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组合数的两个性质

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组合数的性质

组合数的性质

计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3

组合数的两个性质

组合数的两个性质

组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。

即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。

要证明这个等式成立，即证明两个量相等。

那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。

我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。

于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。

组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件

组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件

[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.

组合数的两个性质

组合数的两个性质

即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n

2.组合数的两个性质

2.组合数的两个性质
第1页，共13页。
复习提问
• 排列的定义
• 组合的定义
• 二者的区别
• 排列数、组合数的公式（乘 积的形式和阶乘的形式）
第2页，共13页。
某班级一个小组有10名同学,参加班级组 织的一次大扫除活动(这一组负责公共区和 教室) (1)从中选7人打扫公共区有多少种选法 (2)从中选3人打扫教室多少种选法
第6页，共13页。
组合数的两个性质:
C C 性质1
m
n
nm n
性质2
C m1 n
Cnm
Cm n 1
第7页，共13页。
• 性质1体现的是:“取法”与“剩法”一一 对应的思想
• 性质2体现的是“含与不含其它元素” 的分类讨论的思想.
• 这两种思想是解决复杂排列与组合的常用 思想.
第8页，共13页。
4、若Anm 60,Cnm 10,则m＝
5、若Cn71 Cn7 Cn8 ,则n＝ 6、C40 C51 C62 ..... C19060
，n＝
第12页，共13页。
思考题：
（6）100件产品,有10件是次品,从这100件产品中任意抽出3件 1)一共有多少种不同的抽法? 2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种? 3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
(1)C170
10!
C C (2)C130
C170
10 9 8
C31!30
120
m n
nm n
第3页，共13页。
组合数的性质
性质1 Cmn ＝Cnn－m 规定： C0n ＝1
例：（1）求C210907
（2）已知C158n
C n2 18
4，求n
n=1,2,4

组合数的两个性质ppt 人教课标版

组合数的两个性质ppt 人教课标版
n! (n m)![n (n m)]! n! m !(n m)!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2

C
7
3 !

CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!

探究与发现组合数的两个性质课件人教新课标1


1 + 21 2 + 31 3 +……+1 = ∙ 2−1
3、 从个人中选若干个人（至少2人）去参加比赛，其中一名为队长，
一名为副队长，
（1）队长与副队长必须为不同的两个人，有多少种方法？
思路①：按选中的人数 = 2,3, … … 进行分类
1
21 11 2 + 31 21 3 +……+1 −1
n!

m!n m !
nm
n
n!
n!


n m !n n m ! m!规定
n m ! =
nm
C n C n
m
等式特点：两边下标相同，上标之和等于下标
问题：
我们年段将在月底进行一场足球比赛。包括体委在内，班上足球
运动员有14位，你们都没有参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时
3
（2）我们可以形成多少种队员不上场方案？C14
为什么相等？是巧合还是必然？
14!
14 13 12


364
3!14 3!
3 2 1
二、自主学习，探究问题
C
11
C
10
C
C
9
14
14
14
8
14
C14
3
C14
4
C14
5
C14
6
从特殊到一般的思想
m
nm
n
n
C C
10
364 286 78
猜想
C14 C13 C13
11
10
11

猜想
C14 C13 C13

数学：《组合(三)》


课堂小结
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、 特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除 法或分类解决； 4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问 题.
5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
例题解读：
例5．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 3 3 C6C52C3 A3 360 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 6 A3 90 种方法， C
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2( A82 C2C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有C7 A7 种方法， 1 2 2 1 1 1 根据分类计数原理，一共有2( A8 C2C7＝602 7 A7 + C7 ) C 种方法
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 数必须少于男生，有____种选派方法； 280 （3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.

组合与排列、组合综合

组合与排列、组合综合[理论要点]1．组合:从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

注意组合与排列的异同。

共同点:都是从n个不同元素中，取出m个元素。

不同点:排列要将取出的m个元素按一定顺序排成一列，组合则是将取出的m个元素不管顺序并成一组。

这是区分排列与组合的主要标准。

只要两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合。

只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

2．组合数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，即。

（n,m∈N且m≤n）3．组合数的两个性质:①=（n,m∈N, 0≤m≤n）这里规定=1。

②。

以上两性质均可用两种方法证明。

一是利用组合数公式；另一种是构造性证明，即根据组合定义直接推出。

这两个性质在简化组合数的计算、证明组合数有关等式中应用广泛。

4．处理排列、组合的综合问题时，一般想法是先选后排，再根据分类或分步，来解决问题。

[典型例题分析]例1．某小组10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法有多少种？分析:3名代表中至少有一名女生，说明这3名代表可以是1女2男，或2女1男或三女，可分两类情形来考虑。

若从反面想，3名代表中至少有一名女生的反面是3名代表中一个女生都没有，即全部是男生。

这样，就有了两种解法。

解法1（直接法）根据3名代表中女生的人数来分类。

第一类:3名代表中有1名女生，2名男生，有·种选法。

第二类:3名代表中有2名女生，1名男生，有·种选法。

第三类:3名代表中有3名女生，无男生，有种选法。

∴共有·+·+=60+36+4=100种不同选法。

解法2（间接法）排除不符合条件（即3名男生的情形）的选法数即可。

∵s从10名代表同学中选3名代表的选法数是，3名代表都是男生的选法数是，∴3名代表中至少有一名女生的选法数是-=120-20=100。

组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件


组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
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⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
所以：
C C 3 7
注：（1）组合数方程要注意组合数的意义， 即Cnm中m n, m、n N *。 （2）方程Cnf (x) Cng (x)等价于 : f (x) g(x)或f (x) g(x) n
变式：已知Ct14 Ct4 , 求C2t0
例题讲解
例4、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 （1）、从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）、从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）、从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
c c m
nm
n
n
说明：
1、为简化计算，当
n m 时，通常将计算
2
c c m改为 nm
n
n
2、为使公式在m=n时也能成立，我们规定
c0 1 n
例题讲解
例3、 （1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例一：已知：C225x C2x57，求x ?
共有Cnm个。根据分步计数原理，得
c c c 性质2
m m m1
n1
n
n
计算
已知Cxx2
C5 x1
Cx61,
求C2xx5
C x4 2x
例5：
在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产 品中任意抽出3件． ⑴一共有多少种不同的抽法？ ⑵抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
对结果有什么发现吗？
推广
一般地，从a1, a2 ,……，n1n 1个不同的元素中取出m个
的组合数是Cnm+1 , 这些组合可以分成两类：一类含有a1 ,
一类不含a1。含有a1的组合是从a2 , a3,……，n1这n个元素
中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含有a1的
组合是从a2 , a3,……，n1这n个元素中取出m个元素组成的，