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人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用教学设计一、教学目标1.理解不等式在现实生活中的应用场景；2.掌握不等式的实际应用方法；3.学会将实际问题转化为数学问题，并利用不等式对其进行解答。
二、教学内容1.飞行器和升力的关系（P136-题目19）；2.瓶子的容积和重量的关系（P136-题目20）；3.调整物品流水线的长短（P137-题目25）。
三、教学过程1. 飞行器和升力的关系课前准备老师提醒学生飞机起飞时为什么会产生升力？学生活动学生请在家中或自习室观察一次飞机起飞时的情况，收集数据后登录电脑，在Excel表格中记录所有数据，并对数据进行分析。
最后，将数据输入数学模型中，解决问题。
解答问题老师引导学生通过数据分析，解决问题，为学生提供帮助。
学生可以使用手算或计算机，找到一个最小的升力可能。
2. 瓶子的容积和重量的关系课前准备老师提醒学生塑料瓶厚度和瓶子容积的关系。
学生活动学生要做一个塑料瓶的实验，测试不同厚度的瓶子重量和容积。
学生需要测量每个厚度的瓶子的重量和容积，并记录下来。
然后，学生需要将数据输入到Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并解决问题。
解答问题根据学生在课前准备中所做的实验和数据分析，学生可以将结果用公式表示并使用不等式进行计算。
最后，学生需要回答问题，例如什么样的塑料瓶重量和容积比较合适？3. 调整物品流水线的长短课前准备老师提醒学生作业中的知识点。
学生活动学生根据题目描述绘制物品流水线的示意图，并将其投影到一个横面的平面上。
根据问题中的条件，学生需要确定物品流水线的长度和宽度。
学生需要将数据录入Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并将其用公式表示并使用不等式进行计算。
解答问题通过数据分析，学生可以找到流水线的最佳长度和宽度。
最后，学生需要回答问题，例如多少长度可以完成多达不可能？四、教学评价1.参与度：学生是否参与活动，是否预备教材？2.学习效果：学生是否理解了课程内容？学生是否在以后的学习中运用了这些技能？3.作业效果：学生完成的作业质量如何？。
3.4 不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理不等式的实际应用阅读教材P81～P83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题.1.有如图3-4-1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为________.图3-4-1【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图(2)面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab .【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积12a 2＋12b 2>ab2.一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】 原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8x x －12>9. 【答案】 8(x ＋19)>2 200 8x x －12>9[小组合作型]比较法在实际问题中的应用价，有四种降价方案：方案(1)先降价a %，再降价b %；方案(2)先降价b %，再降价a %；方案(3)先降价a ＋b 2%，再降价a ＋b 2%；方案(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( )A.方案(1)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】 设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为：(1)(1－a %)(1－b %)；(2)(1－b %)(1－a %)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2；(4)1－(a ＋b )%. 由于(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)·(1－a %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b %＋1－a %22＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，且(1－a %)(1－b %)＞1－(a ＋b )%，所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a 、b ＞0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是100(a ＋b )200＝a ＋b 2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b元/千克. ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b )＞0， ∴a ＋b 2＞2ab a ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.【答案】 (1)C (2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图3-4-2(2)，一圆柱的底面半径为5 dm，高为5 dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示：路线2：高线AB＋底面直径BC.如图(2)所示：(1)(2)图3-4-2【解】设路线1的长度为l1，则l21＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.设路线2的长度为l2，则l22＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.∵l21－l22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l21>l22，∴l1>l2.所以选择路线2较短.一元二次不等式的实际应用称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【精彩点拨】认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】(1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%).依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).依题意得：150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.[探究共研型]均值不等式的实际应用用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y间有何关系？你能建立仓库底面积S与x、y间的关系吗？【提示】 x 与y 间关系为40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200，S 与x 、y 间的关系为S ＝xy .探究2 在探究1中若要求S 的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S 的最大值？【提示】 在S ＝xy 中含两个变量x ，y ，而x ，y 满足40x ＋90y ＋20xy ≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy .由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100.∴S 的最大允许值是100 m 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】 (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x (6x ＋6)2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9x (x ＋1)＋900x＋1 800×6＝9x ＋900x ＋10 809≥2 9x ·900x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x ＋9 729(x ≥35)，记f (x )＝x ＋100x ，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2， ∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0， ∴函数f (x )＝x ＋100x 在[35，＋∞)上是增函数，∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35).所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.(4)正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】(1)依题意得y＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x＋10 800x(x≥10，x∈N＋).(2)∵x>0，∴48x＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x＝10 800x，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x <0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1} 【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}.【答案】 B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】 C3.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，所以x 2＋50x －30 000≥0，得x ≤－200(舍去)或x ≥150，又因为0<x <240，x ∈N ，所以150≤x <240，x ∈N .【答案】 1504.用一根长为100 m 的绳子，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m 2的矩形，则x 的取值范围为________.【导学号：18082049】【解析】 设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0<x <50.由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形.【答案】 (20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内.【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1).整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1).(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎨⎧ y －(12－10)×10 000＞0， 0＜x ＜1，即⎩⎨⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0， 0＜x ＜1.∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。
3.4 不等式的实际应用1．重要结论 若b >a >0，m >0，则a ＋mb ＋m >ab. 另外，若a >b >0，m >0，则有a ＋m b ＋m <ab 成立．2．不等式解决实际问题的步骤(1)设未知数：用字母表示题中的未知数．(2)列不等式(组)：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)解不等式(组)：运用不等式知识求解不等式，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．(4)答：规范地写出答案．1．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由题意可得25x －y ＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)， 所以150≤x <240，x ∈N .]2．有如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________．图①广告牌面积大于图②广告牌面积 12a 2＋12b 2>ab [图①广告牌面积大于图②广告牌面积．设图①面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图②面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab ．]3．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．8(x ＋19)>2 2008xx －12>9 [原来每天行驶x km ， 现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”， 写成不等式为8(x ＋19)>2 200. 若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9.]q >0，[解] 设商品原价为a ，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为 N 甲，N 乙，N 丙，则N 甲＝a (1＋p %)(1＋q %)， N 乙＝a (1＋q %)(1＋p %)，N 丙＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(p ＋q )%⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(p ＋q )%＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002. 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002与a (1＋p %)(1＋q %)的大小．N 甲－N 丙＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋p 100＋q 100＋pq 1002－1－p ＋q 100－(p ＋q )22002 ＝a2002(2pq －p 2－q 2) ＝－a2002(p －q )2<0. ∴N 丙>N 甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答．1．有一批货物的成本为A元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由．[解]若本月初出售到下月初获利为m元，下月初出售获利为n元．则m＝100＋(100＋A)·2%＝102＋0.02A．n＝120－5＝115，故n－m＝13－0.02A，令n－m＝0，得A＝650.①当A＝650元时，本月初、下月初出售获利相同．②当A>650元时，n－m<0即n<m，本月初出售好．③当A<650元时，n>m，下月初出售好．元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得：150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是(0,2]．不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．2．某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.1．某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y之间有何关系？你能建立仓库底面积S与x，y之间的关系吗？[提示]x与y之间的关系为40x＋2×45y＋20xy≤3 200，S与x，y间的关系为S＝xy.2．在探究1中若要求S的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S的最大值？[提示]在S＝xy中含两个变量x，y，而x，y满足40x＋90y＋20xy≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解．解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.【例3】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．[思路探究] 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x ，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解．[解] (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x (6x ＋6)2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则 Y 1＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x ＋10 809 ≥29x ·900x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则 Y 2＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6×910 ＝9x ＋900x ＋9 729(x ≥35)， 记f (x )＝x ＋100x ，x ∈[35，＋∞)， 设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0， ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x 在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35)．∴当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件．求实际问题中最值的一般思路：(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．3．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需要购买游泳卡外，每次还要包1辆车，无论乘坐多少名乘客，包车费均为40元，若使每位同学游泳8次，每人需至少交多少钱？[解] 法一：设购买x 张游泳卡，活动总开支为y 元，则购买游泳卡需240x 元，48名同学每人游8次，共48×8次．但游泳卡只有x 张，则每批只有x 人参加，共分48×8x 批，故包车费为⎝ ⎛⎭⎪⎫48×8x ×40元， ∴y ＝240x ＋48×8x ×40＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋64x .∵x >0，∴x ＋64x ≥2x ·64x ＝16，∴y ≥3 840.当且仅当x ＝64x ，即x ＝8时，取等号． 3 840÷48＝80(元)． ∴每人需至少交80元．法二：设分n 批去游泳，活动总开支为y 元，则包车费为40n 元，每批去48×8n人，需购买游泳卡48×8n 张．∵n >0，∴y ＝40n ＋48×8n ×240＝40⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋482n ≥40×2482＝40×2×48＝3840，当且仅当n ＝482n ，即n ＝48时，取等号.3 840÷48＝80(元)． ∴每人需至少交80元．1．本节课的重点和难点是一元二次不等式的实际应用．2．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．3．利用均值不等式来解决函数的最值或值域问题时，一定要弄清从实际问题中抽象出函数模型的结构形式及其定义域，若不具备运用均值不等式的形式，则可考虑能否先变形再应用．另一个重要问题是使用均值不等式时一定要注意能否取得等号，如果不能取得等号，那么可考虑用函数的单调性处理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若b>a>0，m>0，则有a＋mb＋m<ab成立．()(2)根据调查，某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n＝1,2，…，12)，其近似地满足f(n)＝e n2(13n－22－n2)(e＝2.718…)，为了获取一年的最大利润，那么该产品每年只要生产7个月即可．()(3)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，则当这艘轮船以40海里/小时的速度航行时，费用总和取得最小值．()[解析](1)∵ab－a＋mb＋m＝a(b＋m)－b(a＋m)b(b＋m)＝m(a－b)b(b＋m)，又∵b>a>0，m>0，∴b(b＋m)>0，a－b<0.∴ab－a＋mb＋m<0，即a＋mb＋m>ab，故(1)错；(2)由f(n)≥0可知－n2＋13n－22≥0，即(n－2)(n－11)≤0，解得2≤n≤11.所以为获得一年的最大利润，该产品每年只要生产8个月，故(2)错；(3)设轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费为u，速度为v，则u＝k v2.∵当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．∴6＝100k，则k＝3 50.∴u＝350v2，再设轮船匀速行驶10海里的总费用为y，则y＝10v·⎝⎛⎭⎪⎫350v2＋96＝3 5v＋960v≥235v·960v＝48.当且仅当3v5＝960v，即v＝40时取等号．∴这艘轮船的速度为40海里/小时时，费用总和最少．[答案](1)×(2)×(3)√2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是() A．6.5 m B．6.8 mC．7 m D．7.2 mC[设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C．]3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________．(20,30)[围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0<x<50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．]4．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内．[解](1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)．整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1)．(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎨⎧ y －(12－10)×10 000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎨⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0，0＜x ＜1. ∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内．。
《人教B版必修5》
3.4 不等式的实际应用
(说课稿）
一、教材分析
1.教材的地位和作用:
本节内容是在学生学习了不等式的性质、均值不等式以及一元二次不等式解法的基础上学习的.主要学习将实际问题转化为求解不等式,它是对不等式性质和一元二次不等式内容的实际应用,是本章不等式知识的第二次应用,也为下一节利用不等式求最优解的建模打下了基础.
2.教学重点与难点:
本节的重点是不等式的实际应用,难点是建模思想的建立.
二.教学目标:
知识目标使学生掌握解应用题的一般思路
能力目标培养学生的数学建模和分析问题解决问题的能力,培养学生辨证的思想,以变化的观点看问题.
情感目标激励学生的求知欲望,培养学生认真分析、刻苦钻研的治学精神,让学生充分感受数学源于生活,又用于生活,拓展学生的视野.
三、教法学法及学法指导
主要采取教师启发引导、学生探究学习的教学方法, 层层设问,通过提问,板演讨论等多种形式,让学生直接参与课堂活动.在学习过程中,让学生寻找知识的生长点,变被动学习为主动学习,不仅使学生学会,而且会学,提高学生的应用意识以及建模能力
四、教学过程
五.设计说明.
本节课的特点是在教学过程中,充分发挥学生的主体作用,在学生主动发现问题,提出问题比较薄弱的情况下,先帮助学生提出问题,引导学生思维,适当展开学习过程,使学生的学习更生动,更富探索性,教给学生如何由:”学会”到”会学”,提高学生的数学应用意识,发展学生独立思考的能力,渗透数学的建模思想.。
人教版高中必修5(B版)3.4 不等式的实际应用课程设计一、设计背景不等式是数学中的一个重要概念，在高中数学中占有非常重要的地位。
掌握不等式的解法和实际应用，可以帮助学生更好地了解数学的本质，提高数学分析和解决实际问题的能力。
本课程设计旨在帮助学生深入理解不等式的实际应用，提高学生的数学分析和解决实际问题的能力。
本文所设计的课程适用于人教版高中必修5(B版)中第3章不等式的实际应用。
二、教学目标通过本课程的学习和实践，学生应该能够掌握以下知识和技能：1.理解不等式的概念，掌握不等式的解法；2.掌握不等式在实际中的应用，能够灵活运用不等式解决实际问题；3.能够培养学生的数学思维和分析问题的能力；4.发展学生的团队合作和交流能力。
三、教学内容1.不等式的基本概念；2.不等式的解法；3.不等式在实际中的应用；4.分析和解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲授：通过讲授和演示，帮助学生掌握不等式的基本概念和解法；2.分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力；3.实践演练：让学生进行实践演练，巩固所学知识。
五、教学过程第一步：引入师生沟通交流，让学生了解本节课的主题和目标，明确学习的重点和难点。
第二步：讲授不等式的基本概念和解法1.不等式的基本概念：介绍不等式的定义和符号表示；2.不等式的解法：介绍不等式的加减法、乘除法等解法，通过例题演示不等式的解法。
第三步：讲授不等式在实际中的应用1.利用不等式求解实际问题：分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题；2.实际问题的模型建立：通过实际问题建立数学模型，引导学生运用不等式解决实际问题。
第四步：分组讨论实际问题将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力。
第五步：巩固知识点让学生进行实践演练，巩固所学知识。
第六步：总结让学生总结所学知识和技能，明确掌握情况和不足之处，以便进行下一步的学习和进一步提高。
六、教学评价1.学生思考提出问题的能力；2.学生运用不等式解决实际问题的能力；3.学生的团队合作和交流能力；4.学生对数学的理解和分析问题的能力。
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用课程设计一、课程目标本课程设计旨在让学生通过学习不等式的实际应用问题，掌握不等式求解的基本方法，提高解决实际问题的数学能力。
二、教学内容1.不等式的实际应用问题2.不等式的解法和思路3.实际问题的数学建模和求解三、教学重难点教学重点：让学生掌握不等式的解法和实际问题的数学建模方法。
教学难点：让学生学会将实际问题转化为数学问题，以及解决复杂问题的能力。
四、教学方法本课程以教师讲解和学生自主探究相结合的方式进行。
教师将通过例题和实际问题的分析，让学生了解不等式求解的基本思路和方法。
然后将学生分组进行自主探究，通过分析实际问题，设计数学模型，并求解问题。
五、教学过程1. 导入环节教师通过举例引入不等式的实际应用问题，让学生了解不等式求解的重要性和应用价值。
2. 理论授课2.1 不等式的解法和思路教师通过例题，讲解不等式的解法和思路，包括不等式的化简、移项和配方法等。
2.2 实际问题的数学建模和求解教师通过分析实际问题，讲解如何将实际问题转化为数学问题，并设计数学模型和求解问题的方法。
3. 自主探究学生分组进行自主探究，选择一个实际问题，进行数学建模，并求解问题。
教师在学生探究的过程中，给予适当的指导和帮助。
4. 总结归纳学生根据自己的探究结果，进行总结和归纳，让学生了解如何将数学知识应用到实际问题中。
5. 课后作业学生需要根据老师的安排，进行实际问题的解答和报告。
六、板书设计不等式的解法和思路1.化简2.移项3.配方法实际问题的数学建模和求解1.将实际问题转化为数学问题2.设计数学模型3.求解问题七、教学评估1. 学生评估教师可通过作业和报告，来评估学生对于不等式的实际应用问题解决能力。
2. 教师评估教师可通过课堂表现、自主探究的情况、作业和报告，来评估学生的综合能力。
八、教学资源本课程需要的教学资源包括黑板、粉笔、教科书以及实际应用问题的材料等。
九、拓展延伸本课程可以延伸至其他数学应用问题的解决方法，如代数方程求解、函数图像分析等，能够在一定程度上提高学生的数学综合能力。
