组合数的性质与综合应用.

组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。

用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。

二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。

2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。

三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。

2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。

四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。

第2课时 组合数的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.某国际会议中心有A 、B 、C 、D 和E 共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？组合数的性质(1)C m n ＝C n －mn ； (2)C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C 1m ＋C 2m ＝C 3m ＋1(m ≥2且m ∈N *)．( )(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C 12C 16种． (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C 24种不同分法．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4D [由C x 6＝C 26可知x ＝2或x ＝6－2＝4.故选D.] 3．C 58＋C 68的值为________． 84 [C 58＋C 68＝C 69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.]4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．96 [甲选修2门，有C 24＝6(种)不同方案． 乙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案． 丙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]组合数的性质81007(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n (n ＞0，n ∈N )．[解](1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .性质“C m n ＝C n －mn ”的意义及作用[跟进训练]1．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0.] (2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C7n＝C8n＋C7n，＋1由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.有限制条件的组合问题出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？[思路点拨]可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的选法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的选法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的选法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方法N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的选法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的选法有6 090种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[跟进训练]2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C24种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．法一：按选取的内科专家的人数分类：①选2名内科专家，共有C24·C46种选法；②选3名内科专家，共有C34·C36种选法；③选4名内科专家，共有C44·C26种选法．根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．法二：不考虑是否有内科专家，共有C610种选法，考虑选取1名内科专家参加，有C14·C56种选法；没有内科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有内科专家参加，有C66种选法；②有1名内科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名内科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.分组分配问题1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]共有A33＝3×2×1＝6种分法．【例3】(教材P20例5改编)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝x A33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种1．完全均匀分组，每组的元素个数均相等．2．部分均匀分组，应注意不要重复，有n 组均匀，最后必须除以n ！. 3．完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．[跟进训练]3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)．]1．在组合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化． 2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法． 3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关．1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A ．120种B ．84种C ．52种D ．48种C [间接法：C 38－C 34＝52种．]2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．A 45种B ．45种C ．54种D ．C 45种D [由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．]3．方程C x 14＝C 2x －414的解为________．4或6[由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎨⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.]4．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________．7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.]5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400种． (2)除去该女生后，先选后排，有C 47·A 44＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共C 36·C 13·A 33＝360种．。

组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。

组合数公式是用来计算组合数的公式。

本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。

1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。

组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。

2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。

例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。

组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。

常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。

这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。

递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。

组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。

这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。

4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。

这使得计算大规模组合数变得更加高效。

4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。

例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。

5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。

排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。

排列与组合及其综合运用班级__________姓名__________一、知识点一：两个基本原理加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．例1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11． 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N ＝6 5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币；（1）从中任取一枚，有多少种不同取法？（2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2．（1）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？（2）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ （3）由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这只有5种选法；第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5⨯5⨯5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1．从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、...、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、 (9)10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结1：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法；其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习．练习1．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？2．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？3．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？4．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同；（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？二、知识点二：排列基本概念一<)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m n定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同．什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列．例3．由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？练习：已知a 、b 、c 、d 四个元素；①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列．基本概念二定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示．（人教版教材用m n P ）．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ 或!()!m nn A n m =-．1n A =__________；2n A =__________；3n A =__________；4n A =__________；计算：25A =__________；45A =__________； 42882A A -=__________；812712A A =__________．例4．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列即66A =720（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种；则共有22A 55A =240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法， 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有： 77A －662A ＋55A =2400种． 小结2：对于“在”与“不在”的问题，常用“直接法”或“排除法”，特殊元素可以优先考虑．例5．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法． 所以，这样的排法一共有：66A 22A ＝1440．（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能 站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，故丙不能站在排头和排尾的排法有652652(2)960A A A -⋅=种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素 进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 14A 55A 22A ＝960种方法．小结3：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例6：7位同学站成一排．（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）7627623600A A A -⋅=．解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有52563600A A =种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学 分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结4：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 练习：1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二 个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1599136080A A =．解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ；则共有：595A ⋅＋69A ＝136080．解法三：（间接法）65109A A -=136080．2．（1）八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ，所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． （2）不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种商品必须排在一起，而c ，d 两种商品不排在一起，则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a ，b 捆在一起与e 进行排列有22A ；此时留下三个空，将c ，d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a ，b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法．（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有：33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A ，所以一共有233A 33A ＝72种方法．3．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：1234555555325A A A A A ++++=（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有1333A A 种方法；另一类是首位不为1，有1444A A 种方法．所以一共有1333A A 1444114A A +=个数比13 000大． 解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有55A -33A ＝114个． 4．用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列； （1）第114个数是多少？（2）3 796是第几个数？解：（1）因为千位数是1的四位数一共有3560A =个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位 数字是“1”即“31”开头的四位数有2412A =个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数 也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”，而“3 968”排在第6个位置 上，所以“3 968”是第114个数．（2）由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．5．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中：（1）能被25整除的数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？解：（1）能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1133A A 个，所以一共有24A ＋1133A A ＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，共有1355300A A =个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，故十位数字比个位大的有135511502A A =个．三、知识点三：组合基本概念一什么叫组合？一般地，从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同． 例如：判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：（1）从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）（2）从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列） 基本概念二从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有233C =种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ；一共6种组合，即：246C =．注意：要解决的是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．组合数公式：(1)(2)(1)!mmn nm m A n n n n m C m A ---+== 或!!()!m n n C m n m =-(,,)n m N m n *∈≤且． 练习：1．计算：①47C =__________；②710C =__________．2．求证：11m m n nm C C n m ++=⋅-． 3．设,x N +∈，求123231x x x x C C ---++的值．解：由题意可得：231123x x x x -≥-⎧⎨+≥-⎩，即：2≤x ≤4；∵*x N ∈，∴x =2或3或4； 检验：当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11； ∴所求值为4或7或11．例7．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：22264290C C C ⋅⋅=．例8．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，2146C C ⋅， 1246C C ⋅，所以一共有34C +2146C C ⋅+1246c C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）33106100C C -=．四、知识点四：组合数的性质1．组合数 性质1：m n mn nC C -=． 理解：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n mn nC C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 注：1︒ 规定：01n C =；2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算n mn C -，能够使运算简化． 4︒ xy n n C C =x y ⇒=或x y n += 2．组合数 性质2：1m n C +＝m n C +1m n C -． 练习：①计算：34567789C C C C +++； ②求证：2n m C +＝n m C +12n m C -+2n m C -； ③解方程：1231313x x C C +-=； ④解方程：233223110x x x x x C C A --++++=； ⑤计算：0123444444C C C C C ++++和012345555555C C C C C C +++++； 推广：01212n nn n n n n n C C C C C -+++++= ．3．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：①11231k k k k k k n n n k k n C C C C C C +---++++++= ； ②1121k k k k k k k k k n n k C C C C C ++++++++++= ；③1230123()2n n n n n n n n n nC C C nC C C C ++++=+++ ．例9．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查；（1）都不是次品的取法有多少种？ （2）至少有1件次品的取法有多少种？ （3）不都是次品的取法有多少种？解：（1）4902555190C =；（2）44132231410090109010901090101366035C C C C C C C C C -=+++=； （3）44132231410010901090109010903921015C C C C C C C C C -=+++=．例10．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有1465C C ；3奇2偶有3265C C ；5奇1偶有56C ； 所以一共有1465C C +3265C C +56236C =． 例11．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英 语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2243C C ； ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有3143C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有3243C C ． 所以一共有2243C C +3143C C +3243C C ＝42种方法．例12．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）221211645443242C C C C C C -+=．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有1244C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2243C C ．所以一共有1244C C +2243C C ＝42种方法．例13．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法． 根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法．例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：（1）根据分步计数原理得到：22264290C C C =种．（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：22236423C C C xC=，所以2226423315C C C x A ==． 因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有12365360C C C =种方法．（4）在（3）的基础上在进行全排列，所以一共有12336533360C C C A =种方法．（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有22264290C C C =种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有12336533360C C C A =种方法； ③“1、1、4型”，有436390C A =种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例15．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35C ＝240种方法．例16．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：（1）根据分步计数原理：一共有44256=种方法．（2）（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法； 所以一共有24C 34A ＝144种方法．例17．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多 少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为3620C =种方法．例18．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有211182772()A C C C +种方法；②若不取6，则有1277C A 种方法．根据分类计数原理，一共有211182772()A C C C ++1277C A ＝602种方法．。

组合数组合数是组合数学中的一个重要概念，常常与排列数一起出现。

在数学中，组合数表示从n个不同元素中取r个元素的组合方式的数量。

组合数常常用C(n,r)表示，也可以记作nCr或者C(n，r)。

组合数的计算是基于组合原理和等价关系的。

组合原理指的是从n 个不同的元素中选取r个元素的组合方式数等于从n个不同的元素中选取n-r个元素组合方式数的等价关系。

组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)，其中n表示元素的总个数，r表示要取出的元素个数。

其中n!表示n的阶乘，n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。

例如，当n=5，r=3时，C(5,3) = 5! / (3!(5 - 3)!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10。

组合数在组合数学中具有广泛的应用，尤其是在计算概率、统计学和组合优化等领域。

下面将介绍组合数的一些重要性质和应用。

1. 组合数的性质：- 对称性：C(n, r) = C(n, n - r)。

组合数是关于n/2对称的，因此计算时可以选择较小的r值，减少计算量。

- 递推公式：C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)。

组合数可以根据其前一项和前一行的组合数值计算得出，这个递推公式可以用于较大规模的计算。

- 边界条件：当r = 0或r = n时，C(n, r)均为1。

这是因为当要取出的元素个数为0时，只有一种方式，即不取任何元素；当要取出的元素个数等于总元素个数时，只有一种方式，即取出所有元素。

2. 组合数在计算概率中的应用：组合数常常出现在计算概率的问题中。

例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，求得一手炸弹（四张相同点数的牌加任意一张牌）的概率，可以采用组合数来计算。

在一副扑克牌中，点数从A到K一共有13种，因此可以选择4个点数中的一个，再从每个点数中选择4张牌，最后从剩下的牌中选择1张牌。

组合数学中的组合数问题组合数学是数学的一个分支，研究的是选择、排列和组合的问题。

其中，组合数问题是其中一个重要的研究方向。

本文将围绕组合数问题展开讨论，讲述其基本概念、应用以及解决方法。

一、基本概念组合数是由元素个数有限的集合中取出若干元素（不考虑有序）的不同选择数，用C(n, k)来表示，公式为：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!),其中，n表示集合中元素的个数，k表示选择的元素个数，!表示阶乘。

二、组合数的应用1. 应用于排列组合问题排列组合问题是组合数学中的一个重要问题，它研究的是从给定元素中选取若干个元素进行排列或组合的问题。

例如，在一组数字中选取三个数字排列成不同的序列，即是一个排列问题；而从一组数字中选取三个数字组合成不同的组合，即是一个组合问题。

组合数正是解决这类问题的数学工具。

2. 应用于概率论在概率论中，组合数被广泛应用于计算随机事件发生的可能性。

以抽奖为例，假设有5个奖品，现有10个人参与抽奖，其中3个人将获得奖品。

那么，我们可以通过组合数来计算不同情况下的中奖概率。

具体计算公式为：中奖概率 = C(10, 3) / C(5, 3)。

通过组合数的使用，我们可以准确地计算出各种随机事件的概率。

三、组合数问题的解决方法1. 公式计算法组合数问题的最直接解决方法就是使用组合数公式进行计算。

在计算C(n, k)时，我们可以先通过计算n的阶乘，然后分别计算k和(n-k)的阶乘，最后将结果相除即可得到组合数。

这种方法适用于n和k较小的情况，计算较为方便。

2. 递推法递推法是一种高效地计算组合数的方法。

通过观察组合数的性质，我们可以得到递推公式：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k),通过计算已知组合数的值，不断利用递推公式进行计算，最终得到所需的组合数。

3. 组合数的性质组合数具有一些重要的性质，可以用于简化计算。

例如：C(n, k) = C(n, n-k)，C(n, 0) = C(n, n) = 1等。

初中数学知识归纳解组合数的问题组合数是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。

本文将对初中阶段学习的数学知识进行归纳总结，重点解析组合数的相关问题。

一、组合数的定义与性质组合数是从n个不同元素中取出m个元素（不考虑元素的顺序）所组成的集合的个数，通常用C(n,m)或者(n, m)表示。

组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 3 × 2 × 1。

组合数的性质有：1. C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个元素或者取出n个元素的组合数都等于1。

2. C(n,1) = C(n,n-1) = n，即从n个元素中取出1个元素或者取出n-1个元素的组合数都等于n。

3. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数与取出n-m个元素的组合数相等。

二、组合数的计算方法1. 利用组合数的计算公式直接计算。

例如，计算C(5,2)的值，按照组合数的计算公式，可以得到：C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5×4×3×2×1) / ((2×1)×(3×2×1)) = 10。

2. 利用递推关系进行计算。

根据组合数的递推关系，可以通过前一行组合数的值计算出下一行的组合数。

具体方法是，利用C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)的递推关系，逐次计算出所需要的组合数。

例如，计算C(5,3)的值，可以通过如下计算过程得到：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2) = (C(3,3) + C(3,2)) + (C(3,2) + C(3,1)) = 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 10。

《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, k)。

其计算公式为：C(n, k) ＝ n! ／ k!（n k)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n ×（n 1) ×（n 2) × ··· × 2 × 1 。

二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, k) ＝ C(n, n k) 。

这意味着从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n k 个元素的组合数是相等的。

例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的组合数 C(5, 2) 与从 5 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(5, 3) 是相等的。

我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。

C(5, 2) ＝ 5! ／（2! × 3!）＝ 10 ，C(5, 3) ＝ 5! ／（3! × 2!）＝ 10 ，两者相等。

这种对称性在解决组合问题时，可以灵活地选择计算量较小的一种方式进行计算。

2、递推性质组合数还具有递推性质，即 C(n, k) ＝ C(n 1, k 1) ＋ C(n 1, k) 。

这个性质可以通过实际的组合情况来理解。

假设我们要从 n 个元素中选取 k 个元素，我们可以分为两种情况：第一种情况，包含第 n 个元素。

那么在剩下的 n 1 个元素中选取 k1 个元素，组合数为 C(n 1, k 1) 。

第二种情况，不包含第 n 个元素。

那么就在剩下的 n 1 个元素中选取 k 个元素，组合数为 C(n 1, k) 。

将这两种情况的组合数相加，就得到了从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数 C(n, k) 。

利用这个递推性质，可以通过较小规模的组合数逐步计算出较大规模的组合数，从而简化计算过程。

3、加法性质C(m ＋ n, r) ＝∑（i ＝ 0 到 r) C(m, i) × C(n, r i) 。