组合数的两个性质

二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2Biblioteka Baidun+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
所以：
C C 3 7
共有Cnm个。根据分步计数原理，得
c c c 性质2
m m m1
n1
n
n
计算
已知Cxx2
C5 x1
Cx61,
求C2xx5
C x4 2x
例5：
在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产 品中任意抽出3件． ⑴一共有多少种不同的抽法？ ⑵抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
c c m
nm
n
n
说明：
1、为简化计算，当
n m 时，通常将计算
2
c c m改为 nm
n
n
2、为使公式在m=n时也能成立，我们规定
c0 1 n
例题讲解
例3、 （1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例一：已知：C225x C2x57，求x ?
⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分为三份，每份各2本；
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
对结果有什么发现吗？
推广
一般地，从a1, a2 ,……，n1n 1个不同的元素中取出m个
的组合数是Cnm+1 , 这些组合可以分成两类：一类含有a1 ,
一类不含a1。含有a1的组合是从a2 , a3,……，n1这n个元素
中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含有a1的
组合是从a2 , a3,……，n1这n个元素中取出m个元素组成的，
注：（1）组合数方程要注意组合数的意义， 即Cnm中m n, m、n N *。 （2）方程Cnf (x) Cng (x)等价于 : f (x) g(x)或f (x) g(x) n
变式：已知Ct14 Ct4 , 求C2t0
例题讲解
例4、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 （1）、从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）、从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）、从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾