第三章数值分析ppt

b
b
四个性质， 容易验证内积定义中的 四个性质，并导出范数 || f ( x ) ||2 =
(
1/ 2 b 2 ∫a ρ ( x ) f ( x )dx . || f (x) || = b f 2(x)dx 1/ 2. 2 ∫a
)
(
)
四、最佳逼近
* 对于f ( x) ∈ C[a, b], 求多项式pn ( x) ∈ H n , 使得误差 * || f ( x) − pn ( x) ||∞ = min || f ( x) − pn ( x) ||∞ . p ∈H
（ ）定理4 (递推关系) 4 定理4 pn+1 ( x) = ( x − α n ) pn ( x) − βn pn−1 ( x), n = 0,1,L, (2.4) 其中 p0 ( x) = 1 p−1 ( x) = 0， ， α n = ( xpn , pn ) /( pn , pn ), βn = ( pn , pn ) /( pn−1, pn−1 )，n = 1,2,L,
H n = span{1, x ,L, x n }.L
函数逼近问题 : 对f ( x) ∈ C[a, b], 求ϕ * ( x) ∈ Φ = span{ϕ0 ,L, ϕn }, 使得误差f ( x) − ϕ * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 ϕ0 ,L, ϕn ⊂ C[a, b]线性无关.
定理 1(维尔斯特拉斯 ) 如果f ( x ) ∈ C [a , b], 那么∀ε > 0, ∃多项式 p( x ), 使得 | f ( x ) − p( x ) |< ε , 对于一切 a ≤ x ≤ b.
设在[a, b]给定函数族ϕ0 ( x), ϕ1 ( x),L, ϕn ( x),L, 且满足 0, i ≠ k , (ϕi ( x), ϕk ( x)) = (i, k = 0,1,2,L) (2.2) Ak , i = k , 则称函数族{ϕn ( x)}为[ a, b]上带权ρ(x)的正交函 数族 . 带权ρ 特别地, 当Ak ≡ 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际需要用简单函数逼 近已知复杂函数 .
函数逼近问题 : 对于函数类 A中给定的函数 f ( x ), 要求在 另一类较简单的便于计 算的函数类 B ⊂ A中找一个函数 p( x ), 使p( x )与f ( x )的误差在某种度量意义 下达到最小 . 为此, 为此 下面介绍代数和分析中 的一些基本概念 . 空间L，如： R n , Rn [ x ], C [a , b], C p [a , b].
§2
正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 定义5 若f ( x ), g ( x ) ∈ C [a , b], ρ ( x )为[a , b]上的权函数 , 且 ( f , g) =
b ∫a ρ ( x ) f ( x ) g( x )dx
= 0，
(2.1)
带权ρ 则称f ( x )与g ( x )在[a , b]上带权ρ(x)正交 .
|| x ||1 = ∑ | xi ， |
i =1 n
1 2
1≤ i ≤ n n
称为1 − 范数 ,
|| x ||2 = ∑ xi2 ， 称为 2 − 范数 . i =1 类似地， 类似地，对 C [a , b]上的f ( x )，可定义三种常用范数 ： || f ||∞ = max | f ( x ) | ， 称为 ∞ − 范数， 范数， || f ||1 = || f ||2 =
例1 考察R n与Cn的内积和范数 .
设x = ( x1 ,L, xn )T , y = ( y1 ,L, yn )T ∈ R n，则定义
2 内积 ( x , y ) = ∑ xi yi；范数 || x ||2 = ∑ xi i =1 i =1
n n
1/2
.
若给定 ω i > 0( i = 1,L, n)为权系数 , 则定义
定义1 定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,L, xn ∈ S , 如果存在不全为零的数α1,L, α n ∈ P, 使得 α1x1 + L + α n xn = 0， 成立，则称x1,L, xn线性无关.
S = span{ x1 ,L, xn }.L
（ .1 1 ）
则称x1,L, xn线性相关. 否则, 若(1.1)只对α1 = L = α n = 0
∞ 为[a , b]上的权函数 , 若多项式序列{ pn ( x )}0 , 满足正交性 ∞ (2.2)，则称{ pn ( x )}0 为以ρ ( x )为权函数的[a , b]上的正交
多项式序列. 称pn ( x )为以ρ ( x )为权函数的[a , b]上的n次正 交多项式 .
只要给定[a , b]上的权函数 ρ ( x ), 由{1, x ,L x n ,L}利用逐个 正交化手续立得正交正 交多项式序列 : pj) p0 ( x) = 1, pn ( x) = x − ∑ p j , n = 1,2,L. (2.3) j =0 ( p j , p j )
例如， 例如，三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,L, 为[−π , π ]上的正交函数族 , (1,1) = 2π , (cos kx , cos kx ) = (sin kx , sin kx ) = π , 其他内积 = 0.
定义6 定义6 设pn ( x )是[a , b]上首项系数 an ≠ 0的n次多项式 , ρ ( x )
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇔ u1 , u2 ,L, un线性无关.
在内积空间 X上可以由内积导出一种 范数 , 即对u ∈ X , 记 || u ||= ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性 , 而三角不等式由 Cauchy − Schwarz不等式立得 .
2 内积 ( x , y ) = ∑ ω i xi yi；范数 || x ||2 = ∑ ω i xi i =1 i =1
n n 1/2
.
若x , y ∈ Cn，则定义加权内积
( x , y ) = ∑ ω i xi y i .
i =1
n
定义4 定义4 设ρ ( x )是区间[a , b]上的非负函数 , 如果满足条件 (1) (2)
b k ∫a x ρ ( x )dx存在,
k = 0,1,2,L;
可以有限或 无限区间
b 对于[a , b]上的非负连续函数 g ( x ), 若 ∫a g ( x ) ρ ( x )dx
= 0,
则在[a , b]上g ( x ) ≡ 0； 就称ρ ( x )为[a , b]上的权函数 .
例2 设f ( x ), g ( x ) ∈ C [a , b], ρ ( x )为[a , b]上的权函数 , 则可 定义内积 ( f , g ) = ∫a ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx . ρ ≡1,( f , g) = ∫a f (x)g(x)dx.
n n −1 ( x n ,
性质： 性质： (1) pn ( x )的首项系数为1. ( 2)∀Qn ( x ) ∈ H n均可表为 p0 ( x ), p1 ( x ),L, pn ( x )的线性组合 . ( 3) 当k ≠ j时，p j , pk ) = 0, 且pk ( x )与任一次数小于 k的多 ( 项式正交 .
a≤ x≤b b ∫a | f ( x ) | dx，
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量 x及y定义内积 : ( x , y ) = x1 y1 + L, xn yn .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
n n
* 则称pn ( x)为f
( x)在[a, b]上的最优一致逼近多项式.
n j =0
设f ( x ) ∈ C [a , b], 如果n次多项式 s * ( x ) = ∑ a* x j 满足 j
b ∫a [ b f ( x) − s * ( x)]2dx = min ∫a [ f ( x) − s ( x)]2dx, s ( x )∈H
n
则称s * ( x)为f ( x)在[a, b]上的n次最佳平方逼近多项式 . 求 s * ( x )满足
i =0
[ s * ( xi ) − f ( xi ) ] = min ∑ [ s ( xi ) − f ( xi ) ]2 ∑
2 s ( x )∈Φ i = 0
m
m
则称 s * ( x )为 f ( x )在[ a , b ]上的 最小二乘 拟 合.