专项：圆周运动中的临界问题探究1水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(讲义)

【专题概述】物理中经常会出现一些词语，“物体恰好运动到最高点”；“恰好过最高点"“绳子刚好不拉断”等等这些词语，则表明有临界状况出现。

水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题.1。

与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力,如果只是摩擦力提供向心力，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.2。

与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例精讲】一、水平方向上的临界问题：水平面内的很多圆周运动都存在临界状态，解答此类问题的关键是发现临界状态,找到临界条件.例如“刚好不发生相对滑动”的临界条件是静摩擦力等于最大静摩擦力、“刚好不离开”的临界条件是接触面间正压力等于零。

下面是火车拐弯问题分析。

在火车转弯处，让外轨高于内轨,如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。

设车轨间距为l，两轨高度差为h,车转弯半径为r，质量为M 的火车运行时应当有多大的速度?据三角形边角关系知sin θ=ℎl ,对火车的受力情况分析得tanθ=F合mg 。

因为θ角很小,所以sin θ≈tan θ，故ℎl =F合mg，所以向心力F合= ℎl Mg。

又因为F合=M v2r，所以车速v=√gℎrl。

由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：（1）火车在弯道处的速度大于√gℎrl时,重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动需要的向心力，火车要挤压外侧车轨,外侧车轨受挤压发生形变产生弹力，补充不足的向心力。

圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。

1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。

（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。

1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。

（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。

二、重难点提示：重点：1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；2. 会用极限法分析临界条件。

难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。

一、水平面内圆周运动临界产生原因1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。

2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。

二、水平面内圆周运动的两种模型1. 圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。

水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。

临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝Rg，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。

下图均为平台转动类甲乙丙2. 火车拐弯类如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg 和轨道支持力N 的合力F 提供火车拐弯时所需的向心力。

圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。

临界条件：若v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。

火车转弯问题类变形：12 345【方法指导】临界问题解题思路1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。

2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

3. 对研究对象进行受力分析。

哪些力存在临界？（摩擦力、弹力）4. 运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F 。

（答题时间：30分钟）1. 如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。

给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。

下列说法中正确的是（ ）A. 小球受重力、细绳的拉力和向心力作用B. 小球受重力、细绳的拉力的作用C. θ 越大，小球运动的线速度越大D. θ 越大，小球运动的线速度越小2. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为，现要使A 不下落，则圆筒转动的角速度至少为 （ ）A. R g μB. g μC. R gD. Rg μ 3. 冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度的最大值是（ ）A. gR kB. kgRC. k gRD. kgR 24. 用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如下图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是下图中的（ ）5. 在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如下图所示，此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为（ ）A. 1∶1B. 1∶2C. 2∶1D. 1∶26. 套着弹簧与小球P 的粗糙细杆固定在如图所示的装置上，弹簧的一端固定在装置的A 点，另一端连接一质量为m 的小球P ，当整个装置静止时，弹簧处于拉伸状态，小球P 离A 点的距离为4L ，离B 点的距离为2L ，那么当整个装置绕竖直中心轴O O '以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是（ ）A. 小球P 一定会更靠近B 点B. 小球P 可能相对B 点距离不变C. 小球P 受到的合力可能为L m 2ωD. 小球受到的静摩擦力一定变小7. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。

精练精讲【5】（圆周运动中的临界问题）【基础模型】一、水平面内的匀速圆周运动的临界问题1、此类问题的解题思路：⑴明确研究对象的受力情况，⑵抓住合力提供向心力这一关键点。

2、注意临界问题，往往都是被动力的临界问题如：绳子达到最大拉力，恰好达到最大摩擦力等。

解题的关键是：确定临界状态并找出满足临界状态的条件。

二、竖直平面内的圆周运动中的临界问题1、轻绳模型：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即，这时的速度是做圆周运动的最小速度．①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：②能过最高点的条件：时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）2、轻杆模型：如图的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）．②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力．③当v＝时，FN＝0．④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大．3、拱桥模型若是图的小球在轨道的最高点时，如果v≥ 此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．【重点精练精讲】一、水平面内的匀速圆周运动的临界问题【例1】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长l＝2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10m/s2)？【思维提升】此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键．【变式练习1】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球(可视为质点)，小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况．【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r．物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同．物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力．二、竖直平面内的圆周运动中的临界问题圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题．【例3】如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．求电机对地面的最大压力和最小压力之差．【拓展】⑴若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?⑵当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力?⑶本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图．若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?【设计意图】通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法．【变式练习2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( BC )A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力【解析】本题考查竖直面内的圆周运动，束缚物是细绳，物体在最高点的最小速度为，此时细绳拉力为零，A错，C对；束缚物是细杆时，如果最高点的速度为，细杆拉力为零，如果v>，细杆为拉力，如果v<，细杆为推力，B对，D错．三、竖直平面内的圆周运动与能量的综合【例4】(2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离．【思维提升】本题侧重考查圆周运动临界条件的应用.物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态.通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键．【变式练习3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点) ．A球的质量为m1，B 球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，试写出m1、m2、R与v0应满足的关系式．【思维提升】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题．【同步作业】1．如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是( ) A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)gB．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为MgC．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m＋M)g2．用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示．设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是图中的( )解析：小球角速度ω较小，未离开锥面时，设线的张力为FT，线的长度为L，锥面对小球的支持力为FN，则有FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，可得出：FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ，可见随ω由0开始增加，FT由mgcosθ开始随ω2的增大，线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，FT•sinα＝mω2Lsinα，得FT＝mω2L，可见FT 随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．答案：C 3．质量为60 kg的体操运动员做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．如图所示，此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10 m/s2) ( )A．600 N B．2400 NC．3000 N D．3600 N4．用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动．若使小球不离开桌面，其转速最大值是( )5．如图所示，一可视为质点的物体质量为m＝1 kg，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点．已知圆弧半径为R＝1.0 m，对应圆心角为θ＝106°，平台与AB连线的高度差为h＝0.8 m．(重力加速度g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：(1)物体平抛的初速度；(2)物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．。

第四章 专题：圆周运动的临界问题一、 水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。

1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝mv 2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

例题1、如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：(1)当转盘的角速度ω1＝ μg2r时，细绳的拉力F 1； (2)当转盘的角速度ω2＝3μg2r时，细绳的拉力F 2.【巩固训练】1如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m 的A 、B 两个小物块，A 离轴心r 1＝20 cm ，B 离轴心r 2＝30 cm ，A 、B 与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍．求：(1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？(2)欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？(3)当圆盘转速达到A 、B 刚好不滑动时，烧断细绳，则A 、B 将怎样运动？(g 取10 m/s 2)2．与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

例题2、如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动．(1)当v1＝gl6时，求线对小球的拉力；(2)当v2＝3gl2时，求线对小球的拉力．【巩固训练】2．铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.已知h·r＝33。