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数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析插值法范文数值分析是一门研究利用数值方法解决实际问题的学科，它涵盖了数值计算、数值逼近、数值解法等内容。
在数值分析中，插值方法是一种重要的数学技术，用于从给定的数据点集推断出函数的值。
本文将详细介绍插值法的基本原理、常用插值方法以及应用领域等内容。
一、插值法的基本原理插值法是利用已知的数据点集构造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据吻合较好。
插值法的基本原理是，假设已知数据点的函数值是连续变化的，我们可以通过构造一个满足这种连续性的函数，将数据点连接起来。
当得到这个函数后，我们可以通过输入任意的$x$值，得到相应的$y$值，从而实现对函数的近似。
插值法的基本步骤如下：1.给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i$是已知的数据点的$x$值，$y_i$是对应的函数值。
2.构造一个函数$f(x)$，使得$f(x_i)=y_i$，即函数通过已知数据点。
3.根据实际需要选择合适的插值方法，使用已知数据点构造函数，得到一个满足插值要求的近似函数。
4.对于输入的任意$x$值，利用插值函数求出相应的$y$值，从而实现对函数的近似估计。
二、常用插值方法1.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种使用拉格朗日多项式进行插值的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$其中$L(x)$为插值函数，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
2.牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商来表示插值多项式的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，牛顿插值多项式可以表示为：$$N(x) = y_0 + \sum_{i=1}^{n} f[x_0, x_1, ..., x_i]\prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)$$其中$N(x)$为插值函数，$f[x_0,x_1,...,x_i]$是差商，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
