(完整版)职高数学第一轮复习教案-4平面向量

复习引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c,...等．如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c|,...．特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习11. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ca图7-2(1)b D C图7-2(2)BAB 1C 12. 向量的比较(1)向量相等任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a≠b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a≠b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习21. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．第3题图F1新授：(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从图9-9(1)图9-9(2)图9-10(3)ab• bc图9-10(2)ab图9-10(1)图9-12abdc abcdf被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习31. 请举一个向量相加的实际问题．2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？4. 矩形ABCD 如图，试求AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD 如第4题，求(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ． 得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律a +b =b +a ， a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2) 显示了a +(-b )；图9-13(2)显示了 a -b 的直接运算法则，法则的文字 表述是：a -b 的结果是一个向量c ，把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．第4题图A BC D图9-13(1)ab图9-13(2)-ba-b ac图9-13(3)记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．例7 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？例8 在∆ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC．课内练习41. 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．(3)向量的数乘运算在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数α乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|α|倍，即|b|=|α|⋅|a|；b的方向当α>0时与a的方向相同，当α<0时与a的方向相反．记作b=α⋅a或b=αa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a=-1⋅a，a+a=2a，-a-a=-2a．把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：(α+β)a=αa+βa，α (a+b)=αa+αb，其中α,β是任意实数，a,b是任意向量．根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．例9 ∆ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为∆A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．课内练习51. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？复习引入：新授：1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作a =OA =(x ,y )．若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)．以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有a =x i +y j ， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出AB =i -2j =(1,-2)．课内练习11. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．2. 向量关系的坐标表示向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道图7-17图9-18Ojyi x图7-16了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =b ⇔ a 1=a 2, b 1=b 2．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =-b ⇔ a 1=-a 2, b 1=-b 2．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．(3)平行(共线)：向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)平行 ⇔ 移a ,b 的始点到原点后，它们的终点A ,B 与原点共线 ⇔ ∆OA 1A ∽∆OB 1B (见图7-19) ⇔ 2121b b a a =．所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a =(2,-1)，当x 为多少时，向量b =(x ,2)与a 平行？ 解 a //b ⇔ 212-=x ⇔ x =-4．所以当x =-4时a //b ．课内练习21. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a =(2,-1),b =(-2, 1),c =(-6, 3),d =(42,-21),e =(2,-1),f =(8,-4),g =(-2,-1)． 2. 已知向量a =(9,-4)，当y 为多少时，向量b =(-12,y )与a 平行？3．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．(1)数乘：设a =(x ,y )，即a =x i +y j ，b =λa ，则 b =λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j =(λx ,λy )，即 λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )． (7-2-3) 即向量a 数乘λ后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的λ倍． (2)加减法：设a =(a 1,b 1)，b =(a 2,b 2)，则图7-19a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即a+b=(a1+a2, b1+b2)．(7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)．(7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差．(3)给定始终点的向量的坐标向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x 1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则OA=(x1, y1),OB=(x2, y2)，AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)．(7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．例2已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a+b,a-b, 2a-3b．例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求AB,BA．解应用公式(10-2-6)，AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)．例4已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．例5 已知A(2,3),B(-2,5),且AB=2AC，求C点的坐标．例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？课内练习21. 已知a=(-1,2),b=(2,-2),求a+b,a-b,-a+2b．2.已知a=(-2+x,4),b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y．3.根据下列条件求AB与BA的坐标：x图7-20yOABxBODCAy图7-21(1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8)．4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标．5.已知A(6,-3),B(3,-5),且AB= -2AC，求C点的坐标．复习引入：新授：1. 向量的数量积(1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a ,b ，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a ,b 所成的角，记作(a ^b )(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0≤(a ^b )≤π．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a ^b )叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知(a ^b )=0 ⇔ a //b (即a ,b 共线)；(a ^b )= π ⇔ a =-b (即a ,b 互为相反向量)． 特别地，当(a ^b )=2π，则我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (2)向量的数量积已知向量a ,b ，a ,b 的数量积是一个以下式定义的数量： a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b )其中(a ^b )表示向量a ,b 之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．例1 求下列向量的数量积：(1)|a |=5,|b |=4, (a ^b )=23π，求a ⋅b ； (2)a =(3,4),|b |=21, (a ^b )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(3,4), b =(-3,-4)，求a ⋅b ； (4)a =(1,3)，求a ⋅a ； (5)a =0，b =(x,y)，求a ⋅b ． 课内练习11. 求下列向量的数量积：(1)|a |=2,|b |=8, (a ^b )=4π，求a ⋅b ； (2)a =(1,3),|b |=31, (b ^a )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(-3,-2), b =(3,2)，求a ⋅b ； (4)a =(5,3)，求a ⋅a ； (5)a =(10,y)，b =0，求a ⋅b ．(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：①交换律：a ⋅b =b ⋅a ；图7-25②数乘分配率：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，(任意λ∈R )；③分配率：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例2 设AB =(3,-1), |CD |=2, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)(2AB )⋅(3CD )；(2)(AB +2CD )⋅AB ；(3)(-4AB )⋅(AB +2CD )．课内练习21．已知|a |=4, |b |=3，a 与b 的夹角为65π，求(2a -b )⋅(a +2b )． 2．已知A (-1,2),B (1,4)，|CD |=4, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)AB ⋅(3CD )；(2)(2AB +CD )⋅AB ；(3)AB ⋅(-AB +2CD )．(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a ⊥b ⇔ a ⋅b =0；②当a //b 且同向时，a ⋅b =|a ||b |；当a //b 且方向相反时，a ⋅b =-|a ||b |；③a ⋅a =|a |2，所以|a ；④cos(a ^b )=||||b a b a ⋅⋅． (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．例3 已知|a |=4, |b |=5，分别在下列条件下求a ⋅b ： (1)a//b ； (2)a ⊥b ．例4 已知|a |=2, |b |=4，a b =-6，求(a ^b )的余弦值．课内练习31. 已知a //b ，|a |=1, |b |＝2，求 a ⋅b ．2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0⋅a =0；(2)|a |=a ⋅a ；(3)a ⋅b =|a ||b |；(4)a ⋅b =|a ⋅b |；(5)|a ⋅b |=|a ||b ||cos(a ^b )|；(6)(a ⋅b )(a ⋅b )=(a ⋅a )(b ⋅b )=|a |2|b |2；(7)a //b ⇔ 存在实数λ，使a ⋅b =λ|a |2；(8)(a +b )⋅(a -b )=|a |2-|b |2；(9)(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2．3. 已知|a |=1, |b |=4, a ⋅b =，求(a ^b )．2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有i ⋅i =1；i ⋅j =j ⋅i =0；j ⋅j =1． (4)现设向量 a , b 的坐标为a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，即a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，则 a ·b =(x 1i +y 1j )·( x 2i +y 2j )=x 1x 2i ·i +y 1y 2j ·j +x 1y 2i ·j +y 1x 2j ·i ，即 a ·b =x 1x 2+y 1y 2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：设a =(x ,y )，则a ·a =|a |2=x 2+y 2，即向量模公式 |a |=22y x +；特别地当a =AB ，且起终点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为已知时，由AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，即得 |a |=|AB |=212212)()(y y x x -+-，此即为两点间的距离．例5 求下列向量的数量积：(1)a =(2, -1), b =(3, 1)，求a ·b ；(2)c =(-1, -1), d =(1, -1)，求c ·d ．例6 已知a =(1, 2), b =(-2, 3)，求(a +b )⋅(a -b ), (a - b )⋅(2a +b )．例7 (1)已知a =(-2, 6), a ·b =-6，设b =(6, y )，求y ；(2)已知a =(2,2), (a ^b )=4π, |b |=2，求b 的坐标． 课内练习41. 求下列向量的数量积：(1)a =(-2, 1), b =(3, -1)，求a ·b ；(2)c =(4, -1), d =(2, -1)，求c ·d ．2. 已知a =(2, -1), b =(-1, 5)，求(2a +b )⋅(2a -b ), (a -2b )⋅(2a +b )．3. 设a =(x , 6), a ·b =-6, b =(2, -1)，求x ．4. 已知|a |=1, (a ^b )=43π, b =(-1,2)，求a 的坐标．(2)平面向量所成角的计算公式把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得cos(a ^b )=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (7-3-4)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0，(7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．例8 求向量a 与b 所成角：(1)a =(2,1) , b =(3,-1)；(2)a =(2,-1) , b =(-3,-1)．例9 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (-2,5) ．求证∠BAC =2π．课内练习51．求求向量a 与b 所成角：(1)a =(-1, 2), b =(2, 3)；(2)a =(-1,-2), b =(2, -5)．2. 证明以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形：(1) A (-1, - 4), B (5, 2), C (3, 4)；(2)A (-2, -3), B (19, 4), C (-1,-6)．3. 已知a =(4, 2), b =(-3,-3)，当k 为何值时，a +b 与k a +2b 垂直？4. 已知点A (0,1), B (5,2)，求点P (x ,y )，使PA ⊥PB 且PA =PB ．。

7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。

学习资料第三节平面向量的综合应用授课提示：对应学生用书第82页[基础梳理]1．向量在平面几何中的应用问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2），b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!（θ为向量a，b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义｜a|＝错误!＝错误!，其中a＝（x，y)，a为非零向量平面几何问题错误!向量问题错误!解决向量问题错误!解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F｜｜s｜cos θ（θ为F与s的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题．1．向量与平面几何综合问题的解法（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简,结合三角函数的图像与性质进行求解．(2）给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[四基自测］1．（基础点：向量在平面几何中的应用)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2）,C(－1，－4），则该三角形为（)A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析:AB ，→＝（2，－2),AC →＝(－4，－8)，错误!＝（－6,－6),∴|错误!｜＝ 错误!＝2错误!,|错误!|＝错误!＝4错误!，|错误!｜＝错误!＝6错误!,∴|错误!|2＋|错误!|2＝|错误!|2，∴△ABC 为直角三角形．答案：B2.（基础点：向量在物理中的应用）如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3（单位:牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为（ ）A ．2错误!B ．2错误!C ．2D ．6解析:如题图所示,由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－（F 1＋F 2)，即F 错误!＝F 错误!＋F 错误!＋2F 1·F 2＝F 错误!＋F 错误!＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28。

平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。

全方位教学辅导教案知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a＝0 ⇔｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点） 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 1平行四边形法则 2三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a+=+)()(c b a c b a ++=++AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =- OB OA AB -=,(x a λλ=a a)()(λμμλ=a a aμλμλ+=+)(b a b aλλλ+=+)(a ∥b a bλ=⇔12a b x x •=+两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θa 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：)()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； )2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅不能得到a =0或b =0两个向量的数量积的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==a ·b =1212x x y y + 角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=0180）叫做向量a 与b 的夹角,a ba b a b •>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔·b＝O ⇔02121=+y y x x巩固练习例1 给出下列命题： ① 若|a |＝|b |，则a =b ；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ； ⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ， 其中正确的序号是例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-例3设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k R)，若c ∥d ，试求k例4 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值例5已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标a 与b 的夹角为2,3c a bd b a =-=-，试求c 与d 的夹已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ的值m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n =任一向量a ，有且只有一对实数λ2λ，使a =(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-c =______ ）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-=12(3,5),(6,10)e e == D. 121(2,3),(,2e e =-=-（答：B ）；3）已知,AD BE 分别是的边,BC AC 上的中线,AD a BE b ==,则BC 可用向,a b 表示为_____（答：2433a b +）；4）已知ABC ∆中，点−→−−→−−→+=AC s AB r CD ，则s r +值是___cos a b 11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____（答：,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案4、4 平面向量的应用学考考查重点1、考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2、考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题、本节复习目标1、掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2、体会数形结合思想，重视向量的工具性作用、教材链接自主学习1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0、(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0、(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)、2、平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式、在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题、此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质、基础知识自我测试1、平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____、2、已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c ＝(cos α，sin α)，α∈R，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________、3、已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上的两点，且||＝，则等于()A、－B、C、0D、4、 a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)为一次函数”的()A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题型分类深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4、向量＝x＋y (x，y∈R)，且a22＋b22＝1、(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求||的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值、变式训练1: 在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△P AB与△ABC的面积之比是 ( )A、B、C、D、题型二平面向量与三角函数的交汇例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量、(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小、变式训练2 :△ABC 的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________、题型三平面向量与解析几何的综合问题例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且＝0、(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求的最小值、变式训练3 :已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程、题型四直击高考例4 已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n、(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cos B＝，求b的长、变式训练4：（1）（xx辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c。

职高数学 《平面向量》 第一轮复习向量的概念一、高考要求：理解有向 段及向量的有关概念 , 掌握求向量和与差的三角形法 和平行四 形法 , 掌握向量加法的交 律和 合律 . 二、知 要点：1. 有向 段 : 具有方向的 段叫做有向 段 , 通常在有向 段的 点 画上箭 表 uuur示它的方向 . 以 A 始点 ,B 点的有向 段 作 AB , 注意 : 始点一定要写在uuur uuur uuur点的前面 , 已知 AB , 段 AB 的 度叫做有向 段 AB 的 ( 或模 ), AB 的 度 作 uuur| AB | . 有向 段包含三个要素: 始点、方向和 度 .2. 向量 : 具有大小和方向的量叫做向量 , 只有大小和方向的向量叫做自由向量 . 在本章中 到向量 , 如不特 明 , 指的都是自由向量 . 一个向量可用有向 段来表 示 , 有向 段的 度表示向量的大小 , 有向 段的方向表示向量的方向 . 用有向 uuur uuura 、b 、c 、⋯段 AB 表示向量 , 我 就 向量 AB . 另外 , 在印刷 常用黑体小写字母r r r等表示向量 ; 手写 可写作 箭 的小写字母 a 、 b 、 c 、⋯等 . 与向量有关的概念有 :(1) 相等向量 : 同向且等 的有向 段表示同一向量或相等的向量r r. 向量 a 和 b 同r r r r向且等 , 即 a 和 b 相等 , 作 a = b .r(2) 零向量 : 度等于零的向量叫做零向量 , 作 0 . 零向量的方向不确定 .r uuur r(3) 位置向量 : 任 一定点 O 和向量 a , 点 O 作有向 段 OAa , 点 A 相 于r r点 O 的位置被向量 a 所 aaa 唯一确定 , 向量 a 又常叫做点 A 相 于点 O 的位置向量 . rr r(4) 相反向量 : 与向量 a 等 且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量 , 作 a .rrr然 , a ( a) 0 . r r(5) 位向量 : 度等于1 的向量 , 叫做 位向量 , 作 e . 与向量 a 同方向的 位uur uur r向量通常 作 , 容易看出 : aa 0 a 0 r .││a(6) 共 向量 ( 平行向量 ) : 如果表示一些向量的有向 段所在的直 互相平行或重合 , 即 些向量的方向相同或相反 , 称 些向量 共 向量 ( 或平行向rr r r量). 向量 a 平行于向量 b , 作 a ∥ b . 零向量与任一个向量共 ( 平行 ).三、典型例 ： uuur uuur uuur uuur例 : 在四 形 ABCD 中, 如果AB DC │AB │ │BC │且 , 那么四 形 ABCD 是哪种四 形 ?四、 小 ：1. 用位置向量可确定一点相 于另一点的位置 , 是用向量研究几何的依据 .2. 共 向量 ( 平行向量 ) 是方向相同或相反的向量 , 可能有下列情况 : (1) 有一个 零向量 ;(2) 两个都 零向量 ;(3) 方向相同 , 模相等 ( 即相等向量 );(4) 方向相同 , 模不等 ;(5) 方向相反 , 模相等 ;(6) 方向相反 , 模不等 .- 1 -职高数学 《平面向量》 第一轮复习五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中 : (1) 向量只含有大小和方向两个要素 . (2) 只有大小和方向而无 特定的位置的向量叫自由向量 . (3) 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 . (4)uuur正确的个数是 ( )点 A 相对于点 B 的位置向量是 BA . A.1 个 B.2 个 C.3 个D.4 个uuur uuur uuur2. 设 O 是正△ ABC 的中心 , 则向量 AO,OB,OC 是( )A. 有相同起点的向量B. 平行向量C. 模相等的向量D.相等向量3. r r)a b 的充要条件是 (r rr rr rrrA. r rB. rrC. D.│a │ │b ││a │ │b │ a ∥ ba ∥ b│a │ │b │ a与 b同且且向uuur uuur4.AA BB 是四边形 ABB A 是平行四边形的 ( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 5. 依据下列条件 , 能判断四边形 ABCD 是菱形的是 ( )uuuruuur uuur uuurB.uuur uuur A. AD BCuuurAD ∥ BC 且 AB ∥ CDuuur uuuruuuruuur uuur uuur uuur││ │ │D. C. ABDC 且 AB AD AB DC 且 AD BC6. 下列关于零向量的说法中 , 错误的是 ( ) rA. 零向量没有方向B.零向量的长度为 0C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向任意 r7.rr r设与已知向量 a 等长且方向相反的向量为 b , 则它们的和向量 ab 等于 ( )A.0B. rC.2rD.2rab（二）填空题：uuuruuur8. 下列说法中 : (1)(2) 长度不等且方向相反的两个向量AB 与 BA 的长度相等不一定共线 (3) 两个有共同起点且相等的向量 , 终点必相同 (4) 长度相等的两 个向量必共线。

5.2 平面向量基本定理及坐标表示『考纲解读』1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．『命题趋势』高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，平面向量的基本定理及坐标表示的考查，经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查平面向量知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.『要点梳理』1.平面向量基本定理：设、是一平面内的两个不平行的向量，那么对平面内任意一向量，存在唯一的一对实数，使得=+.其中叫做这一平面内所有向量的一组基底.2.向量的直角坐标运算:设=,=,则+=;-=;=.3.两个结论:(1)两个向量=,=相等且;(2)在平面向量基本定理中,由两个基底,决定的向量=+与=+相等的条件是且,若=,则==0.『例题精析』考点一平面向量基本定理的应用例1.中，边上的高为，若，则( )A． B． C． D．变式训练1.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=（）（A）a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b考点二向量坐标运算例2.已知向量，若为实数，，则=（）A． B． C． D．变式训练2.设R，向量，且，则.（A）（B）（C）（D）10考点三平面向理基本定理例.在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知试用表示.答案例1.变式训练1.例2.变式训练2.例.。

平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。

与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。

6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。

7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。

<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。

2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。

平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。

二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。

三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。

四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。

向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。

在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。

2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。

平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。

（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。

（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。

（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。

（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。

（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。

3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。