北京邮电大学信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案

10．（5分）解：因为 ， ，又因为： ，因此，由傅立叶变换的频域卷积性质，有
又因为： ，因此， 的最高频率为： ，根据采样定理可知：最大采样间隔应为：
11．（5分）解：因为：
由系统函数定义可得： ，令 得系统的频率响应为：
。很显然，系统的幅频响应 是一个与频率无关的常数，相位 为线性相位，因此，该系统是一个无失真的传输系统。
图A-4
5.（5分）系统1是一个 的高通RC电路，系统2是一个 的低通滤波器。
（a）求它们并联的冲激响应
（b）求系统1与系统2串联的冲激响应
6.（5分）若图A-5所示信号 的傅立叶变换为： ，求 的傅立叶变换 。
图A-5
7.（10分）考察周期T=2的连续时间周期信号 ，傅立叶级数系数 如下，求 的傅立叶级数表达式。
4．（13分）解：
（1）由图可知，系统函数为：
因为： ，即 ，所以得系统函数为：
对上式取单边拉普拉斯逆变换，得系统单位冲激响应为：
（2）由于 ，所以有
由单边拉普拉斯变换的微分性质，得系统输入输出微分方程为：
（3）
当激励 时，系统的稳态响应为：
因为： ，代入上式，得
5．（15分）解：
（1）由图可得： ，即
确定通过理想低通滤波器可从 中恢复 的最大抽样间隔T。
图A-6
11.（5分）若某系统输入信号为 ，输出信号为
此系统是否为无失真传输系统，说明理由。
12.（15分）连续时间LTI系统输入 与输出 关系由下列微分方程确定
（a）确定系统的传输函数
（b）画出 的零极点图
（c）对于所有可能的收敛域（ROCs）情况，求满足以下各条件的每个系统的冲激响应 ：
(a)在零状态条件下，对系统输入输出微分方程取单边拉普拉斯变换，得
由系统函数定义，有
对上式取单边拉普拉斯逆变换即得系统的单位冲激响应为：
(b)由于系统的两个极点－2和－4全部在S左半平面，因此，收敛域包含了 轴，因此，系统的频率响应函数为：
(c)因为 ，因此， ，取单边拉普拉斯逆变换，得系统响应为： 。
C. ， D. ，
7.求信号 的周期（）
A. 4 B.2 C.0.2 D. 0.5
二、填空题（每小题3分共27分）
1. __________。
2.已知 ，则 __________。
3.两个时间函数 在 区间内相互正交的条件是__________。
4.已知冲激序列 ，其指数形式的傅立叶级数为__________。
(1)
因为： ，即
(2)
式（1）代入式（2），得
(3)
又因为：
(4)
式（3）代入式（4），可得
由系统函数的定义，有
（2）因为：
所以，有
在零状态条件下，由单边Z变换的位移性质可得系统的输入输出差分方程为：
（3）因为：
由： 可得系统的单位样值响应为
6．（10分）证明：因为单位门信号的傅立叶变换对为： ，由傅立叶变换的对称性可知： 。设 ，则有： 。由Parsval定理，可得：
由图可知： ，根据傅立叶变换的调制性质，有
，B点信号的频谱如图A-11(b)所示。
因为： ，很显然，只有 范围的频率分量才可以通过系统。C点信号的频谱如图A-11(c)所示。
(a) (b)
(c)
图A-11
5．解：
系统的零点为： ；极点为： ，零极点图如图A-12(a)所示。
由于极点在单位圆内，因此，系统的频率响应为：
图A-7
14.（15分）时间离散系统如图A-8所示
（a）写出系统的差分方程式；
（b）求系统函数 ；
（c）求系统的单位样值响应。
图A-8
15.（15分）时间离散LTI系统由下列差分方程描述：
（a）确定系统的频率响应函数 和单位样值响应 ；
（b）求幅频特性 的表达式；
（c）画出幅频特性图 。
（d）根据幅频特性图，确定系统是低通、高通还是带通。
当输入为： 时，系统的零状态响应为
3．（8分）解：（1）设输入端求和器的输出为： ，对于输入端求和器，有
(1)
对于输出端求和器，有
(2)
由式（1）和（2）消去中间变量 ，得
整理，得
(3)
将 代入式（3），得
（2）由于系统函数的极点为： ，为了使系统稳定，系统极点应该在 左半平面，即要求： ，因此， 。
图A-6
5.（15分）离散系统如图A-7所示
图A-7
（1）求系统函数
（2）写出系统的差分方程式；
（3）求系统的单位样值响应。
6.（10分）证明： 。（利用傅立叶变换性质）
参考答案：
一、单项选择题（每小题题3分，共21分）
1．选B。理由是：因为： ，所以有：
2．选B。理由是：因为： ，所以有：
3．选B。理由是： ，由拉普拉斯变换的时域卷积性质，有： 。又因为： ，因而有： ，从而得： 。
(a) (b)
图A-9
（2）信号的功率谱为
3．解：因为： ，又因为： ，由傅立叶变换的对称性可知： 。设 ，得
，即 ，因此，有
频谱图如图A-10所示。
图A-10
4．解：
由 可知， 是一个周期信号，且周期为： ，指数形式的傅立叶级数系数为： ，因此， 的频谱为：
，A点信号的频谱如图A-11(a)所示。
(b)由图A-13可得： ，因此，系统函数为：
图A-13
(c)将 、 、 代入 ，可得
很显然，系统有一对共轭复极点： ，因此，系统是振荡的。又由于共轭极点的实部为负数，因此，系统是衰减振荡的。
14．（15分）解：
(a)由图可得：
整理得：
(1)
根据单边Z变换的位移性质，得系统的差分方程为
(b)由式（1）可得系统函数为
9.为使线性时不变离散系统是稳定的，其系统函数 的极点必须在Z平面的_________。
三、画图题（每小题8分共40分）
1.已知 波形如图A-2所示，试画出 的波形。
图A-2
2.周期信号
（1）画出单边幅度谱和相位谱图；
（2）计算并画出信号的功率谱
3.求图A-3所示信号 的傅立叶变换，并画出频谱图。
图A-3
。
（2）系统是因果的，则收敛域应为 ，所以有：
。
（3）系统不稳定也非因果，则收敛域 ，且极点全部在S右半平面。因为极点 在S左半平面，因此需要对其进行变换，即记 ，则 ，所以有： ，即： ，从而得：
。
13．（15分）解：因为： ； ，取拉普拉斯变换，得
； ，即 。
(a)系统的S域模型如图A-13所示。
4．选A。理由是：因为： ，又由于： ，由傅立叶变换的翻转性质可得： ，根据傅立叶变换的时移性质，得
5．选B。理由是：根据采样定理，有： ，
6．选A。理由是： ， 。
7．选A。理由是：设周期为 ，如果： ，则有： ，所以， 。
二、填空题（每小题3分，共27分）
1． ；2. ；3. ；4. ；5. ；
6． ， ；
7． ；
8． ；9.单位圆内。
三、画图题（每小题8分，共40分）
1．解：
设 ，则有： 时， ； 时， ； 时， ； 时， 。因此，对应的 波形如图A-8所示。
图A-8
2．解：
（1）因为 ，因此，幅度频谱为：
， ， ，其余为0。
相位频谱为： ， ，其余为0。单边幅度频谱和相位频谱如图A-9所示。
，other n
8.（10分）设 ，利用傅立叶变换性质和灵活方法，求 的傅立叶变换（不用傅立叶变换定义直接求）。
9.（10分）稳定的因果LTI系统输入输出关系由下列微分方程确定
（a）求系统的冲激响应 ；
（b）求系统的频率响应函数 ；
（c）当输入 时，计算输出
10.（5分）图A-6所示两个带限信号 和 的乘积被一周期冲激序列 抽样，其中 带限于 ， 带限于 ，即
（1）系统是稳定的；（2）系统是因果的；（3）系统既不稳定也不是因果系统的。
13.（15分）图A-7所示RLC电路实现的连续时间LTI系统，系统的输入为电压源 ，电路中的电流 作为系统的输出。
（a）画出这个系统的s域模型图；
（b）求系统的系统函数
（c）如果 ， 和 ，确定系统是衰减振荡，临界振荡还是不振荡。
和 的波形分别如图A-9(a)、(b)所ห้องสมุดไป่ตู้。
(a) (b)
图A-9
2．（5分）解：
因为 ； ；
，因此，其波形分别如图A-10(a)、(b)、(c)所示。
(a) (b) (c)
图A-10
3．（7分）解：
因为 ； 。由时域卷积的微积分性质和时移性质，有
其波形如图A-11所示。
图A-11
4．（5分）解：
因为 ，因此有
3.（8分）图A-5所示系统中，已知 且 ，
（1）求子系统 ；
（2）欲使子系统 为稳定系统，试确定K的取值范围。
图A-5
4.（13分）已知某因果LTI系统的系统函数 的零极点如图A-6所示，且 ，求：
（1）系统函数 及冲激响应 ；
（2）写出关联系统的输入输出的微分方程；
（3）已知系统稳定，求 ，当激励为 时，求系统的稳态响应。
5.若连续线性时不变系统的输入信号为 ，响应为 ，则系统无畸变传输的时域表示式为 =__________。
6.利用初值定理和终值定理分别求 原函数的初值 =__________，终值 =__________。
7.序列 的Z变换为 ，序列 用单位样值信号表示，则 =__________。
8. 的Z变换式 =__________。
此外，也可从时域来分析：因为： ，即输出信号仅仅是输入信号的延迟，波形并没有发生变化，因而是无失真传输系统。