圆周运动中的临界问题

第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。

1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。

它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。

圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是：此时，只有小球的 提供向心力，即 ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度，vmin ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。

类此模型：竖直平面内的内轨道巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。

如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A ．车的加速度为零，受力平衡B ．车对桥的压力比汽车的重力大C ．车处于超重状态D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=gr 两个速度。

①当v ＝0时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球产生 力，且该力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球产生 力。

V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。

类此模型：竖直平面内的管轨道.巩固4：如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时，若小球与球面间弹力为零，则有 = ，v= 。

圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。

1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。

（）m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。

1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）0v C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，rvm mg 20=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。

gr v =00v （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。

专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。

如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。

2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。

（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。

a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。

例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。

当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。

解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。

（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。

圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。

在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。

以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。

当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。

在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。

在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。

根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。

需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。

此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。