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清北学堂08国庆赠送试题答案数学1、 不等式<证法一>()21111x a a +-=41211221-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 由柯西不等式： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n k k x a 12212≤()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k k x a a 122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a11≤()∑=+n k k k x a a 1222只需证:()()21112221121x a a xaa nk kk+-≤+∑= （1）由于()2222xaa kk +<()22222kkka xaa -+=4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a k -4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a k2()∑∑==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+n k k k nk kkx a x a x aa 1222212224121141211 由于a1<a2<…<an,且均为正整数 ∴21211-≤++k k a a ∴ （1）式成立<证法二> 当()1112-≥a a x 由111≤∑=nk ka ，可设： 21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k x a ≤2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=n k k x a =212141⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a x≤()2211212121x a a x +-≤ 当()1112-<a a x 时，显然，()12-<k k a a x ，由柯西不等式只需证：()()21112221121xa a x aa nk kk+-≤+∑= （1） 由于()222222241k k k a x a xa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+()22222224122kk kkka x a a xaa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+∴=2222222221121121212x a x a x a x a a kk k k k +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由此可证：()()211221221122211214121121211212x a a x a x a x aa nk kk+-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+∑= 2、平面几何如图1-3，连结MN ，BD ，CD ∵FM ⊥AB ，FN ⊥AC∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°， ∴MN ⊥AD∵∠FMN=∠FAN=∠BAD=∠BCD ，∠FNM=∠DBC ， ∴△MNF ∽△CBD ∴FM DC FN DBMN CB MN CB==，. 对圆内接四边形ABCD 用托勒密定理有 AB ·CD+AC ·BD=AD ·BC ∴···ABC AMDN S FM AB FN ACS MN AD+=△ =··FM AB FN ACMN AD MN AD + =··DC AB DB ACCB AD CB AD + =···DC AB DB ACCB AD +=·1·AD BCCB AD= ∴SAMDN=S △ABC.3、数论 解: 因为22162544OP AD += 所以 224625AD OP += 同理，224625CD OQ +=对于方程224625x y +=2462512y y ≤⇒≤ y 为偶数 (,)(7,12)(15,10)x y =或所以7151210AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或1571012AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩求得20AC =，ABC ∆中，222cos 2AB BC AC B AB BC++=⨯求得2264005AB BC AB BC +-⨯= 设15AB a =，所以2211256400a BC a BC +-⨯=2211(3)16400BC a a -+=，所以2116400a ≤ 15a ≤ a 可能的值为1,2,3,4,5求得(,)(15,25)(25,15)AB BC =或(20,24)或取(20,24) C=664、组合计数解：分四种情况讨论： （1），用了6种颜色，将1种颜色染下底，则上底有5种染法，按照圆排列，其余4个侧面有3！种染法，共有5×3！=30种，（或6!64⨯） (2), 用5种颜色，选5种颜色有C 56种方法，再选一种染上下底有5种，固定一种颜色朝东，朝西的一面有3种共有C 56⨯56⨯=90种 （3）用4种颜色，再选其中两种各染一对对面，有C 46⨯C 24种，将一对同色的面作为上底，下底，另一对同色的在东西两面，则南北相对两面的颜色交换后仍是同一染法，共有C 4624C ⨯=90种(4)用3种颜色,选三种颜色有36C 种方法,每种染相对两面,染出的都是同一种,共有36C =20种染色法有30+90+90+20=230种物理力学1.解：由水桶在离开水面的情况可知，重心上升距离为h，浮力2.3.4.5.化学1、解：PtNH 2CH 3I I II 2APt I BI NH 2CH 3PtI CNH 2CH 3PtI I H 3CH 2NINH 2CH 3Pt I DI NH 3NH 2CH 3 Pt O ENH 3O COH 2CC O由于AgI 的溶解度大大小于Ag 2CO 3，加入Ag 2CO 3后，可以使D 中的配体I -脱离中心体而利于丙二酸根离子的配位。
北京清北学堂数学竞赛导学材料几何特训一导学一、几个重要定理：1、梅涅劳斯定理：设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA '''AC CB BA，C AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP-BP•PC. 6、欧拉定理、欧拉公式：ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.21GH OG =设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ． 二、三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 1． 重心：三角形的三条中线交于一点。
（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，且:2:1AG GD =；（2）重心坐标公式：设G 为△ABC 的重心，则(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++（3）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （4）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则（2）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； （3）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（4）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； （5）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．（6）由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. （7）垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abcc p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=． 3． 内心：三角形的三条角分线的交点—内切圆圆心。
结构化学/晶体结构【竞赛要求】1.晶体结构。
晶胞。
原子坐标。
晶格能。
2.晶胞中原子数或分子数的计算及与化学式的关系。
3.分子晶体、原子晶体、离子晶体和金属晶体。
4.配位数。
5.晶体的堆积与填隙模型。
6.常见的晶体结构类型，如NaCl、CsCl、闪锌矿（ZnS）、萤石（CaF2）、金刚石、石墨、硒、冰、干冰、尿素、金红石、钙钛矿、钾、镁、铜等。
7.点阵的基本概念。
晶系。
宏观对称元素。
十四种空间点阵类型。
【知识梳理】一、晶体结构1、晶体的结构特征人们对晶体的印象往往和晶莹剔透联系在一起。
公元一世纪的古罗马作家普林尼在《博物志》中，将石英定义为―冰的化石‖，并用希腊语中―冰‖这个词来称呼晶体。
我国至迟在公元十世纪，就发现了天然的透明晶体经日光照射以后也会出现五色光，因而把这种天然透明晶体叫做"五光石"。
其实，并非所有的晶体都是晶莹剔透的，例如，石墨就是一种不透明的晶体。
日常生活中接触到的食盐、糖、洗涤用碱、金属、岩石、砂子、水泥等都主要由晶体组成，这些物质中的的晶粒大小不一，如，食盐中的晶粒大小以毫米计，金属中的晶粒大小以微米计。
晶体有着广泛的应用。
从日常电器到科学仪器，很多部件都是由各种天然或人工晶体而成，如，石英钟、晶体管，电视机屏幕上的荧光粉，激光器中的宝石，计算机中的磁芯等等。
晶体具有按一定几何规律排列的内部结构，即晶体由原子(离子、原子团或离子团)近似无限地、在三维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长程有序，是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
晶体的周期性结构，使得晶体具有一些共同的性质：（1）均匀性晶体中原子周期排布的周期很小，宏观观察分辨不出微观的不连续性，因而，晶体内部各部分的宏观性质(如化学组成、密度)是相同的。
（2）各向异性在晶体的周期性结构中，不同方向上原子的排列情况不同，使得不同方向上的物理性质呈现差异。
如，电导率、热膨胀系数、折光率、机械强度等。
数论数论素有“数学皇后”的美称。
由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。
有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。
1. 基本内容竞赛数学中的数论问题主要有：（1）整除性问题；（2）数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）；（3）余数问题；（4）整数的分解与分拆；（5）不定方程问题；（6）与高斯函数[]x有关的问题。
有关的基本知识：关于奇数和偶数有如下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个.奇数g奇数=奇数；奇数g偶数=偶数；偶数g偶数=偶数.若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.若a是整数，则a与a有相同的奇偶性；若a、b是整数，则a b-奇偶性+与a b相同。
关于整数的整除性：设,,a b c是整数，则○1a a；○2若,a b b c，则a c；○3若,a b b c，则对任意整数,m n，+.有a bm cn若在等式11m ni i i i a b ===∑∑中，除某一项外，其余各项都能被c 整除，则这一项也能被c整除.若(,)1a b =，且a bc ，则a c .若(,)1a b =，且,a b b c ，则ab c .设p 是素数，若p ab ，则p a 或p b .关于同余：若0(mod )a m ≡，则m a .(mod )a b m ≡⇔,a b 分别被m 除，余数相同.同余具有反身性:(mod )a a m ≡、对称性:若(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡、传递性：若,(mod )a b b c m ≡≡，则(mod )a c m ≡.2. 方法评析数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。
