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1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 2ρ . 2 2 2 σ1σ2 1 ρ σ1 σ2
于是 ( X1 , X 2 ) 的概率密度可写成
f ( x1 , x 2 ) 1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ). 22 12 ( 2π) (det C ) 2
2. n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 服从 n 维正 态分布的充要条件是 X 1 , X 2 , , X n 的任意的线 性组合 l1 X 1 l2 X 2 ln X n 服从一维正态分布 (其中 l1 , l2 ,, ln 不全为零) .
3.若( X 1 , X 2 ,, X n )服从n维正态分布, 设Y1 ,, Yk 是 X j ( j 1,2,, n) 的线性函数, 则 (Y1 ,Y2 ,,Yk ) 也服从多维正态分布 . 线性变换不变性
第四节
矩、协方差矩阵
一、基本概念
二、n 维正态变量的性质 三、小结
一、基本概念
1.定义
设 X 和 Y 是随机变量, 若E ( X k ), k 1,2, 存在, 称它为 X 的 k 阶原点矩, 简称 k 阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
存在, 称它为 X 的 k 阶中心矩. k l 若 E ( X Y ), k , l 1,2, 存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合矩. 若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l }, k , l 1,2, 存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心矩.
c11 μ1 E ( X 1 ) μ2 E ( X 2 ) C c21 μ , c μ E( X ) n1 n n c12 c22 cn 2 c1n c2 n . cnn
c11 c12 C c21 c22
其中 c11 E{[ X1 E ( X1 )]2 },
c12 E{[ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]}, c21 E{[ X 2 E ( X 2 )][ X 1 E ( X 1 )]},
4.设( X 1 ,, X n )服从n维正态分布, 则 “X 1 , X 2 ,, X n 相互独立” 与 “X 1 , X 2 ,, X n 两两 不相关” 是等价的.
三、小结
1. 矩是随机变量的数字特征 .
随机变量 X 的 ; 数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D( X ) 是 X 的二阶中心矩 协方差 Cov( X ,Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 .
机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩 E{[ X E ( X )]4 } 主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.
3. 协方差矩阵
设 n 维随机变量( X 1 , X 2 ,, X n )的二阶混合 中心矩 c ij Cov( X i , X j ) E{[ X i E ( X i )][ X j E ( X j )]
x1 引入矩阵 X , x2
2 c11 c12 σ1 C c21 c22 ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 , 2 σ2
由此可得
C
1 2 σ 1 2 det C ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 2 σ1 ρσ1σ 2 . 2 σ1
2.正态变量是最重要的随机变量，其性质一定 要熟练掌握.
2 σ2 1 2 2 2 σ1 σ 2 (1 ρ ) ρσ1σ 2
由于
( X μ ) T C 1 ( X μ )
2 σ2 1 ( x1 μ1 , x2 μ2 ) ρσ σ det C 1 2
ρσ1σ 2 x1 μ1 2 σ1 x2 μ2
二、n 维正态 X 2 ,, X n )的每一个分 量X i , i 1, 2,, n 都是正态变量 ; 反之, 若 X 1 , X 2 ,, X n 都是正态变量, 且相互 独立 , 则 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 n 维正态变量.
由于
f ( x1 , x2 ) 1 2πσ1σ 2 1 ρ2
1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 exp 2ρ . 2 2 2 σ 1σ 2 σ1 σ2 2(1 ρ )
μ1 μ . μ2 c11 c12 , 及 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵C c21 c22
c22 E{[ X 2 E ( X 2 )]2 }.
由于 cij c ji ( i , j 1,2,, n) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量( X 1 , X 2 ) 为例.
2. 说明
(1) 以上数字特征都是随机 变量函数的数学期望 ; ( 2) 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原
点矩, 方差为二阶中心矩 , 协方差 Cov( X ,Y )是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 ; ( 3) 在实际应用中 ,高于 4 阶的矩很少使用 . 3 三阶中心矩E{[ X E ( X )] }主要用来衡量随
n 维随机变量( X 1 , X 2 ,, X n )的概率密度可表 示为 f ( x1 , x 2 ,, x n )
1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ) . n2 12 ( 2π) (det C ) 2
推广
其中X ( x1 , x 2 ,, x n )T ,
i , j 1,2,, n 都存在, 则称矩阵
c11 c 21 C c n1 c12 c1n c 22 c 2 n c n 2 c nn
为 n 维随机变量的协方差矩阵.
例如 二维随机变量( X1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
