保险精算学年金精算现值共44页

(m) ax
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：

2 n年定期生存年金

模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元

年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px

2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk

年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付 外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出 统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益 来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、 合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散， 缴费也离散） 厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精 算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费

a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。

M538(4元0)
中西医结合治疗糖尿 病急性并发症
上海中医药大学附属龙华医院 方邦江
中医治疗急症？
急诊科西医占有主导地位，很少使用中医的理论、 方法和手段解决危急重症
存在的问题 思想上对中医治疗危急重症没有信心 中医理论和基本功不扎实 理论不能联系实际 辨证、辨病认识欠清 画地为牢，限制病种 缺乏科学的研究手段
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 da ； x
当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
为A。 x
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
l x 100 72 39
对 va 来v 说 元， 已支 a来 付 1 元 说 ， 尚 ， 而 未
x
x
所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
即A。 x
与寿险的换算公式注意
,
a x
1 A x d
2.定期生存年金
n
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
例4.5
(25)购买了到60岁退休时领取的终身生存年金，每
P 0 .0 8 E a 0.0P 8 0 .1 5 10 3525 60
P1.63
思考题
张发财赢得了金额为一百万元的体育彩票（税后），
张不要求立即支付，而按照精算等价原理得到如下一个
年金：
（1）该年金保证支付10年，每年支付数额为M元；
（2）10年后，若此人生存则继续支付，每年仍为M元；

1 Z
Ax 1 ax
Ax:n 1 ax:n
24
现值与纯保费之间的关系
未来保险金给付在签单时的现值随机变量：均值
1 Ax 1 Ax:n Ax:n Ax
n
ax ax ax:n





m
ax:n ax:mn ax:m
Ax:m Ax:mn
Actuarial Science
第 4 章 年金精算现值
生存年金的概念和种类 连续给付型年金 离散型年金 每年给付数次的年金 利用换算函数计算年金精算现值
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
保险精算
1
Actuarial Science
4.1 生存年金的概念和种类
4.1.1 生存年金的概念 4.1.2 生存年金的种类 4.1.3 生存年金精算现值的概念
l xn sx:n (1 i)n lx ax:n
29
Actuarial Science
3.3 离散型年金
3.3.1 期初付年金及其精算现值 3.3.2 期初付年金的精算现值 与寿险趸缴纯保费之间的关系 3.3.3 期末付年金的精算现值 3.3.4 年金的精算累积值
保险精算
30
Actuarial Science

25
应用实例
例 年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金 额2000元的生存年金，利率 i 6%，试利用生命表求 在UDD假设下的下列生存年金的精算现值。1）终身 生存年金；2）20年定期生存年金；3）延期10年的终 身生存年金；4）延期10年的20年定期生存年金。
解
2000a35 2000 1）

(x) 未来寿命 T= T(x),
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
2024/8/2
4
其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
3.2.1按年付的定额生命年金
按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次
支付的金额均相等的生命年金
2024/8/2
24
以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年 金的精算现值:
设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的 精算现值
2024/8/2
14
比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期 定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身 生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。 年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付 型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1） 终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年 的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
了连续递增的连续支付型终身生命年金。 这种年金的现值随机变量
2024/8/2
20
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变
成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2024/8/2

n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
en 2t
0
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Va
r(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
4.1.3 终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给 付保险金的险种。
vt vt , t 0
vt , t m
1 , t m bt 0 , t m
zt
btvt
0
,
tm
符号： m Ax
厘定：
m| Ax
vt
m
fT
t
dt
et
m
fT
t
dt
延期m年的n年定期寿险：
A m| x:n
v mn t
m
fT
t
dt
e mn t
m
t
px
xt dt
两种方法是等价的
符号介绍：
精算折现因子
n Ex
A1 x:n
vn n px
精算累积因子 1
n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存a年x 金
表示符号 总额支付法定义的年金精算现值为：
用现时支付法计算的年金精算现值为：
2、 n年定期生存年金
5.1.2 生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法

a v p dt e e dt edt 10
0 0
t x t x 0
0 . 06 t 0 . 04 t
0 . 1 t
13
例5.2答案
0.06 t 0.04 t （ 2 ） A e 0 . 04 e 0.4 x 0 2 0.12 t 0.04 t A e 0 . 04 e 0.25 x 0
3
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的 方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
4
5.2 生存保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在 第n年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第4 章讲到的n年期纯生存保险。n年期生存保险的趸 缴纯保费为 A x : n1 在生存年金研究中习惯用 n E x 表示该保险的精算现 值
n 1 k 0
, n 1
ax E[Y ] ak 1 k qx an n px
32
相关公式
K1 v , K 0,1, , n 1 zK n v , K n 1 Ax:n 1 zK 1 1) ax:n E[Y] E E [ z ] K d d d


1 z 1 t （ 2 ） Var ( Y ) Var ( ) 2Var (z t)


12 2 Var ( a ) [ A ( A ) ] 2 T x : n x : n

思考：为什么会对应两全保险？
（提示：分析Zt的表达式）
20
例5.4（例5.3续）
在De Moivre假定下，
t 30 30

范围内的死亡均给付保险金的险种。
vt假基定v本:t (x,函)t投数保关0延系期m年的终身寿险，vt保,险t金额m1元。
1 , t m bt 0 , t m
zt
bt vt
0
,
tm
第33页/共41页
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0, T m
vT
,
T
m
m Ax 表示延期m年的终身寿险的精算现值。
120 60
第29页/共41页
例2答案
(3)满足P(Z ) 0.9的 .
0.9
0.9
解：P(Z
) 0.9
P(vT
) 0.9
P(T ln v ln ) 0.9
ln
P(T ) 0.9
令h
ln
0.9
ln v
ln v
即P(T h)
f (t)dt
hT
1 60 dt
h 60
第20页/共41页
4.1.2 n年定期寿险的精算现 值定义
保险人只对被保险人在投保后的n年 内发生的保险
责任范围内的死亡给付保险金的险 种，又称为n年 假基定本bvtt期:函数(死vx1t0关) 亡投,,系, 保tt保tn险年0nn定。期寿险zt，保bt险vt 金 额0v1t元,,。ttnn
第21页/共41页
0
t
px
xt dt
A A 1 x：mn |
1 x：m|
第35页/共41页
例4
(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额1元，保险金
在死亡时立即给付，Z表示签单时死亡给付的现值随
机
0.06, s(x) e , x 0.04x 0。