职高数学一轮复习直线与圆

职高高二数学直线与圆知识点归纳数学作为一门基础学科，在职高高二阶段，直线与圆是其中的一项重要内容。

通过对直线与圆的知识点的学习和归纳，可以帮助我们更好地理解和应用相关概念。

本文将对职高高二数学直线与圆的知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地掌握这一部分内容。

直线与圆是几何学中的基本概念，对于它们的认识是我们进行几何推理和计算的基础。

在学习这一部分内容时，我们需要掌握以下几个知识点。

知识点一：直线与圆的基本性质直线是由无限多个点按一定顺序排列而成的，在任意两点之间的部分称为线段。

直线上的点可以无限延伸。

圆是平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。

确定圆需要知道它的圆心和半径。

知识点二：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有以下几种情况：1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

2. 直线与圆外切：直线与圆相切于圆上一点，此时直线与圆的切点与圆心间的直线垂直。

3. 直线与圆内切：直线与圆相切于圆的内部一点，此时直线与圆的切点与圆心间的直线也垂直。

4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点，相离于圆。

知识点三：直线与圆的方程我们可以通过方程来表示直线与圆的关系。

1. 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式和点斜式表示。

斜截式方程：y = kx + b （其中k为斜率，b为截距）一般式方程：Ax + By + C = 0 （其中A、B、C为实数，且A 和B不能同时为0）点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) （其中k为斜率，(x1,y1)为直线上一点的坐标）2. 圆的方程：圆的方程可以用标准式表示。

标准式方程：(x - a)² + (y - b)² = r²（其中(a, b)为圆心的坐标，r 为半径的长度）知识点四：直线与圆的求解问题在实际问题中，我们经常会遇到直线与圆相关的求解问题。

通过理解直线与圆的基本性质和位置关系，我们可以灵活运用相关知识点解决问题。

1. 求直线与圆的交点：通过解直线和圆的方程组，求得交点的坐标。

第七章 直线和圆一 直线(一)直线的独立图形：1．定义：),0[πα∈，2121tan x x y y k --==α 2．方程：题型是求直线方程(1) 点斜式)(00x x k y y -=-不能表示斜率不存在的直线，如右图(2) 斜截式y kx b =+不能表示斜率不存在的直线，如右图(3) 两点式 121121x x x x y y y y --=-- 不能表示和坐标轴平行的直线，如右图(4) 截距式1x y a b+= 不能表示与坐标轴平行的直线以及过原点的直线，如图(5) 一般0C =++By Ax 能表示所有直线(二)直线与其他图的位置关系1．位置关系的判定(1) 点与直线位置关系y kx b y kx b y kx b =+⎧⎪>+⎨⎪<+⎩在直线上在直线上方在直线下方(2) 两直线平行的判定11111122222200A x B y C A B C A x B y C A B C ++=⎧=≠⎨++=⎩ 这两条直线平行的等价条件是 11121222y k x b k k b b y k x b =+⎧=≠⎨=+⎩ 这两条直线平行的等价条件是 且(3) 两直线垂直1111212222000A xB yC A A B B A x B y C ++=⎧+=⎨++=⎩ 这两条直线垂直的等价条件是 1112221y k x b k k y k x b =+⎧=-⎨=+⎩ 这两条直线垂直的等价条件是2．求量（1）、点与线不同位置关系的求量问题a.点()00,x y 到直线A B C 0x y ++=的距离为：2200B A C By Ax d +++=b.点()00,x y 关于直线A B C 0x y ++=的对称点(),x y 的求法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=--0220000C y y B x x A A B x x y y（2）、线与线不同位置关系的求量问题a.⎩⎨⎧=++=++0021C By Ax C By Ax 两条平行线的距离：2221B A C C d +-=二．圆(一)圆的独立图形1．定义： 主要考定义中轨迹一词求轨迹题型:(1)直接求a.设点),(y xb.列关于y x ,的等式c.把所有未知量全转化为y x 、(2)、间接求a.设点),(y x 和必须联系的点),(00y xb.列关于),(y x ，),(00y x 的等式c.解出),(0y x f x =，),(0y x f y =d.把00,y x 代入满足的方程(3)、根据平面几何的结论和曲线定义直接写出轨迹2．圆的方程：标准方程： 222)()(r b y a x =-+-一般式： 022=++++F Ey Dx y x题型：求方程，相当于求方程里字母取值(1)F E D ,,(已知圆上三点坐标)(2)r b a ,,(其他情况)求方程就是求三个系数，需要列出关于系数的等式。

第九章 直线和圆的方程1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l_________之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.规定:当直线l与x轴______________时,规定它的倾斜角为0°.向上方向平行或重合k=tan α12=2−12−1区别直线l垂直于x轴时,直线l的斜率不存在;斜率k的取值范围为R.联系续 表[0,π)大大2.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y =kx +bk 是斜率;b 是纵截距.与x轴不垂直的直线.点斜式____________点(x 0,y 0)是直线上的已知点;k 是斜率.两点式点(x 1,y 1),(x 2,y 2)是直线上的两个已知点.与两坐标轴均不垂直的直线.y -y 0=k (x -x 0）名称方程说明适用条件截距式 a是直线的横截距;b是直线的纵截距.不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线.+=1注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线方程为y=kx+b;当直线与y轴不垂直时,可设直线方程为x=my+n.1. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程y =k 1x +b 1,y =k 2x +b 2.相交k 1≠k 2._________________.垂直_________._________________.平行k 1=k 2且_______.重合k 1=k 2且_______.A 1B 2-A 2B 1=B 1C 2-B 2C 1=A 1C 2-A 2C 1=0.A 1B 2-A 2B 1≠0k 1k 2=-1A 1A 2+B 1B 2=0b 1≠b 2b 1=b 2注意 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率都不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2. 两条直线的交点对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组1+1+1=0,2+2+2=0求解.3. 三种距离公式距离类型公式两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离|P 1P 2|=______________________点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d = 两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d = (2−1)2+(2−1)2|B 0+B 0+U2+2|1−2|2+2注意 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式;(2)求两平行线间的距离时,应先将方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等.理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( )(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. ( )(3)经过定点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示. ( )(4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( )(5)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为 . ( )(6)若点A ,B 关于直线l :y =kx +b (k ≠0)对称,则直线AB 的斜率等于 ,且线段AB 的中点在直线l 上. ( )✕✕✕✕✕√|kx 0+b |1+k 2-1(7)当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2. ( )(8)若两条直线垂直,则他们的斜率之积一定等于-1. ( )2.直线2x cos α-y -3=0(α∈[π6,π3] )的倾斜角的取值范围是 ( )A.[π6,π3] B.[π4,π3] C.[π4,π2] D.[π4,2π3]3.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 . ✕✕B (-∞,-3]∪[1,+∞)1.典例 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积最小时直线l的方程为 .4x-3y=0或x+y-7=0　2x+3y-12=0解析 (1) 设直线在x轴,y轴上的截距均为a.①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).(讨论截距是否为0)则直线的方程为y=43x,即4x-3y=0.②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,又点(3,4)在直线上,所以3+4=1,所以a=7.所以直线的方程为x+y-7=0.综上可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.（2)解法一(截距式)　设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为+=1.因为l过点P(3,2),所以3+2=1.因为1=3+2≥26B,整理得ab≥24,所以S△ABO=12ab≥12.当且仅当3= 2,即a=6,b=4时取等号.此时直线l的方程是6+4=1,即2x+3y-12=0.解法二(点斜式)　依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3),则A(3-2,0),B(0,2-3k),S△ABO=12(2-3k)(3-2)=12[12+(-9k)+4−]≥12[12+2(−9)·4− ]= 12×(12+12)=12,当且仅当-9k=4−,即k=-23时,等号成立.所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.方法技巧1.求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程.待定系数法①设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);②由条件建立所求参数的方程(组);③解这个方程(组)求出参数;④把参数的值代入所设直线方程.2.过两直线交点的直线方程的求法(1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程,但需注意分类讨论.3.与直线方程有关的最值问题的解题策略先设出直线方程,建立目标函数,再结合函数的单调性或基本不等式求最值.思维拓展常见的直线系方程过定点P(x0,y0)的直线系方程A(x-x)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y=k(x-x0)或x=x0.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C).垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l 2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)或A2x+B2y+C2=0.2.变式 (1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= 12　.(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为 .21x-28y-13=0或x=1解析 (1) 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.(2) 因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,(此直线系不包括直线7x-21y-1=0,解题时,要注意检验该方程是否满足题意)即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,考向1直线方程由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得|(2+7)×(−3)+(7−21)×1−4−|(2+7)2+(7−21)2=|(2+7)×5+(7−21)×7−4−|(2+7)2+(7−21)2,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.3.典例 (1)[2022南昌市模拟]直线l 1:ax +(a +1)y -1=0,l 2:(a +1)x -2y +3=0,则“a =2”是“l 1⊥l 2”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1:3x -y -1=0,l 2:x +2y -5=0,l 3:x -ay -3=0不能围成三角形,则实数a 的取值不可能为 ( ) A.1B.13C.-2D.-1A A解析 (1) 若l1⊥l2,则a(a+1)+(a+1)×(-2)=0,解得a=-1或a=2,所以“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.(2) 由题意可得,若三条直线不能围成三角形,则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行,当l1∥l3时,可得a=13,当l2∥l3时,可得a=-2;若三条直线经过同一点,由3−=1,+2=5可得直线l1与l2的交点为(1,2),则(1,2)在l3上,故可得1-2a-3=0,解得a=-1.综上,实数a的值可能为1,-2,-1.故选A.4.变式 已知直线l 的方程为3x +4y -12=0,(1)若过点(-1,3),且与l平行的直线l 1的方程为 ;(2)若直线l 2与l 垂直,且l 2与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l 2的方程为 .3x +4y-9=0　4x-3y +46=0或4x-3y -46=0 解析 (1)解法一　直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l1与l平行,所以直线l1的斜率为-34.又l1过点(-1,3),所以由点斜式得直线l1的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.解法二　由l1与l平行,可设l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2) 由l2与l垂直,可设直线l2的方程为4x-3y+p=0,则l2在x轴上的截距为-4,在y轴上的截距为3.由题意可知,l2与两坐标轴围成的三角形的面积S= 12·|3|·|-4|=4,求得p=±46.所以直线l2的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.5.典例 (1)[2022武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x -4y +c 1=0和3x -4y +c 2=0,则|c 1-c 2|= ( )A.23B.25C.2D.4(2)[2021全国卷乙][文]双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为 .B 5解析 (1)直线x +2y +1=0与x +2y +3=0间的距离d 1=|3−1|12+22=255,(使用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中的x ,y 前的系数必须分别对应相等)直线3x-4y +c 1=0与3x-4y +c 2=0间的距离d 2=|1−2|32+(−4)2=|1−2|5.由菱形的性质,知d 1=d 2,所以|1−2|5=255,所以|c 1-c 2|=25,故选B .(2) 由双曲线的性质知c =3,双曲线右焦点的坐标为(3,0),所以双曲线的右焦点到直线x +2y-8=0的距离d =|3−8|12+22=5.方法技巧求解距离问题的策略(1)点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解;(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间的距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算; (3)两平行线间的距离:①利用两平行线间的距离公式求解;②利用“转化法”将两条直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.考向3距离问题B6.变式 [2020全国卷Ⅲ] [文]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 (　)A.1B. 2C.3D.2解析 解法一　由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|r1|2+1=2+2r12+1=1+22+1.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=1+22+1= 1+2r1,要使d最大,需k>0且k+1最小,∴当k=1时,d max=2.解法二　记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|= 2.考向4对称问题7.典例 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析 (1)设A＇(x,y),则r2r1·23=−1,2×−12−3×−22+1=0,解得=−3313,=413,即A＇(-3313,413).(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m＇上.设M关于直线l的对称点为M＇(a,b),则2×r22−3×r02+1=0,−0−2×23=−1,解得=613,=3013,即M＇(613,3013).设m与l的交点为N,则由2−3+1=0,3−2−6=0得N(4,3).又m＇经过点N(4,3),所以由两点式得直线m＇的方程为9x-46y+102=0.(3)解法一　在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A 的对称点P＇,N＇均在直线l＇上.易知P＇(-3,-5),N＇(-6,-7),由两点式可得l＇的方程为2x-3y-9=0.解法二　设Q(x,y)为l＇上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q＇(-2-x,-4-y),因为点Q＇在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0点关于点对称直线关于点对称直线关于点对称的问题可转化为点关于点对称的问题.点关于直线对称直线关于直线对称直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题.方法技巧对称问题的解题策略8.变式 (1)一条光线从点P (-2,1)射出,与直线l :x -y +1=0交于点Q (1,2),经直线l 反射,则反射光线所在直线的斜率是 ( )A.1B.3C.2D.3(2)过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为 . D x +4y-4=0点P关于直线l:x-y+1=0的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜率为2−(−1)1−0=3.(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.。

职高高一数学直线圆知识点直线和圆是数学中的基础概念，在职高高一数学教学中占据着重要的地位。

掌握直线和圆的相关知识点，对于理解几何形状和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍职高高一数学中直线和圆的相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这些概念。

一、直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，这些点排列成一条无限长的线段。

直线没有宽度和厚度，只有长度。

在直线上可以任意取两个点，这两个点确定了一条唯一的直线。

直线上的点可以无限延伸，两点之间的任意部分也是直线。

直线有一些基本性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线；2. 直线上的任意一点离直线上的另外一点的距离是确定的，即直线上的两点之间的距离是唯一的；3. 直线的方向可以用箭头表示，箭头指向的方向是直线的正方向，与箭头相反的方向是直线的负方向；4. 在坐标平面上，直线可以用斜率和截距表示。

斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。

二、圆的定义和性质圆是由平面上所有和圆心距离相等的点组成的图形。

圆心是圆的中心点，所有到圆心距离相等的点构成了圆的边界，称为圆周。

圆周上的任意弧与圆心的连线称为半径，所有半径的长度相等。

圆有一些基本性质：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。

直径是圆的最长的线段，其长度是半径的两倍。

2. 圆的半径是连结圆心和圆周上任意一点的线段，半径的长度相等。

3. 圆的面积和周长是重要的概念。

圆的面积等于π乘以半径的平方，周长等于圆周的长度。

4. 在坐标平面上，圆可以用圆心的坐标和半径表示。

三、直线和圆的关系直线和圆之间有多种关系，下面分别介绍两种常见的情况。

1. 直线与圆的位置关系直线可以与圆相切、相交或者不相交。

当直线和圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

相切的直线与圆的切点处于圆周上，切点和圆心以及直线的交点在一条直线上。

当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。

相交的直线与圆的交点处于圆的内部。

当直线和圆没有交点时，称直线与圆不相交。

江门市第一职中2014对口升学数学一轮复习基础训练：直线与圆、圆与圆的位置关系01一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )(A)(x ＋1)2＋y 2＝2 (B)(x －1)2＋y 2＝2 (C)(x ＋1)2＋y 2＝4 (D)(x －1)2＋y 2＝42.过原点O 作圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝4的两条割线，分别与圆交于A 、B 和M 、N 两点，则OAOB OM ON ＋··等于( ) (A)4 (B)8 (C)9 (D)183.圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点为A 、B ，则AB 的垂直平分线方程为( )(A)x ＋y ＋3＝0 (B)2x －5y －5＝0 (C)3x －y －9＝0 (D)4x －3y ＋7＝04.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( )(A)[－23，0] (B)[－33，33](C)[－34，0] (D)(－∞，－34]∪[0，＋∞)5.已知a 、b 、c 成等差数列，则直线ax －by ＋c ＝0被曲线x 2＋y 2－2x －2y ＝0截得的弦长的最小值为( )(A) 2 (B)1 (C)2 2 (D)26.如果圆(x －a)2＋(y －1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) (A)(－22，0)∪(0,22) (B)(－22，22) (C)(－1,0)∪(0,1) (D)(－1,1)二、填空题(每小题6分，共18分)7.圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4上存在两相异点关于过点(0,1)的直线l 对称，则直线l 的方程为 .8.与直线l ：x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .9.已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －25＝0相交于A 、B 两点，且点C(m,0)在直线AB 上，则m 的值为 .答案解析1.【解析】选A.直线x －y ＋1＝0，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.2.【解析】选D.过原点O 作圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝4的切线OP(P 为切点)，得|OP |＝3.由切割线定理可得2OAOB OM ON 2OP ＋＝·· ＝2×32＝18.3.【解析】选C.∵圆C 1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，∴圆心C 1(2，－3)，C 2(3,0)， ∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋30－(－3)＝x －23－2，即3x －y －9＝0.4.【解析】选C.圆(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，圆心到直线y ＝kx ＋3的距离为d ＝|3k －2＋3|k 2＋1＝|3k ＋1|k 2＋1. 由弦长公式得|MN|＝24－(|3k ＋1|k 2＋1)2≥23， ∴(|3k ＋1|k 2＋1)2≤1，即2k(4k ＋3)≤0. 解得－34≤k ≤0.5.【解析】选D.由题意得a ＋c ＝2b ，即c ＝2b －a ， ∴直线：ax －by ＋2b －a ＝0，即a(x －1)－b(y －2)＝0， ∴直线过定点(1,2)，曲线(x －1)2＋(y －1)2＝2是以(1,1)为圆心，2为半径的圆， 又∵定点(1,2)在圆内，圆心到定点的距离为d ＝(1－1)2＋(2－1)2＝1，∴弦长的最小值为2r 2－d 2＝2.6.【解析】选A.问题转化为“圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝1相交时，求实数a 的取值范围”，由R －r ＜|OC|＜R ＋r ，得1＜a 2＋1＜3， ∴0＜|a|＜2 2.∴a 的取值范围是(－22，0)∪(0,22). 7.【解析】由题意得，直线l 过圆心(－2，－1)，∴k l ＝1＋10＋2＝1，∴直线l 的方程为：y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝08.【解题指南】最小圆的圆心一定在过x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0的圆心到直线x ＋y －2＝0所作的垂线段上. 【解析】∵圆A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18， ∴A(6,6)，半径r 1＝32，且OA ⊥l ，A 到l 的距离为52，显然所求圆B 的直径2r 2＝22，即r 2＝2，又OB ＝OA －r 1－r 2＝22，由OA 与x 轴正半轴成45°角，∴B(2,2)，∴方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝29.【解析】因为圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －25＝0相交，所以其相交弦的方程为：x 2＋y 2－6x －7－(x 2＋y 2－6y －25)＝0，即x －y －3＝0，又因为点C(m,0)在直线AB 上，所以m －0－3＝0，解得m ＝3.答案：3【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1－(x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2)＝0即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0①我们把直线方程①称为两圆C1、C2的根轴，当两圆C1、C2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆C1、C2相切时，方程①表示过圆C1，C2切点的公切线方程.。

直线与圆的方程第1讲 直线的方程1．直线l 过点(－1,2)且与直线y ＝23x 垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝02．已知直线ax ＋by ＋c ＝0不经过第二象限，且ab <0，则( )A ．c >0B ．c <0C ．ac ≥0D ．ac ≤03．直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π34．(2010年安徽)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝05．过点P (1,2)，且在两坐标轴的截距是相反数的直线方程为________________．6．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是________．7．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________________．8．(2011年安徽)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．9．(2010年宁夏银川)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．－2，2且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的10．求经过点A()方程．第2讲 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．若过点A (4，sin α)和B (5，cos α)的直线与直线x －y ＋c ＝0平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2 C ．2 D ．2 23．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋1 4．已知两直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0；l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈R 且k ≠±5且k ≠1B ．k ∈R 且k ≠±5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ≠±1且k ≠0D ．k ∈R 且k ≠±56．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．17．(2011年浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.8．(2010年湖南)若不同两点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为____________．9．已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．10．已知点A (－3,5)，B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使||P A ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．(2011年四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．(2011年安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－33．(2011年广东深圳高级中学测试)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，则过点M 的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y ＋2＝04．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值是( )A.12B.14C ．4D ．25．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．6．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆所截得的弦长为2 2，则圆C 的标准方程为____________．7．(2011年辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________________．8.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，则y －2x －1的范围为____________． 9．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程．10．(2011年福建)如图K11－3－1，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．图K11－3－1第4讲直线与圆的位置关系1．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且() A．1条B．2条C．3条D．4条2．(2011年重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 23．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2 C.7 D．34．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.5．将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是____________，若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为____________．6．(2010年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是____________．7．若直线y＝x－m与曲线y＝1－x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是__________．8．(2011年湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为___________________________________________．9．(2011年广东执信中学三模)设F是抛物线G：x2＝4y的焦点，点P是F关于原点的对称点．(1)过点P作抛物线G的切线，若切点在第一象限，求切线方程；(2)试探究(1)中的抛物线G的切线与动圆x2＋(y－m)2＝5，m∈R的位置关系．10．(2011年全国)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．第5讲空间坐标系1．在空间直角坐标系中，点P(2,1,3)关于x轴对称的点的坐标为()A．(－2,1,3) B．(2，－1，－3)C．(－2，－1,3) D．(－2,1，－3)2．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|为()A.534 B.532 C.532 D.1323．三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC 的形状为()A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形4．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|＝()A．10 B.10 C.38 D．385．(2011年广东深圳一模)如图K11－5－1所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P(a，b，c)，输出相应的点Q(a，b，c)．若P的坐标为(2,3,1)，则P，Q间的距离为()图K11－5－1(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)A．0 B. 2 C. 6 D．2 26．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)且|AB|＝5，则A的坐标为____________．8．给定两点A(2,3,0)，B(5,1,0)，满足条件|P A|＝|PB|的动点P的轨迹方程为____________(即P点的坐标关于x，y，z间的关系式)．9．在空间直角坐标系中，已知点P(4,3，－5)，求点P到各坐标轴及坐标平面的距离．10．如图K11－5－2，正方体边长为1，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．(1)当点P为对角线AB中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值；(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，求|PQ|的最小值．图K11－5－2。