年金精算现值.

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年金精算现值

(m) ax
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为利力为0.05，求（1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元在65岁的精算积累值。解：

2 n年定期生存年金

模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元

年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px

保险精算学生存年金精算现值

2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk

保险精算学年金的精算现值

年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散）厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金定期生存年金延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同连续－积分离散－求和连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费

保险精算学-生存年金(2)

ax E(aT ) aT fT (t )dt
0

相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
Байду номын сангаас
1 vt
0

t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )

以终身寿险为例，
E (vT ) E (v K 1 ) E (v S 1 ) Ax Ax v s 1ds
0 1
i

Ax
例6.4（例6.3续）

已知个体(x)的未来生存时间T的密度为
1 , 0t fT (t ) t 0, 其他 100, 0.05, x 30
t
t
x t px e
s ds
xt
e t
综合支付技巧 t 1 v 0.04 ax p dt (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 t x x t 0 0.06 0

当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30

1 0.277 14.458 0.05
例4.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
第六章生存年金
第三节
连续生存保险
简介

中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)

第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。

假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。

[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。

2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。

[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。

[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。

[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。

5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。

A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。

6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。

A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。

A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。

生存年金的精算现值

资产配置优化
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时，合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精算现值模型在不同人群和不同地区的应用效果，以及在不同经济环境和政策背景下的适用性和有效性。同时，可以进一步研究如何将生存年金精算现值模型与其他相关模型进行融合和优化，以提供更全面、准确的评估和预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望

保险精算第4章年金精算现值

1 Z
Ax 1 ax
Ax:n 1 ax:n
24
现值与纯保费之间的关系
未来保险金给付在签单时的现值随机变量：均值
1 Ax 1 Ax:n Ax:n Ax
n
ax ax ax:n

m
ax:n ax:mn ax:m
Ax:m Ax:mn
Actuarial Science
第 4 章年金精算现值
生存年金的概念和种类连续给付型年金离散型年金每年给付数次的年金利用换算函数计算年金精算现值
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
保险精算
1
Actuarial Science
4.1 生存年金的概念和种类
4.1.1 生存年金的概念 4.1.2 生存年金的种类 4.1.3 生存年金精算现值的概念
l xn sx:n (1 i)n lx ax:n
29
Actuarial Science
3.3 离散型年金
3.3.1 期初付年金及其精算现值 3.3.2 期初付年金的精算现值与寿险趸缴纯保费之间的关系 3.3.3 期末付年金的精算现值 3.3.4 年金的精算累积值
保险精算
30
Actuarial Science

25
应用实例
例年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额2000元的生存年金，利率 i 6%，试利用生命表求在UDD假设下的下列生存年金的精算现值。1）终身生存年金；2）20年定期生存年金；3）延期10年的终身生存年金；4）延期10年的20年定期生存年金。
解
2000a35 2000 1）

第三章生命年金的精算现值47课件

(x) 未来寿命 T= T(x),
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
2024/8/2
4
其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
3.2.1按年付的定额生命年金
按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次
支付的金额均相等的生命年金
2024/8/2
24
以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年金的精算现值:
设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的精算现值
2024/8/2
14
比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
了连续递增的连续支付型终身生命年金。这种年金的现值随机变量
2024/8/2
20
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变
成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2024/8/2

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

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a x v k .k p x
k 0
..

Ax ( Ax )2 Var( a x ) d2
.. 2
例已知 i 0.05
0 0

a t (1 t px )dt a t ( t px )dt
0 0

（ a t .t px）｜
0

0 t
px .(at )dt

0 t
px .(at )dt

0 t
px .( v s ds)dt
0
t

n
0 t
px v t dt
1 例2：已知 x ,计算当 100, 0.05,x 30时， -x 30年定期生存年金的精现算值
解: a30:30

30 t
0
p30v dt e 0
t
30 0
x s ds
t
e t dt
ax

0 t
px v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求解:
ax
ax

0 t
px v dt 0
t

e t .e 0
b
x s ds
t
0.06 t 0.04 t e . e dt dt 0

0
e 0.1t dt lim b 0
A x 0.65
例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3）延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金解:
Ax 1 a x
2t 0 2t 0

v ( tq x ) dt v 2 t .( t px )dt 2t 0
－( v .t px ) | ( v ) .t px dt 1 2 v 2 t . ln v .t px dt
0
1 2 v .t px dt 1 2 a x 0
t 0 0

1 v . ln v .t px dt 1 v t .t px dtt 0 Nhomakorabea

0
1 ax

同理可得：
A
1 x :n
1 a x :n

Ax :n Ax n| a x

m|
a x :n

Ax :m A x :m n
s x :n

1 a x :n n Ex 1 l n x a x :n n (1 i ) a x :n v .n p x l xn
l x n s x :n ( 1 i )n l x a x :n

第三节离散型年金
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次
A

1 x :n
1 a x :n

1 A35:20 2000 a 35 :20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
23258 .59
2t

2
Ax ( A x )2 VarY 2
2

( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 VarY 2
2

( 1 2 7.375) ( 1 10 )2 50 2
0.035

Ax 1 a x
解:
t
ax

0 t

px v t dt

px fT (t )dt 0.015e 0.015 t dt e 0.015 t t t

0.065 t
a x e 0.015 t .e 0.05 t dt 0 e
0

e 0.065 t dt |0 15.38 0.065

Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 VarY 2
2、n年定期生存年金
2 2 VarY ( a x :n a x :n ) ( a x :n )

3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
a x:n
t n

v n s .n s px ds
0

v .n px . v s .s px nds
n 0

n|
a x n E x . a xn

（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为
m|

1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000 a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35

1 0.06 14116 .1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513 .78 30380 .05
e
0
30

1 ds 0 70
t
e 0.05 t dt e
0
30

1 t 70
.e 0.05 t dt
13.01
三、延期生存年金
（x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为 a n| x
n|
a x v .t px dt a x a x:n
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。（2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值（利用附录中的生命表）解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
10000 e
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）生存年金与确定性年金的联系都是间隔一段时间支付一次的系列付款生存年金与确定性年金的区别确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
第三章年金精算现值
第一节生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
支付一次保险金的保险类型二、生存年金的分类： 1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年

金的现值之和
aT

t v t lnv lnv v s ds v s lnv |0
0
t
aT
1 vT

步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值
a x E Y a t f t t dt a t [FT t ]dt
a x:n m E x . a x m:n

四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x

0

0
v fT t dt
t
t

0
t dt v ( q ) v FT t dt 0 t x
t

v .( t p x )dt －( v .t px ) | ( v t ) .t px dt
15315 .87
Ax :m A x :m n m | a x :n A35:10 A35:30 2000 10| a 35:20 2000

12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
例1 ：设a x 10, a x 7.375,Var(aT ) 50,求：（ 1）（2） Ax
解:

－
－ 2

－
－
Ax ( A x )2 VarY 2
2

Ax v t fT t dt
0
A x v fT t dt 0
2t 0
40
l65 l 25

年金精算现值.

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