清北学堂2013国庆数学竞赛冲刺班导学四——数论导学
- 格式:pdf
- 大小:486.70 KB
- 文档页数:9
清北学堂08国庆赠送试题答案数学1、 不等式<证法一>()21111x a a +-=41211221-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 由柯西不等式: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n k k x a 12212≤()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k k x a a 122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a11≤()∑=+n k k k x a a 1222只需证:()()21112221121x a a xaa nk kk+-≤+∑= (1)由于()2222xaa kk +<()22222kkka xaa -+=4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a k -4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a k2()∑∑==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+n k k k nk kkx a x a x aa 1222212224121141211 由于a1<a2<…<an,且均为正整数 ∴21211-≤++k k a a ∴ (1)式成立<证法二> 当()1112-≥a a x 由111≤∑=nk ka ,可设: 21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k x a ≤2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=n k k x a =212141⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a x≤()2211212121x a a x +-≤ 当()1112-<a a x 时,显然,()12-<k k a a x ,由柯西不等式只需证:()()21112221121xa a x aa nk kk+-≤+∑= (1) 由于()222222241k k k a x a xa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+()22222224122kk kkka x a a xaa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+∴=2222222221121121212x a x a x a x a a kk k k k +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由此可证:()()211221221122211214121121211212x a a x a x a x aa nk kk+-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+∑= 2、平面几何如图1-3,连结MN ,BD ,CD ∵FM ⊥AB ,FN ⊥AC∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°, ∴MN ⊥AD∵∠FMN=∠FAN=∠BAD=∠BCD ,∠FNM=∠DBC , ∴△MNF ∽△CBD ∴FM DC FN DBMN CB MN CB==,. 对圆内接四边形ABCD 用托勒密定理有 AB ·CD+AC ·BD=AD ·BC ∴···ABC AMDN S FM AB FN ACS MN AD+=△ =··FM AB FN ACMN AD MN AD + =··DC AB DB ACCB AD CB AD + =···DC AB DB ACCB AD +=·1·AD BCCB AD= ∴SAMDN=S △ABC.3、数论 解: 因为22162544OP AD += 所以 224625AD OP += 同理,224625CD OQ +=对于方程224625x y +=2462512y y ≤⇒≤ y 为偶数 (,)(7,12)(15,10)x y =或所以7151210AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或1571012AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩求得20AC =,ABC ∆中,222cos 2AB BC AC B AB BC++=⨯求得2264005AB BC AB BC +-⨯= 设15AB a =,所以2211256400a BC a BC +-⨯=2211(3)16400BC a a -+=,所以2116400a ≤ 15a ≤ a 可能的值为1,2,3,4,5求得(,)(15,25)(25,15)AB BC =或(20,24)或取(20,24) C=664、组合计数解:分四种情况讨论: (1),用了6种颜色,将1种颜色染下底,则上底有5种染法,按照圆排列,其余4个侧面有3!种染法,共有5×3!=30种,(或6!64⨯) (2), 用5种颜色,选5种颜色有C 56种方法,再选一种染上下底有5种,固定一种颜色朝东,朝西的一面有3种共有C 56⨯56⨯=90种 (3)用4种颜色,再选其中两种各染一对对面,有C 46⨯C 24种,将一对同色的面作为上底,下底,另一对同色的在东西两面,则南北相对两面的颜色交换后仍是同一染法,共有C 4624C ⨯=90种(4)用3种颜色,选三种颜色有36C 种方法,每种染相对两面,染出的都是同一种,共有36C =20种染色法有30+90+90+20=230种物理力学1.解:由水桶在离开水面的情况可知,重心上升距离为h,浮力2.3.4.5.化学1、解:PtNH 2CH 3I I II 2APt I BI NH 2CH 3PtI CNH 2CH 3PtI I H 3CH 2NINH 2CH 3Pt I DI NH 3NH 2CH 3 Pt O ENH 3O COH 2CC O由于AgI 的溶解度大大小于Ag 2CO 3,加入Ag 2CO 3后,可以使D 中的配体I -脱离中心体而利于丙二酸根离子的配位。
北京清北学堂数学竞赛导学材料几何特训一导学一、几个重要定理:1、梅涅劳斯定理:设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA '''AC CB BA,C AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP-BP•PC. 6、欧拉定理、欧拉公式:ΔABC 的外心O ,垂心H ,重心G 三点共线,且.21GH OG =设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2-2Rr . 二、三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 1. 重心:三角形的三条中线交于一点。
(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,且:2:1AG GD =;(2)重心坐标公式:设G 为△ABC 的重心,则(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++(3)设G 为△ABC 的重心,则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31; (4)设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ,交BC 于H ,则(2)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍; (3)垂心H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上;(4)△ABC 的垂心为H ,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 的外接圆是等圆; (5)设O ,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,.(6)由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. (7)垂线定理:2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥.高线长:C b B c A abcc p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=. 3. 内心:三角形的三条角分线的交点—内切圆圆心。
结构化学/晶体结构【竞赛要求】1.晶体结构。
晶胞。
原子坐标。
晶格能。
2.晶胞中原子数或分子数的计算及与化学式的关系。
3.分子晶体、原子晶体、离子晶体和金属晶体。
4.配位数。
5.晶体的堆积与填隙模型。
6.常见的晶体结构类型,如NaCl、CsCl、闪锌矿(ZnS)、萤石(CaF2)、金刚石、石墨、硒、冰、干冰、尿素、金红石、钙钛矿、钾、镁、铜等。
7.点阵的基本概念。
晶系。
宏观对称元素。
十四种空间点阵类型。
【知识梳理】一、晶体结构1、晶体的结构特征人们对晶体的印象往往和晶莹剔透联系在一起。
公元一世纪的古罗马作家普林尼在《博物志》中,将石英定义为―冰的化石‖,并用希腊语中―冰‖这个词来称呼晶体。
我国至迟在公元十世纪,就发现了天然的透明晶体经日光照射以后也会出现五色光,因而把这种天然透明晶体叫做"五光石"。
其实,并非所有的晶体都是晶莹剔透的,例如,石墨就是一种不透明的晶体。
日常生活中接触到的食盐、糖、洗涤用碱、金属、岩石、砂子、水泥等都主要由晶体组成,这些物质中的的晶粒大小不一,如,食盐中的晶粒大小以毫米计,金属中的晶粒大小以微米计。
晶体有着广泛的应用。
从日常电器到科学仪器,很多部件都是由各种天然或人工晶体而成,如,石英钟、晶体管,电视机屏幕上的荧光粉,激光器中的宝石,计算机中的磁芯等等。
晶体具有按一定几何规律排列的内部结构,即晶体由原子(离子、原子团或离子团)近似无限地、在三维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长程有序,是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
晶体的周期性结构,使得晶体具有一些共同的性质:(1)均匀性晶体中原子周期排布的周期很小,宏观观察分辨不出微观的不连续性,因而,晶体内部各部分的宏观性质(如化学组成、密度)是相同的。
(2)各向异性在晶体的周期性结构中,不同方向上原子的排列情况不同,使得不同方向上的物理性质呈现差异。
如,电导率、热膨胀系数、折光率、机械强度等。
数论数论素有“数学皇后”的美称。
由于其形式简单,意义明确,所用知识不多而又富于技巧性,千姿百态,灵活多样。
有人曾说:“用以发现数学天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
”因此在理念的国内外数学竞赛中,几乎都离不开数论问题,使之成为竞赛数学的一大重要内容。
1. 基本内容竞赛数学中的数论问题主要有:(1)整除性问题;(2)数性的判断(如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等);(3)余数问题;(4)整数的分解与分拆;(5)不定方程问题;(6)与高斯函数[]x有关的问题。
有关的基本知识:关于奇数和偶数有如下性质:奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数.两个数之和是奇(偶)数,则这两个数的奇偶性相反(同).若干个整数之和为奇数,则这些数中必有奇数,且奇数的个数为奇数个;若干个整数之和为偶数,则这些数中若有奇数,奇数的个数必为偶数个.奇数g奇数=奇数;奇数g偶数=偶数;偶数g偶数=偶数.若干个整数之积为奇数,则这些数必为奇数;若干个整数之积为偶数,则这些数中至少有一个偶数.若a是整数,则a与a有相同的奇偶性;若a、b是整数,则a b-奇偶性+与a b相同。
关于整数的整除性:设,,a b c是整数,则○1a a;○2若,a b b c,则a c;○3若,a b b c,则对任意整数,m n,+.有a bm cn若在等式11m ni i i i a b ===∑∑中,除某一项外,其余各项都能被c 整除,则这一项也能被c整除.若(,)1a b =,且a bc ,则a c .若(,)1a b =,且,a b b c ,则ab c .设p 是素数,若p ab ,则p a 或p b .关于同余:若0(mod )a m ≡,则m a .(mod )a b m ≡⇔,a b 分别被m 除,余数相同.同余具有反身性:(mod )a a m ≡、对称性:若(mod )a b m ≡,则(mod )b a m ≡、传递性:若,(mod )a b b c m ≡≡,则(mod )a c m ≡.2. 方法评析数论问题综合性强,以极少的知识就可生出无穷的变化。
高中数学竞赛课程(咨询qq:593687445)E01-高考系列-清北班(突破150分)导数压轴满分篇(视频+讲义)E02-高考系列-清北班(突破150分)解析几何满分技巧篇(视频+讲义)E03-高考系列-清北班(突破150分)综合篇(视频+讲义)A01-爱尖子-高一数学竞赛专属课程(春季)A02-爱尖子-高一数学竞赛专属课程(秋季)A03-爱尖子-高二数学竞赛专属课程(18春)A04-爱尖子-高二数学竞赛专属课程(17春)A05-爱尖子-高二数学竞赛专属课程(17秋)A07- 高一全国数学联赛班(暑期实录)(31讲)A08-(目标省一)高二数学暑期联赛(2018)10讲A09-高一高二数学联赛A10-高一全国数学联赛45讲A11-高中数学联赛系列课程A12-北大清华名校自主招生专题:高二数学A13-自主招生热点难点特训班(视频+讲义)A15-1-高中数学竞赛基础班A15-2-高中数学竞赛基础班A15-3-高中数学竞赛基础班A15-4-高中数学竞赛基础班A16-1-高中数学联赛基础班A16-2-高中数学联赛基础班A16-3-高中数学联赛基础班A17高中数学竞赛系统完整课程A18-爱尖子初三数学专属课A19-初二数学联赛班A20-初二新生数学年卡(尖端班)A21-(目标高联)高中数学竞赛冲刺班A22-高一数学联赛班-2018年B01-高中奥数几何强化营B03-高中奥数强化营:数论、几何、代数、组合B04-高中奥数几何突破基础班B05-高中奥数联赛集训营组合部分B06-高中奥数联赛集训营代数部分B07-高一数学竞赛班数列专题B08-高中竞赛平面几何系统课B09-(目标高联)高中奥数二试数论B10-高中数学联赛班数论篇B11-几何大王-高中数学联赛平面几何B12-高中数学竞赛不等式系统课B13-(目标高联赛)高中数学联赛二试代数组合B14-中科大教授数学联赛讲座-一试综合B15-中科大教授数学联赛讲座-二试代数B16-高一数学竞赛班三角函数篇B17-自主招生数学考试秋季系统班2018 B18-中科大教授数学自招讲座-函数专题C01-高考系列-高一数学尖端培养计划班(秋季)C02-高考系列-高一数学必修12345(人教班)年卡C03-高考系列-高中数学全套视频C04-高考系列-高三复习一二轮C05-高考系列-5次冲刺高考满分向量C06-高考系列-高考几何满分系列C07-高考系列-8次课冲刺高考满分数列C08-高考系列-数学列专题D01-高联竞赛大纲+6套最新奥赛试题D02-数学竞赛书籍D03-美国国家队奥数试题。
第8讲剩余系及其一次同余方程一、基础知识:(1)剩余系对于任意正整数n而言,一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。
依次可将整数分成n个类(例如n=2时,就是奇数或偶数),从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系,简称为模的完系。
定义1:如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数(一般地,对于任意正整数n,有n个余数:0,1,2,...,n-1),那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
定义2:剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类,分别记成[0],[1],[2],…[m-1],这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系,每个数称为相应类的代表元。
例如:当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小(一)根据剩余类的概念,很容易得到以下几条有关剩余类的性质:①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式,这里k是整数用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类,这条性质写成数学表达式就是p mod m= {p+km(k是整数)}③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。
这条性质用数学符号就可表示为:p mod m= q mod m p≡q(mod m)实际上,同余式就是剩余类等式的一个特殊情况,是集合中的一个元素,前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。
这条性质表明,对于模m的两个剩余类要么相等,要么它们的交集为空集,因此,模m有且仅有m个剩余类,它们是:0mod m,1 mod m,2 mod m,…(m―1)mod m。
在解决一些有关模m余数的问题时,我们就可以查看m个数:0,1,2,…,m―1,从而得相应的剩余类的情况,使问题变得异常简单,具体例子,请看后面的例题。