教学效果。

通过深入探讨分类讨论思想的具体应用和技巧，可以为数学教育的改革和发展提供有益启示。

1.3 研究目的研究目的：本文旨在探讨分类讨论思想在解初中数学题中的应用，通过对分类讨论思想的基本概念、具体应用技巧以及与其他解题方法的比较分析，揭示其在数学学习中的重要性。

通过对分类讨论思想在解题过程中的实际操作和应用案例分析，旨在帮助读者更深入理解该方法的实际运用情况，从而提高解题效率和思维能力。

通过对未来研究方向的探讨和展望，寻求分类讨论思想在数学问题解决中的更广泛应用可能性，为数学教育的改革和提升提供参考。

分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。

初一数学分类讨论题
（实用版）
目录
1.初一数学分类讨论题的概念和重要性
2.初一数学分类讨论题的解题技巧
3.初一数学分类讨论题的典型例题分析
正文
初一数学分类讨论题的概念和重要性：
初一数学分类讨论题是指在解决数学问题时，需要根据不同情况进行分类讨论的题目。

这种题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和分类讨论的技巧，是初中数学中非常重要的一类题目。

分类讨论题在初一数学教材中占有很大的比重，也是各类考试中的常考点。

因此，掌握好分类讨论题的解题方法对于初一学生来说至关重要。

初一数学分类讨论题的解题技巧：
1.仔细阅读题目，明确题目要求，确定需要分类讨论的条件。

2.分类讨论时，要根据题目条件进行合理分类，避免分类过多或过少。

3.对于每个分类，要按照题目要求，分别进行讨论，避免遗漏。

4.在讨论过程中，要善于运用数学公式、定理和性质，进行严密的推导和论证。

5.在得出结论后，要对各个分类的结论进行整合，得出最终答案。

初一数学分类讨论题的典型例题分析：
例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。

分析：此题需要根据正方形对角线的长度进行分类讨论。

当对角线长度为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (10√2)/2=50 平方厘米；当对角
线长度不为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (a+b)/2，其中 a、b 分别为正方形的两条边长。

因此，需要分别讨论这两种情况，得出最终答案。

分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。

它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。

分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。

一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。

例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。

售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。

这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。

这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。

假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。

因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。

则此时需要用到分情况讨论法。

只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。

②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。

因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。

（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。

这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。

初中数学分类讨论思想与例题讲解中学数学用到的数学思想（或方法）有:（1）转化化归思想（2）方程思想（3）分类讨论思想（4）函数思想（5）整体思想（6）数形结合思想这里重点讲一下分类讨论思想.中学数学与小学数学相比,最明显的一个区别就是中学数学中某些问题的答案并不是唯一的,需要分为两种或两种以上的情况进行讨论,尤其是高中数学.这就要求学生具有一定的分类讨论能力,具备分类讨论思想.分类讨论思想,是一种很重要的数学思想方法,分类讨论题是中考和高考的必考题,具有较高的难度,需要学生对学过的定义（概念）、定理、公里、结论等有一个更加深刻的、全面的掌握.在解答分类讨论题时,思维要全面,要想到问题的每一种可能情况,避免出现漏解、讨论不完整的现象.另外,还有一点需要注意的是,并不是每种情况的解都符合题意,这就需要对这些解作出正确的取舍.讨论完之后,要对讨论的结果作出一个总结,如“综上所述,…”等.对于初中学生来说,只要对分类讨论题多加练习,勤于思考和总结,就能初步具备一定的分类讨论能力,让分类讨论思想植根于大脑.下面列举一些分类讨论的题目,并给出解答,希望你们认真、用心领悟这种重要的思想方法.【例1】解关于x 的方程723=-x .分析:因为绝对值等于7的数有两个,分别是7和7-,所以本题要分723=-x 和723-=-x 两种情况.注意,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数. 解:分为两种情况: 当723=-x 时,解得3=x ;当723-=-x 时,解得35-=x .综上所述,方程723=-x 的解为3=x 或.35-=x【例2】解关于x 的方程.12+=+x b ax 解:12+=+x b ax()b x a b x ax -=--=-1212 分为以下三种情况:（1）当2,02≠≠-a a 即时,方程有唯一解,为21--=a bx ; （2）当1,2,01,02===-=-b a b a 即时,方程有无数个解（0乘以任何数都得0）;（3）当1,2,01,02≠=≠-=-b a b a 即时,方程无解.图（3）A AB B【例3】已知50=∠AOB °,30=∠BOC °,求AOC ∠的度数.分析:读题可知,AOB ∠和BOC ∠有一条公共边,但不知道BOC ∠是在AOB ∠的内部还是外部,所以要分为两种情况讨论. 解:分为两种情况:（1）当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图（1）所示,此时: =∠-∠=∠BOC AOB AOC 50°－30°=20°; （2）当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图（2）所示,此时: =∠+∠=∠BOC AOB AOC 50°＋30°=80°. 综上所述,AOC ∠的度数为20°或80°.图（1）COBA 图（2）COBA例4.已知线段AB=5cm,BC=3cm,则线段AC 的长为__________. 解:分为两种情况:（1）当点C 在线段AB 的延长线上时,如图（3）所示,此时: AC=AB+BC=5+3=8cm; （2）当点C 在线段AB 上时, 如图（3）所示,此时: AC=AB －BC=5－3=2cm.综上所述,线段AC 的长为8cm 或2cm.注:例3和例4是关于相对位置展开的讨论. 关于等腰三角形的讨论例 5.若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【 】（A ）50° （B ）80° （C ）50°或65° （D ）50°或80° 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的50°角由于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当50°角为顶角时,它的两个底角为︒︒︒=-65250180;（2）当50°角为底角时,顶角为︒︒︒=⨯-100502180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为50°或80°,选择（D ）. 参看下面的图（4）.图（4）50°角为底角时50°角为顶角时拓展:若把题目中的50°角改为100°角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?例6.若等腰三角形的两条边长分别为3cm 、6cm,则它的周长为【 】 （A ）9cm （B ）12cm （C ）15cm （D ）12cm 或15cm分析:两条边长分别为3cm 、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.解:分为两种情况:（1）当3cm 为腰长,6cm 为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是构不成三角形的;（2）当3cm 为底边长,6cm 为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,此时该等腰三角形的周长为15cm,选择（C ）. 拓展:把题目中的3cm 改为5cm,则答案又是什么? 例7已知2,4==n m ,且,0<mn 则=nm__________. 分析:这是七年级上册数学的内容,考查的是关于绝对值的知识点.关于绝对值的题目大多数也需要讨论. 解:∵2,4==n m ∴2,4±=±=n m ∵0<mn∴n m 、异号,分为两种情况:（1）当2,4-==n m 时,224-=-=n m ; （2）当2,4=-=n m 时,224-=-=n m . 综上所述,2-=nm.注意:本题的两种情况虽然是相互独立的,但结果却是一样的. 例8已知=->==b a b a b a 则且,,3,2__________. 解:∵3,2==b a ∴3,2±=±=b a ∵b a >∴分为下面两种情况:（1）当3,2-==b a 时,532)3(2=+=--=-b a ; （2）当3,2-=-=b a 时,132)3(2=+-=---=-b a . 综上所述,b a -的值为1或5.补充:分类讨论思想解决问题的一般步骤是: 1.先明确需要讨论的对象;2.选择分类的标准,进行合理分类（统一标准 不重不漏）;3.逐类讨论;4.归纳总结,得出结论（结果）. 关于比较大小的讨论例9已知64,222+-=-=m m B m m A ,试比较B A 、的大小. 分析:在比较两个代数式的大小关系时,常采用作差比较法. 解: ∵64,222+-=-=m m B m m A ∴()64222+---=-m m m m B A6264222-=-+--=m m m m m分为以下三种情况:（1）当,062>-m 即3>m 时,B A B A >>-,0;（2）当,062=-m 即3=m 时,;,0B A B A ==- （3）当,062<-m 即3<m 时,.,0B A B A <<- 例10解关于x 的不等式()63>-x a .分析:既然是关于x 的不等式,那么要求3,03≠≠-a a 即,在分类讨论的时候不再讨论这种情况.解:根据不等式的性质,分为两种情况:（1）当3,03>>-a a 即时,该不等式的解集为36->a x ; （2）当3,03<<-a a 即时,该不等式的解集为36-<a x .例11关于x 的不等式()3232+>+m x m 的解集为__________. 你自己写出解的过程. 解:例12一等腰三角形一腰上的高与另一腰成35°角,则此等腰三角形的顶角是__________度. 解:分为三种情况:（1）当顶角为锐角时,如图（5）所示,则顶角为90°－35°=55°; （2）当顶角为直角时,如图（6）所示,不符合题意;（3）当顶角为钝角时,如图（7）所示,则顶角为()︒︒︒︒=--1253590180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为55°或125°.图（5） 图（6） 图（7）例13若324--x x的值为负数,则x 的取值范围是____________.分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负. 解:∵324--x x的值为负数 ∴324--x x 与异号 ∴分为两种情况:（1）⎩⎨⎧<->-03204x x ,解得该不等式组的解集为23<x ;（2）⎩⎨⎧>-<-03204x x ,解得该不等式组的解集为4>x .综上所述,x 的取值范围是23<x 或4>x . （注意,这里用“或”,不能用“且”） 例14化简ba +1.解:分为两种情况:（1）当b a =时,aaa a a ab a 221211=⋅⋅==+;（2）当b a ≠时,()()b a ba ba b a b a ba --=-+-=+1.例15两条相交的直线所组成的图形的对称轴有__________条.分析:直线相交有两种情形:一般相交和垂直相交,从对称的角度考虑,这两种相交的对称情况是不一样的.解:分为两种情况:（1）若这两条直线不垂直,如图（8）所示,则整个图形的对称轴只有2条;（2）若这两条直线垂直,如图（9）所示,则整个图形的对称轴有4条. 综上所述,两条相交的直线所组成的图形的对称轴有2或4条.图（8）图（9）例16已知942++mxx是完全平方公式,则=m__________. 分析:完全平方公式有两种:()2222bababa+±=±.解:分为两种情况:（1）当942++mxx为完全平方和公式时,有()91249432942222++=+++=++xxmxxxmxx所以12=m;（2）当942++mxx为完全平方差公式时,有()91249432942222+-=++-=++x x mx x x mx x所以12-=m . 综上所述,12±=m .注意:例16为易错题,八年级的学生应该注意.说明:在以后我们还会遇到许多分类讨论的题目,到时候我再给你们补充,这里只选16道例题,希望你们对此类题目加以重视.。

分类讨论思想在初中数学解题中的运用策略随着教育教学的改革不断推进，分类讨论法已经成为了初中数学解题过程中不可或缺的一部分。

分类讨论法的运用，能够帮助学生将问题分类，找到问题的本质，提高解题效率，在初中数学解题中有着广泛的运用，下面我们就具体来讨论一下分类讨论法在初中数学解题中的运用策略。

一、数学题目分类在解数学题目时，首先需要对题目进行分类。

将数学题目按照特点、规律、难易程度等分类，再选择针对性强的解题方法进行解答。

例如，人教版数学七年级下册P95的“例9 求①35的约数；②35的因数。

”这是一道数论题目。

但对于中学生来说，如果没有学过数论，可能并不知道其中的约数和因数分别是什么。

在此情形下，我们可以将问题按以下方式进行分类，方便更好的理解：1、约数：因数：数字的倍数数字的因子能够整除该数字能够被该数字整除2、即可轻松理解约数和因数的概念，根据题目的要求作出回答。

二、逐层递进化解问题在使用分类讨论法时，需要不断地逐层递进，将一个复杂的问题根据不同情况，逐渐化解为多个相对简单的问题。

这一过程可能需要多次比较，多次讨论，但通过逐步分解化解问题，最终可达到解决问题的目标。

例如，人教版数学七年级上册P244的“练习129 问：对于二次方程x²+mx+n=0，当D=0时，方程有两个相等的实数根，求证：该系数m的取值范围为m²≤4n”1、首先向m²-4n=0的方向思考，即给出D=0的情况下的解法。

2、由于题目所给的二次方程有两个相等的实数根，因此可以根据根的公式推导出“完成平方”及“辗转相消”的运算，得到m²-4n=0。

3、接着可以将m²-4n=0进一步转化为“(m+2√n)(m-2√n)=0”的形式，从而得出m²≤4n或者m²≤-4n的两种情况。

4、在对m²≤-4n进行分析后，发现该解右侧不存在实数解，因此需要剔除。

5、最终，通过逐步化解，我们可以得到m²≤4n的结论，从而证明出题目所要求的结论。

七年级数学分类讨论思想易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共1小题，共3.0分）1.对一个正整数x进行如下变换：若x是奇数，则结果是3x+1；若x是偶数，则结果是12x.我们称这样的操作为第1次变换，再对所得结果进行同样的操作称为第2次变换，……以此类推．如对6第1次变换的结果是3，第2次变换的结果是10，第3次变换的结果是5……若正整数a第5次变换的结果是1，则a可能的值有()A. 1种B. 3种C. 32种D. 64种【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义问题，逆向思维法，一元一次方程的应用，分类讨论的数学思想，关键是根据逆向思维法得：正整数a第5次变换的结果是1，得第4次变换的结果是2，又因为对一个正整数a，3a+1≠2，得第3次变换的结果是4，再分当a是奇数和偶数两种情况，分别求得第三次变换的代数式，再根据第三次变换的结果为4的方程，解方程求得的整数解符合题意，否则舍去，即可解答．【解答】解：根据题意得：正整数a第5次变换的结果是1，∴第4次变换的结果是2，又因为对一个正整数a，3a+1≠2，∴第3次变换的结果是4，当a是奇数时：第1次变换的结果是3a+1，3a+1是偶数；第2次变换的结果是3a+12，第3次变换的结果是3×3a+12+1或3a+14，∴3×3a+12+1=4，或3a+14=4，解得：a=13(不合题意，舍去)或a=5；当a是偶数时，第1次变换的结果是a2，第2次变换的结果是32a+1或a4，第3次变换的结果是3×(32a+1)+1或12(32a+1)或3×a4+1或a8，∴3×3a+22+1=4或12(32a+1)=4或3×a4+1=4或a8=4，解得：a=0(不合题意，舍去)或a=143(不合题意，舍去)或a=4或a=32．综上所述，正整数a=4或5或32时，第5次变换的结果是1．故选B．二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）2.如图，两根木条的长度分别为6cm和10cm，在它们的中点处各打一个小孔M、N(小孔大小忽略不计).将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN=________cm．【答案】2或8【解析】【分析】此题考查两点之间的距离问题，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、M、N四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．【解答】解：本题有两种情形：(1)当A、C(或B、D)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，MN=CN−AM=12CD−12AB，=5−3=2(厘米)；(2)当B、C(或A、D)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，MN=CN+BM=12CD+12AB，=5+3=8(厘米)．∴两根木条的小圆孔之间的距离MN是2cm或8cm，故答案为：2或8．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）3.如图，0°<∠AOB<180°，射线OC，射线OD，射线OE，射线OF均在∠AOB内部，∠AOC=∠BOD=∠EOF，∠COE=∠DOF，∠COD=2∠EOF．(1)若∠COE=20°，求∠EOF的度数；(2)若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由；(3)若∠EOF的其中一边与OA垂直，求∠AOB的度数．【答案】解：(1)∵∠COE=20°，∴∠COE=∠DOF=20°，∵∠COD=2∠EOF，即∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，∴∠EOF=∠COE+∠DOF=20°+20°=40°；(2)设∠COE=∠DOF=x，∵∠COD=2∠EOF，∴∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，∴∠EOF=∠COE+∠DOF=2x，∴∠AOC=∠BOD=∠EOF=2x．∵∠EOF与∠COD互余，∴∠EOF+∠COD=90°，即2x+4x=90°，∴x=15°，∴∠COE=∠DOF=15°，∠AOC=∠BOD=∠EOF=30°，∴∠COD=60°，∠AOB=120°，∴∠AOB+∠COD=120°+60°=180°，∠COB=90°，∠AOD=90°，∴∠COB+∠AOD=180°，∴互补的角为：∠AOB与∠COD，∠COB与∠AOD．(3)若OF与OA垂直，则∠AOF=∠AOC+∠COE+∠EOF=90°，设∠COE=∠DOF=x，∴2x+x+2x=90°，∴x=18°，∴∠AOB=8x=144°，若OE与OA垂直，则∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，设∠COE=∠DOF=m，∴2m+m=90°，∴m=30°，∴∠AOB=8m=240°，∵0°<∠AOB<180°，∴这种情况应舍去，综上，∠AOB=144°．【解析】本题主要考查了角的计算，关键是正确地进行角的计算，正确列出方程．(1)根据角的关系进行计算便可；(2)根据互余角列出方程解答；(3)分两种情况讨论：OF与OA垂直和OE与OA垂直，进行解答．4.已知：∠AOD=156°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，则∠MON的大小为______；(2)如图2，若∠BOC=24°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；(3)在(2)的条件下，若∠AOB=30°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值【答案】解：(1)78°；(2)∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM−∠BOC=12∠AOC+12∠BOD−24°=12(∠AOC+∠BOD)−24°，∴∠MON=12(∠AOD+∠BOC)−24°=12×180°−24°=66°；(3)∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=(54+2t)°，∠AOM=(27+t)°，∠BOD=(126−2t)°，∠DON=(63−t)°，若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2(63−t)，∴t=33；若2∠AOM=∠DON，即2(27+t)=63−t，∴t=3；∴当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，分类讨论思想，利用一元一次方程解决问题是本题的关键．(1)由角平分线的定义可得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，即可求∠MON的大小；(2)由角平分线的定义可得∠COM=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，即可求∠MON的大小；(3)由题意可得∠AOC=(54+2t)°，∠AOM=(27+t)°，∠BOD=(126−2t)°，∠DON= (63−t)°，分∠AOM=2∠DON，∠DON=2∠AOM两种情况讨论，列出方程可求t的值．【解答】解：(1)∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，∵∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOD，∴∠MON=78°故答案为：78°(2)见答案；(3)见答案．5.如图，已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=30，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒.(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含t的代数式表示)；(2)若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化，请用含t的代数式表示这个长度；(3)动点Q从点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度?【答案】解：(1)−20，10−5t；(2)线段MN的长度不发生变化，都等于15.理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时，∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，∴MN=MP+NP=12AP+12BP=12(AP+BP)=12AB=15；②当点P运动到点B的左侧时：∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，∴MN=MP−NP=12AP−12BP=12(AP−BP)=12AB=15，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为15．(3)若点P、Q同时出发，设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度．①点P、Q相遇之前，由题意得4+5t=30+3t，解得t=13；②点P、Q相遇之后，由题意得5t−4=30+3t，解得t=17．答：若点P、Q同时出发，13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4；【解析】【分析】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．(1)根据已知可得B点表示的数为10−30；点P表示的数为10−5t；(2)分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．(3)分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于4列出方程求解即可；【解答】解：(1)∵点A表示的数为10，B在A点左边，AB=30，∴数轴上点B表示的数为10−30=−20；∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，∴点P表示的数为10−5t；故答案为：−20，10−5t；(2)见答案；(3)见答案．6.已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50∘，将一个三角板的直角顶点放在点O处(注：∠DOE=90∘，∠DEO=30∘).(1)如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=______．(2)如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．∠AOE时，求∠BOD的(3)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14度数．(4)将图1中的三角板绕点O以每秒5∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【答案】(1)40°，(2)∵OE平分∠AOC，∠COA，∴∠COE=∠AOE=12∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；(3)设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，∴5x=40，∴x=8，即∠COD=8°∴∠BOD=58°．(4)如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t=140，t=28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t=320，t=64．所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．【解析】【解析】∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠BOC=50°，∴∠COE=40°，故答案为：40°；(2)见答案；(3)见答案．(4)见答案．(1)代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；(2)求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD= 90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；(3)根据平角等于180°求出即可；(4)分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O 旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．7.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC=2∠BOC，若∠AOB=30°，请在图中作出射线OC，并求出∠AOC的度数．【答案】解：分两种情况：①如图1，若射线OC在∠AOB的内部，则∠AOC+∠BOC=30°，即2∠BOC+∠BOC=30°，所以∠BOC=10°，∠AOC=20°．②如图2，若射线OC在∠AOB外部，则由∠AOC=2∠BOC，可得OB就是∠AOC的平分线，所以∠AOC=2∠AOB=60°．综上，∠AOC的度数是20°或60°．【解析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是分两种情况进行讨论．分射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB外部两种情况，进行讨论求解即可．8.如图，在数轴上点A表示的数是−3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．(1)点B表示的数是________；点C表示的数是________；(2)若点P从点A出发，沿数轴以毎秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t 秒，当P运动到C点时，点Q与点B的距离是多少？(3)在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB.在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)15；3；(2)当P运动到C点时，t=3−(−3)]÷4=32s，则，点Q与点B的距离是：32×2=3;(3)假设存在，AC=6当点P在点C左侧时，PC=6−4t，QB=2t，∵PC+QB=4，∴6−4t+2t=4，解得t=1．此时点P表示的数是−3+4=1；当点P在点C右侧时，PC=4t−6，QB=2t，∵PC+QB=4，∴4t−6+2t=4，解得t=53．此时点P表示的数是−3+4×53=113．综上所述，在运动过程中存在PC+QB=4，此时点P表示的数为1或113．【解析】略9.已知∠AOB是锐角，∠AOC=2∠BOD．(1)如图，射线OC，射线OD在∠AOB的内部(∠AOD>∠AOC)，∠AOB与∠COD互余．①若∠AOB=60°，求∠BOD的度数．②若OD平分∠BOC，求∠BOD的度数．(2)若射线OD在∠AOB的内部，射线OC在∠AOB的外部，∠AOB与∠COD互补．方方同学说：∠BOD的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下∠BOD的度数是确定的，另一种情况下∠BOD的度数不确定．你认为谁的说法正确？为什么？【答案】解(1)①∵∠AOB=60°，∠AOB与∠COD互余，∴∠COD=30°，∵∠AOC=2∠BOD，∴∠BOD=10°．②设∠BOD=x°，∵OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，∠BOC，∠AOC=2x°，∴∠BOD=∠COD=12∵∠AOB与∠COD互余，∴4x+x=90，解得：x=18，∴∠BOD=18°．(2)设∠BOD=x，∠AOD=y．当射线OD在∠AOC内部时(如图1)，由题意，得∠AOB+∠COD=180°，即x+y+2x−y=3x=180°，此时∠BOD=60°，确定．当射线OD在∠AOC外部时(如图2)，由题意，得∠AOB+∠COD=180°，即x+y+y+2x=3x+2y=180°，此时∠BOD不确定；∴圆圆的说法正确．【解析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意(2)要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．(1)①根据∠AOB=60°，∠AOB与∠COD互余，可得∠COD=30°，再根据∠AOC=2∠BOD，可得∠BOD的度数；②先设∠BOD=x°，则4x+x=90，求出x的值，进而可得出结论；(2)分射线OD在∠AOC的内部与在∠AOC的外部两种情况进行讨论．10.某快递公司招聘快递员，快递员的月工资由底薪800元加上快递送单补贴(送一个包裹称为一单)构成，快递包裹补贴的具体方案如表：(1)若某快递员10月份送包裹800单，则他这个月的工资总额为多少元？(2)若某快递员11月份送包裹1200单，则他这个月的工资总额为多少元？(3)设12月份某快递员送包裹x单(x>1000)，那么他的月工资总额是多少？(请你用含有x、m的代数式表示)(4)若某快递员12月份送包裹1800单，所得工资总额为7200元，求m的值．【答案】解：(1)工资总额=800+800×3=3200(元)答：他这个月的工资总额为3200元；(2)∵1000<1200<1500，∴工资总额=800+1000×3+(1200−1000)×4=4600(元)，答：他这个月的工资总额为4600元；(3)当1000<x⩽m时，月工资总额=800+1000×3+4(x−1000)=4x−200，当x>m时，月工资总额=800+1000×3+4(m−1000)+5(x−m)=5x−m−200；(4)当m⩾1800时，月工资总额=800+1000×3+(1800−1000)×4=7000(元)，不合题意舍去，当m<1800时，则800+1000×3+(m−1000)×4+5(1800−m)=7200，解得：m=1600，答：m的值为1600．【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数性质解答．(1)根据题意和表格中的数据可以求得某快递员10月份送包裹800单的工资总额为底薪(800)加补贴(800×3)；(2)根据题意和表格中的数据可以求得某快递员11月份送包裹1200单的工资总额为底薪(800)加补贴(1000×3+200×4)；(3)根据题意和表格中的数据可以写出各段x、m的代数式；当1000<x⩽m时和当x>m时两种讨论，(4)将x=1800，月工资总额=7200代入两个代数式就可解得m的值．。