★人教版高中数学选修2-2学案1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

课题：§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则教学目标： 教学重点：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求 简单函数的导数 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程与设计：详细过程一．创设情景四种常见函数 y  c 、 y  x 、 y  x2 、 y  1 的导数公式及应用 x二．新课讲授函数导数（一）基本初等函数的ycy'  0导数公式表函数 y  x y  c y  x2 y  f (x)  xn (nyQ1*)x yy  sfin(xx)  xn (n Q*) y  cos xy'  1 导数y'  2x y'  0y'1 x2y'nxn1y'  nx yn1'  cos xy'   sin xy  f (x)  axy'  ax  ln a (a  0)y  f (x)  exy'  ex（二）导数的运 算法则f (x)  loga xf(x)logaxf' ( x)1 x lna(a0且a 1)f (x)  ln xf '(x)  1 x导数运算法则1． f (x)  g(x)'  f '(x)  g'(x)2． f (x)  g(x)'  f '(x)g(x)  f (x)g'(x)'3．  f (x) g(x)  f'(x)g(x)  f ( g ( x)2x)g'(x)(g(x)0)（2）推论：cf (x)'  cf '(x)（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析例 1．假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ，物价 p（单位：元）与时间 t（单位：年）有如下函数关系 p(t)  p0 (1 5%)t ，其中 p0 为 t  0 时的物价．假定某种商品 的 p0  1 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有 p' (t)  1.05t ln1.05所以 p' (10)  1.0510 ln1.05  0.08（元年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元年的速度上涨． 例 2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1） y  x3  2x  3（2）y ＝ 1  1 ； 1 x 1 x（3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝ x ；4x （5）y ＝ 1 ln x ．1 ln x （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex（7） y ＝ sin x  x cosx cosx  x sin x【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为 c(x)  5284 (80  x  100) 100  x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） 90% （2） 98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c' ( x)( 5284 )' 100  x5284' (100 x)  5284 (100 (100  x)2x)'0 (100  x)  5284 (1) (100  x)25284 (100  x)2（1）因为c' (90)5284 (100  90)252.84，所以，纯净度为90% 时，费用的瞬时变化率是 52.84 元吨．（2）因为c' (98)5284 (100  90)21321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元吨．函数 f (x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c' (98)  25c' (90) ．它表示纯净度为 98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度 为 90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本 P92 练习 2．已知曲线 C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标：掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法． 重点难点：本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即(u ±v )′＝u ′±v ′ (uv )′＝uv ′＋u ′v (v u )′＝2v v u v u '-'． 本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法．典型例题例1：已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？例2：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例3：日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.课堂检测：1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的[解析]式可能为（ ）A.()2(1)f x x =-B.2()2(1)f x x =-C.2()(1)3(1)f x x x =-+-D.()1f x x =-2．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a 等于（ ） A.18 B.14 C.12D.1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=（ ） A.l n B.l 1n + C.1n n + D.1 4.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为_____________________.5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为____________.6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的[解析]式.——★ 参 考 答 案 ★——典型例题例1：解：（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴切点为（1，－4）．y ′＝12 x 3－6 x 2－18 x ，∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．（2）由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得3 x 4－2 x 3 －9 x 2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32． 代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）． 例2：解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例3：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． ''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．课堂检测：1.C2.B3.B4. 310x y -+=5. （-2,15）6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0,2）知，2d =，所以32()2f x x bx cx =+++， /2()32f x x bx c =++由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的[解析]式是32()332f x x x x =--+。

选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案] D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2 n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案] A[解析]∵f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a， 顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a，－b 24a 在第三象限，故选C. 5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x [答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 [答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( )A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D [解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．cos2x －sin2x C ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12 [答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3. 10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15 D ．5 [答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x )∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0)又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x )即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________.[答案] 2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6.若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________．[答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________．[答案] (1＋2x 2)1＋x 21＋x 2[解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x ＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos xx ＋sin x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x .(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2. (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2 ＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 16．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ；(3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1)＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e. (4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )． [解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x (1＋x 2)2 ＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]， 又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )． ∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；(2)y ＝f (x 2＋1)． [解析] (1)解法1：设y ＝f (u )，u ＝1x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝f ′(u )·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x 2f ′⎝⎛⎭⎫1x . 解法2：y ′＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1x ′＝f ′⎝⎛⎭⎫1x ·⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2f ′⎝⎛⎭⎫1x . (2)解法1：设y ＝f (u )，u ＝v ，v ＝x 2＋1，。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则新知初探1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝ ．②[f (x )g (x )]′＝ ．③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________________．点睛 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 ．②可分解为 与 ，其中u 称为 ．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝ ．小试身手1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2. ( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)． ( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ． ( )2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是 ( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为 ．4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos x x.类题通法求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 活学活用 求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e x sin x.题型二 复合函数的导数运算典例 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．类题通法1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 活学活用求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1； (4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为 ．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )，①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．类题通法关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．活学活用若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为 ( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7 参考答案新知初探1．(2) f ′(x )±g ′(x )②f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )③f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 2．(1)①y ＝f (g (x ))②y ＝f (u ) u ＝g (x ) 中间变量(2)y u ′·u x ′小试身手1．(1)× (2)√ (3)×2．【答案】B3．【答案】－x sin x4．【答案】1课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 活学活用 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e x (sin x －cos x )sin 2x题型二 复合函数的导数运算典例 解：(1)设y ＝u −12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u −12)′(1－2x 2)′＝(-12u −32)·(－4x )＝－12(1－2x 2)−32(－4x )＝2x (1－2x 2)−32. (2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 活学活用解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12；(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2； (3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1；(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1. (5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为 －2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点， 即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．活学活用【答案】A【解析】设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274. 由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.。

导数的计算第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～ 14，思虑并达成以下问题－1，y＝ x2，y＝x的导数分别是什么？可否得出y＝ x n的导数(1) 函数 y＝ c，y＝ x，y＝ x公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探 ]1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝ c(c 为常数 )f′(x)＝ 0f( x)＝ x f′(x)＝ 1f(x)＝ x2f′(x)＝ 2xf( x)＝1f′(x)＝－1 x x2f(x)＝ x f′(x)＝1x2[点睛 ]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其余函数的导数的基础，都是经过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常有的导数公式需记牢，在求导数时，可直策应用，不用再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝ c( c 为常数 )f′(x)＝ 0α* )α－1f(x)＝ x (α∈ Q f′(x)＝αx 原函数导函数f(x)＝ sin x f′(x)＝ cos_x f (x)＝ cos x f′(x)＝－ sin_xf (x)＝ a x(a>0 且 a≠ 1)f′(x)＝ a x ln_af(x)＝ e x f′(x)＝ e x1f (x)＝ log a x(a>0 且 a≠ 1)f′(x)＝xln a1f( x)＝ ln x f′(x)＝x[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)1(1) 若 y＝ 2，则 y′＝2×2＝ 1.()(2) 若 f′(x)＝ sin x，则 f(x)＝ cos x． ()13(3) f(x)＝x3，则 f′(x)＝－x4.()答案： (1) × (2) × (3) √2．以下结论不正确的选项是()A．若 y＝ 0，则 y′＝ 0B．若 y＝ 5x，则 y′＝ 5C．若 y＝ x1，则 y′＝－ x－2D．若 y＝x1，则 y′＝1x1－222答案： D2π)3．若 y＝ cos，则 y′＝ (331A．－2B．－21C． 0 D.2答案： C4．函数 y＝1， 1处切线的倾斜角为 () x在点42ππA. 6B.4π3πC. 3D. 4答案： B利用导数公式求函数导数[典例 ]求以下函数的导数．12153 x(1) y ＝ x ； (2)y ＝ x 4； (3)y ＝ x ； (4) y ＝ 3 ； (5) y ＝ log 5x.[解 ] (1)y ′＝ (x 12 11 ) ′＝ 12x .1 － 4 － 54′＝ 4 ′＝) ′＝－ 4x ＝－ 5x (x x.(2) y5 33325(3) y ′＝ ( x ) ′＝ (x 5) ′＝ 5x .(4) y ′＝ (3x ) ′＝ 3x ln 3.1(5) y ′＝ (log 5x) ′＝ xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1) 用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2) 用导数公式求导，能够简化运算过程、降低运算难度．解题时依据所给问题的特点，将题中函数的构造进行调整，再选择适合的求导公式．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ lg x ； (2) y ＝1 xx ；1 x.2 ； (3)y ＝ x(4)y ＝ log3解： (1)y ′＝ (lg x) ′＝ ln x1ln 10′＝ xln 10. 1 x1 x1＝－ 1 xln 2.(2) y ′＝ 2 ′＝ 2 ln 2233 1 3(3) y ′＝ (x x) ′＝ (x 2) ＝′ 2x 2＝ 2 x.′＝1 1 ＝－ 1log x′＝1xln3.(4) y3xln 3利用导数公式求切线方程1[典例 ]已知曲线 y ＝ x .(1) 求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2) 求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程．1 ，∴ y ′＝－ 1[解 ] ∵ y ＝ x x 2.1(1) 明显 P(1,1) 是曲线上的点，因此P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝ x 在点 P(1,1) 的导数，即 k ＝ f ′(1)＝－ 1.因此曲线在 P(1,1) 处的切线方程为 y － 1＝－ (x － 1)，即为 y ＝－ x ＋ 2.1(2) 明显 Q(1,0) 不在曲线 y ＝ x 上，则可设过该点的切线的切点为A a ，1a，那么该切线斜率为k ＝ f ′(a)＝－ a 12.11则切线方程为 y － a ＝－ a 2( x －a)．①将 Q(1,0)代入方程： 0－ 1＝－12aa (1－ a)．将得 a ＝1，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－ 4x ＋ 4.2利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)假如已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[活学活用 ]当常数 k 为什么值时，直线 y ＝ x 与曲线 y ＝ x 2＋ k 相切？恳求出切点．2x 0＝ 1，解： 设切点为 A(x 0， x 02＋ k)．∵ y ′＝ 2x ，∴x 02＋ k ＝x 0，x 0 ＝1，∴2 故当 k ＝ 1时，直线 y ＝ x 与曲线 y ＝ x 2＋ k 相切，且切点坐标为1， 11422 .k ＝ 4，导数的简单综合应用π[典例 ] (1) 质点的运动方程是S ＝ sin t ，则质点在 t ＝ 时的速度为 ________；质点运动3的加快度为 ________．(2) 已知两条曲线 y ＝ sin x ， y ＝cos x ，能否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明原因．[分析 ] (1) v(t)＝ S ′(t)＝ cos t ，π 1∴ v 3 ＝cos 3＝ 2.π即质点在π1 t ＝ 时的速度为32.∵ v(t)＝ cos t ，∴加快度 a(t)＝ v ′(t)＝ (cos t) ′＝－ sin t.答案： 1－ sin t2(2) 解：因为 y ＝ sin x ，y ＝ cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P(x 0， y 0)．∴两条曲线 在 P(x 0， y 0)处的斜率分别为 k 1＝ cos x 0， k 2＝－ sin x 0.若使两条切线相互垂直，一定cos x 0·(－ sin x 0)＝－ 1，即 sin x 0·cos x 0＝ 1，也就是 sin 2x 0＝ 2，这是不行能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．导数的综合应用的解题技巧(1) 导数的几何意义为导数和分析几何的交流搭建了桥梁，好多综合问题我们能够数形联合，奇妙利用导数的几何意义，即切线的斜率成立相应的未知参数的方程来解决，常常这是解决问题的重点所在．(2) 导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、分析几何、不等式等知识联合出现综合大题．碰到解决一些与距离、面积有关的最值、不等式恒成立等问题．能够联合导数的几何意义剖析．[活学活用 ]曲线 y ＝ x 2在点 (1,1)处的切线与x 轴、直线 x ＝ 2 所围成的三角形的面积为()35 8 25 4A. 3B.9C.12D. 12分析：选C可求得 y ′＝21，即 y ′|＝＝ 2，切线方程为2x － 3y ＋ 1＝ 0，与 x 轴的交3x － 3x 13点坐标为－1，0 ，与 x ＝ 2 的交点坐标为2 ，5，围成三角形面积为1 ＋ 1 5＝ 25 ×232× 2 12.3层级一 学业水平达标 1．已知函数 f (x)＝ x 3 的切线的斜率等于 3，则切线有 () A ．1条 B ．2 条 C ．3条D ．不确立分析：选B∵ f ′(x)＝ 3x 2＝ 3，解得 x ＝ ±1.切点有两个，即可得切线有 2 条．2．曲线 y ＝ e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为 () A ． 1B ． 21 C ． eD.e分析：选Ax＝ 0＝ 1.由条件得 y ′＝ e ，依据导数的几何意义，可得 k ＝ y ′|x0＝ e 3．已知 f(x)＝－ 3x 5，则 f ′(2 2)＝ ()32A ． 10B ．－ 5x 3C ． 5D ．－ 10分析：选D2 3 2∵ f ′(x)＝－ 5x ，∴ f ′(22) ＝－ 5×2 × ＝－ 10，应选 D.32 34．已知 f(x)＝ x α，若 f ′(－1)＝－ 2，则 α的值等于 () A ． 2B ．－ 2C ． 3D ．－ 3分析：选A若 α＝ 2，则 f(x)＝ x 2，∴ f ′(x)＝ 2x ，∴ f ′(－1)＝ 2×(－ 1)＝－ 2 适合条件．故应选 A.5. 曲线 y ＝ 1x 3 在 x ＝ 1 处切线的倾斜角为 ()3πA ． 1B ．－ 4 π 5π C. 4D. 4分析：选C 2∵ y ′＝ x ，∴ y ′|x1＝ 1，＝π ∴切线的倾斜角 α知足 tan α＝ 1，∵ 0≤α<π，∴ α＝.46．曲线 y ＝ ln x 在点 M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为 ____________．1 ，∴ y ′|＝ 1分析： ∵ y ′＝ (ln x) ′＝e .＝1∴切线方程为y － 1＝ e (x － e)，即 x － ey ＝ 0.1x － ey ＝ 0答案： e 7．已知 f(x)＝ a 2(a 为常数 )， g(x)＝ ln x ，若 2x[f ′ ( x)＋ 1]－g ′(x)＝ 1，则 x ＝ ________.1分析： 因为 f ′(x)＝ 0， g ′(x)＝ ，因此 2x[f ′ (x)＋ 1]－ g ′(x)＝ 2x －1x ＝ 1.解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 1，因为 x ＞ 0，因此 x ＝ 1.2 答案： 18．设坐标平面上的抛物线 C ： y ＝ x 2，过第一象限的点 (a ， a 2)作抛物线 C 的切线 l ，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为 ________．分析： 明显点 (a ， a 2)为抛物线 C ： y ＝ x 2 上的点，∵ y ′＝ 2x ，∴直线l 的方程为 y － a 2＝2a( x－ a)．2，∴直线 l 与 y 轴的交点的坐标为2令 x＝ 0，得 y＝－ a(0，－ a )．答案： (0，－ a2)9．求以下函数的导数：(1) y＝ x8； (2)y＝ 4x； (3)y＝ log3x；＝sin x＋π； (5)y＝ e2(4) y2.解： (1)y′＝ (x8) ′＝8x8－1＝ 8x7 .(2) y′＝ (4x) ′＝ 4x ln 4.1(3)y′＝ (log3x) ′＝xln 3.(4)y′＝ (cos x) ′＝－ sin x.(5)y′＝ (e2) ′＝ 0.10．已知 P(－ 1,1)， Q(2,4)是曲线 y＝ x2上的两点，(1)求过点 P， Q 的曲线 y＝ x2的切线方程．(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝ x2的切线方程．解： (1)因为 y′＝ 2x， P(－ 1,1)， Q(2,4)都是曲线y＝ x2上的点．过 P 点的切线的斜率k ＝ y′|＝－1＝－ 2，1x过 Q 点的切线的斜率k2＝ y′|x2＝ 4，＝过 P 点的切线方程：y－ 1＝－ 2(x＋ 1)，即2x＋ y＋ 1＝ 0.过 Q 点的切线方程：y－ 4＝ 4(x－ 2)，即4x－ y－ 4＝ 0.4－1(2)因为y′＝ 2x，直线 PQ 的斜率 k＝2＋1＝ 1，切线的斜率 k＝ y′|x＝ x0＝ 2x0＝ 1，因此 x0＝1，因此切点 M1， 1，224与 PQ 平行的切线方程为：y－1＝ x－1，即 4x－ 4y－ 1＝ 0.42层级二应试能力达标1．质点沿直线运动的行程s 与时间 t 的关系是 s＝5t，则质点在 t＝ 4 时的速度为 ()A.1B.155 2231023 253 1 53C. 52D.102分析：B1 4 ，∵ s ′＝t － .∴当 t ＝ 4551 1 ＝1 .s ′＝ ·55 543410 212．直 y ＝ 2x ＋ b 是曲 y ＝ ln x(x ＞ 0)的一条切 ， 数b 的 ()A ． 2B ． ln 2＋ 1C ． ln 2－ 1D ． ln 2分析：C∵ y ＝ ln x 的 数 y ′＝ 1，x∴令 1＝ 1，得 x ＝ 2，∴切点 (2， ln 2)．x2代入直 y ＝ 1x ＋ b ，得 b ＝ ln 2－ 1.2133．在曲 f(x)＝ x 上切 的 斜角 4π的点的坐 ()A ． (1,1)B ． (－ 1，－ 1)C ． (－ 1,1)D ． (1,1)或 (－ 1，－ 1)113分析：D因 f (x)＝ x ，因此 f ′(x)＝－ x 2，因 切 的 斜角4π，因此切 斜率－ 1，即 f ′(x)＝－ x 12＝－ 1，因此 x ＝ ±1，当 x ＝ 1 ， f(1) ＝1；当 x ＝－ 1 ， f(1) ＝－ 1， 点坐(1,1)或 (－ 1，－ 1)．n ＋ 1*x n ， x 1·x 2 ·⋯·x n4． 曲 y ＝ x (n ∈ N )在点 (1,1) 的切 与 x 的交点的横坐的 ()11A. nB.n ＋ 1nC.n ＋ 1D ． 1分析：Bn ＋1*)求 得 ny ＝ x(n ∈ N y ′＝ (n ＋ 1)x . 令 x ＝ 1，得在点 (1,1) 的切 的斜率 k ＝ n ＋ 1，∴在点 (1,1) 的切 方程y －1＝ (n ＋ 1)(x － 1)．令 y ＝ 0，得 x ＝n，nnn ＋ 11 2 3 n － 1 × n＝1，故 B.∴ x 1·x 2·⋯ ·x n ＝ × × ×⋯× ＋23 4n＋1n 1 n5．与直 2x － y － 4＝0 平行且与曲 y ＝ ln x 相切的直 方程是 ________．分析： ∵直 2x － y － 4＝ 0 的斜率 k ＝ 2，1 11 又∵ y ′＝ (ln x) ′＝，∴ ＝ 2，解得 x ＝ .x x21∴切点的坐标为2，－ ln 2 .1故切线方程为 y ＋ ln 2＝ 2 x － 2 . 即 2x － y － 1－ ln 2＝ 0.答案： 2x － y － 1－ ln 2＝ 06．若曲线 y ＝x 在点 P(a ， a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ________________．分析： ∵ y ′＝1，∴切线方程为y － a ＝1a，令 y ＝ 0，2 x2 a (x － a)，令 x ＝0，得 y ＝ 2得 x ＝－ a ，由题意知 1 a2 · ·a ＝ 2，∴ a ＝ 4.2答案： 427．已知曲线方程为y ＝ f(x)＝ x ，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．2解： 设切点 P 的坐标为 (x 0， x 0)．2∵ y ＝ x ，∴ y ′＝ 2x ，∴ k ＝ f ′(x 0)＝ 2x 0， ∴切线方程为 y － x 20＝ 2x 0(x － x 0)．将点 B(3,5) 代入上式，得 5－ x 20＝ 2x 0(3－ x 0)， 即 x 20－ 6x 0＋ 5＝ 0，∴ (x 0－ 1)(x 0－ 5)＝0，∴ x 0＝ 1 或 x 0＝ 5，∴切点坐标为 (1,1)或 (5,25) ，故所求切线方程为 y － 1＝ 2(x － 1)或 y － 25＝ 10(x － 5)，即 2x － y － 1＝ 0 或 10x － y － 25＝ 0.28．求证：双曲线 xy ＝ a 上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．2a 22∵ y ′＝′＝－a2x x .y － y ＝－a2 ∴过点 P 的切线方程为2(x － x 0)．x 0令 x ＝ 0，得 y ＝2a2；令 y ＝ 0，得 x ＝ 2x 0.x 0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 2a 22 S ＝ 2·x 0 ·|2x 0|＝ 2a .即双曲线xy＝ a2上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【使用课时】：1课时【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P83~ P84，找出疑惑之处）1．基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）二、新课导学学习探究(完成课前准备)典型例题例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln x y x=学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、课后练习与提高1. 函数1y x x=+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x -B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A 18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 1 7.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------8. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x =9.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.12. 已知函数ln=. （1）求这个函数的导数；y x x（2）求这个函数在点1x=处的切线方程.。

1.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么〔3〕
一、学习要求
能运用导数的几何意义、导数公式及导数的运算法那么解决有关问题。

二、先学后讲
1.导数的几何意义
2.根本初等函数的导数公式
3.导数的运算法那么
三、问题探究
■合作探究
例1．曲线在点处的切线平行于直线，求点的坐标。

解：由，得；
∵切线平行于直线，
∴，∴，,
点的坐标为。

例2．直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，⊥．
〔1〕求直线的方程；
〔2〕求由直线，和轴所围成的三角形的面积。

解：〔1〕由得，
∴直线的斜率,
直线的斜率，
∵⊥， ∴，∴
，,
∴直线的方程为：即
；
〔2〕∵直线的斜率
且过点， 解方程组
，得，
∴直线与的交点坐标为；
直线、与轴交点的坐标分别为：、，
∴所求三角形的面积为：。

■自主探究
1．假设对任意的有，，那么此函数解析式为〔 〕。

．．
．
．
2．假设函数
在
处的导数值与函数值互为相反数，那么。

解：由，得
，
解得。

四、总结提升
本节课你主要学习了。

五、问题过关 1.函数
的图象在点
处的切线的斜率是〔 〕。

．．．． 〔答案：选〕
2．函数
，假设
，
，那么
O y
x。

〔答案：18 〕
〔答案：3 〕
4．函数，那么。

〔答案：〕。

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）【学习目标】1.能由定义求函数y c =，y x =，2y x =，x y xy x y ===,1,3的导数； 2.能运用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.【新知自学】 知识回顾：1.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0lim _____________________． 2.导数的几何意义：函数在)(x f 在0x x =处的导数就是函数图象在点))(,(00x f x 处的切线的斜率k ，即k=____________________________. 新知梳理：1. 几个常见函数的导数:(1)若f(x)=c(c 为常数),则=')(x f _________________;(2)若f(x)=x, 则=')(x f _________________;(3)若f(x)=x 2, 则=')(x f _________________;(4)若f(x)=x1, 则=')(x f _________________; (5)若f(x)=x ,则=')(x f _________________.感悟：求简单函数的导函数的基本方法：（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；（2）用导数的公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度，是我们以后主要求导方法. 对点练习：1.函数()0=x f 的导数为（ ）A. 0B.1C.不存在D.不确定2.已知f(x)=e x ,则=')1-(f ______________.3.x y cos =在6π=x 处切线的斜率为（ ） A.23 B.-23 C.21- D.21 4.曲线n x y =在2=x 处的导数为12，则n 的等于（ ）A.1B.2C.3D.4【合作探究】 典例精析：例1.求下列函数的导数:（1）y=sin3π； （2）10x y =；（3）y=5x ; (4)21xy =；（5）3x x y =; (6)y=log 3x.变式练习：求下列函数的导数: (1)y=lg2; (2)y=2x 1;(3)y=x 21）（; (4)y=x x ;(5)x y 31log =.例2.求曲线y=x 3在点()1,1处的切线方程.变式练习： 求过曲线y=sinx 上点），（21,6P ，且与过这点的切线垂直的直线方程.规律总结：1.求简单函数的导函数的基本方法：（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.2.在求函数的导函数时，可根据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适的求导公式.【课堂小结】【当堂达标】1. 1.函数32x y =的导数y '=（ ）A.23xB.231x C.221x - D.3132-x 2.在曲线2x y =上切线的倾斜角为43π的点是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8,82ππ B.()4,2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21 D.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭坐标出错了 3.若()3x x f =，()60/=x f ，则0x 的值是（ ）. A.2 B.2-C.2±D.1±4.求下列函数的导数： （1）y=log 27; (2)21y x =;(3)y=10x ; (4)y=log 5x;(5)y=x 43x .【课时作业】1.若()3x =x f 则()1/f =（ ） A.0 B.31-C.3D.31 2.已知()a x x f =，若()41/-=-f ，则a 的值等于（ ）A.4B.4-C.5D.5- 3.质点的运动方程是41t s =（其中s 的单位为m ，t 的单位为s ），求质点在s t 3=时的速度.4.求曲线3x y =上过点M ()8,2的切线与坐标轴围成的三角形面积.5.已知()1,1-P 、()4,2Q 是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2x y =的切线方程.6.已知抛物线y=x 2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.7.设f 0(x)=sinx ，f 1(x)=),()(),(120x f x f x f '='N n x f x f n n ∈'='⋅⋅⋅+),()(,1，试求f 2016(x).。

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学习目标：1、了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；2、能利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导（仅限于形如()f ax b +的导数）。

一、主要知识：1、复合函数的概念：由几个函数复合而成的函数，叫做复合函数。

由函数)(u f y =与()u g x =复合而成的函数一般形式是 ，其中μ称为 。

2、复合函数的求导法则：复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数和函数)(u f y =与()u g x =的导数的关系为x y '= ，即y 对x 的导数等于 与μ对x 的导数的 。

二、典例分析：〖例1〗：指出下列函数上怎样复合而成的：（1）()m n y a bx =+；（2）()324y x x =+；（3）22x y e +=；（4）()22sin 2y x =-。

〖例2〗：求下列函数的导数： （1）4312y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y =（4）2cos 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5）3log 2x y =；（6）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

〖例3〗：已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数在点P 处的切线方程。

〖例4〗：一物体作阻尼运动，其运动方程为()2sin 36t s t et π-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求该物体的速度和加速度的表达式。

三、课后作业：1、函数51y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数是（ ） A 、415y x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ B 、421151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C 、41151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 、4115y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2、函数()820088y x =-的导数为（ ）A 、()7820088x -B 、64x -C 、()76482008x -D 、()76420088x - 3、若()2y f x =，则y '=（ ）A 、()22xf x 'B 、()2xf x 'C 、()24x f xD 、()2f x '4、设y a 是常数），则y '=（ ） AB C D 、 5、函数()2x x y e e -=+的导数是（ ） A 、()12x x e e -- B 、()12x x e e -+ C 、x x e e -- D 、x x e e -+ 6、函数ln 1x x e y e =+的导数（ ） A 、11x e + B 、11x e - C 、11x e -+ D 、11x e-- 7、若()()22f x x a =+，且()220f '=，则a = 。

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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b）的导数）．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式,这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之。

☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f（x)＝5和g（x)＝1。

05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f（x)与g（x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋"，而商的导数公式中分子上是“－”；（5）要注意区分参数与变量，例如[a·g（x）]′＝a·g′（x)，运用公式时要注意a′＝0。