2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

2009年全国高中数学联赛吉林省预赛2009年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨吉林省高中数学竞赛于2008年5月17日在吉林省各地区举行，有将近10000名来自全省各地区的选手参加了本次竞赛活动.本次吉林省高中数学竞赛试题所涉及的知识范围不超出现行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》中所规定的教学内容和基本要求，贴近高考但又高于高考，高考和竞赛兼顾，在内容和方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用基础知识的解决实际问题的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和5道解答题. 全卷满分160分.竞赛活动时间是2009年5月17日（星期日）上午8：30—11：00，从竞赛成绩上，还是比较理想，全省最高分是145分，通过这次预赛，选出2000名选手参加决赛.试 题一、选择题（每小题5分，共30分）1．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ).(A) 10项 (B) 11项 (C) 12项 (D) 13项2．若函数1(),4,()2(1),4,xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 则2(log 3)f =( ).(A) 238-(B) 111 (C) 119 (D) 1243．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y =倾斜角大于30的直线条数为（ ）.(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（ ）.(A) 四面体 (B) 五面体 (C) 六面体 (D) 七面体5．已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y +的值为( ).(A) 13 (B) 23 (C) 49 (D) 596．数列{}n a 满足11a =11n a +=，记21nn i i S a ==∑，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为( ).(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 二、填空题（每小题5分，共30分）7．设1≥，则22x y += ．8．等式243x px x p +>+-对于一切04p ≤≤均成立，则实数x 的取值范围是 ． 9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有 种（要求用数字做答）．10．若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，22sin x c x=，则,,a b c 的大小关系为 ．11．2010的小数点后一位数字是 ．12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有 个．三、解答题（每题２０分，共１００分）13.若,,(0,)a b c ∈+∞，求证：222222b c c a a b a b ca b c b c c a a b+++++≥+++++．14.定义在集合A上的函数()f x 满足：对任意的12,x x A ∈都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数()f x 是A 上的凹函数. （1）试判断2()3f x x x =+是否是R 上的凹函数？（2）若函数2()f x mx x =+是R 上的凹函数，求实数m 的取值范围. 15.已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+． （1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ． １６.如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，有一个圆内切于ABC ∆的外接圆，且与AB 、AC分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是ABC ∆的内心.（第16题）１７.一个由空间中的点组成的集合S 满足性质：S 中任意两点之间的距离互不相同.假设S 中的点的坐标(,,)x y z 都是整数，并且1,,x y z n ≤≤，证明：集合S 的元素个数小于}6,3)2min{(n nn +.解 答1． C 2． D 3． C 4．B5．B 提示：在ABC ∆中，I 为内心，连AI 并延长交BC 于D 点，则D 分BC 的比42.2AB AC λ=== 故12.33AD AB AC =+ 又3BC =，故2,1.B D D C ==又在ABD ∆中，I 分AD 的比 42,2AB BD λ'===即224,399AI AD AB AC ==+所以2.3x y +=6．A 提示：由已知221114n na a +-=，可求得21.43n a n =- 令21()n n g n S S +=-，得 22212223(1)()1110,418589n n n g n g n a a a n n n ++++-=--=-->+++ 即()g n 为减函数，得2114(1)4530n n t S S g +-≤=≤，所以283t ≥，则t 的最小值为10． 7． 1 提示：三角代换即可。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分。

把答案填在横线上。

1、()()()()()()99,1_______.n f x f x f f f x f ⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 若函数且则 ()()()()()()()()()2399111111110f f f f f f f f f ⎡⎤=====⇒=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2、220L M A L B C M ABC BAC 45AB M A ∆∠已知直线：x+y-9=0和圆：2x +2y -8x-8y-1=0，点在直线上，、为圆上两点，在中，＝，过圆心，则点横坐标范围为＿＿＿＿。

()()2217AM 2+2232x y ≤⇒--≤⨯⇒≤≤数形结合可知x 6 3、()()0M N M N 2101,M N y y x t y x t x t t t f t f t ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩≤≤+≤≤在坐标平面上有两个区域和，为：，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是设和的公共面积是函数，则＝＿＿＿＿＿＿。

()()22211111.01222f t t t t t t =---=-+≤≤4、1111200712213a n n n n a +++<-+++ 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值是＿＿＿＿。

1111111221232311111012223222311111120072009.1221233k k k k k k k k k k k a a n n n ⎛⎫+++-+++ ⎪++++++⎝⎭=--=->+++++⇒+++↓⇒+<-⇒=+++5、()222210P Q ,x y a b OP OQ OP OQa b+=>>⊥∙椭圆上任意两点，，若则乘积的最小值为＿＿＿＿＿＿＿。

()()cos ,sin sin ,cos P a b Q a b OP OQ ab θθθθ⇒-⇒∙====分析：　设6、()1x +若方程lgkx=2lg 仅有一个实根，那么k 的取值范围是＿＿＿＿。

2009年全国高中数学联赛吉林省预赛2009年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨吉林省高中数学竞赛于2008年5月17日在吉林省各地区举行，有将近10000名来自全省各地区的选手参加了本次竞赛活动.本次吉林省高中数学竞赛试题所涉及的知识范围不超出现行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》中所规定的教学内容和基本要求，贴近高考但又高于高考，高考和竞赛兼顾，在内容和方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用基础知识的解决实际问题的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和5道解答题. 全卷满分160分.竞赛活动时间是2009年5月17日（星期日）上午8：30—11：00，从竞赛成绩上，还是比较理想，全省最高分是145分，通过这次预赛，选出2000名选手参加决赛.试 题一、选择题（每小题5分，共30分）1．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ).(A) 10项 (B) 11项 (C) 12项 (D) 13项2．若函数1(),4,()2(1),4,xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩则2(log 3)f =( ).(A) 238-(B)111(C) 119(D) 1243．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y =倾斜角大于30 的直线条数为（ ）.(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（ ）.(A) 四面体 (B) 五面体 (C) 六面体 (D) 七面体 5．已知I 是A B C ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若A I x A B y A C=+，则x y +的值为( ).(A) 13 (B)23(C)49(D) 596．数列{}n a 满足11a =11n a +=，记21nn ii S a ==∑，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为( ).(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 二、填空题（每小题5分，共30分）7．设1≥，则22x y += ．8．等式243x px x p +>+-对于一切04p ≤≤均成立，则实数x 的取值范围是 ． 9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有 种（要求用数字做答）．10．若01x <≤，2sin ()x a x=，sin x b x=，22sin x c x=，则,,a b c 的大小关系为 ．11．2010的小数点后一位数字是 ．12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有 个．三、解答题（每题２０分，共１００分） 13.若,,(0,)a b c ∈+∞，求证：222222b c c a a b a b c abcb cc aa b+++++≥+++++．14.定义在集合A上的函数()f x 满足：对任意的12,x x A ∈都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数()f x 是A 上的凹函数.（1）试判断2()3f x x x =+是否是R 上的凹函数？（2）若函数2()f x m x x =+是R 上的凹函数，求实数m 的取值范围. 15.已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+． （1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ．１６.如图所示，在A B C ∆中，A B A C =，有一个圆内切于A B C ∆的外接圆，且与A B 、A C 分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是A B C ∆的内心.（第16题）１７.一个由空间中的点组成的集合S 满足性质：S 中任意两点之间的距离互不相同.假设S 中的点的坐标(,,)x y z 都是整数，并且1,,x y z n ≤≤，证明：集合S 的元素个数小于}6,3)2min{(n n n +.解 答1． C 2． D 3． C 4．B5．B 提示：在A B C ∆中，I 为内心，连AI 并延长交BC 于D 点，则D 分BC 的比4 2.2A B A Cλ===故12.33A D AB AC =+又3B C =，故2,1.B D D C ==又在ABD ∆中，I分AD 的比42,2A B B D λ'===即224,399A I A D A B A C ==+ 所以2.3x y +=6．A 提示：由已知221114n naa+-=，可求得21.43n a n =- 令21()n n g n S S +=-，得22212223(1)()1110,418589n n n g n g n a a a n n n ++++-=--=-->+++即()g n 为减函数，得2114(1)4530n n t S S g +-≤=≤，所以283t ≥，则t 的最小值为10．7． 1 提示：三角代换即可。

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛2009年全国高中数学联赛江苏赛区分为初赛、复赛与决赛（即全国高中数学联赛）。

初赛与复赛由江苏省数学学会普及工作委员会、江苏省高中数学联赛专家委员会领导并主办，由江苏省数学学会高中数学联赛专家委员会邀请专家组成“高中数学联赛命题组”。

命题组负责人是南京师范大学余红兵等教授。

初赛试题以《全日制普通高中（新）课程标准》的内容和要求为依据；复赛试题以全国高中数学联赛竞赛大纲为依据，以全国高中数学联赛的题型、试卷为模式，分为一试与加试，考试时间也与全国高中数学联赛相同，在方法和能力的考察上有所提高，一方面起选拔作用，从参赛者中选出参加全国高中数学联赛的学生；另一方面也为参加全国高中数学联赛作一次赛前准备。

初赛于2009年5月3日8：00－11：00，由各大市自行组织，选出5％，连同名单、试卷一同交到省联赛专家委员会。

复赛于2009年7月23日8：00 — 12：10，在江苏省高中数学奥林匹克夏令营中统一进行，选出70％左右参加全国高中数学联赛。

决赛于2009年10月11日8：00 —12：10，在全省的4个考点举行，派专人送试卷到考点，考试结束后将试卷密封带回南京统一阅卷、统一评分。

从参加决赛人员中选出全国一等奖（55名）、江苏省一等奖（200名左右）、江苏省二等奖（600名左右）、江苏省三等奖（900名左右），以资鼓励。

试 题一、填空题（每小题7分，共56分）1．已知数列{}n a 的前n 项和234n S n n =++()*n ∈N，则13521a a a a ++++= ．2. 若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是 ．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是 ．4. 设1F 、2F 分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k = ．5. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D 的重叠部分的体积等于 ．6. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，则 3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++= ．7. 设方程21221221100n n n n n xa x a x a x a +-------= 的根都是正数，且其中1a =()21n -+，则0a 的最大值是 ．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格． 二、解答题（第9题14分，10、11题各15分） 9. 求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．10. 如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A 、B 、C 、D ．证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．11. 设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--．加 试12.（本题满分50分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ADE 的内切圆与DE 切于点M ，△ABC 的BC 边上的旁切圆切BC 于点N ，点P 是BE 与CD 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.13. （本题满分50分）设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C . 求Q C 的最大值.14.（本题满分50分）设12222s nn n M =+++ ，12,,,s n n n 是互不相同的正整数，求证：(122222221sn n n +++<+15. （本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x 、y ：（1）x 与1y -互素； （2）231x x y -+=.解 答1. 2682. 11(,)(,)36-∞-+∞ 3. 95-4.25. 366. 9327. 18. 38719.因为()44662sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 32sin 22sin 2xx f x x x xxx xx x xx=⋅+⋅+=-=.令sin 2t x =，则[)(]1,00,1t ∈- ，()2322322t f x t t t -==-. 易知函数()232g t t t =-在区间[)1,0-与(]0,1上都是减函数，所以()g t 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ ，故()f x 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ .10. 设1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，由题设知α、()0,βπ∈. 易知直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩， 代入抛物线方程可化得()22sin 2sin cos 10t t ααα+--=.设上述方程的两根为1t 、2t ，则 1221sin t t α-=. 由参数t 的几何意义, 得21sin AP BP α⋅=. 同理21sin CP DP β⋅=.若A 、B 、C 、D 四点共圆，则 AP BP CP DP ⋅=⋅，即 22sin sin αβ=.因为α，()0,βπ∈，所以 sin sin αβ=.又由1l 、2l 不重合，则αβ≠. 所以αβπ+=.反过来，若αβπ+=，则因α、()0,βπ∈，故s i n s i n αβ=，且0α≠，0β≠. 所以2211sin sin αβ=，即AP BP CP DP ⋅=⋅.故A 、B 、C 、D 四点共圆.11. 因为54324321111a a a a a a a a a -++++=-+++，且()()()4323281511a a a a a a a a ++++-++++43232223a a a a =---+()()42432121a a a a a =-++--+()()()222212110a a aa =-+-++> （1a ≠），所以()4323215118a a a a a a a a ++++>++++，即()5415118a a a ->+-.同理可证5415(1)18b b b ->+-. 于是，()55441125(1)11164a b a b a b --⋅>++--.12. 设BE 与MN 交于点'P .因为DE ∥BC ，所以BP BC PE DE=，''BP BNP E EM =.故只需证明BCBNDE EM =，或BN EMBC DE =. 如图, 设1O 、2O 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，F 、G 、H 、I 为切点，则()12EM AE DE AD =+-，AH AB BH AB BN =+=+，()12AH AI AB BC AC ==++，()12BN AH AB AC BC AB =-=+-.又因为ADE ∆∽ABC ∆，故可设AB BC AC k ADDEAE===，则1()2AC BC AB BN BC BC+-=()2()2k AE k DE k AD k DEAE DE AD EM DEDE⋅+⋅-⋅=⋅+-==故结论成立．13. Q C 的最大值为kn C .因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ n C C ≤.下面指出，对集合2{2, 2, , 2}n P = ，相应的Q C 等于kn C ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k rrrA = ，12{2,2,,2}k s s s B = ，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M +++=+++= （设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.14. 对s 归纳.（1） 当1s =时，结论显然成立.（2） 假设s k =时结论成立，当1s k =+时，不妨设121k k n n n n +>>>> .由归纳假设可知，122222(1k n n +++<+，则1121222222222(12kk n n n n n +++++<+ .所以只要证明12(12(1n +<+ 此即1>.因为正整数121k k n n n n +>>>> ，所以 122231211222221222.k n n n n n n n ++-≥>++++≥+++ .故==所以1>=，即1s k =+时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数s 成立.15. 显然 1x =，1y =满足要求. 对于1x >，1y >， 方程可化为()()()2111y y y x x -++=-.显然x y >. 因为(),11x y -=，故x 一定是21y y ++的一个因子. 设21y y kx ++=（k为正整数），从而()11x k y -=-. 由x y >可知2k ≥.消去x ，得()2211y y k y k ++=-+，即()()()221113yy k y k -+-=-+-.由此推得 ()13y k --.若3k >，则13y k -≤-，即2k y ≥+，从而()()2221121k y k y y k k -+=++<+-+，故必有10y -=，矛盾.所以 3k ≤，从而2k =，3. 验证知7y =，19x =. 综上，()(),1,1x y =，()19,7.。

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1． 若函数()f x =且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f=．【答案】 110【解析】 ()()()1fx fx ==，()()()2fx f fx ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =．故()()991110f=．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45B A C ∠=︒，A B 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45dA M =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y xy x⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212tt -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积A OB OCD BE FS S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221fn n n n =++++++ ．显然()fn 单调递减，则由()fn 的最大值()1120073f a <-，可得2009a=．5． 椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OPOQ⊥，则乘积O PO Q⋅的最小值为 ．【答案】22222a ba b+【解析】 设()c o s s in P O P O P θθ，，ππc o s s in22Q O Q O Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221c o s s in abO P θθ=+① 222221s in c o s abO Qθθ=+②①+②得22221111abO PO Q+=+．于是当O PO Q ==时，O PO Q达到最小值22222a ba b+．6． 若方程()lg 2lg 1k x x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k<或4k= 【解析】 ()20101k x x k x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k<时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ． (ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k>时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k<或4k=为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n nn n n a a a a-----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l ykx m=+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A CB D +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkm x m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y k x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkm x m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分 因为A CB D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当m =，由①和②得k <<k 是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p=，22a p q=-，()1234n n n a p a q a n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p=，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ------=+-，()345n=，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1nn nb a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a pq p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n=，，．所以11n n n a a βα++=+()12n=，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n=，，变为11n n n a a αα++=+()12n=，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n=，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n=，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n na αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn nn a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212nna A A n nα=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212nnn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =≥ =当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y=()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x=．故当9x=时等号成立．因此y的最大值为11． (15)分2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽． 故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k kk -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ． 从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥． 又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，． 由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*iik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111kx x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

2009年全国高中数学联赛河南省预赛2009年全国高中数学联赛河南省预赛由河南省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，并由河南省数学竞赛组织委员会命题。

试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛加试对参赛学生的要求。

试题包括10道填空题和4道解答题，全卷满分100分，考试时间为150分钟。

竞赛活动时间为2009年5月11日（星期日）上午，由各地市教研室安排考试并组织阅卷，参加河南省预赛的考生约10万（高一、高二各5万多）人，并从中选拔出2千多名学生参加于2009年10月11日举行的全国高中数学联赛.试 题一、填空题（每小题5分，共50分）1. 动点),(y x M 满足1cos sin )cos ()sin (22-+=-+-ααααy x y x （其中α是常数），那么点M 的轨迹是 .2. 单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，用AB 1C 、BC 1D 、CD 1A 、DA 1B 、A 1BC 1、B 1CD 1、C 1DA 1、D 1AB 1这八个面去截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .3. 设10<<x ，a 、b 都为大于零的常数，则xb x a -+122的最小值为 . 4. 在正三棱锥ABC P -中，M 为△ABC 内（含边界）一动点，且点M 到三个侧面PAB 、PBC 、PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是 .5. 已知数列{}n a 的通项公式为1)1(1+++=n n n n a n （n +∈N ），其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S ，… ，2009S 中，有理数项共有 项.6. 已知0>a ，过)0,(a M 任作一条直线交抛物线)0(22>=p px y 于P 、Q 两点，若2211MQMP+为定值，则a = .7. 若22sin -=α，且)0(,21)cos(>=-ββα，则满足上述条件的β的最小值为 .8. 四面体A-BCD 中，AB =CD =5，AC =BD =34，AD =BC =41，则四面体A-BCD 的外接球半径为 .9. 平面直角坐标系中，点集{⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+==R y x y x M βαβαβα,,sin cos ,cos sin ),(，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为 .10. 5个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲开始作为第一次传球，则经过4次传球后又传回到甲手中的不同传球方法种数为 .二、解答题（本题50分）11. （12分）设n mx x x f ++=2)(，若不等式2)(>x f 在区间[1，5]上无解. （1）求)5()3(2)1(f f f +-的值； （2）求所有的实数对),(n m .12.（13分）已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两垂直，侧面P AB 、PBC 、PCA 与底面ABC 所成的二面角的平面角的大小分别为1θ、2θ、3θ，底面△ABC 的面积为34。

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围 为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。