清北学堂数学高联一试模拟题(3)及答案

全国高联一试模拟题题集一、选择题1. 全国高联考试中，以下哪个科目不属于数学类科目？A. 高等数学B. 数学分析C. 概率论与数理统计D. 线性代数答案是：D. 线性代数。

2. 在全国高联考试中，以下哪个选项不属于物理类科目？A. 力学B. 电学C. 电磁学D. 化学反应原理答案是：D. 化学反应原理。

3. 在全国高联考试中，以下哪个选项属于历史类科目？A. 古代史B. 文化史C. 自然史D. 社会学原理答案是：B. 文化史。

4. 下列哪个选项不属于地理类科目？A. 地质学基础B. 气象学原理C. 地理信息系统D. 世界地理答案是：C. 地理信息系统。

二、简答题1. 请简述全国高联考试中数学分析的重要性。

答：数学分析是数学学科的基础，是学习高等数学、概率论与数理统计等后续课程的基础。

数学分析的学习有助于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高学生的数学素养和综合素质。

因此，数学分析在高考中具有重要地位。

2. 请简述物理学在生活中的应用。

答：物理学在生活中的应用非常广泛，如力学、电学、电磁学等知识在建筑、交通、电子等领域都有广泛应用。

例如，建筑中的力学知识可以保证建筑物的稳定性和安全性；交通中的电磁学知识可以保证交通信号灯的准确性和稳定性；电子设备中的电学和电磁学知识可以保证设备的正常运行和稳定性。

三、论述题请论述历史学科在培养学生综合素质中的作用。

答：历史学科在培养学生综合素质中具有重要作用。

首先，历史学科可以培养学生的历史意识和文化认同感，增强学生的文化自信。

其次，历史学科可以帮助学生了解人类文明的发展历程和不同文化的差异，拓宽学生的视野和知识面。

此外，历史学科还可以培养学生的思维能力和批判性思维，提高学生的综合素质。

在历史学科的学习中，学生需要分析、比较、归纳、演绎等思维方式，这些思维方式不仅适用于历史学科的学习，还适用于其他学科的学习。

因此，历史学科在培养学生综合素质中具有重要地位。

清北学堂高联一试模拟题(一)答案1、|a+x|-|x+2019|的最大值是|2019-a|≤2a，解得a≥673。

2、2/√53、3i4、22005-1设集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}，B=S\A。

`任取B的一个子集B1，恰有一个A的子集A1，使得B1的元素和与A1的元素和之和是2048的倍数。

于是S满足条件（但不一定是非空真子集）的子集个数等于B的子集个数22005。

去掉一个空集的情况，但是由于全集不满足条件，所以不用去掉，即为所求答案22005-1。

5、2064由容斥原理得到小于2018的完全平方数与完全5次方数共44+4-1=47个，注意到452=2025,因此a2018=2018+47+1=20646、15/57、31.从1开始逐项递推即可。

8、31.设两个账号的胜率分别是a/b＞c/d，都是最简分数。

那么0.0045≥a/b-c/d=（ad-bc）/bd≥1/bd，所以bd≥1/0.0045>222。

所以b+d≥2√222＞29。

若b+d=30，而bd＞223，所以（b-d）²≤30²-223×4=8。

而b与d同奇偶，所以（b，d）=（14,16）或（15,15）此时b与d不互素，这样的话a/b与c/d通分，分母≤bd/2<150，矛盾。

所以b+d≥31。

假设一个账号14局胜9局，另一个17局胜11局，那么两个胜率差就是(154-153)/(14×17)=1/238≈0.420%9.11.设抛物线方程为. , ,三条切线方程为, ,联立解得：, ,故的外接圆方程为：其中是三条切线方程的左边的式子.展开外接圆方程整理得：其中, ,因为该方程表示圆，故.从而，.故外接圆方程为：代入可知成立.故四点共圆.。

2009年清北学堂杯·全国高中数学联赛集训模拟试题班级 姓名 得分一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知(0,1)x ∈,,a b 为给定的正实数,则1a bx x+-的最小值为( A )(A)22 (C)a b + 2.已知集合A n={}Nn m 1,7m x ,221∈+=<<+、且n nx x ，则A 6中各元素的和为（ ）(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990解：答案：C ． A 6={}N m 1,7m x ,12864∈+=<<且x x ，当m=10时，x=71． 当m=18时，x=127．∴A 6中各元素的和为89129127)(71=⨯+．3. 已知函数6sin cos 2111)(++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x b x a x f x （a 、b 为常数，且1>a ），8)1000o (l g 8=g l f ，则)2lg (lg f 的值是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a 、b 有关的数 解：答案：Ｂ．∵x b x sin cos 211a 1g(x)x+⎪⎭⎫⎝⎛+-=为奇函数，8)1000o (lg 8=g l f ， 2lg lg 10lglog 1000o lg 28-==g l ．∴=)1000o (lg g 8g l =-)2lg lg (g )2lg (lg g -＝２，∴)2lg (lg f ＝)2lg (lg g ＋６＝－２＋６＝４． 4. 满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）（ ）（A ） 只有一对（B ）恰有有两对（C ）至少有三对（D ）不存在解：（B ） 设2007,322+=+=x b x a ，其中a ，b 均为自然数，则y=a+b ，167322004))((222⨯⨯==+-=-a b a b a b 。

因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性，且b+a>b-a,所以⎩⎨⎧=-=+21002a b a b 或⎩⎨⎧=-=+6334a b a b 解得⎩⎨⎧==502500b a 或⎩⎨⎧==170164b a5. 设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于(A)．(A)4 (B)13 (C) 24 (D) 213解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝5，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△PF l F 2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4． 6. 已知,,x y z R +∈,且1231x y z ++=,则23y zx ++的最小值是( D ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( )(A)62π (B)63π (C)64π (D)65π解析：设ABCD 为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60由圆内接四边形对角互补得∠C=180º－∠A连结BD ，在△ABD 与△BCD 中,由余弦定理,得:2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅∠＝222cos CB CD CB CD C +-⋅∠即22256022560cos A +-⨯⨯∠＝22395223952cos A ++⨯⨯⨯∠解得cos ∠A=0∴∠A=90º，故BD 为圆的直径∴65602522=+=BD ∴圆的周长为65π 8.已知整数t z y 、、、x 满足t z y x <<<，且13142222=+++t z y x ，则tz y x +++等于 ．解：答案：24．∵)2221(22222x x t x z x y t z y x ---+++=+++，括号内为奇数， 又１３１４＝65721⨯，∴1=x 且656222=++---x t x z xy ；由于4126564⨯＝，可得4x -y =且4022=+--y t y z ，∴5=y ；同理可得10t 8,z ==．∴t z y x +++＝２４． 9.已知数列{}n a 满足21=a ，52=a ，n n n a a a -=++12 (*N n ∈)， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2008S 的值是解：答案：８．数列{}n a 的各项依次为２，５，３，－２，－５，－３，２，５，…，呈周期性变化，周期为６，因为433462008 ＝÷，∴2008S ＝８．10. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF1.【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。

2 3 7 ⎪ ⎨ y⎪1+ y z3清北学堂 2021 年 5 月全国高中数学联赛模拟题一、填空题(各 8 分,共 64 分)1. 若 x>0，y>0，且 2x 2 y 28，则 x 6＋2y 2的最大值是＋ ＝ 32. 过抛物线 y 2＝2x 的焦点且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 M 、N 两点，O 为坐标原点，则 • ＝3. 设复数 z = (1 + i )(1 + i )(1 +i) ⋅L ⋅ (1 + i) ，则 z 的值为 ．2 2224.设正数 a = 0.123456789101112L ……，其中全体正整数从小到大顺次接成一排，形成 a 的无限小数部分，则 a 的小数点后第 2017 位数字是．5 已知点 P （0，1），椭圆+y 2＝m （m ＞1）上两点 A ，B 满足＝2，则当 m ＝时，点 B 横坐标的绝对值最大．6 在四面体 ABCD 中，顶点 D 处的 3 个面角都是直角，顶点 A处的 3 个面角之和等于 90 度，若 DB=a ，DC=b 。

则四面体 ABCD 的体积为= y 7 方程组 ⎪ = z 满足 z xyz ≠ 0的实数解为⎪ = x ⎩1+ 8. 在 坐 标 平 面 上 画 出 63 条 直 线 ：y = b , y = 3x + 2b , y = -3x + 2b , 其 中2 b = -10, -9, -8, ,8, 9,10 ，这些直线将平面分割成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形的个数是.⎧ ⎪x⎪1+ xn 二、解答题(共 56 分,其中第 9 题 16 分,其余两题各 20 分)9、已知函数 f (x ) = log x - 3, a > 0, a ≠ 1 ，若存在实数 m , n (m < n ) 及 a ，使得 f (x ) 的 ax + 3定义域为(m , n )，值域为(1 + log a (n -1),1 + log a (m -1)) ，分别求 m 和 a 的取值范围.10.、已知椭圆 C ：+＝1（a ＞b ＞0），四点 P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．11、设0 ≤ p ≤1，i = 1, 2, , n ，证明存在0 ≤ x ≤1 ，使 ∑1≤ 8n ⎛1 + 1++ 1 ⎫i | x - p | 32n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭42 6＋2y 21 +1 4 k i k 22 2 2 2 2 2 2 7 清北学堂 2020 年 5 月全国高中数学联赛模拟题答案2x ＋y 21. (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 3 ≤3· 22 9 2 ＝3× 2 .当且仅当 2x 2 ＝1 y 23 9 ＋ ， 即 x ＝ 3，y ＝ 时，等号成立．故 x 的最大值为 3.2. y 2＝2x 的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ，代入 y 2＝2x 得 y ＝±1， 故 •，1）•（）＝﹣1＝﹣．3 答案：330．128 解：由于 1 + i= = 1 × k + 4 ，故2 k2 71 1k 7 k + 4 1 8 创 9 10 11 z = 照 + = k = 1 ×2 k = 1 k = × 128 1 创 234 ． 4 答案： 7 ．解：全体一位数占 9 个数位，全体两位数占 2´ 90 = 180 个数位．由于2017 - 9 - 180 = 1828 = 3´ 609+1 ，因此 a 的小数点后第 2017 位数字是从小 到大第 610 个三位数的首位数字，即 709 的首位数字 7．5. 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由＝2，可得﹣x 1＝2x 2，1﹣y 1＝2（y 2﹣1）， 即有 x 1＝﹣2x 2，y 1+2y 2＝3， 又 x 12+4y 1 ＝4m ，即为 x 2 +y 1 ＝m ，① x 2 +4y 2 ＝4m ，②①﹣②得（y 1﹣2y 2）（y 1+2y 2）＝﹣3m ，可得 y 1﹣2y 2＝﹣m ， 解 得，y 2＝， 则 m ＝x 22+（）2，1＋y 23 330 2x1 +x5 - 1 233332 2⎪ 2 2即有 x 2 ） ＝＝ ，即有 m ＝5 时，x 22 有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．6.ab(a+b)/65 - 1 ⎫, ⎪⎭解：注意到函数 y =在[0,+∞)上单调递增x yy z若 x > y ，则 y = >= z ，从而 z = > = x ，于是 y > z > x ， 1 + x 1 + y 1 + y 1 + z矛盾，同理，若 y > x 也有矛盾⎛5 - 1 5 - 1 ⎫从而 x = y = z ，解得(x , y , z ) = , , ⎪ ⎪ ⎝⎭8.660.20六条最外面的直线决定了一个边长为 的正六边形，穿过原点O 的三条直线将这个正六边20形分成六个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的 10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形的内部共有边长为 2的三角形 600 个，另外，与正六边形每条边相邻的外部都有 10 个边长为 2600+60=660 个. 的正三角形，故共有9.由x - 3> 0 得 x 的取值范围为 (-∞, -3) ⋃ (3, +∞) ，因为 f (x ) 的定义域为 (m , n ) ，且 x + 3m > 1, n > 1，故 m ≥ 3 .又 m -1 < n -1, log a (n -1) < 1+ log a (m -1) ，所以0 < a < 1.7 , ⎛ 5 - 1 ⎝2 5 - 1 222 -3 x - 3 6易知u == 1-在(m , n )上单调递增，而log a u 单调递减，所以 f (x ) 在(m , n )上x + 3x + 3单 调 递 减 ， 又 f (x ) 的 值 域 为 (1 + log a (n -1),1 + log a (m -1))n - 3 ， 所 以 有1+ log a (n -1) = f (n ) = log a n + 3 ，m - 3 n - 3 m - 31+ log a (m -1) =方程f (m ) = log am + 3，故 a (n -1) =n + 3 , a (m -1) = m + 3，所以 m , n 是a (t -1) =t - 3 t + 32，即 at 2+ (2a -1)t + 3(1- a ) = 0 的两个不相等的实数根，且3 < m < n ，令 2a -1 g (t ) = at + (2a -1)t + 3(1 - a ) ，则 ∆ > 0, g (3) > 0, - > 3 ，解得0 < a < .2a 410. （1） 根 据 椭 圆 的 对 称 性 ），P 4（1，） 两 点 必 在 椭 圆 C上 ， 又 P 4 的横坐标为 1，∴椭圆必不过 P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆 C上． 把 P 2（0，1），P 3（﹣1， ）代入椭圆 C ，得：，解得 a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆 C 的方程＝1．证明：（2）①当斜率不存在时，设 l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，∴ ＝＝﹣1，解得 m ＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y ＝kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4＝0，，x 1x 2＝，n n n -1 n n n n则＝ ＝＝＝﹣1，又 t≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在 k ，使得△＞0 成立， ∴直线 l 的方程为 y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当 x ＝2 时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．11 证明：若否，设∀0 ≤ x ≤1， ∑1> 8n ⎛1 + 1 + + 1 ⎫ = B .| x - p | 3 2n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭考察 2n 个开区间 I = ⎛ k ,k + 1⎫, k = 0,1, , 2n - 1 .至少有 n 个 I 不包含任何 p .以 x 表k 2n 2n ⎪k i j ⎝ ⎭示该区间的中点（ j = 1, 2, , n ）.令| x - p |= d ，则∀i ∈{1, 2, , n } ，d ≥ 1.对至多两个 j ， j i ijij4n3 d ij ≥ 4n 5，不成立;对至多 4 个 j ， d ij ≥ 4n，不成立；于是 ∑ 1 ≤ 2∑ 4n = B ，所以∑∑ 1 ≤ nB .j =1 d ij n =0 1 + 2n j =1 i =1 d ij而假设 ∑∑ 1> nB ，矛盾.故原命题成立.j =1 i =1 d ij。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．16．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.18．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-39．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．411．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．63C 3D ．2312．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．64B ．104C 5D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。