清北学堂数学高联一试模拟题(12)及答案

清华大学附属中学2025届高三下学期一模考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．43．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．25B ．5-C 5D ．25- 4．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+ C ．43 D ．3log 41-5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）A ．227B ．15750C ．289D ．337115 6．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．2 D ．37．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．338．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤9．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

清北学堂高联一试模拟题(十二)一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1、设正整数2n ≥，用n A 表示分母为n 的全体真分数所组成的集合，则集合201720181k k A A =⎛⎫ ⎪⎝⎭的元素个数为 ． 2、一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使A S A B =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时，BAC ∠= ．3、已知m 2cos cos =+βα，n 2sin sin =+βα，则βαc o t c o t ＝ ．4、设F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，,AB CD 为过焦点的弦，满足AB CD ⊥，则“蝶形”ACFBD ACF BDF =∆∆面积的最小值为 ．5、所有能使]5[2n 为质数的正整数n 的倒数和为 . 6、若四面体的六条棱长分别为2,3,4,5,6,，则不同的形状有 种．（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.7、把从1001至2000的所有正整数任作一个排列，都可以从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A ，则最大的正数A 为 .8、在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=- 没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 ．二、 解答题：本大题共3小题，满分56分。

9、（本题满分16分）给定了n 个()2n ≥二次三项式211x a x b -+，…，2n n x a x b -+，其中2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ……互不相同。

试问，是否可能1212,,,,,,,n n a a a b b b ……中的每个数都是其中某个多项式的根？10、（本题满分20分）抛物线的焦点为F ，它的三条切线两两相交，得到三个交点,,A B C ，证明:,,,A B C F 四点共圆．11、（本题满分20分）是否存在2017个共圆的点，满足任意两点之间的距离为无理数，以任意三点为三角形的顶点构成的三角形的面积为整数？。

清北学堂高联一试模拟题(一)答案1、|a+x|-|x+2019|的最大值是|2019-a|≤2a，解得a≥673。

2、2/√53、3i4、22005-1设集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}，B=S\A。

`任取B的一个子集B1，恰有一个A的子集A1，使得B1的元素和与A1的元素和之和是2048的倍数。

于是S满足条件（但不一定是非空真子集）的子集个数等于B的子集个数22005。

去掉一个空集的情况，但是由于全集不满足条件，所以不用去掉，即为所求答案22005-1。

5、2064由容斥原理得到小于2018的完全平方数与完全5次方数共44+4-1=47个，注意到452=2025,因此a2018=2018+47+1=20646、15/57、31.从1开始逐项递推即可。

8、31.设两个账号的胜率分别是a/b＞c/d，都是最简分数。

那么0.0045≥a/b-c/d=（ad-bc）/bd≥1/bd，所以bd≥1/0.0045>222。

所以b+d≥2√222＞29。

若b+d=30，而bd＞223，所以（b-d）²≤30²-223×4=8。

而b与d同奇偶，所以（b，d）=（14,16）或（15,15）此时b与d不互素，这样的话a/b与c/d通分，分母≤bd/2<150，矛盾。

所以b+d≥31。

假设一个账号14局胜9局，另一个17局胜11局，那么两个胜率差就是(154-153)/(14×17)=1/238≈0.420%9.11.设抛物线方程为. , ,三条切线方程为, ,联立解得：, ,故的外接圆方程为：其中是三条切线方程的左边的式子.展开外接圆方程整理得：其中, ,因为该方程表示圆，故.从而，.故外接圆方程为：代入可知成立.故四点共圆.。

清北学堂高联一试模拟题(十一)一、 填空题1、已知函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义，则实数a 的取值范围是 .答案：),1()1,21[+∞ .解： 显然0>a 且1≠a .由题意知01232>-++-a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立，即2132-->x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立. 令213)(2--=x x x g ，则222)2(623)(--+-='x x x x g ，显然，对一切]1,0(∈x ，0)(<'x g ，所以函数213)(2--=x x x g 在]1,0(上单调递减，因此，当]1,0(∈x 时，)0()()1(g x g g <≤，即21)(2<≤-x g .因此，21≥a .综合可知：实数a 的取值范围是),1(]1,21[+∞ .2、计算3tan10+= ．．解：003tan10+=()00000003sin1030103sin1020cos10cos10+-+=)0000003sin10sin 30cos10cos30sin10cos10+-==．3、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对． 答案：50．解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”．314、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y 轴上，实轴长为2sin ,[,]43ππθθ∈，又双曲线上任一点(,)p x y 到点(1,0)M 的最短距离为1sin θ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．答案：（1,7解：设双曲线方程为22221,sin y x b θ-=则22222222222sin (1)(1)sin (1)(1)21sin .x PM x y x x x b bθθθ=-+=-++=+-++因x R ∈，故22222min1sin ,sin b PMb θθ=+-+又因22mi n1,s i n PMθ=从而64224s i n s i ns i n ,1s i nb θθθθ+-=-而20b >及[,].43ππθ∈解不等式得23sin ,4θ<<又因222222422sin sin 1(),1sin 1sin sin sin c b e a θθθθθθ+====--令2sin ,t θ=则21,1e t t=-因1()1f t t t=-在34⎤⎥⎝⎦，上是递增函数，故2121,177e e <<<≤5、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ．答案：18000．解： 设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则2254m n a ==，得 2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =， 化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．6、四位数w 不能拆分为三个正整数的平方和，即方程w w z y x (222=++为四位数)没有正整数解，则w 的最大值为 ．答案：9999.解： 熟知任一奇数的平方模8余1，任一偶数的平方模8余0或4，从而任意三个正整数的平方和不可能模8余7，说明9999不能表为三个正整数的平方和，显然这是具有这一性质的最大四位数。

2 3 7 ⎪ ⎨ y⎪1+ y z3清北学堂 2021 年 5 月全国高中数学联赛模拟题一、填空题(各 8 分,共 64 分)1. 若 x>0，y>0，且 2x 2 y 28，则 x 6＋2y 2的最大值是＋ ＝ 32. 过抛物线 y 2＝2x 的焦点且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 M 、N 两点，O 为坐标原点，则 • ＝3. 设复数 z = (1 + i )(1 + i )(1 +i) ⋅L ⋅ (1 + i) ，则 z 的值为 ．2 2224.设正数 a = 0.123456789101112L ……，其中全体正整数从小到大顺次接成一排，形成 a 的无限小数部分，则 a 的小数点后第 2017 位数字是．5 已知点 P （0，1），椭圆+y 2＝m （m ＞1）上两点 A ，B 满足＝2，则当 m ＝时，点 B 横坐标的绝对值最大．6 在四面体 ABCD 中，顶点 D 处的 3 个面角都是直角，顶点 A处的 3 个面角之和等于 90 度，若 DB=a ，DC=b 。

则四面体 ABCD 的体积为= y 7 方程组 ⎪ = z 满足 z xyz ≠ 0的实数解为⎪ = x ⎩1+ 8. 在 坐 标 平 面 上 画 出 63 条 直 线 ：y = b , y = 3x + 2b , y = -3x + 2b , 其 中2 b = -10, -9, -8, ,8, 9,10 ，这些直线将平面分割成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形的个数是.⎧ ⎪x⎪1+ xn 二、解答题(共 56 分,其中第 9 题 16 分,其余两题各 20 分)9、已知函数 f (x ) = log x - 3, a > 0, a ≠ 1 ，若存在实数 m , n (m < n ) 及 a ，使得 f (x ) 的 ax + 3定义域为(m , n )，值域为(1 + log a (n -1),1 + log a (m -1)) ，分别求 m 和 a 的取值范围.10.、已知椭圆 C ：+＝1（a ＞b ＞0），四点 P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．11、设0 ≤ p ≤1，i = 1, 2, , n ，证明存在0 ≤ x ≤1 ，使 ∑1≤ 8n ⎛1 + 1++ 1 ⎫i | x - p | 32n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭42 6＋2y 21 +1 4 k i k 22 2 2 2 2 2 2 7 清北学堂 2020 年 5 月全国高中数学联赛模拟题答案2x ＋y 21. (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 3 ≤3· 22 9 2 ＝3× 2 .当且仅当 2x 2 ＝1 y 23 9 ＋ ， 即 x ＝ 3，y ＝ 时，等号成立．故 x 的最大值为 3.2. y 2＝2x 的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ，代入 y 2＝2x 得 y ＝±1， 故 •，1）•（）＝﹣1＝﹣．3 答案：330．128 解：由于 1 + i= = 1 × k + 4 ，故2 k2 71 1k 7 k + 4 1 8 创 9 10 11 z = 照 + = k = 1 ×2 k = 1 k = × 128 1 创 234 ． 4 答案： 7 ．解：全体一位数占 9 个数位，全体两位数占 2´ 90 = 180 个数位．由于2017 - 9 - 180 = 1828 = 3´ 609+1 ，因此 a 的小数点后第 2017 位数字是从小 到大第 610 个三位数的首位数字，即 709 的首位数字 7．5. 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由＝2，可得﹣x 1＝2x 2，1﹣y 1＝2（y 2﹣1）， 即有 x 1＝﹣2x 2，y 1+2y 2＝3， 又 x 12+4y 1 ＝4m ，即为 x 2 +y 1 ＝m ，① x 2 +4y 2 ＝4m ，②①﹣②得（y 1﹣2y 2）（y 1+2y 2）＝﹣3m ，可得 y 1﹣2y 2＝﹣m ， 解 得，y 2＝， 则 m ＝x 22+（）2，1＋y 23 330 2x1 +x5 - 1 233332 2⎪ 2 2即有 x 2 ） ＝＝ ，即有 m ＝5 时，x 22 有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．6.ab(a+b)/65 - 1 ⎫, ⎪⎭解：注意到函数 y =在[0,+∞)上单调递增x yy z若 x > y ，则 y = >= z ，从而 z = > = x ，于是 y > z > x ， 1 + x 1 + y 1 + y 1 + z矛盾，同理，若 y > x 也有矛盾⎛5 - 1 5 - 1 ⎫从而 x = y = z ，解得(x , y , z ) = , , ⎪ ⎪ ⎝⎭8.660.20六条最外面的直线决定了一个边长为 的正六边形，穿过原点O 的三条直线将这个正六边20形分成六个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的 10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形的内部共有边长为 2的三角形 600 个，另外，与正六边形每条边相邻的外部都有 10 个边长为 2600+60=660 个. 的正三角形，故共有9.由x - 3> 0 得 x 的取值范围为 (-∞, -3) ⋃ (3, +∞) ，因为 f (x ) 的定义域为 (m , n ) ，且 x + 3m > 1, n > 1，故 m ≥ 3 .又 m -1 < n -1, log a (n -1) < 1+ log a (m -1) ，所以0 < a < 1.7 , ⎛ 5 - 1 ⎝2 5 - 1 222 -3 x - 3 6易知u == 1-在(m , n )上单调递增，而log a u 单调递减，所以 f (x ) 在(m , n )上x + 3x + 3单 调 递 减 ， 又 f (x ) 的 值 域 为 (1 + log a (n -1),1 + log a (m -1))n - 3 ， 所 以 有1+ log a (n -1) = f (n ) = log a n + 3 ，m - 3 n - 3 m - 31+ log a (m -1) =方程f (m ) = log am + 3，故 a (n -1) =n + 3 , a (m -1) = m + 3，所以 m , n 是a (t -1) =t - 3 t + 32，即 at 2+ (2a -1)t + 3(1- a ) = 0 的两个不相等的实数根，且3 < m < n ，令 2a -1 g (t ) = at + (2a -1)t + 3(1 - a ) ，则 ∆ > 0, g (3) > 0, - > 3 ，解得0 < a < .2a 410. （1） 根 据 椭 圆 的 对 称 性 ），P 4（1，） 两 点 必 在 椭 圆 C上 ， 又 P 4 的横坐标为 1，∴椭圆必不过 P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆 C上． 把 P 2（0，1），P 3（﹣1， ）代入椭圆 C ，得：，解得 a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆 C 的方程＝1．证明：（2）①当斜率不存在时，设 l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，∴ ＝＝﹣1，解得 m ＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y ＝kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4＝0，，x 1x 2＝，n n n -1 n n n n则＝ ＝＝＝﹣1，又 t≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在 k ，使得△＞0 成立， ∴直线 l 的方程为 y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当 x ＝2 时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．11 证明：若否，设∀0 ≤ x ≤1， ∑1> 8n ⎛1 + 1 + + 1 ⎫ = B .| x - p | 3 2n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭考察 2n 个开区间 I = ⎛ k ,k + 1⎫, k = 0,1, , 2n - 1 .至少有 n 个 I 不包含任何 p .以 x 表k 2n 2n ⎪k i j ⎝ ⎭示该区间的中点（ j = 1, 2, , n ）.令| x - p |= d ，则∀i ∈{1, 2, , n } ，d ≥ 1.对至多两个 j ， j i ijij4n3 d ij ≥ 4n 5，不成立;对至多 4 个 j ， d ij ≥ 4n，不成立；于是 ∑ 1 ≤ 2∑ 4n = B ，所以∑∑ 1 ≤ nB .j =1 d ij n =0 1 + 2n j =1 i =1 d ij而假设 ∑∑ 1> nB ，矛盾.故原命题成立.j =1 i =1 d ij。

高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则集合M∩N等于（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {-1，1，3，5}D. {-1，0，1，2}2.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一（1）班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等．A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3.已知平面向量，，均为非零向量，则“（•）=（）”是“向量，同向”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若x，y满足，则y-x的最大值为（）A. -2B. -1C. 2D. 45.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. 8B. 2C. 2D. 26.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 167.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A. 3B. 4C. 6D. 88.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A. AB. BC. DD. E二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.函数的最大值是______．10.A，B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院A小区B小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过元，且小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有______人．11.已知圆C：x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P（2，1），经过点P的直线l与圆C交于A，B两点，当弦AB恰被点P平分时，直线l的方程为______．12.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_________13.已知函数，给出下列结论：①f（x）在上是减函数；②f（x）在（0，π）上的最小值为；③f（x）在（0，2π）上至少有两个零点，其中正确结论的序号为______．（写出所有正确结论的序号）14.无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．①数列{a n}的前三项可以为______；②数列{a n}中不同的项最多有______个．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期，并画出f（x）在区间[0，π]上的图象．16.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a1=1，b1=2，a2+b2=7，a3+b3=13．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前2n项和S2n．17.已知某单位全体员工年龄频率分布表为：年龄（岁）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）合计人数（人）61850311916140经统计，该单位岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19.已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．20.已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x=2上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}={-1，1，3，5}，所以M∩N={-1，1}．故选：A．求出集合N，再根据交集的定义写出M∩N即可．本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题.根据学生们对景点的喜好进行分类．【解答】解：因为该班学生对不同景点的喜好程度不一致，所以根据学生的喜好程度可以分为以下6类：甲＞乙＞丙，共a人；甲＞丙＞乙，共b人；乙＞丙＞甲，共c人；乙＞甲＞丙，共d人；丙＞甲＞乙，共e人；丙＞乙＞甲，共f人；所以当从甲、乙两地进行选择时，a+b+e=18,c+d+f=9;当从乙、丙两地进行选择时，a+c+d=18,b+e+f=9;所以去甲地的有a+b,去乙地的有c+d,因为c+d+f=9,所以c+d≤9，去丙地的有e+f,因为e+f+b=9,所以e+f≤9，又因为总共有27人，所以，a+b≥9，故①②分析错误，③④分析正确，故答案选D.3.【答案】B【解析】解：向量，同向⇒（•）=（），反之不成立，可能向量，反向．∴“（•）=（）”是“向量，同向”的必要不充分条件．故选：B．向量，同向⇒（•）=（），反之不成立，可能向量，反向．即可判断出结论．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解解：由约束条件作可行域如图，设z=y-x化目标函数为y=x+z，由图可知，最优解为A（0，2），∴z的最大值为：2-0=2．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，累加各个面的面积可得几何体的表面积．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体一部分，三棱锥A-BCD，三棱锥的表面积为：=2．故选：D．6.【答案】B【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，即x+1=0．分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8．过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则，即M到准线x=-1的距离为4．故选：B．根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析．7.【答案】C【解析】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG=，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH=，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM=，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN=，第六次回到E点，AE=．故需要碰撞6次即可．故选：C．根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．9.【答案】【解析】解：函数是偶函数，x＜0时是增函数，x＞0时是减函数，所以x=0时函数取得最大值：．故答案为：．利用函数的奇偶性以及单调性求解函数的最大值即可．本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．10.【答案】35【解析】解：设A，B两区参加活动同学的人数分别为：x，y．受到服务的老人人数为z，则：z=5x+3y．且作出可行域，当直线z=5x+3y过点M（4，5）时，z最大，∴当x=4，y=5时，z取得最大值为：35．故安排A，B两区参加活动同学的人数分别为4，5人，才能使受到服务的老人最多，受到服务老人最多的是35人．故答案为：35利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.【答案】y=x-1【解析】解：根据直线与圆的位置关系．圆C：（x-1）2+（y-2）2=4，弦AB被P平分，故PC⊥AB，由P（2，1），C（1，2）得k pc•k l=-1，即：k l=1，所以直线方程为y=x-1．故答案为：y=x-1．直接利用直线和圆的位置关系，及直线垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用．12.【答案】9【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础的计算题．由等差数列的通项公式分别写出a k、a6、a k+6，再由a k是a6与a k+6的等比中项列式求得k值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=0，得a k=a3+（k-3）d=（k-3）d，a6=a3+3d=3d，a k+6=a3+（k+3）d=（k+3）d，∵a k是a6与a k+6的等比中项，∴，即（k-3）2d2=3d•（k+3）d，∵d≠0，∴k2=9k，得k=9．故答案为9．13.【答案】①③【解析】解：∵y=和y=cos x在（0，）上都是减函数，∴f（x）在（0，）上是减函数，故①正确；同理可得f（x）在（0，π）上是减函数，故而f（x）在（0，π）上没有最小值，故②错误；令f（x）=0可得cos x=-，作出y=cos x与y=-在（0，2π）上的函数图象如图所示：由图象可知两函数在（0，2π）上有2个交点，故f（x）早（0，2π）上有2个零点，故而③正确．故答案为：①③．根据y=和y=cos x的单调性判断①，②，根据函数图象判断③．本题考查了函数单调性的判断，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.【答案】1，1，0（答案不唯一） 4【解析】解：①因为无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．数列{a n}的前三项，可以为：1，1，0；也可以是1，-1，0；2，0，0；故答案为：1，1，0（答案不唯一）②因为数列是无穷数列，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．所以如果数列中含有“2”，则2必须是首项；如果数列中有“-1；0”则，-1，0一定不是首项；所以数列中不同的项最多有4个；例如：2，-1，0，1，0，0…故答案为：4；①利用已知条件写出一个满足题意的数列即可；②利用已知条件，判断数列的元素即可．本题考查数列的应用，数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．15.【答案】解：（I）===-1．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）======．…………………………………………………………………..（9分）所以f（x）的最小正周期．…………………………………………………．（10分）因为x∈[0，π]，所以．0πx0πf（x）-1020-2-1………………………..（13分）【解析】（Ⅰ）根据公式直接代入求解即可．（Ⅱ）利用辅助角公式进行化简，结合五点法作图进行作图即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设公差为d，公比为q．由于：a1=1，b1=2，a2+b2=7，a3+b3=13．则：，解得：q=2，d=2．故：a n=a1+2（n-1）=2n-1．（2）由于：，则：．故：+（4n-3）+22n，=+，=．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，直接利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．利用分组法求出数列的和．17.【答案】解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5=1．所以a=0.02．（Ⅱ）该单位[25，35）岁职工共24人，由于[25，35）岁男女职工人数相等，所以[25，35）岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25，35）岁的频率为0.15，所以男职工共有人，所以女职工有140-80=60人，所以男女比例为4：3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25，30）岁的频率为0.05．由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25，30）岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4．又全体员工年龄在[25，30）岁的有6人，所以女职工年龄在[25，30）岁的有2人，分别记为B1，B2．从年龄在25～30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）15种情况，其中一男一女的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为．【解析】本题主要考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算等知识，采用列举事件包含的基本事件的个数的方法时，要做到不重不漏．本题属于基础题．（Ⅰ）利用频率和为1可得，（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的a及频率分布直方图可以求出35岁以下男职工的数量，进而得到所有男职工的数量，即可求男女职工比例．（Ⅲ）求出该组男女职工的数量，然后代入古典概型计算可得．18.【答案】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．…．（14分）【解析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键．19.【答案】（共14分）解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）=0，解得a=1．当a=1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x=1时取得极小值，其极小值为f（1）=0，符合题意所以a=1．……………………………………………………………………（5分）（II）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a-2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．因为x＞ln x，f（x）=ax2+（a-2）x-ln x＞ax2+（a-2）x-x=x（ax+a-3）．令ax+a-3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）【解析】（I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．（II）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的判断定理的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a=2因为，所以c=1，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=．所以x0=，y0=．因为点F坐标为（1，0），①当k=±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-1）2=1与直线PF相切．②当k≠±时，则直线PF的斜率k PF==．所以直线PF的方程为y=（x-1），即．点E到直线PF的距离又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则①当x0=1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-1）2=1与直线PF相切．②当x°≠1时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【解析】（Ⅰ）依题可知a=2，根据离心率求出c，即可求出b，可得椭圆的方程（Ⅱ）方法一：设出直线方程，代入椭圆方程，确定P的坐标，求出PF的方程，验证圆心到直线的距离，即可得到结论．方法二，设点P（x0，y0），求出直线PF的方程，以及点到直线的距离，即可证明本题考查椭圆方程，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

清北学堂高联一试模拟题(三)一．填空题1.设实数10x >，则函数()()()l g l g l g l g l gl g l g l g x x f x x x =-的值域为 .2.已知复数z 满足1,z =则332z z --的最大值为3、设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.4. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=6，BC=BB 1= 2，点P 是线段BC 1上一个动点，则AP+PB1的最小值为___________。

5. 过椭圆22195x y +=内一点作两条弦AB 和CD ,过,A B 作椭圆的两切线交于E ,过,C D 作椭圆的两切线交于F ,则直线EF 的方程是 .6．已知],4[,3)cos()sin(sin ππββαβαα∈=++++，则=β 7. 定义数列{}3:4n n a a n =+,n N +∈，令()1,n n n d a a +=即n d 为n a 与1n a +的最大公约数，则n d 的最大值为 .8. 将一44⨯棋盘中的每个方格都等可能随机染成红色或蓝色.则在此44⨯棋盘中没有任何一个33⨯的棋盘中所包含的9个方格都是红色的染色方法数有 种.二．解答题⑨：将正整数数列中十进制表示含有9的项都删掉，剩下的项按照顺序构成一个递增数列，求证：这个数列前n 项的倒数和不超过2018。

10.已知函数3()log ,0,13a x f x a a x -=>≠+，若存在实数,()m n m n <及a ，使得()f x 的定义域为(,)m n ，值域为(1log (1),1log (1))a a n m +-+-，分别求m 和a 的取值范围.11.已知抛物线22(0)y px p =>与直线20y+18x=m 交于,A B 两点,过,A B 两点的圆交抛物线于另两点,C D ,求直线CD 的斜率。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．16．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.18．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-39．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．411．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．63C 3D ．2312．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．64B ．104C 5D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。