当前位置：文档之家 › 分类讨论思想在初中数学解题中的应用

分类讨论思想在初中数学解题中的应用

  • 格式：docx
  • 大小：46.46 KB
  • 文档页数：7

分类讨论思想在初中数学解题中的应用 李焕焕 （合肥市永和学校） 摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答． 关键词：分类讨论思想；初中数学；正确分类；解题；应用

Abstract: In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification, can makes complex of problem get clear, full, closely of answers.

引 言: 数学思想方法是人们对数学理论和内容的本质认识，是数学的精髓和灵魂，因此在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的。初中数学中常见的思想方法有函数与方程的思想方法，化归转化与化归的思想方法，分类讨论的思想方法，数形结合的思想方法，整体的思想方法等。 —、分类讨论思想 1. 含义及意义 在研究和解答某些数学问题时，会遇到许多种不同的情况，有些问题无法用同一种形式解决，有些问题的结论不是唯一确定的。因此，我们需要把所要研究的问题根据题目的特点和要求，选定一个标准，将其划分成几个能用不同形式解决的小问题，然后再将这些小问题一一解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案。这就是我们常说的分类讨论法，而运用这种方法的思想就是分类讨论思想。 分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置． 2. 分类讨论的要求、原则及其意义

分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程． 为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下四大原则: （1）同一性原则 分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据． （2） 互斥性原则 分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项． （3）相称性原则 分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等． （4）层次性原则 分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。 3. 优势及劣势

运用分类讨论思想解题的优势是可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，便于解答；恰当的分类讨论可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，养成周密严谨的数学教养。 运用分类讨论思想解题的劣势是容易将一些问题的解答变得繁琐，耗费大量的时间；容易形成一种思维定势，不易于培养创新、有效的解题能力。 二、运用分类讨论思想解题 正确运用分类讨论思想，是完整解题的基础。但运用分类讨论思想解决问题，必须遵循一定的原则，明确如何进行分类，知道引起分类讨论的原因，明白解题的一般步骤，才能保证解答的正确性。 运用分类讨论思想解题的原则主要体现在如何进行分类上。在对分类对象进行划分时，我们应该遵循以下四个原则：划分应是相称的，划分后子项的总和应与母项相等；划分标准统一，对分类的对象应按照统一标准进行划分，不能同时用几种依据去划分；划分的子项必须相互排斥，进行分类后，有些元素不能既属于这个子项，又属于另一个子项；划分不能越级，要按层次一级一级进行分类。 运用分类讨论思想解题，必须明白解题的一般步骤。首先，明确是否需要分类；然后确定分类讨论的对象；接着，进行合理的分类；逐步逐级分类讨论，得到阶段性成果；最后，归纳总结，综合得出结论。 3 分类讨论思想在初中数学解题中的具体应用 1. 分类讨论思想在运用数学概念、定义题中的应用 有些数学定义、数学概念是分类给出的，如绝对值、圆锥曲线标准方程的概念等。

例1、若2016,2ab，求ab的值。[4] 分析：这道题考查学生对绝对值定义的掌握、运用情况。由于绝对值的定义是分类给出的， 所以a,b分别有两个值，这个时候，求a+b的值就需要进行分类讨论。 解：因为

2016,2ab． 所以

2016,2ab． 当2016,2ab时，2018ab； 当2016,2ab时，2014ab； 当2016,2ab时，2018ab； 当2016,2ab时，2014ab． 2. 分类讨论思想在运算性质、运算要求限制下的应用

在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的。 例2、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢[2] 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得： ， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 3. 分类讨论思想在数学定理、性质、公式限制下的应用

有些定理或公式本身具有限制条件。如，有些函数的单调性具有增减两种可能，遇到时就要进行分类讨论。 例3. 已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。[4] 分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1≠0 两种情况来研究解决问题。 解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。 当 m-1≠0时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1 当△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0。 抛物线 y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上。 4. 分类讨论思想在参数不确定的题中的应用

有时方程、不等式、函数式中所含参数取不同的值时，会导致结果不同，因此需要进行分类讨论。 例4、解关于的不等式：xaxax2110()。[7] 分析：这是一个含参数a的不等式，它不一定是一个二次不等式，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0，（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为在这两种情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式的解集可能是在两根之外，也可能是在两根之间。当确定这一点后，又会遇到1与-1谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故解题时，需要作三级分类。 解：10101xxa时，原不等式化为）当（ 综上所述，得原不等式的解集为

当时，解集为或axxax011；当时，解集为axx01|；

当时，解集为0111axxa；当时，解集为a1；

例5、已知关于x的函数2(4)(21)ymxmxm的图像与x轴总有交点，求m的取值范围。[8] 分析：函数中最高项的系数是含字母的不确定代数式，所以它的取值有多种可能性，这时我们就需要进行分类讨论。题目说函数图象与x轴总有交点，并没有说明有几个交点，所以函数有可能是一次函数，有可能是二次函数。所以未知数最高项的系数要分类讨论。 解：（1）当40m，即4m时，函数为一次函数，图像与x轴有一个交点； （2）当40m时，此时函数为二次函数， 2(21)4(4)0mmm， 解得 112m

，

所以当

40m且112m时，函数图像与x轴有交点． 综合（1）（2），当112m时，图像与x轴总有交点。 5. 分类讨论思想在图形不确定的题中的应用

由于题目未明确给出图形的所有元素，所以会导致图形不确定，引起分类讨论。 例6、如果三角形的两边长分别是23cm和10cm，第三边的长与其中一边的长度相等，那么第三边的长是多少[9] 分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 但是不明确具体是与哪条边相等，因此需分两种情况讨论。若不作两种情况的分类讨论，可能会出现漏解或错解。 解：（1）当第三边的长为 23cm 时，其三边长分别为23cm、23cm、10cm,它们满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。因此，这三边能构成三角形，所以第三边的长为23cm； （2）当第三边的长为10cm时，其三边长分别为10cm、10cm、23cm。因为101023，所以它不能构成三角形，故第三边长不能为 10cm。

综上所述，第三边的长为 23cm。 例7. 已知两圆的半径分别是5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距为 。 分析：由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁。 答案：4+根号7和4-根号7 6. 分类讨论思想在排列组合问题中的应用

分类讨论思想在排列组合问题中的应用也比较常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题简单化。 例8、在正方体的8个顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少[9] 解：依题意，共线的三点组可以分为三类：

（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有87282（个）；

合集下载

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨初中数学中，分类讨论是一个非常重要的解题思想。

它的基本思想是把一个问题分成几个小问题，从而便于解决。

分类讨论可以应用在很多不同类型的问题中，例如代数问题、几何问题、概率问题等等。

在代数问题中，分类讨论可以帮助我们找到方程的根，或者确定一些特定的解。

例如，当我们遇到一个带有绝对值的方程时，我们可以将其分为两种情况：当变量大于等于0时，绝对值内部的表达式与之相等；当变量小于0时，绝对值内部的表达式的相反数与之相等。

这样，原来的方程就被拆成两个方程，我们可以解决这两个方程，得到原方程的解。

在几何问题中，分类讨论可以帮助我们确定几何形状或特点等。

例如，当我们需要求一个三角形的面积时，如果已知三边长度，则我们可以根据海伦公式来计算；如果已知两边和夹角，则我们可以根据正弦公式、余弦公式或正切公式来计算；如果已知一个角和这个角对边的长度，则我们可以根据正弦公式来计算。

通过分类讨论，我们可以根据不同的已知条件选择不同的公式，从而求出所需的结果。

在概率问题中，分类讨论可以帮助我们计算事件发生的概率。

例如，当我们需要求两个骰子点数之和为6的概率时，我们可以将其分为两种情况：第一个骰子为1，第二个骰子为5；第一个骰子为2，第二个骰子为4。

这样，我们就可以计算出这两种情况的概率，并将其相加得到所求的概率。

总之，分类讨论是一个非常强大的解题思想，在初中数学中应用广泛，可以帮助我们解决各种不同的问题。

当我们遇到一个问题时，如果发现它比较复杂或者难以直接解决，就可以考虑使用分类讨论的方法，将其分成几个小问题，逐个解决，最终得到答案。

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析摘要：初中数学是初中教学体系中的重要组成部分，数学学习需要掌握许多数学思想，比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。

分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同，将数学研究对象分为不同种类的数学思想，它贯穿于数学学习的整个过程，也是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。

本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。

关键词：七年级;数学教学;分类讨论思想一、步步为营，在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想（一）在基本概念的理解中，渗透分类思想七年级学生刚刚从小学进入中学，初中数学相对于小学数学其难度加大了许多，一些学生内心会产生恐惧心理。

因此，教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案，将初中复杂的数学知识变得简单化，消除部分同学的畏惧心理，从而提高学生的学习效率。

而分类思想刚好能够满足以上需求。

教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手，比如，在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯，教师可以作为切入点，将数学分类思想渗透到数学概念中，以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。

如教学有理数的两种分类方法：第一种将有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。

第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。

经过以上两种分类，可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解，帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。

（二）在知识生成过程中，巧用分类思想新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题，即以“生活教学”为主。

因此，在实际数学教学过程中，尤其是在某些公式或者数学性质的教学时，教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。

例如，教师在教学有理数的乘除法则时，可以从三个方面引导学生进行归纳，分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况，最后学生可以得出“同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”的数学结论，以上讨论的方法具有完整清晰的思路，能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。

初中数学解题分类讨论思想论文

初中数学解题分类讨论思想论文

初中数学解题分类讨论思想论文摘要：随着对学生综合能力要求的提高，分类讨论思想在中考和平时的测试和竞赛中应用越来越广泛，这就要求教师必须在平时的教学中引起足够的重视，一道题应从哪些角度去分类，分类的依据都给学生讲清楚，只有这样，学生在解题中才能做到不重不漏，解题完善，逻辑思维和数学素养都得到有效的提高。

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想。

这种数学思想在简化研究对象，发展思维方面起重要作用。

（一）对分类讨论思想的概述在研究和解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，无法用同一种形式解决，或不能进行统一研究时，就需要选定一个标准，将问题划分为几个能用不同形式解决的小问题，将这些问题一一解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这就是数学的分类讨论，其本质是“化整为零，积零为整”。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的；标准是统一的，不遗漏，不重复，科学地划分，分清主次不超级讨论。

其中最重要的一条是：不漏不重。

由于学生在讨论问题时有时带有片面性或缺乏条理性，所以在解决问题过程中，往往违背这个原则。

（二）分类讨论思想具体在初中数学解题中的运用1、根据数学概念、定义进行分类有些数学概念是分类定义的，或受到一些条件的限制。

比如在初中数学概念中，有理数的分类，代数式的分类，方程的分类等。

解题中遇到这些概念，就要分类讨论。

[例1解方程|x|+|x-1|+|x+1|=6[分析]此方程含有三个绝对值表达式|x|、|x-1|、及|x+1|，要求出该方程的解，需要去掉这些绝对值符号，才能求出该方程。

就|x|、|x-1|、|x+1|来说，分别需要就x≥0与x<0，x≥1与x<1及x≥-1与x<-1这三种情况进行分类讨论就可以了，但这里却需要同时把这三个绝对值符号都去掉，因此就必须对x的取值范围进行更具体的分类讨论。

解：当x≤-1时，原方程可以化简为-x+1-x-x-1=6即-3x=6，因此x=-2当1< p="">0< p="">④当x≥1时，原方程化简为x+（x-1）+（x+1）=6，即3x=6，x=2。

分类思想在初中数学教学中的应用

分类思想在初中数学教学中的应用

分类思想在初中数学教学中的应用数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用一、渗透分类思想，养成分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

如有理数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

学习完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。

掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：1、根据数学的概念进行分类有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。