清北学堂数学高联一试模拟题(3)及答案
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全国高联一试模拟题题集一、选择题1. 全国高联考试中,以下哪个科目不属于数学类科目?A. 高等数学B. 数学分析C. 概率论与数理统计D. 线性代数答案是:D. 线性代数。
2. 在全国高联考试中,以下哪个选项不属于物理类科目?A. 力学B. 电学C. 电磁学D. 化学反应原理答案是:D. 化学反应原理。
3. 在全国高联考试中,以下哪个选项属于历史类科目?A. 古代史B. 文化史C. 自然史D. 社会学原理答案是:B. 文化史。
4. 下列哪个选项不属于地理类科目?A. 地质学基础B. 气象学原理C. 地理信息系统D. 世界地理答案是:C. 地理信息系统。
二、简答题1. 请简述全国高联考试中数学分析的重要性。
答:数学分析是数学学科的基础,是学习高等数学、概率论与数理统计等后续课程的基础。
数学分析的学习有助于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力,提高学生的数学素养和综合素质。
因此,数学分析在高考中具有重要地位。
2. 请简述物理学在生活中的应用。
答:物理学在生活中的应用非常广泛,如力学、电学、电磁学等知识在建筑、交通、电子等领域都有广泛应用。
例如,建筑中的力学知识可以保证建筑物的稳定性和安全性;交通中的电磁学知识可以保证交通信号灯的准确性和稳定性;电子设备中的电学和电磁学知识可以保证设备的正常运行和稳定性。
三、论述题请论述历史学科在培养学生综合素质中的作用。
答:历史学科在培养学生综合素质中具有重要作用。
首先,历史学科可以培养学生的历史意识和文化认同感,增强学生的文化自信。
其次,历史学科可以帮助学生了解人类文明的发展历程和不同文化的差异,拓宽学生的视野和知识面。
此外,历史学科还可以培养学生的思维能力和批判性思维,提高学生的综合素质。
在历史学科的学习中,学生需要分析、比较、归纳、演绎等思维方式,这些思维方式不仅适用于历史学科的学习,还适用于其他学科的学习。
因此,历史学科在培养学生综合素质中具有重要地位。
清北学堂高联一试模拟题(一)答案1、|a+x|-|x+2019|的最大值是|2019-a|≤2a,解得a≥673。
2、2/√53、3i4、22005-1设集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024},B=S\A。
`任取B的一个子集B1,恰有一个A的子集A1,使得B1的元素和与A1的元素和之和是2048的倍数。
于是S满足条件(但不一定是非空真子集)的子集个数等于B的子集个数22005。
去掉一个空集的情况,但是由于全集不满足条件,所以不用去掉,即为所求答案22005-1。
5、2064由容斥原理得到小于2018的完全平方数与完全5次方数共44+4-1=47个,注意到452=2025,因此a2018=2018+47+1=20646、15/57、31.从1开始逐项递推即可。
8、31.设两个账号的胜率分别是a/b>c/d,都是最简分数。
那么0.0045≥a/b-c/d=(ad-bc)/bd≥1/bd,所以bd≥1/0.0045>222。
所以b+d≥2√222>29。
若b+d=30,而bd>223,所以(b-d)²≤30²-223×4=8。
而b与d同奇偶,所以(b,d)=(14,16)或(15,15)此时b与d不互素,这样的话a/b与c/d通分,分母≤bd/2<150,矛盾。
所以b+d≥31。
假设一个账号14局胜9局,另一个17局胜11局,那么两个胜率差就是(154-153)/(14×17)=1/238≈0.420%9.11.设抛物线方程为. , ,三条切线方程为, ,联立解得:, ,故的外接圆方程为:其中是三条切线方程的左边的式子.展开外接圆方程整理得:其中, ,因为该方程表示圆,故.从而,.故外接圆方程为:代入可知成立.故四点共圆.。
2009年清北学堂杯·全国高中数学联赛集训模拟试题班级 姓名 得分一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知(0,1)x ∈,,a b 为给定的正实数,则1a bx x+-的最小值为( A )(A)22 (C)a b + 2.已知集合A n={}Nn m 1,7m x ,221∈+=<<+、且n nx x ,则A 6中各元素的和为( )(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990解:答案:C . A 6={}N m 1,7m x ,12864∈+=<<且x x ,当m=10时,x=71. 当m=18时,x=127.∴A 6中各元素的和为89129127)(71=⨯+.3. 已知函数6sin cos 2111)(++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x b x a x f x (a 、b 为常数,且1>a ),8)1000o (l g 8=g l f ,则)2lg (lg f 的值是( )(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a 、b 有关的数 解:答案:B.∵x b x sin cos 211a 1g(x)x+⎪⎭⎫⎝⎛+-=为奇函数,8)1000o (lg 8=g l f , 2lg lg 10lglog 1000o lg 28-==g l .∴=)1000o (lg g 8g l =-)2lg lg (g )2lg (lg g -=2,∴)2lg (lg f =)2lg (lg g +6=-2+6=4. 4. 满足20073+++=x x y 的正整数数对(x ,y )( )(A ) 只有一对(B )恰有有两对(C )至少有三对(D )不存在解:(B ) 设2007,322+=+=x b x a ,其中a ,b 均为自然数,则y=a+b ,167322004))((222⨯⨯==+-=-a b a b a b 。
因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性,且b+a>b-a,所以⎩⎨⎧=-=+21002a b a b 或⎩⎨⎧=-=+6334a b a b 解得⎩⎨⎧==502500b a 或⎩⎨⎧==170164b a5. 设F 1,F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1| : |PF 2|=2 : 1,则三角形∆PF 1F 2的面积等于(A).(A)4 (B)13 (C) 24 (D) 213解:设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ,则由其方程知a =3,b =2,c =5,故,|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又已知[PF 1|:|PF 2|=2:1,故可得|PF l |=4,|PF 2|=2.在△PF l F 2中,三边之长分别为2,4,25,而22+42=(25)2,可见△PF l F 2是直角三角形,且两直角边的长为2和4,故△PF l F 2的面积=4. 6. 已知,,x y z R +∈,且1231x y z ++=,则23y zx ++的最小值是( D ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.如果边长顺次为25,39,52和60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为( )(A)62π (B)63π (C)64π (D)65π解析:设ABCD 为圆内接四边形,且AB=25,BC=39,CD=52,DA=60由圆内接四边形对角互补得∠C=180º-∠A连结BD ,在△ABD 与△BCD 中,由余弦定理,得:2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅∠=222cos CB CD CB CD C +-⋅∠即22256022560cos A +-⨯⨯∠=22395223952cos A ++⨯⨯⨯∠解得cos ∠A=0∴∠A=90º,故BD 为圆的直径∴65602522=+=BD ∴圆的周长为65π 8.已知整数t z y 、、、x 满足t z y x <<<,且13142222=+++t z y x ,则tz y x +++等于 .解:答案:24.∵)2221(22222x x t x z x y t z y x ---+++=+++,括号内为奇数, 又1314=65721⨯,∴1=x 且656222=++---x t x z xy ;由于4126564⨯=,可得4x -y =且4022=+--y t y z ,∴5=y ;同理可得10t 8,z ==.∴t z y x +++=24. 9.已知数列{}n a 满足21=a ,52=a ,n n n a a a -=++12 (*N n ∈), n S 是数列{}n a 的前n 项和,则2008S 的值是解:答案:8.数列{}n a 的各项依次为2,5,3,-2,-5,-3,2,5,…,呈周期性变化,周期为6,因为433462008 =÷,∴2008S =8.10. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ,点P 在直线l:80x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时,比12PF PF1.【解】 由平面几何知,要使12F PF ∠最大,则过12,F F ,P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。
2 3 7 ⎪ ⎨ y⎪1+ y z3清北学堂 2021 年 5 月全国高中数学联赛模拟题一、填空题(各 8 分,共 64 分)1. 若 x>0,y>0,且 2x 2 y 28,则 x 6+2y 2的最大值是+ = 32. 过抛物线 y 2=2x 的焦点且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 M 、N 两点,O 为坐标原点,则 • =3. 设复数 z = (1 + i )(1 + i )(1 +i) ⋅L ⋅ (1 + i) ,则 z 的值为 .2 2224.设正数 a = 0.123456789101112L ……,其中全体正整数从小到大顺次接成一排,形成 a 的无限小数部分,则 a 的小数点后第 2017 位数字是.5 已知点 P (0,1),椭圆+y 2=m (m >1)上两点 A ,B 满足=2,则当 m =时,点 B 横坐标的绝对值最大.6 在四面体 ABCD 中,顶点 D 处的 3 个面角都是直角,顶点 A处的 3 个面角之和等于 90 度,若 DB=a ,DC=b 。
则四面体 ABCD 的体积为= y 7 方程组 ⎪ = z 满足 z xyz ≠ 0的实数解为⎪ = x ⎩1+ 8. 在 坐 标 平 面 上 画 出 63 条 直 线 :y = b , y = 3x + 2b , y = -3x + 2b , 其 中2 b = -10, -9, -8, ,8, 9,10 ,这些直线将平面分割成若干个等边三角形,其中边长为的等边三角形的个数是.⎧ ⎪x⎪1+ xn 二、解答题(共 56 分,其中第 9 题 16 分,其余两题各 20 分)9、已知函数 f (x ) = log x - 3, a > 0, a ≠ 1 ,若存在实数 m , n (m < n ) 及 a ,使得 f (x ) 的 ax + 3定义域为(m , n ),值域为(1 + log a (n -1),1 + log a (m -1)) ,分别求 m 和 a 的取值范围.10.、已知椭圆 C :+=1(a >b >0),四点 P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ,B 两点.若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1,证明:l 过定点.11、设0 ≤ p ≤1,i = 1, 2, , n ,证明存在0 ≤ x ≤1 ,使 ∑1≤ 8n ⎛1 + 1++ 1 ⎫i | x - p | 32n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭42 6+2y 21 +1 4 k i k 22 2 2 2 2 2 2 7 清北学堂 2020 年 5 月全国高中数学联赛模拟题答案2x +y 21. (x 6+2y 2)2=x 2(6+2y 2)=3·2x 3 ≤3· 22 9 2 =3× 2 .当且仅当 2x 2 =1 y 23 9 + , 即 x = 3,y = 时,等号成立.故 x 的最大值为 3.2. y 2=2x 的焦点坐标是(,0),则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ,代入 y 2=2x 得 y =±1, 故 •,1)•()=﹣1=﹣.3 答案:330.128 解:由于 1 + i= = 1 × k + 4 ,故2 k2 71 1k 7 k + 4 1 8 创 9 10 11 z = 照 + = k = 1 ×2 k = 1 k = × 128 1 创 234 . 4 答案: 7 .解:全体一位数占 9 个数位,全体两位数占 2´ 90 = 180 个数位.由于2017 - 9 - 180 = 1828 = 3´ 609+1 ,因此 a 的小数点后第 2017 位数字是从小 到大第 610 个三位数的首位数字,即 709 的首位数字 7.5. 设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由=2,可得﹣x 1=2x 2,1﹣y 1=2(y 2﹣1), 即有 x 1=﹣2x 2,y 1+2y 2=3, 又 x 12+4y 1 =4m ,即为 x 2 +y 1 =m ,① x 2 +4y 2 =4m ,②①﹣②得(y 1﹣2y 2)(y 1+2y 2)=﹣3m ,可得 y 1﹣2y 2=﹣m , 解 得,y 2=, 则 m =x 22+()2,1+y 23 330 2x1 +x5 - 1 233332 2⎪ 2 2即有 x 2 ) == ,即有 m =5 时,x 22 有最大值 4, 即点 B 横坐标的绝对值最大. 故答案为:5.6.ab(a+b)/65 - 1 ⎫, ⎪⎭解:注意到函数 y =在[0,+∞)上单调递增x yy z若 x > y ,则 y = >= z ,从而 z = > = x ,于是 y > z > x , 1 + x 1 + y 1 + y 1 + z矛盾,同理,若 y > x 也有矛盾⎛5 - 1 5 - 1 ⎫从而 x = y = z ,解得(x , y , z ) = , , ⎪ ⎪ ⎝⎭8.660.20六条最外面的直线决定了一个边长为 的正六边形,穿过原点O 的三条直线将这个正六边20形分成六个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的 10倍,且每个大三角形被分成102个小三角形,所以正六边形的内部共有边长为 2的三角形 600 个,另外,与正六边形每条边相邻的外部都有 10 个边长为 2600+60=660 个. 的正三角形,故共有9.由x - 3> 0 得 x 的取值范围为 (-∞, -3) ⋃ (3, +∞) ,因为 f (x ) 的定义域为 (m , n ) ,且 x + 3m > 1, n > 1,故 m ≥ 3 .又 m -1 < n -1, log a (n -1) < 1+ log a (m -1) ,所以0 < a < 1.7 , ⎛ 5 - 1 ⎝2 5 - 1 222 -3 x - 3 6易知u == 1-在(m , n )上单调递增,而log a u 单调递减,所以 f (x ) 在(m , n )上x + 3x + 3单 调 递 减 , 又 f (x ) 的 值 域 为 (1 + log a (n -1),1 + log a (m -1))n - 3 , 所 以 有1+ log a (n -1) = f (n ) = log a n + 3 ,m - 3 n - 3 m - 31+ log a (m -1) =方程f (m ) = log am + 3,故 a (n -1) =n + 3 , a (m -1) = m + 3,所以 m , n 是a (t -1) =t - 3 t + 32,即 at 2+ (2a -1)t + 3(1- a ) = 0 的两个不相等的实数根,且3 < m < n ,令 2a -1 g (t ) = at + (2a -1)t + 3(1 - a ) ,则 ∆ > 0, g (3) > 0, - > 3 ,解得0 < a < .2a 410. (1) 根 据 椭 圆 的 对 称 性 ),P 4(1,) 两 点 必 在 椭 圆 C上 , 又 P 4 的横坐标为 1,∴椭圆必不过 P 1(1,1), ∴P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)三点在椭圆 C上. 把 P 2(0,1),P 3(﹣1, )代入椭圆 C ,得:,解得 a 2=4,b 2=1,∴椭圆 C 的方程=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设 l :x =m ,A (m ,y A ),B (m ,﹣y A ), ∵直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1,∴ ==﹣1,解得 m =2,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设 l :y =kx+t ,(t ≠1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立,整理,得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,,x 1x 2=,n n n -1 n n n n则= ===﹣1,又 t≠1,∴t =﹣2k ﹣1,此时△=﹣64k ,存在 k ,使得△>0 成立, ∴直线 l 的方程为 y =kx ﹣2k ﹣1, 当 x =2 时,y =﹣1, ∴l 过定点(2,﹣1).11 证明:若否,设∀0 ≤ x ≤1, ∑1> 8n ⎛1 + 1 + + 1 ⎫ = B .| x - p | 3 2n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭考察 2n 个开区间 I = ⎛ k ,k + 1⎫, k = 0,1, , 2n - 1 .至少有 n 个 I 不包含任何 p .以 x 表k 2n 2n ⎪k i j ⎝ ⎭示该区间的中点( j = 1, 2, , n ).令| x - p |= d ,则∀i ∈{1, 2, , n } ,d ≥ 1.对至多两个 j , j i ijij4n3 d ij ≥ 4n 5,不成立;对至多 4 个 j , d ij ≥ 4n,不成立;于是 ∑ 1 ≤ 2∑ 4n = B ,所以∑∑ 1 ≤ nB .j =1 d ij n =0 1 + 2n j =1 i =1 d ij而假设 ∑∑ 1> nB ,矛盾.故原命题成立.j =1 i =1 d ij。
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足()125z i ⋅+=(i 为虚数单位),则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为( )A .1B .2C .3D .43.已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点,则4AB 的最小值为( )A .5ln 2+B .5ln 2-C .3ln 2+D .3ln 2-4.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了100GW ,达到114.6GW ,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息,正确的统计结论是( )A .截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B .10年来全球新增装机容量连年攀升C .10年来中国新增装机容量平均超过20GWD .截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135.若1(1)z a i =+-(a R ∈),|2|z =,则a =( )A .0或2B .0C .1或2D .16.设函数1()ln1xf x x x+=-,则函数的图像可能为( ) A . B . C . D .7.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A .1010.1B .10.1C .lg10.1D .10–10.18.已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-,则a b -=( ) A .2B .3C .-2D .-39.已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为( )A .B .C .D .10.已知三棱锥P ABC -中,O 为AB 的中点,PO ⊥平面ABC ,90APB ∠=︒,2PA PB ==,则有下列四个结论:①若O 为ABC 的外心,则2PC =;②ABC 若为等边三角形,则⊥AP BC ;③当90ACB ∠=︒时,PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦;④当4PC =时,M 为平面PBC 内一动点,若OM ∥平面PAC ,则M 在PBC 内轨迹的长度为1.其中正确的个数是( ). A .1B .1C .3D .411.如图示,三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒,且2PA PB AB ===,3PC =,则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于( )A .13B .63C 3D .2312.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等,60ABC ︒∠=,则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于( ) A .64B .104C 5D .155二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷(三)一、填空题(每题8分,共64分)1.若cos2cos 1a x b x -≥-对任意实数x 成立,则a b +的最大值为________. 2.满足201810z z --=且||1z =的复数z 有________个. 3.若函数()22log ()1x x f x a -=-在()11,32上恒大于0,则a 的取值范围是________. 4.正八面体有8个面、6个顶点,甲选择其中3个面的中心构成三角形,乙选择其中3个顶点构成三角形,则甲、乙二人选择的三角形相似的概率是________.5.正三棱柱ABC A B C '-''BC 的底面边长和高都是1,在底面ABC 上取一点P ,设平面PA B ''与平面ABC 的二面角为α,平面PA C ''与平面ABC 的二面角为β,则cos()αβ+的最大值为________.6.已知函数()sin cos (,)f x a x b x a b =+∈Z ,且满足{|()0}{|(())0}x f x x f f x ===,则整数对(,)a b 有________个.7.抛物线22y x =的焦点为F .设M 是抛物线上一动点,当MFMO最小时,M 点的坐标为________.8.正实数a 、b 、c 满足22222169196225a ab b b bc c c ca a ++=⎪++=⎨⎪++=⎩,则ab bc ca ++=________.二、解答题(共56分)9.(16分)正实数a 、b 、c 满足14abc ≤,2221119a b c++<.证明:存在以a 、b 、c 为三长的三角形.10.(20分)已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a b Γ-=>>的离心率为2,过点(0,)(0)P m m >斜率为1的直线交双曲线Γ于A 、B 两点,且3AP PB =,3OA OB ⋅=.(1)求双曲线方程;(2)设顶点为(0,)P p 开口向上的抛物线与双曲线Γ相切于M 、N 两点.求△PMN 面积的最小值.11.(20分)已知函数2()f x ax bx c =++义域为R .当[2018,)x ∈-+∞时,2|()|2018f x x -≤,且当[2,3]x ∈-时,()f x 的最大值为10.(1)求()f x 在R 上的最小值;(2)若存在实数m 、n ,使得2||()x mx n kf x ++≤对任意[1,1]x ∈-恒成立,求实数k 的最小值.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷(三)详细解析1.2.解:当3x π=时,可知2a b +≤.当23a =,43b =时,原式等价于21(2cos 1)03x -≥0恒成立.故a b +的最大值为2.2.0.解:由题意知2018|1|1z z +==,又||1z =,故122z =-±.代入得201810z z --≠,故解有0个.3.)11,(1,)322⎡+∞⎢⎣.解:首先知0a >且12a ≠,1.当1a >时, 22log 0a x x <<,()11,32x ∈因此()f x 恒大于0.当01a <<时,若()f x 在()11,32上恒大于0,则()22l o g 0a x x ->,()11,32x ∈,因此102a <<,且()()2211log 022a -≥,故11322a ≤<.综上所述,)11,(1,)322a ⎡∈+∞⎢⎣.4.1135.解:甲有三种情况:等腰直角三角形、直角边比为1:形.一共有56种.其中等腰直角三角形有24种;直角边比为1:24种;正三角形有8种.乙有两种情况:等腰直角三角形、正三角形.共有20种.其中正三角形有8种;等腰直角三角形有12种.因此,两三角形相似的概率为241288115620562035⨯+⨯=. 5.1319-.解:作点P 到平面A B C '''的投影P ',作P M A B '⊥''于M ,P N A C '⊥''于N ,则PMP α∠'=,PNP β∠'=,过P '作M N B C ''''∥分别交A B ''于M ',交A C ''于N '.设1M N a ''=≤,M P x a ''=≤则2P M x '=,)2P N a x ='-,故tan 3PP P M xα''==,tan 3()PP P N a x β=''=-.所以tan()33()43(1)41344x a x x x αβ+=≥≥=------,由于tan()13αβ+≥-tan()0αβ+<,(),2παβπ+∈.又tan()13αβ+≥-13cos()19αβ+≤-,当且仅当P 为BC 中点时等号成立. 6.7.解:由条件知,(0)0f =,则0b =,()sin f x a x =,则{|()0}{|}x f x k k π==∈Z ,所以asinx k π=,当0k ≠时无解,所以||a π<,所以3a =±,2±,1±,0,(,)a b 共有7个.7.(1,.解:设点(,)M x y ,则()22224414114848MFx x x MOx x x x++-==-++,令41x t -=,则0t ≤时1MFMO≥,0t >时, ()24131194410MF MOt t=-≥-=++, 当且仅当3t =即1x =时等号成立.故M点的坐标为(1,.8.解:由方程构造△ABC 及点O ,使23A OB B OC C O A π∠=∠=∠=,且O A a =,OB b =,OC c =,则13AB =,14BC =,15CA =.验证知条件成立.故121212sin sin sin )2323234ABC OAB OBC OAC S S S S ab b ca ab bc ca πππ=++=++=++△△△△,由△ABC 三边长知A 到BC 距离为12,故11412842ABC S =⨯⨯=△(也可由海伦公式得出),因此,ab bc ca ++=9.不妨设a b c ≤≤,只需证c a b <+.假设c a b ≥+,则由14abc ≤知222116a b c≥,且1()4abc ab a b ≥≥+≥ 则14ab≥.故2222222222211111916114416944a b a b c a ba b a b >++≥++=⋅+⋅+=≥,矛盾.10.(1)由双曲线离心率为2知,2c a =,b =,双曲线方程化为222213x y a a -=,设直线方程为y x m =+,联立得2222230x mx m a ---=.①设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12x x m +=,221232m a x x --=.因为3AP PB =,所以123x x =-,又12x x m +=,解得132x m =,212x m =-.代入221232m a x x --=解得226m a =.又因为3=222121233OA OB x x y y m a a ⋅=+=-=,所以21a =,此时0∆>.代入①式,得2290x --=,判别式0∆>,方程有两个不同实根.因此21a =符合题意.故双曲线方程为2213y x -=. (2)设抛物线的方程为2(0)y qx p q =+>,即21()x y p q=-,与双曲线联立消去x 得23330qy y p q -++=,由相切知判别式94(33)0q p q ∆=-+=,解得2344q p q-=,代入23330qy y p q -++=,得29304qy y q -+=,解得32y q=. 代入21()x y p q=-解得1x =2x =因此21213343.2244PMNq S x x q q q q -⎛⎫=⋅-⋅-=+ ⎪⎝⎭△令2314k q +=,则2344q k =-且1k >,要求PMN S △的最小值,1)k >的最小值,只需求3(1)1k k k >-的最小值.令3()1xf x x =-,则()22322323(1)2()(1)(1)x x x x x f x x x =-'---=-.当()0f x '=时,0x =或32,当32x =时,()f x 取得极小值.当32k =时,2q =, PMN S △取得最小值为94. 11.(1)由题设知2|(1)|2018a x bx c -++≤在[2018,)+∞上恒成立.当1a =时,||2018bx c +≤在[2018,)+∞上恒成立.若0b =,则||2018c ≤.若0b >,取2018c x b ->,则2018bx c +>,矛盾.若0b <,则取2018c x b-->,则2018bx c +<-,矛盾. 当1a >时,取{}max{0,2018}max 1,1c bx a -->-,则(1)max{0,2018}a x b c -+>-,由于1x >,则[(1)]max{0,2018}a x b x c -+>-,即2(1)max{,2018}2018a x bx c c -++>≥,矛盾.当1a <时,取{}min{0,2018}max 1,1c bx a --->-,则(1)min{0,2018}a x b c -+<--,由于1x >,则[(1)]min{0,2018}a x x c -+<--,即2(1)min{,2018}2018a x bx c c -++<-≤-,矛盾.综上,1a =,0b =,||2018c ≤.且2()f x x c =+.由于当[2,3]x ∈-时,()f x 的最大值为10.所以910c +=,故1c =. 函数的解析式为2()1f x x =+,则在R 上的最小值为1.(2)存在实数m 、n ,使得22||(1)x mx n k x ++≤+对任意[1,1]x ∈-恒成立.令2()g x x mx n =++,则|1||(1)|2|1||(1)|2|||(0)|m n g k m n g k n g k++=≤⎧⎪-+=-≤⎨⎪=≤⎩则22|1||1||(1)(1)||22|k k m n m n m n m n n +≥+++-+≥+++-+=+,所以2|1|k n ≥+,则2|||1||(1)|1k k n n n n +≥++≥-++=,则13k ≥.下面证明13k =成立.等号成立条件解得013m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩,则21()3g x x =-.当[1,1]x ∈-时,2[0,1]x ∈,则222111(1)(1)333x x x -+≤-≤+成立.综上,k 的最小值是13.。
高中数学奥林匹克模拟真题(三)及答案陈传理提供一、填写题:共64分,每小题8分.1.由10个元素组成的集合}11,2,19,91,36,25,0,1,99,1{−−−−=M ,记M 的所有非空子集为i M ,1023,2,1L =i ,每一个i M 中的所有元素之积为i m ,则∑=10231i im = .2.○·O 的半径为7,D ,B ,C 为○·O 上的三点,o 120=<BOC ,1+=DB DC ,则DB = .3.已知sin )10cos()10cos()20(o o o −++=+x x x ,则tan x = .4.若实数x ,y 满足14422=−y x ,则x y x −21的取值范围是 . 5.所有能使]5[2n 为质数的正整数n 的倒数和为 .6.已知函数)123(log )(2−++−=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义,则实数a 的取值范围是 .7.设三位数abc n =,若c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,这样的三位数n 有 个.8.一个正三梭锥的体积为32,则它的表面积的最小值为 . 二、解答题:共56分,第9题16分,第10、11题各20分.9.设点Z 是单位圆122=+y x 上的动点,复数W 是复数Z 的函数:2)1(1Z W +=,试求点W 的轨迹。
10.设二函数)(x f y =的图象过点)0,0(O ,且满足26)(132+≤≤−−x x f x .数列}{n a 满足:)(,3111n n a f a a ==+.(1)确定)(x f 的表达式; (2)证明:n n a a >+1; (3)证明:335.0111−≥−+=∑n ni ia .11.已知+∈R c b a ,,,且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≥++,求k 的最小值.第二试一、(本题满分40分)如图1,半径为为R 的○·O 经过ABC Δ的顶点A 、B ,且分别与边CA 、CB 交于点D 、E ,AE 与BD 交于点P.求证:22222R PC OP OC =−+.二、设正实数a 、b 、c 满足333c b a =+,证明:))((6222b c a c c b a −−>−+三、(本题满分50分)设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点,其中p 为素数,求满足下列条件的直角三角形的个数:(1)三角形的3个顶点都是整点,而且M 是直角顶点; (2)三角形的内心是坐标原点.(四)(本题满分50分)求所有的非零整数b a b a ≠,,,使得:可以把整数集分拆为3个子集,使得对每个b n a n n n ++、、,分别属于这3个集合.图1P OE DCBA一试参考答案一、填空题:1.—1.19(·)191(·)136(·)125(·)10(·)11(·)199(·)11(10231+−+−+++−++=∑=i im11)111(·)12(·)1−=−++−+.2.4.连接BC .OBC Δ中,由余弦定理可得21120cos ·7·7·2)7()7(22=−+=o BC . 设x DB =,则1+=x DC .在OBC Δ中,由余弦定理可得o 60cos ·)1(··2)1()21(222+−++=x x x x ,解得4=x 或5−=x (舍去).3.3. 由已知等式可得ooo10cos cos 220sin cos 20cos sin x x x =+,所以ooo 20cos 20sin 10cos 2tan −=x 又 o o o o o 20sin )2030cos(220sin 10cos 2−−=− o o o o o 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 2−+=oooo20cos 320sin 20sin 20cos 3=−+=,所以320cos 20cos 3tan ==oox . 4.(—1,1).令)2,2(,tan 2,sec 2ππθθθ−∈==y x ,则θθsin cos 21122−=−x y x)1,1()1(sin 2112−∈+−=θ.5.6037.3,2,1=n 时,]5[2n 都不是质数;4=n 时,3]5[2=n 是质数;5=n 时55[2=n是质数;6=n 时,7]5[2=n 是质数.当8≥n 时,可设r k n ±=5(其中k 为不小于2的正整数,1,0=r ,或2)则)25(51)5(5152222r kr k r k n +±=±=251)25(r r k k +±=, 所以)25(]5[2r k k n ±=,因为2≥k ,所以225>±r k ,所以)25(]5[2r k k n ±=不是质数.因此,能使5[2n 为质数的正整数n 只有4,5,6,它们的倒数和为6037615141=++.6.),1()1,21[+∞U .显然0>a 且1≠a .由题意知01232>−++−a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立,即2132−−>x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立.令213)(2−−=x x x g ,则222)2(623)(−−+−=′x x x x g ,显然,对一切]1,0(∈x ,0)(<′x g ,所以函数213)(2−−=x x x g 在]1,0(上单调递减,因此,当]1,0(∈x 时,)0()()1(g x g g <≤,即21)(2<≤−x g .因此,21≥a .综合可知:实数a 的取值范围是),1(]1,21[+∞U .7.165.因为c b a ,,为边长,且分别是n 的百位数字,十位数字和个位数字,所以}9,3,2,1{,,L ∈c b a .(1)如果以c b a ,,为三条边的长构成等边三角形,则c b a ==,这样的三位数n 有9个;(2)如果以c b a ,,为三条边的长构成等腰(非等边)三角形,则c b a ,,中恰好含有两个不同的数码,不妨设为)(,B A B A >.这时,又有两种情况:①三个数为B A A ,,,这样的三位数n 有108329=C 个;②三个数为B B A ,,,则B A B 2<<,列表可知有如下16种可能.A 3 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9B 2 3 3 4 4 5 4 5 6 5 6 7 5 6 7 8对于B A 、的每一组值,可以确定3个不同的三位数,所以,这样的三位n 有48163=×个.综上可知,满足条件的三位数n 共有9+108+48= 165 个.8.32·32.设三棱锥的底面正三角形的边长为a ,斜高为h ,侧面与底面而所成角θ,易知θcos 32h a =,正三棱锥的高θ=H .因为正三棱锥的体积为32,所以32·43·312=H a , 32sin ·)cos 32(·43·312=θθh h ,所以θθ23cos ·sin ·332=h . 正三棱锥的表面积ah a S ·21·3432+=h h h ·cos 32·21·3)cos 32(·432θθ+=)cos 1(cos 332θθ+=h . 3363)cos 1(cos 381θθ+=h S 3322)cos 1(cos )cos ·sin ·332(·381θθθθ+=θθθcos ·)cos 1()cos 1(·362−+=)1cos cos cos 31(·362−−+=θθθ, 记θθθθcos 31cos cos )(2+−=f ,令θcos 31+=t ,则)1(31cos −=t θ,t t t t g f 2)]1(31[)1(31)()(−−−==θ 4(9195tt +−= t t 4·2·9195−≤ 91=, 当且仅当2=t ,即31cos =θ时取等号. 因此,348)19(·363=−≥S ,所以32·32≥S ,故S 的最小值为32·32.二、解答题:9.1||=Z Q ,∴设θθsin cos i Z +=,⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+2sin 2cos 2cos 21θθθi Z 。