数值分析第三章插值法

数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。

插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。

插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。

插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。

常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。

假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。

b.构造插值多项式L(x)。

c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。

2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。

差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。

最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。

牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。

b.计算差商表的其他列，直至最后一列。

c.根据差商表构造插值多项式N(x)。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

数值分析插值法范文数值分析是一门研究利用数值方法解决实际问题的学科，它涵盖了数值计算、数值逼近、数值解法等内容。

在数值分析中，插值方法是一种重要的数学技术，用于从给定的数据点集推断出函数的值。

本文将详细介绍插值法的基本原理、常用插值方法以及应用领域等内容。

一、插值法的基本原理插值法是利用已知的数据点集构造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据吻合较好。

插值法的基本原理是，假设已知数据点的函数值是连续变化的，我们可以通过构造一个满足这种连续性的函数，将数据点连接起来。

当得到这个函数后，我们可以通过输入任意的$x$值，得到相应的$y$值，从而实现对函数的近似。

插值法的基本步骤如下：1.给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i$是已知的数据点的$x$值，$y_i$是对应的函数值。

2.构造一个函数$f(x)$，使得$f(x_i)=y_i$，即函数通过已知数据点。

3.根据实际需要选择合适的插值方法，使用已知数据点构造函数，得到一个满足插值要求的近似函数。

4.对于输入的任意$x$值，利用插值函数求出相应的$y$值，从而实现对函数的近似估计。

二、常用插值方法1.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种使用拉格朗日多项式进行插值的方法。

给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$其中$L(x)$为插值函数，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。

2.牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商来表示插值多项式的方法。

给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，牛顿插值多项式可以表示为：$$N(x) = y_0 + \sum_{i=1}^{n} f[x_0, x_1, ..., x_i]\prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)$$其中$N(x)$为插值函数，$f[x_0,x_1,...,x_i]$是差商，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。

数值分析插值法数值分析是数学的一个分支，用于研究如何使用数值方法来近似和解决数学问题。

插值是数值分析的一个重要概念，它涉及到如何通过已知数据点的信息来估计未知数据点的值。

在本文中，我们将着重讨论插值法。

插值法是一种基于已知数据点的函数值，通过建立适当的插值函数来估计未知数据点的函数值的方法。

插值问题的目标是找到一个函数f(x)，使得f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n)，其中x_i是已知的数据点，y_i是相应的函数值，n是已知数据点的数量。

然后，通过插值函数可以近似估计任意一个未知数据点的函数值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

下面我们将逐一介绍这些插值方法。

拉格朗日插值是一种利用拉格朗日多项式进行插值的方法。

拉格朗日多项式是一个多项式函数，满足通过已知数据点的函数值。

具体地说，设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。

拉格朗日插值多项式的形式如下：P(x)=Σ(y_i*l_i(x))其中l_i(x)是拉格朗日基函数，它定义为：l_i(x)=Π((x-x_j)/(x_i-x_j))(j≠i)牛顿插值是另一种常用的插值方法。

它通过使用差商来递归地计算插值多项式。

差商是一个递归定义的函数，用于计算多项式的系数。

设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。

牛顿插值多项式的形式如下：P(x)=y_0+(x-x_0)*f[x_0,x_1]+(x-x_0)*(x-x_1)*f[x_0,x_1,x_2]+...其中，f[x_i,x_j,...,x_k]是差商的定义，它可以通过递归公式计算得到：f[x_i,x_j,...,x_k]=(f[x_j,...,x_k]-f[x_i,...,x_{k-1}])/(x_k-x_i)埃尔米特插值是一种利用已知数据点及其导数信息进行插值的方法。

数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。

它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。

在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。

一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。

拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。

例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。

二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。

与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。

差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。

对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。

数值分析-插值法我们能得到⼀个函数f在区间[a,b]上某些点的值或者这些点上的⾼阶导数我们就能通过插值法去得到⼀个函数g，g与f是⾮常相近的⼀般来说g分为三类，⼀类是n次多项式 a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，⼀类是三⾓多项式，最后⼀类是分段n次多项式多项式插值这个可以说是最简单的插值了对于a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，我们有n+1个未知数，我只需要知道n+1个点的函数值就可以解出这n+1个未知数将解出的值带⼊即可优点:简单粗暴缺点:要解n+1个⽅程，时间复杂度较⾼，n不好确定，若n过⼤，容易过拟合，若n过⼩，容易⽋拟合拉格朗⽇插值先说⼀阶多项式我们有两点式f(x) = y k*(x k+1 - x) / (x k-x k+1) + y k+1*(x-x k) / (x k+1 - x k)此两点式可以看做∂ * y k + (1-∂) * y k+1那么⾃然的在x=x k的时候 ∂=0 在x=x k+1的时候∂=1这⾥的∂其实是与x相关的⼀阶多项式再说⼆阶多项式对于⼀个⼆次函数，我们有三个点(x k-1,y k-1) ,(x k,y k) ,(x k+1,y k+1)我们有l k-1,l k,l k+1f(x) = l k-1*y k-1 + l k*y k + l k+1*y k+1其中l是与x相关的⼆次多项式我们可以把l当作基函数这样的话就有x = x k-1 时l k-1 = 1, l k=0, l k+1 = 0x = x k时 l k-1 = 0, l k=1, l k+1 = 0x = x k+1时l k-1 = 0, l k=0, l k+1 = 1那么这个插值基函数是很好求的因为每个插值函数都有两个零点对于l k-1来说有零点x k,x k+1那么lk-1就可以表⽰为l k-1 = A*(x-x k)*(x-x k+1)因为x=xk-1时l k-1 = 1所以A = 1 / (（x k-1 - x k）* (x k-1 - x k+1) )那么同理l k和l k+1也能求出来了那我们得到⼆阶的拉格朗⽇插值多项式现在将⼆阶推⼴到n阶得到n接的拉格朗⽇插值多项式余项:R n(x) = f(x) - L n(x) R n(x)表⽰n次拉格朗⽇多项式的插值余项R n(x) = f n+1(e)/(n+1)! * w n+1(x) e属于[a,b]且依赖与x w n+1(x) = (x-x0)(x-x1).......(x-x n)优点:算法较为简单缺点:⽆法处理动态增加节点的情况⽜顿插值还是先从⼀阶到⼆阶进⾏说明我先得到了⼀阶差值多项式P1(x),P1(x) 满⾜过点(x1, f(x1)), (x2,f(x2))假设现在有第三个点(x3,f(x3))我们要通过这个点去得到⼆阶差值多项式P2(x) 使得P2(x)过这三个点可以设P2(x) = P1(x) + a2*(x-x0)*(x-x1)通过第三个点解出a2就⾏了推⼴到多阶那么可以得到P n(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + ......求这个插值多项式的值可以通过递推⼀步⼀步的求这样就实现了动态增删可以看到计算a k需要计算(k-1)2次，那么⽜顿插值法就是⼀个快速的计算⽅法均差⼀阶均差 f[x0, x k] = ( f(x k) - f(x0) ) / (x k - x0)⼆阶均差 f[x0, x1, x2] = (f[x0, x2] -f[x0, x1] ) / (x2 - x1)可以看到⼀阶均差就是简单的求斜率⼆阶均差就是对⼀阶均差求斜率那么k阶均差就是f[x0, x1,,,,,,x k] = (f[x0,,,,,x k-2, x k] -f[x0, ,,,,,,,x k-2,x k-1] ) / (x k - x k-1)f[x0, x1,,,,,,x k] = f n(ε) / n!均差的性质k阶均差可表⽰为f(x0),f(x1), f(x2),,,,,,,,, f(x k)的线性组合⽜顿插值中的a就是均差，可以从⼀阶开始推，然后使⽤数学归纳法证明那么⽜顿插值多项式就是：在计算f[x0,x1,,,,,,,,,,x n]时，⼀般使⽤均差表均差表的计算⽅式为a[i,j] = ( a[i-1][j] - a[i-1][j-1] ) / (末尾的x - 最开始的x)误差:误差为最后⼀阶的均差 * w(x)优点:可动态增删节点缺点:⽆法处理要求导数相同的情况埃尔⽶特插值法实验报告⼀个点，多个导数:⽜顿插值中的均差在xi->x0时其实分别是i阶导数，这样就是我们熟悉的泰勒多项式此时的插值函数就是泰勒多项式两个点，⼀个导数我们有三个条件，也就是说我们能求出三次插值多项式这时我们先写出过这两个点的⽜顿插值多项式在这个多项式的基础上我们再加上⼀个三次项搞定，可以观察到，这三个项数其实可以算是正交的，因为当x=x1或者x=x2时最后⼀项是0满⾜条件的两个点，两个导数这也是题⽬所要求的情况因为有两个导数，所以⽜顿插值法⽆法解决，这⾥只能使⽤基函数⽅法设插值函数为H(x), 点与导数分别为(x1,y1,m1),(x2,y2,m2)H(x)满⾜：H(x1) =y1, H(x2) = y2, H(x1)’ = m1,H(x2)=m2H(x) = a1*x1 + a2*x2 + b1*m1 + b2*m2其中 a1, a2, b1, b2均为三层插值多项式X=x1时 a1(x1) = 1,a2(x1) = 0, b1(x1) = 0,b2(x1) = 0,a1’(x1) = 1,a2’(x1) = 0X=x2时 a1(x2) = 0,a2(x2) = 1, b1(x2) = 0,b2(x2) = 0,a1’(x2) = 1,a2’(x2) = 0X=x1时 b1’(x1) = 1,b2’(x1) = 0X=x2时b1’(x1) = 0,b2’(x1) = 1然后⽤了⼀个很巧妙的⽅法设基函数，解出来值和就是这样⼦的R3(x) = 1/4! * (x-x k)2(x-x k+1)2*f4(ε)两个点，两个导数2直接使⽤泰勒多项式，并把将余项改为未知数，使⽤多余的⼀个条件去求余项的值例如:求次数⼩于等于3的多项式P(x)，使满⾜条件P(x0)=f(x0)，P'(x0)=f'(x0)，P"(x0)=f"(x0)，P(x1)=f(x1)。