2020年高考数学导数中分类讨论思想的应用及分类

一、复习策略分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的区域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．5. 分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．二、典例剖析例1、（2007·上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由（2，1），（3，k），得（1，k－1），由于为直角三角形，则，，都可能为直角，由向量数量积为0，分别有或或，解得或．答案：B点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或－1的等差数列有个，公差为2或－2的等差数列有个，所以满足条件中的概率为．答案：B点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数．例3、（2007·陕西）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值．分析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系．解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴所求椭圆方程为．（2）设，．①当轴时，．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．∴当|AB|最大时，面积取最大值．点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系．对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因．例4、（2007·海南、宁夏）设函数．（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题．解：（1），依题意有，故．从而．的定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调递增，在区间单调递减．（2）的定义域为，．方程的判别式．（i）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为．f(x)的极值之和为：．点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程在的定义域内有解；二是在方程的根的两边导数的符号要相反．因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论．例5、设函数的图象是曲线，曲线与关于直线对称．将曲线向右平移1个单位得到曲线，已知曲线是函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）设求数列的前项和，并求最小的正实数，使对任意都成立．解：（1）由题意知，曲线向左平移1个单位得到曲线，∴曲线是函数的图象．曲线与曲线关于直线对称，∴曲线是函数的反函数的图象．的反函数为．．（2）由题设：，．．①．②由②—①得，．当．．当时，．∴当时，对一切，恒成立．当时，．记，则当大于比大的正整数时，．也就证明当时，存在正整数，使得.也就是说当时，不可能对一切都成立.∴t的最小值为2.例6、（2007·天津）在数列中，，其中λ＞0．求数列的前项和．分析：数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法．解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．设，①②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．点评：本题考查数列的通项公式和前项和．对于等比数列的前项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论．例7、已知函数f（x）=ax＋lnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.（1）若f（x）在区间（0，e上的最大值为－3，求a的值；（2）当a=－1时，试推断方程| f（x）|=是否有实数解.解：（1）∵=a＋，x∈(0，e)，∈［，＋∞．①若a≤－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.∴f(x)max =f(e)=ae＋1≥0.不合题意.②若a<－，则由>0a＋>0，即0<x<－由f(x)<0a＋<0，即－<x≤e.∴f(x)max=f(－)=－1＋ln(－).令－1＋ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e－2，即a=－e2. ∵－e2<－，∴a=－e2为所求.（2）当a=－1时，f(x)=－x＋lnx，=－1＋=.当0<x<1时，>0；当x>1时，<0.∴f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，＋∞）上减函数.从而f(x)max=f(1)=－1.∴f(x)=－x＋lnx≤－1，从而lnx≤x－1.令g(x)=|f(x)|－==x－lnx－－=x－(1＋)lnx－①当0<x<2时，有g(x)≥x－(1＋)(x－1)－=－>0.②当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx＋(1＋)·］==.∴g(x)在[2，＋∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=综合①、②知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>.故原方程没有实解.例8、已知函数（1）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；（2）求函数y＝f (x)在区间[1，2]上的最小值.解：（1）由题意，．当时，由，解得或；当时，由，解得．综上，所求解集为．(2)设此最小值为m．①当时，在区间[1，2]上，，因为，，则是区间[1，2]上的增函数，所以．②当时，在区间[1，2]上，，由知．③当时，在区间[1，2]上，．．若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以．若，则．当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或．当时，，故，当时，，故．综上所述，所求函数的最小值例9、设函数f(x)=x2＋｜x－a｜＋1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2＋｜－x｜＋1=f(x)，此时f(x)为偶函数．当a≠0时，f(a)=a2＋1，f(－a)=a2＋2｜a｜＋1.f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2－x＋a＋1=(x－)2＋a＋．若a≤，则函数f(x)在(－∞，a］上单调递减．从而函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f(a)=a2＋1．若a＞，则函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f()=＋a，且f()≤f(a)．②当x≥a时，函数f(x)=x2＋x－a＋1=(x＋)2－a＋．若a≤－，则函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(－)=－a，且f(－)≤f(a)；若a＞－，则函数f(x)在［a，＋∞)单调递增．从而函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(a)=a2＋1.综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2＋1；当a＞时，函数f(x)的最小值是a＋．。

导数中分类讨论思想的应用及分类导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。

如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是：那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。

因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。

根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。

题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是不确定，因此二次函数∆是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下：①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例，可直接判断出当时，，再例'221y ax a =++0a ≥'0y >，则可直接判断出当时，，此时不需要对参数是否'221y ax a =---0a ≥'0y <为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论；②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数；③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系；④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的重要性在高中数学教学中，分类讨论思想是一种非常重要的教学方法。

分类讨论思想可以帮助学生建立起系统的思维结构，培养学生的逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

通过分类讨论思想，学生可以将知识点整理成一种有机的体系，更加深入地理解和掌握数学知识。

分类讨论思想还可以帮助学生发现知识之间的联系和规律，从而激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性。

在高中数学教学中，引导学生采用分类讨论思想是非常必要的。

通过分类讨论思想的应用，可以使教学更加系统化、深入化，提高教学的效果和质量，培养学生全面发展的数学素养，使他们具备扎实的数学基础和优秀的数学思维能力。

分类讨论思想不仅是教师教学的方法，更是促进学生全面发展的重要途径，它在高中数学教学中具有不可替代的重要作用。

2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念涉及到对问题或者知识点进行分类，然后在每一个类别里进行讨论和分析的方法。

这种思想贯穿于数学教学的各个环节，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的逻辑思维能力。

在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用在各种数学问题中。

比如在解题过程中，通过将问题分解成几个小问题，然后分别讨论和解决，可以使学生更加清晰地理解问题的结构和解题思路。

分类讨论思想也可以帮助学生在实验教学中更好地总结实验数据，分析实验现象，从而加深对数学原理的理解。

分类讨论思想还可以在数学知识点梳理和素养培养中发挥重要作用。

通过将数学知识点按照特定的规则分类，可以帮助学生系统地掌握知识结构，提高记忆和理解效果。

而在素养培养方面，分类讨论思想可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使他们具备独立思考和解决问题的能力。

2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用是非常重要的。

分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果. 四、本讲讲了分类讨论思想情形情形1：不确定集合A 是否是空集要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论；情形2：等式（方程）两边同时除以一个数a 时不确定a 是否为零要分00a a =≠和讨论； 情形3：不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程要分00a a =≠和讨论； 情形4：不确定等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要分00a a =≠和讨论； 情形5：不确定函数2()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要分00a a =≠和讨论. 情形6:2(0)y ax bx c a =++≠的抛物线开口方向不确定要分0a <和a>0讨论；情形7：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式∆正负不确定要分00∆>∆≤和讨论； 情形8：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论； 情形9：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2bx a=-与区间[,]m n 的位置关系不确定一般要分2b m a -<、2b m n a ≤-≤、2b n a->三种情况讨论.；情形10：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与区间的位置关系不确定要分类讨论. 情形11：不等式20ax bx c ++>中a 的正负不确定要分0a >和0a <讨论； 情形12：不等式20ax bx c ++>中两根大小不确定要分类讨论；情形13：不等式20ax bx c ++>中判别式∆正负不确定要分000∆=∆>∆<、和讨论； 情形14：分段函数求值不确定x 在哪一段要分类讨论；情形15：一次函数y kx b =+的斜率正负不确定要分00k k ><和讨论. 情形16：指数函数xy a =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论； 情形17：对数函数log a y x =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论.； 情形18：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论； 情形19：由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论； 情形20：复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.情形21：把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论； 情形22：空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论；情形23：利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论； 情形24：利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论； 情形25：圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论. 情形26：三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论；情形27：在三角形中解方程sin (01)A m m =<<时要把A 分锐角和钝角两种情况讨论；情形28：使用项和公式1112nn n a n a s s n 求通项n a 时，一定要对n 分类讨论；情形29：利用等比数列前n 项和公式111(1)11n nna q S a q qq求n S 时要对q 分两种情况讨论；情形30：数列{||}n a 求和时一般要就n 分类讨论. 情形31：放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论； 情形32：对双曲线两条渐近线所成的角要分类讨论； 情形33：圆锥曲线焦点位置不确定时要分类讨论；情形34：求过点P 的曲线的切线方程时要就P 是否是切点分类讨论； 情形35：函数()y f x =在区间上单调时一般要分单调递增和单调递减讨论；情形36：解指数方程和不等式时，不确定参变量是否在对数函数的定义域内要分类讨论. 【方法讲评】分类讨论情形一 不确定集合A 是否是空集，所以要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论.【例1】已知集合.（1）若，求，.（2）若，求的取值范围.【解析】（1）∵若，则，，∴或， ∴，【点评】（1）第2 问中，，不能直接有12112214m m m m -+≤-⎧⎪-+≥-⎨⎪-≤⎩，这样就漏掉了集合B 是空集的情况.不确定集合B 是否是空集，所以要对集合B 分空集和非空集两种情况讨论.（2）对于集合的关系问题(子集真子集关系)和集合的运算（交集、并集和补集）问题，都要注意不要遗漏了空集的情况.【反馈检测1】设集合，，若，求的值．分类讨论情形二等式（方程）两边同时除以一个数a 时，如果不确定a 是否为零，就要分两种情况00a a =≠和讨论.【例2】 已知集合2{|560},{|10},A x x x B x mx =-+==+=且,A B A =求实数m 的值组成的集合. 【解析】{2,3}A B A B A A =∴⊆=由题得. 因为mx+1=01mx ∴=-00m A m φφ=⊆∴=当时，B= 满足题意.1110{}232m B m m m ≠=-∴-=∴=-1当时，或或-31{}.2m ∴-1实数的取值集合为0，,-3【点评】（1）在解方程1mx =-时，有同学很容易在方程两边除以m ，结果导致漏解0m =,得到实数m 的取值集合为1{}.2-1,-3（2）大家在任何地方不要随便乘以或除以一个实数，在乘以或除以一个实数时，必须考虑它是否等于零，如果不确定就一定要讨论或者寻找其它方法.【例3】在ABC ∆中，2c =，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，若sin sin()C B A +-2sin 2A =，求ABC ∆面积.【点评】(1)等式sin cos 2sinAcosA B A =的两边不能同时除以cos A ,因为当090A = 时，cos 0A =,所以如果同时除以cos A 时，导致解题不够严谨,在有的地方会导致漏解.(2)解数学题，始终要牢记，不能随便乘除，如果要乘除，必须认真考虑这个数是什么数，如果不能确定，可以讨论，也可以寻找其它方法解答.（3）分类讨论时，最好把好讨论的放在前面讨论，这样可以得分,本题中cos 0A =，容易讨论，所以放在前面讨论.【反馈检测2】在ABC ∆中，cos sin sin cos()0C A B A B ++=,判断ABC ∆的形状. 分类讨论情形三不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程，要分00a a =≠和讨论，不能直接当作一元二次方程解答.【例4】设全集U R =，{}2|20A x x x =-=，{}2|10B x mx mx =--=，其中x R ∈，如果()U A B =∅，求m 的取值范围．检验，此时{}21|44102B x x x ⎧⎫=-+-==⎨⎬⎩⎭，符合题意；当B 中有两个元素时，由题意10,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，将0，12代入方程可知此时无解．综上所述，m 的取值范围为40m -≤≤．【点评】210mx mx --=不一定是一元二次方程，所以一定要对2x 的系数m 分类讨论，分0m =0m ≠或两种情况讨论，把0m =放在前面讨论. 否则容易漏解.【例5】已知直线与双曲线.（1）若，求与相交所得的弦长；（2）若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围.【解析】（1）2122212012,322034123x y x x x x x y x x ⎧⎪∆>⎪+=⎧⎪∴+-=∴+=-⎨⎨-=⎩⎪⎪=-⎪⎩，弦长为2143； （2）222222221,(1)220x y a x a x a x a y a+=⎧∴-+-=⎨-=⎩，【点评】对于方程2222(1)220a x a x a -+-=，有很多同学容易直接考虑0∆>，这样就会导致出现错解.只有一元二次方程才有判别式，所以这里一定要分类讨论，这个逻辑一定要理解清楚，不是死记.【反馈检测3】已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【反馈检测4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线的方程；（2）设，在直线的斜率存在前提下，若，求直线的斜率.分类讨论情形四不确定不等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要讨论，不能直接当作一元二次不等式解答，要分00a a =≠和两种情况讨论.【例6】已知2()lg(x )f x ax b =++的定义域为A ，2()43g x kx x k =+++的定义域为B . （1）若B R =，求k 的取值范围； （2）若()(){},|23R R C A B B C A B x x ==-≤≤，求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.所以()()02034302223h k h k ∆≥⎧⎪-≤⎪⎪⇒-≤≤-⎨≤⎪⎪-≤-≤⎪⎩. 【点评】2430kx x k +++≥不一定是一元二次不等式，所以要对2x 的系数k 分类讨论，分00k k =≠和两种情况讨论.【反馈检测5】已知函数22()lg (32)(1)1f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦的定义域为R ，求实数m 的取值范围．分类讨论情形五不确定函数2()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要讨论，要分00a a =≠和两种情况讨论，不能直接当作一元二次函数解答.【例7】函数2()2(3)1f x ax a x =+-+在区间[2,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）2()2(3)1f x ax a x =+-+不是一元二次函数，因为题目并没有说0a ≠.所以对于函数2y ax bx c =++一定要关注2x 系数a ，如果已知没有说0a ≠，一定要分类讨论.否则漏解.（2）解答数学问题必须严谨，讲究思维的逻辑.【反馈检测6】已知2()2,[0,1],f x ax x x =-∈，求()f x 的最小值.分类讨论思想情形之1-5参考答案 【反馈检测1答案】或【反馈检测1详细解析】∵，∴， 由，∴，或，或，或．当时，方程无实数根，则综上所述：或．【反馈检测2答案】ABC ∆是直角三角形或等腰三角形.【反馈检测2详细解析】由题得cos sin sin cos 0C A B C -= 所以cos (sin sin )0C A B -= 所以cos 0C =或sin sin A B = 所以090C =或a b =， 所以ABC ∆是直角三角形或等腰三角形. 【反馈检测3答案】（1）1{,1}3A =-；（2） {0,1}B =；（3）{|1a a ≥或0}a =. 【反馈检测3详细解析】（1）∵1是A 的元素，∴1是方程2210ax x ++=的一个根， ∴210a ++=，即3a =，此时2{|3210}A x x x =++=. ∴11x =，213x =-，∴此时集合1{,1}3A =-； （2）若0a =，方程化为10x +=，此时方程有且仅有一个根12x =-， 若0a ≠，则当且仅当方程的判别式440a ∆=-=，即1a =时，方程有两个相等的实根121x x ==-，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合{0,1}B =； （3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况：①A 中有且只有一个元素，由（2）知此时0a =，或1a =；②A 中一个元素也没有，即A =∅，此时0a ≠，且440a ∆=-<，∴1a >. 综合①、②知所求a 的取值范围是{|1a a ≥或0}a =.【反馈检测4答案】（1）;（2）. 【反馈检测4详细解析】（1）设，由题意，，，，因为是等边三角形，所以，即，解得，故双曲线的渐近线方程为.∴，解得，所以直线的斜率为.【反馈检测5答案】1m ≤或73m >． 【反馈检测5详细解析】∵函数()f x 的定义域为R ， ∴对于任意x R ∈，恒有22(32)(1)10m m x m x -++-+>①若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为10>，符合题意，当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．【反馈检测6详细解析】（1）当0a =时，()2f x x =-在[0,1]上递减，min ()(1)2f x f ∴==-. （2）当0a >时，2()2f x ax x =-图像的开口向上，且对称轴为1x a=， ①当101a<≤，即1a ≥时 ，()f x 图像的对称轴在[0,1]内， 所以()f x 在1[0,]a 上递减，在1[,1]a 上递增，所以min 11()()f x f a a==-，②当11a>，即01a <<时 ，()f x 图像的对称轴在[0,1]右侧，所以()f x 在[0,1]上递减， min ()(1)2f x f a ==-.③当0a <时，2()2f x ax x =-图像的开口向下，且对称轴为10x a=<，在y 轴的左侧， 所以()f x 在[0,1]上递减，所以min ()(1)2f x f a ==-.综上所述，min2,1()1,1a a f x a a-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【方法讲评】分类讨论情形6一元二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的抛物线的开口方向不确定要分类讨论，分0a <和a>0两种情况讨论.【例1】已知函数()()2ln 1f x x ax =++，其中a R ∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若0x ∀>， ()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()121f x ax x =++'，由()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直， 可知()11212f a '=+=，所以14a =；（Ⅱ）由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()121f x ax x =++' 22211ax ax x ++=+，()2221g x ax ax =++的对称轴方程为12x =-，所以112x <-， 212x >-，由()()1010g g -==>，可得1112x -<<- 20x <<.所以当()11,x x ∈时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()0f x '>，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增.因此函数()f x 有两个极值点. （iii ）当0a <时， 0∆>，由()()1010g g -==>，可得11x <-， 20x > 当()21,x x ∈-时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x <， ()0f x '<,函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当2a >时，函数()f x 有两个极值点. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当02a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，因为()00f =，所以()0,x ∈+∞时， ()0f x >，符合题意；综上所述， a 的取值范围是[)0,+∞.【点评】（1）由于函数()2221g x ax ax =++是不是二次函数不确定要分类讨论，分00a a =≠和讨论，是二次函数时，开口方向不确定要分类讨论，要分0a >和a<0讨论. 开口方向确定后，判别式∆正负不确定要分类讨论，所以本题有三级分类讨论.对学生的逻辑思维能力要求比较高.(2)分类讨论是比较考逻辑思维的，该分类的时候，你没有分类讨论，不该分类讨论时，你分类讨论，都是错误的.对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系. 我们要学会思考，学会总结.【反馈检测1】已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证: ()321222e e a e ++-<<-.分类讨论情形7一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式∆正负不确定要分类讨论，一般分00∆>∆≤和讨论.【例2】已知函数()()21ln 1f x x a x =-+-， a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，且12x x <，证明：()()1221f x f x x x >．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(),1-∞，由题意()222'2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--，综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以()'0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<， 12121,{,2x x a x x +==且满足110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()()()2111111211112221ln 1112ln 112ln 1f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得()()()2222112ln 1f x x x x x =-++-．()()()()()()1221112222222212ln 12ln 12121ln 2ln 1f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，【点评】（1）2228a y x x a =-+-∆-中=4正负不确定，抛物线与x 轴的交点个数不确定，所以要分00∆≤∆>和两种情况讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律. 【反馈检测2】已知函数()21ln 2f x x x a x =-+， a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当209a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ， 2x ，且12x x <.证明： ()1251ln3123f x x >--.分类讨论情形8一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论.【例3】已知函数()212f x mx =+， ()()()2ln 211g x x m x m R =-+-∈，且()()()h x f x g x =+.（1）若函数()h x 在()()1,1f 和()()3,3f 处的切线互相平行，求实数m 的值； （2）求()h x 的单调区间. 【解析】（1）()()()()21212ln 2h x f x g x mx m x x =+=-++， ()()2'21(0)h x mx m x x∴=-++>.()()'12121h m m m ∴=-++=-， ()()21'332133h m m m ∴=-++=-. ()'0f x <.③当12m =时， ()()22'2x f x x-=，在区间()0,+∞上， ()'0f x >. ④当12m >时， 102m <<，在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上， ()'0f x >；在区间1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x <.综上：①当0m ≤时， ()f x 的单增区间为()0,2，单减区间为()2,+∞； ②当102m <<时， ()f x 的单增区间是()0,2和1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单减区间是12,m ⎛⎫⎪⎝⎭； ③当12m =时， ()f x 的单增区间是()0,+∞； ④当12m >时， ()f x 的单增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单减区间是1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点评】（1）函数()()12y mx x =--不确定是不是二次函数，首先必须就m 分类讨论，分0m =0m ≠和两种情况讨论.（2）当0m >时，()()12y mx x =--是二次函数，但是函数的两个零点11x m=22x =大小关系不确定，所以要分三种情况讨论. （3）当0m <时，()()12y mx x =--是二次函数，函数的两个零点121020x x m=<=>大小关系确定12x x <，所以不需要分类讨论. （4）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑两根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律.【反馈检测3】设()ln f x x ax =+， ()()21212g x ax a x =-+. （1）若1a =，证明： []1,2x ∈时， ()13f x x-<成立；（2）讨论函数()()y f x g x =+的单调性；分类讨论情形9二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2bx a =-与区间[,]m n 的位置关系不确定要分类讨论，一般分三种情况讨论, 2b m a -<、2b m n a ≤-≤、2bn a->.【例4】已知函数（，）满足，且对任意实数都有.（1）求，的值； （2）是否存在实数，使函数在区间上有最小值-5？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1），所以，因为在上恒成立，即恒成立.显然时，上式不能恒成立，所以，函数是二次函数，由于对一切，都有，所以由二次函数的图象和性质可得 ，即，即 ，解得：，．（2）因为，所以，所以．即,此方程无解．③当，即时，函数在区间上先减后增 所以，解得或．其中，应舍去．综上可得，存在实数，使函数在区间上有最小值-5.【点评】2()(2)1g x x m x =-++对称轴为22m x +=与区间[,2]m m +的相对位置关系不确定，所以要分三种情况讨论，2222 2.222m m m m m m +++<≤≤+>+、m 、每一种情况通过数形结合分析函数的最小值.【反馈检测4】已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2.（1）若函数)(x f 在），（∞+∞-上至少有一个零点，求a 的取值范围； （2）若函数)(x f 在[]1,+a a 上的最大值为3，求a 的值.分类讨论情形10一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与区间的位置关系不确定要分类讨论【例5】已知函数()ln f x x a x =-， ()1ag x x+=-，其中a R ∈ （1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围.（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，即存在[]01,x e ∈，使得()()()0000h x f x g x =-<，即函数()1ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. 由（1）可知：①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()0h x '<， ()h x 的[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-.综上可得所求a 的范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭. 【点评】（1）函数(1)[(1)]y x x a =+-+的一个零点是1x =-不在函数定义域(0,)+∞内要舍去，另一个零点是1x a =+不确定是否在定义域(0,)+∞内，直接影响了导函数的图像和性质，影响了原函数的图像和性质，所以要分类讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般的规律.【反馈检测5】已知函数()ln f x x a x =-， (]0,x e ∈， ()ln xg x x=，其中e 是自然常数， a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明()()12f xg x >+恒成立； （2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.分类讨论思想情形之6-10参考答案【反馈检测1答案】(1)见解析；(2) 见解析.【反馈检测1详细解析】由题得()()()2'21,'00x f x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-. (1) ()()()2'2121x xf x ax a x e x ax a e ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a <--或0x >时， ()'0f x >；当120x a --<<时， ()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a<--或0x >时， ()'0f x <；当120x a --<<时， ()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当0a >时， ()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时， ()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭. 当12a =-时， ()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时， ()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭,()0,+∞； (2) ()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x xy y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上， ()'0u x >，所以()0,+∞上， ()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()1?01e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故()321222e e a e ++-<<-.【反馈检测2答案】（1）14a ≥（2）详见解析. 【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为14a ≥. （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以()'0f x =在0x >上有两个不等的实根， 即20x x a -+=有两个不等的实根1x ， 2x ，可得14a <，且12121,{x x x x a +=⋅=，因为20,9a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112019x x <-<，可得110,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ()2211111121122211ln ln 22x x a x x x x x x f x x x x -+-+== 21111112ln 1x x x x x -=+-，110,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()212ln 1x x g x x x x -=+-， ()2121x xh x x-=-， ()ln m x x x =， ∵()()211'0221h x x =--<-，【反馈检测3答案】（1）见解析;（2）0a ≤， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.01a <<， ()f x 在()0,1， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.1a =， ()f x 在()0,+∞上单调递增；1a >， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【反馈检测3详细解析】（1）当1a =时， ()ln f x x x =+，要证[]1,2x ∈时()13f x x-<成立，由于0x >，∴只需证2ln 310x x x x +--<在[]1,2x ∈时恒成立，令()2ln 31g x x x x x =+--，则()'ln 22g x x x =+-，()'10Qg =设()ln 22h x x x =+-， ()1'20h x x=+>， []1,2x ∈， ()h x ∴在[]1,2上单调递增， ()()()'1''2g g x g ∴≤≤，即()0'ln22g x ≤≤+， ()g x ∴在[]1,2上单调递增， ()()22ln230g x g ∴≤=-<，∴当[]1,2x ∈时， 2ln 310x x x x +--<恒成立，即原命题得证.（2）()f x 的定义域为()0,+∞， ()()1'1f x ax a x=+-+= ()211ax a x x -++，①当01a <<时， ()'0f x >解得01x <<或1x a >； ()'0f x <解得11x a<<，④当0a =时， ()1'xf x x-=， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ⑤当0a <， ()()()11'ax x f x x--=， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.综上， 0a ≤， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.01a <<， ()f x 在()0,1， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.1a =， ()f x 在()0,+∞上单调递增；1a >， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【反馈检测4答案】（1）1a ≤；（2）0a =或1132a =． 【反馈检测4详细解析】（1）由164(3)01a a ∆=-+≥⇒≤ （2）化简得2()(2)1f x x a =-+-，抛物线的对称轴为2x =.当12a +<，即1a <时2max ()()433,0f x f a a a a ==-+=∴=；当21a a ≤≤+，即12a ≤≤时222max 113()43330,(1),(1)()330,()3f a a a a f a a a f a f a a f x a a a ±=-+->+=-∴+-=->∴=-=⇒=【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3.【反馈检测5详细解析】（1）证明：∵()ln f x x x =-， ()111x f x x x'-=-=， ∴当01x <<时， ()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x e <<时， ()0f x '>，此时()f x 单调递增.∴0a ≤时，不存在a 使()f x 的最小值为3. ②当10e a <<时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 2a e =，满足条件. ③当1e a ≥时， ()f x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13f x f e ae ==-=， 4a e=（舍去）， ∴1e a≥时，不存在a 使()f x 的最小值为3. 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3. （舍）;当12a +<，即2a >时2max 113()(1)3,f x f a a a a +=+=-=∴=,综上0a =或113a += 【方法讲评】 分类讨论情形11不等式20ax bx c ++>中a 的正负不确定要分0a >和0a <讨论.【例1】已知关于x 的不等式022>--ax x 的解集为1|{-<x x 或}b x >)1(->b . （1）求b a ,的值； （2）当21->m 时，解关于x 的不等式0))((>-+b x a mx . 【解析】（1）由题意知，1,b -是方程022=--ax x 的两个实根，∴⎩⎨⎧-=⋅-=+-2)1(1b a b ，解得⎩⎨⎧==21b a ，∴1=a ，2=b .当021<<-m 时，不等式的解集为1{|2}x x m<<-. 【点评】（1）()()0mx a x b +->中2x 的系数m 的正负情况不清楚，所以要分0=m 、0>m 、021<<-m 三种情况讨论.（2）解二次型的不等式20ax bx c ++>一般首先要研究二次项2x 的系数，再研究对称轴和判别式∆，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 【反馈检测1】解关于x 的不等式22(4)410a x x -+->．分类讨论情形12不等式20ax bx c ++>中两根大小不确定要分类讨论.【例2】已知关于x 的不等式()()011>+-x ax ．（1）若此不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x ，求实数a 的值；（2）若R a ∈，解关于x 的不等式()()011>+-x ax 【解析】（1）由题意可知0<a ，1-和21-为方程()()011=+-x ax 的两根， 于是2-=a ， （2）①当0=a 时，由0)1(>+-x ，得1-<x ；②当0>a 时，不等式可化为()011>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，解得1-<x 或a x 1>； ③当0<a 时，不等式可化为()011<+⎪⎭⎫⎝⎛-x a x ，【点评】（1） 0<a 时，不等式可化为()011<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，此时两根为1211x x a==-大小不确定，所以要分1111=11a a a <-->-、和三种情况讨论. （2）0>a 时，不等式可化为()011>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，两个根分别为121010x x a=>=-<，两个根的大小确定，所以不需要分类讨论，所以并不是看到字母就要讨论，是某些数学元素“不确定”才要讨论.（3）解二次型的不等式20ax bx c ++>一般首先要研究二次项2x 的系数，再研究对称轴和判别式∆，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 这是一般规律. 【反馈检测2】解关于x 的不等式：(2)(2)0x ax -->.分类讨论情形13不等式20ax bx c ++>中判别式∆正负不确定要分0=00∆<∆∆>、和讨论.【例3】解关于x 的不等式a x ax (0122>-+为常数）．原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--<<++-a a x a a x 1111．【点评】（1）当0≠a 时，一元二次方程0122=-+x ax 的判别式a 44+=∆正负不能确定，所以要分0=00∆<∆∆>、和三种情况讨论. （2）当0∆>时，方程的两根aax a a x +--=++-=11,1121大小不确定，所以要分类讨论，所以本题有两级分类.第一级就判别式∆分类讨论，第二级就两根大小分类讨论. (3)对二次函数2y ax bx c =++，一般先讨论a 的正负，再讨论对称轴和判别式∆，再讨论根的大小，再讨论根和区间的位置关系.【反馈检测3】解关于x 的不等式:222ax x ax -≥-，a R ∈．分类讨论情形14分段函数求值不确定x 在哪一段要分类讨论.【例4】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【点评】(1)在计算()2f a -时，由于不知道2a -在分段函数的哪一段，所以不能直接代入函数，所以要分类讨论.（2）在0a >时计算出12a =-，此时要注意和0a >求交集，否则会多解. 注意数学逻辑“小分类求交，大综合求并”. 【反馈检测4】设函数，则不等式的解集为__________．分类讨论情形15一次函数y kx b =+的斜率正负不确定要分00k k ><和讨论.【例5】已知函数()ln f x x a x =-， (]0,x e ∈， ()g x x =，其中e 是自然常数， a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明()()12f xg x >+恒成立；（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：∵()ln f x x x =-， ()111x f x x x'-=-=， ∴当01x <<时， ()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x e <<时， ()0f x '>，此时()f x 单调递增. ∴()f x 的极小值为()11f =，即()f x 在(]0,e 上的最小值为1，令()()1ln 122x h x g x x =+=+， ()21ln xh x x-'=， 当0x e <<时， ()0h x '>， ()h x 在(]0,e 上单调递增， ∴()()()max min 11111222h x h e f x e ==+<+==. ∴()()12f xg x >+恒成立. （2）假设存在实数a ，使()ln f x ax x =-（(]0,x e ∈）有最小值3，()11ax f x a x x ='-=-.①当0a ≤时， ()f x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13f x f e ae ==-=， 4a e=（舍去），∴0a ≤时，不存在a 使()f x 的最小值为3.综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3. 【点评】（1）()11ax f x a x x='-=-中，分母1y ax =-是不是一次函数要分类讨论，0a =时不是一次函数，0a ≠时是一次函数.（2）0a ≠时是一次函数，但是斜率a 的正负不确定要分类讨论.(3)0a >时，函数的零点10x a=>与定义域(]0,e 右端点e 大小无法确定，所以要分类讨论.所以本题要三级分类讨论.第一级分类：1y ax =-是不是一次函数，第二级分类：一次函数1y ax =-的斜率a 的正负，第三级分类：函数的零点10x a=>与定义域(]0,e 右端点e 大小无法确定. 【反馈检测5】函数()ln f x x mx =-（Ⅰ）若曲线()y f x =过点P （1，﹣1），求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1，e]上的最大值；（Ⅲ）若x ∈[1，e]，求证：ln 2xx <．分类讨论思想情形之11-15参考答案 【反馈检测1答案】当2a =±时，14x >；当2a >时，12x a >+或12x a <-；当2a <-时，12x a <+或12x a >-；当22a -<<时，1122x a a<<+-．【反馈检测2答案】当0a <时，原不等式的集为2{|2}x x a<<，当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <，当01a <<时，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠. 【反馈检测2详细解析】原不等式整理得22(1)40ax a x -++>.当0a =时，原不等式为20x -<，∴2x <；当0a ≠时，原不等式为(2)(2)0x ax -->，∴当0a <时，原不等式可化为2{|2}x x a <<，当0a >时，原不等式可化为2(2)()0x x a -->， 当01a <<时，原不等式为22a >，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，若1a >，则22a <，原不等式的集为{|2x x >或2}x a<，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠.综上，当0a <时，原不等式的集为2{|2}x x a <<，当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <，当01a <<时，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠.【反馈检测3答案】2a <-时，原不等式的解为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，20a -≤<时，原不等式的解为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，0a =时，原不等式的解为{}1x x ≤-，0a >时，原不等式的解为21x x x a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或.【反馈检测3详细解析】原不等式可化为：()2220ax a x +--≥当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤- .。

第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法 二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ； 令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

摘要：分类讨论思想是非常重要的数学分析与解题思想，对于分析高中数学问题、解答高中数学问题具有重要的作用，教师可以应用分类讨论思想指导学生解答高中数学问题。

在遇到相关数学题目时，教师可以指导学生对研究对象进行分类讨论、分类探讨复杂的情形，通过明确高中数学解题中分类讨论思想的重要意义、指导学生打好分类讨论思想的知识基础、指导学生运用分类讨论思想解答各类问题，从而将分类讨论思想更好应用在高中数学教学中，更好发挥其重要作用。

关键词：分类讨论思想；高中数学；知识基础；函数；概率分类讨论思想是数学学科中一种非常重要的思想方法，其运用方式是将疑难问题分解为若干个小问题进行分类探讨，最后综合小问题得到原问题的答案，它在高中数学函数问题、数列问题、概率问题中都有着很好的应用，能够帮助学生建立解题思维、明确解题思路，将抽象的数学问题变得更加具体，从而实现快速解题。

教师应该结合高中数学学科的展示内容，以及高中学生的数学基础和学习能力，科学合理地应用分类讨论思想展开教学，指导学生运用这种思想解决问题。

一、明确分类讨论思想的重要意义高中数学知识不论是在知识容量上、还是在知识难度上，与初中数学知识相比都有了较大幅度地提升，所以在解答高中数学问题时也应该应用更加多样、更为有效的数学思想方法进行解答。

分类讨论思想就是高中数学解题中一种重要的思想方法，运用分类讨论思想解答数学问题可以抓住问题主要要素，对不同情况进行分类讨论，使得分析更加周密、提高解题正确率；运用分类讨论思想也能够培养学生逻辑思维能力，对于学生解决其他问题和形成数学核心素养具有重要意义；运用分类讨论思想也能够帮助学生解答各类数学问题，提高解题效率。

二、打好分类讨论思想的知识基础为了在高中数学解题教学中应用分类讨论思想，也为了帮助学生更好应用分类讨论思想解答数学问题，教师应该根据高中数学的相关知识内容，引入简单例题进行解答，在运用分类讨论思想解决问题的过程中、在出示相似问题引导学生自行解答的基础上，帮助学生打好分类讨论思想的知识基础。

分类讨论思想在导数中的应用摘要：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

关键词：导数分类讨论应用对含有字母参数的函数在确定其单调性时，一般要根据字母的取值范围进行分类讨论，其方法是以函数在定义域内的极值点为分界点把定义域划分为若干个区间，在不同区间上确定导数的符号，对极值的确定也要根据字母的取值进行讨论。

例1：已知函数f（x）=1nx+a（1-x）。

1.讨论分f（x）的单调性。

2.当分f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围。

分析：求解一个函数在无穷区间上的最值时，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，画出函数大致图像，然后借助图像得到函数最大值。

对f（x）=1nx+a（1-x）求导，得f`(x)=-a，讨论a的情况，判断f`(x)的正负，进而判断函数的单调性。

其次，利用1的情况判断函数取得最值的情况，再利用最大值f（）>2a-2，进而求出实数a的取值范围。

例2：已知函数f（x）=。

1.求函数f（x）的单调区间。

2.设g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）上存在函数极值点，求实数a的取值范围。

分析：1.先求出函数的定义域x≠0，求出导数f`（x）=，当f`（x）=0时x=1，当x∈（-∞，0）和（0,1）时，f`（x）<0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f`（x）>0时，f（x）为增函数。

2.设g（x）=ex-ax+1，x∈（0，+∞），∴g`（x）=ex-a，∵x>0，∴ex>e0=1。

分类讨论思想广东 王远征考点透视：分类讨论思想是中学数学重要的思想方法之一，也是高考必考的热点．多年来的高考试题都涉及由含有参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论．试题能很好地考查考生思维的深刻性和灵活性，对学生解决问题的条理性、完整性及科学性等数学能力能够较好地考查．试题类型包含有选择题、填空题和解答题，分值为4～12分．解题时要求考生科学地思考、分析问题，避免发生“重复”和“遗漏”的错误，因此，运用分类讨论思想来指导解题是制胜法宝．高考的热点表现在如下几个方面：1．含有参数的函数问题；2．数列问题；3．几何（立体几何和解析几何）问题； 4．排列组合问题等．考题精讲：分类讨论思想是指把所要研究的数学对象划分为若干个不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想．因为很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性，而且，问题本身，受多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，所以，只能化整为零，各个击破，最后到达整体的解决．例1（08年高考广东卷）．设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．分析：函数()F x 的单调性既与函数的定义域有关，还与字母k 的取值情况有关，因为k ∈R ，则对k 分为两种情况：0≤k 和0>k 进行讨论，并结合函数的定义域对)(x F '的符号进行分类讨论．解：1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩，21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 对于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤，∈x (,1)-∞时，0)(>'x F ，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；当0k >，∈x (,1-∞时，0)(<'x F ，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1上0)(>'x F ，函数()F x 是增函数；对于()(1)F x k x =≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。

高中数学分类讨论思想的应用
1、概念讨论：在数学的学习中，要求学生能够熟练掌握各种概念，并做到概念之间的联系，甚至运用概念解决实际问题。

2、思维讨论：在数学的学习中，要求学生能够灵活运用各种数学思维，如分析思维、推理思维、归纳总结思维等，来解决实际问题。

3、方法讨论：在数学的学习中，要求学生能够熟练运用各种数学方法，如构造、分析、比较、证明等，来解决实际问题。

4、应用讨论：在数学的学习中，要求学生能够熟练运用数学知识，如数学模型、统计分析、概率论等，来解决实际问题。

个性化教学辅导教案1．(2016·青岛模拟)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.2．(2016·衡水中学模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<12，则不等式f(x2)<x22＋12的解集为________________．3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于() A．11或18 B．11C．18 D．17或181、已知函数f （x ）=x -alnx ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（-∞，1） C ．（e ，+∞） D ．（-∞，e ）2、已知函数f （x ）=（2-a ）lnx+x1+2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f （x ）的极值； （Ⅱ）当a ＜0时，讨论f （x ）的单调性3、定义在R 上的奇函数y=f （x ）满足f （3）=0，且当x ＞0时，不等式f （x ）＞﹣xf′（x ）恒成立，则函数g （x ）=xf （x ）+lg|x+1|的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数f （x ）=x 3+3x 对任意的m∈[-2，2]，f （mx -2）+f （x ）＜0恒成立，则x∈ 。

学科分析：从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度较大,复习备考的过程中应引起重视. 学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析：（1）导数的分类讨论思想 （2）导数的恒成立问题【精准突破一】学习目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 目标分解：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 【目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 】利用导数求函数单调区间基本方法是先求导数'()0f x >，再解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间．纵观近几年的高考题，不难发现求函数单调区间问题是屡屡出现，它以导数为研究工具不断的出现在每年的高考题中，常考常新，试题类型也由最初的直接求单调区间问题逐步发展为要利用分类讨论思想才能完成的问题，也即利用分类讨论思想解决求单调区间问题已成为近几年高考的热点问题，这类试题出现频率高、函数类型变化大，对学生的综合能力要求高，但纵观其解题规律则不难看出其分类讨论的依据主要可分为三类：一、根据最高次项系数来分类：在解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间时，如果最高次项系数带有参数，且参数的取值不确定，则需要对参数的取值进行分类讨论，以此来确定导数在各区间上的符号，从而确定单调区间。

导数中分类讨论思想的应用及分类导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。

如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是：求导函数求导函数的根解不等式求根据定义域求得单调区间极值和最值那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。

因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。

根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。

题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是不确定，因此二次函数是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下：①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例 y'2ax2 a 1，可直接判断出当a 0时， y'0 ，再例y'2ax2a 1 ，则可直接判断出当a 0时， y'0 ，此时不需要对参数是否为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论；②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数；③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系；④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。

本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。

分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。

它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。

本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。

二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。

使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。

三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。

2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。

3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。

四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。

1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。

例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。

解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。

2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇 函数与导数专题09 恰当分类，搞定函数中参数讨论题一．方法综述1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整． 本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二．解题策略类型一 函数单调性问题中的参数讨论【例1】【2020·新兴一中期末】已知函数()()ln f x x a x a R =-∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数【解析】（1）∵()()ln ,0,f x x a x x =-∈+∞，故()1a x a f x x x'-=-=，∵0a >∴()0,x a ∈时，()0f x '<，故()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 单调递增，所以，0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞（2）由（1）知，当0a >时，()f x 在x a =处取最小值()()ln 1ln f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()1ln 0a a ->，()f x 在其定义域内无零点当a e =时，()1ln 0a a -=，()f x 在其定义域内恰有一个零点当a e >时，最小值()()1ln 0f a a a =-<，因为()110f =>，且()f x 在()0,a 单调递减，故函数()f x 在()0,a 上有一个零点，因为a e >，2a e a a >>，()2ln 0a a a a f e e a e e a =-=->，又()f x 在(),a +∞上单调递增，故函数()f x 在(),a +∞上有一个零点，故()f x 在其定义域内有两个零点；当0a =时，()f x x =在定义域()0,∞+内无零点；当0a <时，令()0f x =，可得ln x a x =，分别画出y x =与ln y a x =，易得它们的图象有唯一交点，即此时()f x 在其定义域内恰有一个零点综上，0a e ≤<时，()f x 在其定义域内无零点；a e =或0a <时，()f x 在其定义域内恰有一个零点；a e>时，()f x 在其定义域内有两个零点；【指点迷津】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【举一反三】【2019·福建莆田一高月考】已知函数1()ln a f x x x +=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．【解析】（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x +-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+，所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.现证：ln 1x x ax ≥-.设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥.所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到，即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．类型二 函数极值问题中的参数讨论【例2】【2020·山东东营一中月考】已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥． ()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．【解析】()1Q 函数()()20f x lnx ax x a =--+≥， ()()2212121210ax x ax x f x ax x x x x-+-+-∴=--+>=-'=， 0x > 0a Q ≥，∴当0a =时，()1x f x x'-=，0x >， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当1x =时，()f x 有极小值； 当18a ≥时，0≤V ，故()0f x '≤， ()f x ∴在()0,+∞上单调递减，故此时()f x 无极值； 当108a <<时，0V >，方程()0f x '=有两个不等的正根1x ，2x ．可得1x =2x =则当10,4x a ⎛∈ ⎝⎭及1,4x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈⎝⎭时，()0f x '> ；()f x 单调递增； ()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．综上所述：当0a =时，()f x 有1个极值点；当18a ≥时，()f x 没有极值点； 当108a <<时，()f x 有2个极值点． ()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根， 则1212x x a +=，1212x x a=． ()()()(()()2121212121211[)2ln 212144f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna ln a a⎤∴+=+-+--+=++=+++⎦； 令()1214g a lna ln a=+++， 108a <<Q ；()24104a g x a -'=<， ()g a ∴在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()13228g a g ln ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ()()12322f x f x ln ∴+>-．【指点迷津】1．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )零点的存在；(2)参数是否影响f ′(x )不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．2．在研究函数极值问题的时候，要注意可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极大值的充要条件是：f ′(x 0)＝0，且存在一个x 0的邻域(x 0－σ，x 0＋σ)，当x ∈(x 0－σ，x 0)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 0，x 0＋σ)时，f ′(x )<0.可导函数在x ＝x 0处取得极小值的充要条件是：f ′(x 0)＝0，且存在一个x 0的邻域(x 0－σ，x 0＋σ)，当x ∈(x 0－σ，x 0)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 0，x 0＋σ)时，f ′(x )>0.【举一反三】【2020·福建鹰潭一中月考】已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-= （1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时，当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()e ln ,2x f x ax =-所以()ln 12x f x x a =-+， 所以()21112ax f x a a x x x-'=⨯-=-=()0x >， 当0a …时，()0f x '>，所以函数()f x 无极值点；当0a >时，令()0f x '=，解得1x a=. 由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得10x a <<；由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得1x a >. 故函数()f x 有极大值点1a，无极小值点. 综上，当0a …时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 有极大值点1a，无极小值点. （2）当0a >时，()()()()4ln 02x a h x f x g x ax x x=-=-+>， 所以()()2221440a ax x a h x a x x x x -+-'=--=>， 设()24k x ax x a =-+-，则21 16,a ∆=- ①当00a ∆⎧⎨>⎩…即14a …时，()0h x '…，所以()h x 在()0,∞+单调递减， 所以()h x 不可能有三个不同的零点；②当00a ∆>⎧⎨>⎩即104a <<时，()k x 有两个零点1x =2x = 所以120,0.x x >>又因为()24k x ax x a =-+-开口向下，当10x x <<时，()0,0)(k x h x '<∴<，所以()h x 在()10,x 上单调递减；当12x x x <<时，()()0,0k x h x '>∴>，所以()h x 在()12,x x 上单调递增；当2x x >时，()()0,0k x h x '<∴<，所以()h x 在2(,)x +∞上单调递减.因为()42ln1202a h a =-+=，又124x x =，所以122x x <<，()()()122.0h h h x x ∴<=<3222211141ln ln 22ln 4,12a h a a a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=---+ ⎪⎝⎭Q 令()31ln 22ln 4,a a am a =---+ 则()4222221122112 120a a a m a a a a a a-+-'=-++=>>. 所以()m a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()3ln 211113ln 22ln 404441644m a m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<==-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---+，即210h a ⎛⎫ ⎪⎭<⎝. 由零点存在性定理知，()h x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的一个零点0x . ()0000000044ln ln 24404241,a x h x h a a a x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⋅⋅=⎭Q 又()00h x =，所以040h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以1040x x <<，所以()h x 在区间()10,x 上有唯一的一个零点04x ， 故当104a <<时，()h x 存在三个不同的零点004,2,x x . 故实数a 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.类型三 函数最值问题中的参数讨论【例3】【2020·江苏九江期末】一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.【解析】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x ≥>，得15x ≥， 设总费用为()f x ， 则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈ ⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈ ①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，x b ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x b ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增， 因此30b x b==3015b b AD AB ==综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【指点迷津】本题的第(1)问实际上是已知单调性，借助其与导数的关系，求参数的取值范围．求解的策略包括分类讨论和参变分离两大类，法1和法2分别使用了上述两种解法．本题的第(2)问是求函数的最大值和最小值，求最值需依赖于函数的单调性．而含参函数的单调性需要对参数进行分类讨论．在对参数进行讨论的时候，需要从三个层次来分类：第一层次，讨论－2ax －a ＋1是否是一次式，分两种情况，当其是一次式时，进入第二层次；第二层次，讨论－2ax －a ＋1的根的位置是否在所考查的范围[0,1]之间，分三种情况，当其根在[0,1]之间时，进入第三层次；第三层次，比较g (0)和g (1)的大小．【举一反三】【2020·山东枣庄八中月考】已知函数2()ln (1)2a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0. （1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>.【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--记()()h x f x ='则()1ax h x x ='-. 当0a ≤时，()10ax h x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =. 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<. 所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减。