圆周运动中的临界问题分析+教案+教学设计

圆周运动实例分析与临界问题【教学要求】1．知道非匀速圆周运动的特点；2．掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条件。

3．会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。

【知识再现】一、火车转弯问题由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使________略高于_________，从而_________和_________ 的合力提供火车拐弯时所需的向心力。

铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：(1)火车在拐弯处运动的“规定速度’’即内外轨均不受压的速度v p=_________；(2)若火车实际速度大于v p，则___轨将受到侧向压力；(3)若火车实际速度小于v p，则___轨将受到侧向压力。

二、“水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力．(1)杯子在最高点的最小速度v min=____．(2)当杯子在最高点速度为v>v min时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v<v min，则杯子不能到达最高点。

知识点一竖直平面内的圆周运动竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况：1、“绳模型”——外轨、绳的约束（1）临界条件：小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，mg=mv临2/r v临=gr即 v临是小球能通过最高点时的最小速度（2）能通过最高点的条件：v≥v临（3）不能通过最高点的条件v<v临。

这种情况实际上小球在到达最高点之前就脱离了轨道2、“杆模型”——管、杆的约束（1）临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。

最低点：最高点：思考：小球过最高点的最小速度是多少gL v T ==22,0当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。

实例一：水流星在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么对杯中水：rmv F mg N 2=+oAvB vv 1Lo Lv mmg T 211=-Lv mmg T 222=+当gr v =时，0=N F 水恰好不流出表演“水流星”，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于gr v = 即：gr v ≥ 实例二：飞车走壁摩托车飞车走壁时的受力情况。

受到一个指向中心的力所以摩托车不会掉下来拓展：物体沿竖直内轨运动有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r ，质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A 的速度应满足什么条件rmv F mg N 2=+思考：小球过最高点的最小速度是多少gr v F N ==0,0当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点；【例1】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝ kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s2) (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小．【思路点拨】：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用．【解析】(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg ＝m v 20l ，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈ m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l ，临界问题：物体在竖直平面内做圆周运动的依托物可以是绳或单轨道，物体恰好能通过最高点的临界条件是一样的。

龙文教育学科导学案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题 圆周运动中的临界问题年级高 一学习目标与考点分析 1.熟练处理水平面内的临界问题 2.掌握竖直面内的临界问题 3.圆周运动动力学特征及应用 4.匀速圆周运动的多解问题 学习重点 1.圆周运动动力学特征及应用 2.匀速圆周运动的多解问题 学习方法分析法，归纳法，讨论法，练习法等学习内容与过程一．水平面内的圆周运动例1： 如图8—1所示水平转盘上放有质量为m 的物快，当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？ 拓展：如o 点与物块连接一细线，求当①ω1=rg2μ时，细线的拉力T 1 ②ω2=rg23μ时，细线的拉力T 2图8—1注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键二．竖直平面内圆周运动中的临界问题图8—2甲 图8—2乙 图8—3甲 图8—3乙1． 如图8—2甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ○1临界条件 ○2能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件 2． 如图8—3甲、乙所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。

对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。

○1能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力○2当0<V<gr 时，杆对小球 ，其大小r .o当v=gr 时，杆对小球当v>gr 时，杆对小球的力为 其大小为____________讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？例2．长度为L=0.50m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0kg 的小球，如图8—4所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，（g=10m/s 2）则此时细杆OA 受的（ ） A. 6.0N 的拉力 B. 6.0N 的压力 C.24N 的压力 D. 24N 的拉力图8—4三 动力学特征及应用物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力且有222)2(Tmr mr r v m ma F F πω=====向向合 方向始终指向圆心 1. 基本概念及规律的应用[例1] 如图3所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时求杆OA 和AB 段对球A 的拉力之比。

《圆周运动的临界问题教学设计》陆川县实验中学李群雄一、教学内容：分析圆周运动的临界问题二、教材分析：理清竖直圆周运动最高点向心力的提供可能与速度大小的关系，解决向心力的提供及需要之间的临界值三、学情分析：强调基础知识和基本思路的确立，加强独立分析问题的能力，理清相关问题思路并加强认知四、设计理念：结合学生的实际，把学生放在学习的主体位置，使学生建立圆周运动的临界体模型，掌握相应的规律。

五、教学目标：用比较法分析圆周运动的临界值出现特征，进行分析，解决问题，进一步理解。

六、教学方法：讲授法、比较分析法、建模法七、教学过程：（1）导入新课：直接导入竖直圆周运动的最高点的速度要求（2）讲授新课：圆周运动的临界问题，主要涉及的是临界力与临界速度的问题，需要正确受力分析，确定所提供的向心力或由运动分析确定所需要的向心力由力的变化与速度的变化的对应关系分析，找出临界值。

竖直平面的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下咋讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题通过分析竖直圆周运动到最高点的受力分析和最高点的速度分析的可能情况，总结得出相关的规律分析轻绳模型和轻杆模型并比较两个模型之间的共同点与区别点轻绳模型小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力，所得出的速度就是临界速度；小球能过最高点的条件：小球的速度大于或等于临界速度，当小球的速度大于临界速度时，绳对小球产生拉力，轨道对球产生压力；小球不能过最高点的条件，小球的速度在最高处的速度小于临界速度，实际上球还没有到最高点时就脱离了轨道。

轻杆模型，杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点，临界速度等于零，此时支持力等于重力0＜V＜√gr，轻杆对球的作用为支持力，有0＜支持力＜重力，且支持力随速度的增大而减小，当速度等于√gr时，作用力等于零，当V＞√gr时，作用力为拉力，作用泪随速度的增大而增大。

物体在没有支撑物时，在竖直平面内做，圆周运动过最高点的临界条件是物体的重力提供向心力，临界速度v=√gr，在其他位置要能做圆周运动，也必须满足，提供的向心力=需要的向心力，物体在有支撑物时，恰能达到最高点的临界速度为零（3）巩固练习（4）小结：教材更加贴近实际，任务里走出课堂，对学生的实际应用有了更高的要求，内容上加入极限思想，对老师要求有扎实的基础知识，课堂组织能力让学生在一个轻松愉快的环境中去获取知识，鼓励学生大胆，对常见现象及熟知事物提出个人意见，通过小结给出必须记忆的核心知识，并加以巩固，为以后竖直圆周运动能量的变化与守恒学习打下扎实的基础。

课程基本信息学科物理年级高三年级学期春季课题匀速圆周运动中的临界问题教科书书名：人教版物理教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年教学目标1、知道物体做圆周运动的求解方法与求解思路。

2、能够准确分析并求解与摩擦力有关的临界极值问题。

3、能够准确分析并求解与弹力有关的临界极值问题。

教学内容教学重点：弹力相关和摩擦力相关的临界问题分析教学难点：分析摩檫力与弹力的变化。

教学过程知识回顾1.圆周运动2.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的条件是“物体间恰好达到最大静摩擦力”。

（1）如果仅是静摩擦力提供向心力，临界情况为最大静摩擦F fm=m v2r，方向沿半径指向圆心。

（2）如果是静摩擦力与其他力的在半径方向的合力提供向心力，则临界时，最大静摩擦力的方向可沿半径指向圆心，或沿半径背离圆心。

教学设计3.与弹力有关的临界极值问题（1）压力和支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为0；（2）绳子拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力，或拉力恰好为最大值。

内容讲解一、例题讲解例题1：如图所示，质量都为m的A、B两物体套在粗糙的水平杆CD上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知杆CD与物块A、B间的动摩擦因数都为μ，开始时绳子恰好伸直但无弹力，A、B到轴的距离分别为2r和r，重力加速度为g。

现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐缓慢增大，从绳子处于自然长度到两物体A、B即将滑动的过程中：（1）.A、B物体谁先达到最大静摩擦力？此时的角速度ω1为多少？（2）.A、B物体所受静摩擦力如何变化？（3）.A、B物体不发生相对滑动的最大角速度ω2为多少？解析：例题2：如图所示，长为L的轻绳下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。

二、拓展延伸1.圆周运动的求解2.静摩擦力相关的临界问题，临界条件是恰好达到最大静摩擦。

专题强化六圆周运动的临界问题【素养目标】 1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题．题型一水平面内圆周运动的临界问题1．运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆．(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．2．过程分析重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．3．方法突破(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．例1 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°.当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取10 m/s2，结果可用根式表示，sin 37°＝，cos 37°＝)．(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向间的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？[教你解决问题]读题审题——完成信息转化[试答]针对训练1.(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲:r乙＝3:1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()A．滑块A和B均与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA:ωB＝1:3B．滑块A和B均与轮盘相对静止时，向心加速度之比为a n A:a n B＝2:9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动2．[2023·湖南四大名校联考]如图所示，足够大的水平光滑圆台中央立着一根光滑的杆，原长为L的轻弹簧(图中未画出)套在杆上，质量均为m的A、B、C三个小球(始终在同一竖直面内，均可视为质点)用两根轻杆通过光滑铰链连接，轻杆长也为L，A球套在竖直杆上，现将A球搁在弹簧上端，当系统处于静止状态时，两轻杆与竖直方向的夹角均为θ＝37°，已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，sin 37°＝，cos 37°＝0.8.(1)求系统静止时轻杆对B的作用力F和弹簧的劲度系数k；(2)让B、C球以相同的角速度绕竖直杆匀速转动，若转动的角速度为ω0(未知)时，B、C球刚要脱离圆台，求此时轻杆与竖直方向夹角θ0的余弦值和角速度ω0.题型二竖直面内圆周运动的临界问题绳—球模型杆—球模型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球物体受到的弹力方向为向下物体受到的弹力方向为向下，等考向1绳—球模型例2 [2023·河北衡水月考]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g，现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为()√3mgA．√3mg B．43C．3mg D．2√3mg[解题心得]考向2杆—球模型例3 [2023·汕头模拟](多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率v N，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与v N2的关系图像如图乙，c 为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若小球经过N点时满足v N2＝c，则经过M点时对轨道无压力B.当小球经过N点时满足v N2＝√2c，则经过M点时对内管道壁有压力C．小球做圆周运动的半径为c5gD．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0[解题心得]针对训练3.某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图所示的装置，竖直放置的光滑圆弧轨道AM与光滑圆轨道(圆心为O1)在M点相切，圆轨道底端稍错开，水平轨道的N点有—个以O2为圆心的稍微凸起的光滑小圆弧，其中N点为圆弧的最高点，在B、N点安装有压力传感器并与计算机连接．已知圆O1、圆O2半径相等，均为R，M、N两点水平距离为x＝8R.一质量为m的小物块(可视为质点)从h高处的A点无初速度滑下，经过B、N点时对轨道的压力大小都是1mg，g为重力加速度，B点为圆O1的最高点，则有()2A．A点所处高度h＝RB．物块滑过M点时的向心加速度a n M＝gC．小物块与水平轨道MN间的动摩擦因数μ＝D．减小高度h，小物块经过B、N点时对轨道的压力一定减小专题强化六圆周运动的临界问题题型一例1解析：(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线的拉力，如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得mg tan θ＝mω02l sin θ 解得ω0＝ √gl cos θ＝52√2 rad/s.(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式有 mg tan 60°＝mω′2l sin 60° 解得ω′＝ √gl cos 60°＝2√5 rad/s. 答案：(1)52√2 rad/s (2)2√5 rad/s1．解析：由题意可知两轮盘边缘的线速度v 大小相等，由v ＝ωr 可知，ω甲：ω乙＝1：3，所以两滑块均与轮盘相对静止时，A 、B 的角速度之比为ωA ：ωB ＝1：3，故A 正确；两滑块均与轮盘相对静止时，根据a n ＝Rω2，得A 、B 的向心加速度之比为a n A ：a n B ＝2：9，故B 正确；根据题意可得滑块的最大静摩擦力为F f ＝μmg ，转动中所受的静摩擦力之比为F fA ′：F fB ′＝ma A ：ma B ＝2：9，可知滑块B 先达到最大静摩擦力，先开始滑动，故C 正确，D错误．答案：ABC2．解析：(1)圆台光滑，对B 球进行受力分析，一定受重力和平台的支持力，如果轻杆对B 有作用力，则B 球不可能平衡，故轻杆对B 球的作用力F ＝0弹簧的形变量ΔL ＝L －L cos θ对A 进行受力分析，由平衡条件有k ΔL ＝mg代入数据得弹簧的劲度系数k＝5mgL.(2)对A、B、C三个小球整体分析，B、C刚要脱离圆台时，在竖直方向上有k(L－L cosθ0)＝3 mg，代入数据得cos θ0＝25对B进行受力分析，有mg tan θ0＝mω02L sin θ0代入数据得ω0＝√5g2L.答案：(1)05mgL (2)25√5g2L例2解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，由几何关系知，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r＝L cos θ＝√32L，根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m v2r，小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F T，则有2F T cos θ＋mg＝m(2v)2r，解得F T＝√3mg，故A正确．答案：A例3解析：由题图可知，若小球经过N点时满足v N2＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足v N2＝√2c时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足v N2＝c，则在M点时mg＝m v M2R，由机械能守恒可得12mv N2＝mg·2R+12mv M2，联立解得R＝c5g，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D 错误．答案：AC3．解析：物块从A→M→B的过程中机械能守恒，则有mgh＝12mv M2＝mg·2R+12mv B2，且物块在B点时有mg＋N B＝m v B2R ，在M点时有N M－mg＝m v M2R，又N B＝12mg，解得h＝R，N M＝mg，A正确；对小物块在M点，由牛顿第二定律得N M－mg＝ma M，解得物块在M点的向心加速度a M＝g，B正确；物块从M→N过程中由动能定理有－μmgx＝12mv N2−12mv M2，且物块在N点时有mg－N N＝m v N2R ，又知N N＝12mg，解得μ＝5，C错误；减小高度h，由能量守恒知小物块经过M、B、N点时速度减小，由向心力公式知，小物块经过B点时对轨道的弹力减小，经过N点时对轨道的弹力增大，D错误．答案：AB。

圆周运动中的临界问题教学设计汕头市潮阳实验学校叶建森一．教学任务分析以圆盘和滑块为载体的圆周运动问题经常作为高考座上的“座上宾”，它是考试的热点和学习的难点；而竖直面内的圆周运动是曲线运动的重要知识点，更是高考中的重点考查内容之一，高考中有关圆周运动的试题往往涉及临界或极值问题，出题的方式既可以是计算题也可以是选择题，对考生的要求较高，所以弄清不同模型的临界条件是分析解决这类问题的关键。

二．学情分析与设计思想物理学中的临界问题一直是学生难以掌握的知识难点，虽然高一到高二我们在很多方面都讲过临界问题，比如追及与相遇中有临界问题、牛顿第二定律的综合应用中有临界问题、平抛有临界问题等等。

但是学生在碰到这些临界问题时往往无从下手，因为他们对临界状态的分析能力不足，他们缺乏感性认识，所以对临界点的把握处于一个比较模糊的状态。

本节课我们想借助圆周运动中的临界问题，以基本模型为原型，进行拓展、延伸和变化，从题目中的难题进行拆解然后一步一步还原，在每一步的还原中架设一级一级的台阶，带领学生领悟圆周运动中的力的渐变过程和解题奥妙，再加上现场实验的演示，更近一步促进学生对临界问题的感悟和认识，从而帮助学生解决相应的问题。

三．教学重难点如何分析和解决圆周运动中的临界问题四．教学设计本节课在课前根据老师们以往的教学经验精心组编和筛选了三道经典例题先发给学生去完成，教师对学生可能出现的错误情况进行预估预判，可能出现的问题有哪些，然后根据可能出现的错误进行课程内容的设计，特别是给学生的第一道题，难度较大，学生的解题情况可能各式各样的都有，出现的原因是学生对圆台上连接体临界问题认识不到位，导致分析思路较为混乱，学生也很想知道这类问题的解题技巧及分析思路是什么，从而激起了学生的求知欲望，然后老师通过难题的拆解，一步一步带领学生认识达到临界状态前的一个受力的渐变过程，从而让学生掌握处理此类问题的技巧。

五．教学流程（一）课题引入展示例题，该题是昨天留给学生的作业的第一题例1：如图，质量为m的小木块A和质量为2m的小木块B(可视为质点)放在水平圆盘上，A、B与转轴O的距离分别为l和2l,A、B与转盘间的动摩擦因数为μ，A与B用一根不可伸长的细线连接(初始状态拉力为0)，现让转盘角速度从零开始缓慢增加,若要使A、B与转台保持相对静止，则角速度的最大值为多少？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）此例题的作用是让学生根据自己以往学过的知识大胆去处理，并从中发现不足，这个例题的难度系数是比较大的，学生的解答肯定是乱七八糟的什么样的答案和结果都有。

专题强化六圆周运动的临界问题目标要求 1.掌握水平面内、竖直面内和斜面上的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题．题型一水平面内圆周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．1．常见的临界情况(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．2．分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．例1(2018·浙江11月选考·9)如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 NC．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2答案 D解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩车转弯的速度为20 m/s时，根据F＝m v2R＝擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a m＝fm7.0 m/s 2，D 正确．例2 (多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 小木块a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f ＝mω2R .当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有f a ＝mωa 2l ，当f a ＝kmg 时，kmg ＝mωa 2l ，ωa ＝kgl；对木块b 有f b ＝mωb 2·2l ，当f b ＝kmg 时，kmg ＝mωb 2·2l ，ωb ＝kg2l，则ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 比a 先开始滑动，选项A 、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝mω2l ，则f b ＝mω2·2l ，f a <f b ，选项B 错误；ω＝2kg3l<ωa ＝kg l ，a 没有滑动，则f a ′＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误． 例3 细绳一端系住一个质量为m 的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h 高度处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g .若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )A.12πg l B ．2πgh C.12πh gD.12πg h答案 D解析 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg 、水平桌面支持力N 、绳子拉力F .小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R ＝h tan θ，受力分析可知F cos θ＋N ＝mg ，F sin θ＝m v 2R ＝mω2R ＝4m π2n 2R ＝4m π2n 2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，N ＝0，转速n 有最大值，此时n m ＝12πgh，故选D. 例4 (多选)(2023·湖北省公安县等六县质检)如图所示，AB 为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m 1＝5 kg 的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC (悬点为B )在结点C 处共同连着一质量为m 2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N ，细绳BC 能承受的最大拉力为27.6 N ．圆筒顶端A 到C 点的距离l 1＝1.5 m ，细绳BC 刚好被水平拉直时长l 2＝0.9 m ，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC 绳被拉直之前，用手拿着m 1，保证其位置不变，在BC 绳被拉直之后，放开m 1，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大B ．当角速度ω＝53 3 rad/s 时，BC 绳刚好被拉直C ．当角速度ω＝3 rad/s 时，AC 绳刚好被拉断D ．当角速度ω＝4 rad/s 时，BC 绳刚好被拉断 答案 ABD解析 转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m 2竖直方向处于平衡，由T A cos θ＝m 2g ，可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，A 正确；BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝35，对小球m 2受力分析，由牛顿第二定律可知m 2g tan θ＝m 2ω12l 2，解得ω1＝53 3 rad/s ，B 正确；当ω＝3 rad/s>533 rad/s ，BC 绳被拉直且放开了m 1，m 1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不变且为50 N ，小于AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，C 错误；对小球m 2，竖直方向有m1g cos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1g sin θ＋T BC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确．题型二竖直面内圆周运动的临界问题1．两类模型对比轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图F弹向下或等于零F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝mv2R mg±F弹＝mv2R临界特征F弹＝0mg＝mv min2R即v min＝gRv＝0即F向＝0F弹＝mg讨论分析(1)最高点，若v≥gR，F弹＋mg＝mv2R，绳或轨道对球产生弹力F弹(2)若v<gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心(2)当0<v<gR时，mg－F弹＝mv2R，F弹背离圆心并随v的增大而减小(3)当v＝gR时，F弹＝0(4)当v>gR时，mg＋F弹＝mv2R，F弹指向圆心并随v的增大而增大2.解题技巧(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．例5 (2023·陕西延安市黄陵中学)如图所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g ＝10 m/s 2，下列说法不正确的是( )A ．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/sB ．当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力为15 NC ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 2 m/sD ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案 D解析 设小球通过最高点时的最小速度为v 0，则根据牛顿第二定律有mg ＝m v 02R ，解得v 0＝2m/s ，故A 正确；当小球在最高点的速度为v 1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为T ，根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12R ，解得T ＝15 N ，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有T m －mg ＝m v m 2R ，解得v m ＝4 2 m/s ，故C 正确，D 错误．例6 (多选)(2023·福建泉州市质检)如图甲所示，质量为m 的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点O 在竖直平面内做圆周运动，从小球经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小F 随杆转过角度θ的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，重力加速度大小为g ，则( )A ．当θ＝0时，小球的速度为0B ．当θ＝π时，力F 的大小为6mgC ．当θ＝π2时，小球受到的合力大于3mgD ．当θ＝π时，小球的加速度大小为6g 答案 BC解析 当θ＝0时，刚好由重力提供向心力，则mg ＝m v 2l ，解得v ＝gl ，A 错误；当θ＝π时，由合力提供向心力得F －mg ＝ma ＝m v ′2l ，最高点到最低点，由动能定理得mg ·2l ＝12m v ′2－12m v 2，联立解得F ＝6mg ，a ＝5g ，B 正确，D 错误；当θ＝π2时，由水平方向上的合力提供向心力得F 合x ＝m v ′′2l ，角度由θ＝0变为θ＝π2过程中，由动能定理得mgl ＝12m v ′′2－12m v 2，解得F 合x ＝3mg .当θ＝π2时，小球受到的合力大小为F 合＝F 合x 2＋(mg )2＝10mg >3mg ，C 正确．题型三 斜面上圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R .例7 (多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m 处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则以下说法中正确的是( )A ．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B ．小物体受到的摩擦力可能背离圆心C ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是1.0 rad/sD ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是 3 rad/s 答案 BC解析 当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A 错误，B 正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 N ＝mg cos 30°，摩擦力f ＝μN ＝μmg cos 30°，又μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2R ，解得ω＝1.0 rad/s ，故C 正确，D 错误．课时精练1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s ，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为( ) A ．15 m/s B ．20 m/s C ．25 m/s D ．30 m/s答案 B解析 当N ′＝N ＝34G 时，有G －N ′＝m v 2r ，所以14G ＝m v 2r ；当N ＝0时，G ＝m v ′2r ，所以v ′＝2v ＝20 m/s ，选项B 正确．2.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l ＝1 m 的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )A ．小球受重力、支持力、拉力和向心力B ．小球可能只受拉力和重力C ．当ω＝52 2 rad/s 时，小球对锥体的压力刚好为零D ．当ω＝2 5 rad/s 时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案 BC解析 转速较小时，小球紧贴锥体，则T cos θ＋N sin θ＝mg ，T sin θ－N cos θ＝mω2l sin θ，随着转速的增加，T 增大，N 减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mg tan θ＝mω02l sin θ，解得ω0＝52 2 rad/s ，A 错误，B 、C 正确；当ω＝2 5 rad/s 时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D 错误．3.(多选)(2023·湖北省华大新高考联盟名校联考)如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB 水平、OA 竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B 点以某一初速度v 0进入细管，之后从管内的A 点以大小为v A 的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>3gR B ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gRC ．为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2D ．小球从A 点飞出的水平初速度必须满足v A >gR ，因而不可能使小球从A 点水平飞出后再返回B 点 答案 BC解析 小球能从A 点飞出，则在A 点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有12m v 02>mgR ，则小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gR ，选项A 错误，B 正确；为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，则R ＝v A t ，R ＝12gt 2，联立解得v A ＝gR 2，12m v 02＝mgR ＋12m v A 2，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2，选项C 正确；要使小球从A 点飞出，则小球在A 点的速度大于零即可，由选项C 的分析可知，只要小球在A 点的速度为gR2，小球就能从A 点水平飞出后再返回B点，选项D错误．4.(2023·福建省百校联考)半径为R的内壁光滑的圆环形轨道固定在水平桌面上，轨道的正上方和正下方分别有质量为m A和m B的小球A和B，A的质量是B的两倍，它们在轨道内沿逆时针方向滚动，经过最低点时速率相等；当B在最低点时，A球恰好在最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为g.则小球在最低点的速率可表示为()A.3gRB.5gRC.11gR D．25gR答案 C解析设小球A、B在最低点时速率为v1，对A、B在最低点，由牛顿第二定律可得N A1－m A g＝m A v12R ，N B－m B g＝m B v12R，小球A从最低点运动到最高点(速率为v2)过程，由动能定理可得－2m A gR＝12m A v22－12m A v12，小球A在最高点时，由牛顿第二定律可得N A2＋m A g＝m Av22R，由题意知N A2＝N B，m A＝2m B，联立以上各式可解得v1＝11gR，故选C.5.(2023·湖南岳阳市第十四中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．B对A的摩擦力一定为3mω2rC．转台的角速度需要满足ω≤μg rD．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体答案 B解析 由于物体 A 、B 及物体 C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B 对A 的摩擦力一定为f A ＝3mω2r ，又有0<f A ≤f max ＝3μmg ，由于角速度大小不确定，B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg ，A 错误，B 正确；若物体A 达到最大静摩擦力，则3μmg ＝3mω12r ，解得ω1＝μgr，若转台对物体B 达到最大静摩擦力，对A 、B 整体有5μmg ＝5mω22r ，解得ω2＝μg r，若物体C 达到最大静摩擦力，则μmg ＝mω32×1.5r ，解得ω3＝2μg3r，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体 A 、B 及物体 C 均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝2μg3r，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C 所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C 物体，C 、D 错误．6．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B (均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( )A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gLC ．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L，解得F ＝1.5mg ，即杆受到的弹力大小为1.5mg ，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误．7.(2023·重庆市西南大学附属中学月考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长L＝0.8 m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05 kg的小球(可视为质点)，小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2.要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A．4 m/s B．210 m/sC．2 5 m/s D．2 2 m/s答案 A解析小球恰好到达A点时的速度大小为v A＝0，此时对应B点的速度最小，设为v B，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有12m v B2－12m v A2＝2mgL sin α，代入数据解得v B＝4 m/s，故选A.8.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)()A．当ω>2Kg3L时，A、B会相对于转盘滑动B．当ω>Kg2L，绳子一定有弹力C．ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0<ω<2Kg3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大答案ABD解析当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝2Kg3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝Kg2L ，可知当ω>Kg2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>Kg2L时，B已达到最大静摩擦力，则ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<2Kg3L范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由f－T＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．9．(多选)(2023·湖北省重点中学检测)如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是()A．铁球可能做匀速圆周运动B．铁球绕轨道转动时机械能守恒C．铁球在A点的速度一定大于或等于gRD．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg答案BD解析铁球绕轨道转动受到重力、轨道的磁性引力和轨道的弹力作用，而轨道的磁性引力和弹力总是与速度方向垂直，故只有重力对铁球做功，铁球做变速圆周运动，铁球绕轨道转动时机械能守恒，选项B正确，A错误；铁球在A点时，有mg＋F吸－N A＝m v A2R，当N A＝mg＋F吸时，v A＝0，选项C错误；铁球从A到B的过程，由动能定理有2mgR＝12m v B2－12m v A2，当v A＝0时，铁球在B点的速度最小，解得v B min＝2gR，球在B点处，轨道对铁球的磁性引力最大，F吸－mg－N B＝m v B2R，当v B＝v B min＝2gR且N B＝0时，解得F吸min＝5mg，故要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg ，选项D 正确．10.(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R ＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v 0＝3.5 m/s 的初速度进入轨道，g ＝10 m/s 2，则( )A ．小球不会脱离圆轨道B ．小球会脱离圆轨道C ．小球脱离轨道时的速度大小为72m/s D ．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 答案 BCD解析 若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ＝ 3.5 m/s ，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得12m v 0′2＝mg ·2R ＋12m v 2，解得v 0′＝702m/s>v 0＝3.5 m/s ，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故A 错误，B 正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示．在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mg sin θ＝m v 12R ，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得12m v 02＝mgR (1＋sin θ)＋12m v 12，联立解得sin θ＝12，即θ＝30°，则v 1＝gR sin θ＝72m/s ，故C 、D 正确．。

学习必备 欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v gR =0(2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v =0 (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N mg =；②当0v gR <<时，因2v mg N m R -=,则2v N mg m R=-.轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mg N >>．③当v gR =时，0N =；④当v gR >时，则2v mg N m R +=，即2v N m mg R=-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v ≠gR (应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g 月，若在其他天体上则把g 换成g 天体.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?图1 图2图3 图4【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg =临界，根据机械能守恒定律得2122mgh mg R mv =⋅+临界把v Rg =临界代入上式得：min 52h R =．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F qE =，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有2Bv mg N qE m R+-=要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为2Bv mg qE m R-= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv -⋅-= ②解之得：min 52h R =说明 把②式中的mg qE -换成2B v m R，较容易求出min 52h R =【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为：2Bv mg qE m R+= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由上述二式解得：min 52h R = 小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．例2中1v Rg =临界，211122mg h mg R mv =⋅+临界；图5图6例3中2v Rg =临界，222122mg h mg R mv =⋅+临界．把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故min 52h R =． 【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为2BB v mg qv B m R += ①2122B mgh mg R mv =⋅+， ②由①式可得: 224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2222min242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为 2BB v mg qv B qE m R++= ①21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由①式可得: 24()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=±++⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即图7图 824()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦则222min42()()8()R m h R qB qB mg qE m mg qE R ⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N =．【例6】如图9所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2m R =的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.010V/m E =⨯.一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

圆周运动临界状态分析导学案班级姓名【学习目标】1、了解竖直平面内的圆周运动（绳模型、杆模型）在最高点与最低点的向心力分析及其在最高点的临界状态分析。

2、了解水平面内圆周运动模型的向心力来源，能够对向心力的临界状态加以分析。

3、初步了解圆锥摆模型的相关临界状态分析；能够构建力的直角坐标系具体分析相关问题。

【问题探究】阅读练习册27页‘四、圆周运动的临界问题’回答下列探究问题：探究一、‘绳模型’可以分为两类：○1、绳连接小球在竖直平面运动（图1）；○2、小球在轨道内侧做圆周运动（比如过山车，图2）1、通过学习练习册27页内容和观察图1图2，总结绳模型在最高点的受力特点，讨论为什么将图1和图2两种情况归纳为同种模型：2、在右图中分别作出小球在最高点和最低点的受力分析图，列出向心力表达式。

图1中：（1）最高点向心力=向F临界问题：通过表达式讨论，最高点向心力最小为多少？此时最高点的线速度表达式为=v（2）最低点=向F图2中：（1）最高点向心力=向F临界问题：要通过最高点，小球线速度至少为；若小于这个速度，小球能否到达最高点，完成完整的圆周运动？（2）最低点=向F3、讨论课本35页发展空间关于水流星的问题。

【习题达标】完成题目：练习册28页1题、5题、6题参考题目：目标测试卷16页7题、19页10题；探究二、‘杆模型’可以分为两类；○1轻杆（不考虑杆的质量）连接小球在竖直平面做圆周运动（图3）；○2小球在环形管道内做竖直平面的圆周运动（图4）；1、通过学习练习册27页内容和观察图3图4，总结杆模型在最高点的受力特点，讨论为什么将图3和图4两种情况归纳为同种模型：2、在右图中分别作出小球在最高点和最低点的所有可能的受力分析图，列出向心力表达式：图3中：（1）在最高点，由于杆模型既可以对小球提供向下的拉力，也可以提供向上的支持力，所以最高点向心力=向F或=向F临界问题：（1）小球在最高点是否一定要受到杆（管道）给它的弹力（无论向上还是向下）？若是不受弹力，什么力提供向心力？此时的最高点线速度=v以这个线速度为判断标准，试讨论如何确定小球在最高点受到的是向上的支持力还是向下的拉力？（2）杆模型中，小球能够完成圆周运动的临界条件，在最高点的最小速度可以为，此时小球的合力=合F（3）最低点=向F同理分析图4管道模型小球在最高点和最低点的临界情况。