高二数学组合数的两个性质

的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习

巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm

n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10

共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

課堂練習：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有2(A
2 8
+
C12C17C17 )
种方法；
②若不取6，则有
C17
组合数计算公式
复习
(1)C m

Am n

n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
An
m!
(2)C m m n!
n m!(n m)!
组合数性质1： C
m n

C nm n
c c c 组合数性质2： m m m1
n1
n
n
C
0 n
=1
常用的组合数性质公式还有：
补充
1、Cn0 Cn1 Cnn 2n 2、Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 3、kCnk nCnk11
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 Cm2 Cn2 个平行四边形 .
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
Cm2 Cn2C
2 t
2 6
C
2 4
C
2 2
=
90
种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C16
C
2 5
C33
A
3 3
=
360
种方法；
③“1、1、4型”，有

根据分步乘法计数原理，有 34 =
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3

3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53

02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。

第五章
§3
组合问题
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
学习目标
1.理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数的性质，并会应用公式和性质进行计算.
3.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
新知学习
问题导入
北师大版
一 组合
一般地，从个不同元素中，任取（ ≤ ，且，∈N+）个元素为一组，叫作从个不同
元素中取出个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
排列与组合的区别与联系
①共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
②不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C43 ＝4种选法.
根据分类加法计数原理知，共有74种选法.
（方法二
间接法）从所有的9名学生中选出3名，有C93 种选法，其中全为男生的有C53 种选法.
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C93 -C53 ＝74种.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
第1步，从，，，，这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为；
第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为A33 .
A35 5×4×3
3
3
因此，根据分步乘法计数原理，A5 ＝·A3 ，从而＝A3 ＝3×2×1＝10.
3
所以从5名候选人中选出3名担任代表，共有10种方案.
高中数学
选择性必校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如

元素中取出个元素的组合数，用符号C 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A

来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应

典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.

组合与元素的顺序无关.
排列是先选后排， 组合是只选不排.
组合数 从n个不同元素中，任意取出 m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个 元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
如“从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人去图书馆参加
志愿服务”的组合数表示为 C24 .
问题 从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人，分别参加
组合数的两个性质
性质1 Cmn =Cnnm.
1.反映了组合数的对称性；
例如
C28 30
=C33002
=C320
2.作用：为了简化计算，当 m n 时，
通常将计算 Cmn 化为 Cnnm.
2
= 30 29 2 1
= 435.
C30 31
=C131
=
31.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
C85
87654 5 4 3 2 1
=
876 3 2 1
=
C83
，
C180
10 9 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1
= 10 9 2 1
= C120
，
C96 100
4！1009！6！=
100 99 98 4 3 2 1
97
=
C4 100
.
.
3.计算： C22 +C32 +C42 + +C1200.
5个球即可，不同取法的种数是
C57
=C72
=
7 2
6 1
=21.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
中任取5个球

个班2个名额，共有几种不同的报名结果？
由列举法可知有3种
问题3：上述两个问题的区别是什么？
问题1有顺序，是排列问题
问题2没有顺序
将具体背景舍去，问题2可以概括为从3个不同元素中取出2
个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的组合问题
新知探索
组合： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
3

abd adb bad bda dab dba 4 种不同的取法；
acd
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
abc
第2步, 将取出的3个元
3
素做全排列, 共有3 种不
同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有 = ，即 =
=
!
.
!(−)!
0
另外，我们规定
= 1.
能否用
阶乘表示
判断正误.
√)
(1)1，2，3与3，2，1是同一组合.(
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
√)
(3)从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是
×)
32 .(
√
(4)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得42 个积.( )
练习巩固
现有1，3，7，13这4个数，
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个
不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个
不相等的差？
6.2.4 组合数
复习回顾
什么是排列数？排列数公式是什么？
1、排列数：从n个不同的元素中取出m(m ≤ n)个元素

=
C������������ =左边,
故原式成立.
迁移应用
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
三、简单组合问题 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出 元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. 在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
种,从4名C女62教师中选2名的选法有 种,根据分步乘法计数C原42理,共有选法
C62
×
C42
=
6×5 ×
2×1
42××31=90(种).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
答案:C
解析:分两类:第1类,甲、乙中只有一人参加,则有
=2×10×24=480(种)选法.
C21 × C53 × A44
一 二三四
知识精要
典题例解
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并分别求出对应的方法数.
迁移应用
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
答)

经典例题
总结
题型三 “含有”或“不含有”、“至少”或“至多”组问题
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩余元素中去取． 2.“至少”或“至多”含有几个元素的问题： “至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注 意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析
问题、解决问题的能力.(数学建模)
自主学习
一、组合的相关概念 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个 组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 3. 排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
经典例题
题型一 组合概念的理解与应用
解：(1)每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题. (2)每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别 的. (3)是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到 不同的三位数. (4)是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构 成的集合都不变.
例3 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选 出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
经 典 例 题 题型三 “含有”或“不含有”、“至少”或“至多”组问题

课堂小结
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、 特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除 法或分类解决； 4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问 题.
5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
例题解读：
例5．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 3 3 C6C52C3 A3 360 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 6 A3 90 种方法， C
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2( A82 C2C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有C7 A7 种方法， 1 2 2 1 1 1 根据分类计数原理，一共有2( A8 C2C7＝602 7 A7 + C7 ) C 种方法
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 数必须少于男生，有____种选派方法； 280 （3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.

高二数学组合与组合的运用试题答案及解析1. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】至少有两件一等品包括三种情况,第一种是恰有两件一等品,有种方法;第二种是恰有三件一等品,有种方法; 第三种是恰有四件一等品,有种方法;所以共有种方法,答案选D.【考点】排列组合2.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（）A．720B．360C．240D．120【答案】D【解析】圆上有10个点，故无三点共线，因此从中任取三点都能得到一个对应的三角形，因此一共可以画的三角形个数为，注意这里是组合问题，而不是排列问题.【考点】组合应用及转化思想.3.从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的选方法有种（用数据作答）；【答案】4【解析】从4名同学中选出3 人，则不同的选法有种．【考点】组合数.4.已知{1，2}⊆Z⊆{1， 2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有 ()．A．2个B．6个C．4个D．8个【答案】D【解析】由题意知集合Z中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取，可以不取，即取0个，取1个，取2个，取3个，故有个满足这个关系式的集合；故选D．【考点】子集与真子集5.一个口袋里装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取出5个球，使总分低于7分的取法共有多少种？（）A．186B．66C．60D．192【答案】B【解析】解：设取x个红球，y个白球，于是：，其中，或因此所求的取法种数是：（种）,故选B.【考点】组合数公式.6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．【答案】310【解析】此题用间接法比较简单，从11人任选4人的方法有,其中只有内科医生的方法,只有外科医生的方法,所以按要求的方法种数为.【考点】组合及组合数的计算7.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．【答案】140【解析】当甲、乙两人都参加时，有C82＝28(种)选法；当甲、乙两人中有一人参加时，有C83·C21＝112(种)选法．∴不同的挑选方法有28＋112＝140(种)．8.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．【答案】7【解析】设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C52·Cx2≥200，从而有Cx2≥20.即x(x－1)≥40.∴x的最小值为7.9.已知，则= .【答案】【解析】根据题意，由于，即可知，即可知化简解得为n=2,故答案为2.【考点】组合数公式点评：主要是考查了组合数的性质和公式的运用，属于基础题。

7
（2）10
10
（3）10
解：根据组合数公式，可得
3
（1）10
7
（2）10
10
（3）10
=
310
33
=
10!
7!(10−7)!=Biblioteka 0101010
0
（4）10
=1
=
=
10×9×8
3!
=
10!
10!
= 120
10×9×8×7!
7!×3!
=1
=
10×9×8
3!
= 120
0
（4）10
探究新知
C27＋C34·
C17＋C44＝790 种.
探究新知
[方法技巧]
解决有限制条件的组合应用题的策略
(1)“含”与“不含”问题：
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊
要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题
的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至
!
=
( − )! !
所以 = −
性质1说明：
（1）等式两边下标相同，上标之和等于下标.

（2）该性质适用于当m>n/2时，计算 可以转换为计算

使计算简单.

（3）当 = 时，则x=y或x+y=n.
−
，
探究新知
思考：一次旅游，有10名游客和1名导游。（1）从这10名游客与1名导游中抽
= 9506
2！
典型例题
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解法一：从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有

组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ yn x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C1+＝m n C +1-m n C ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝mn C +1-m n C ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．补充例题⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：nn n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。

高二数学必修三组合知识点组合是高二数学必修三中的重要知识点之一，本篇文章将详细介绍组合的概念、性质以及应用。

一、组合的概念在概率论中，组合指的是从一个集合中选取若干个元素组成一个子集。

组合的数量可以用组合数来表示，记作C(n, k)，其中n为集合的大小，k为选取的元素个数。

组合数的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中"!"表示阶乘运算。

二、组合的性质1. 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个与选取n-k个的组合数相等。

2. 互补性：C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)，即从n个元素中选取k个的组合数加上选取k+1个的组合数等于从n+1个元素中选取k+1个的组合数。

3. 递推性：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个的组合数等于从n-1个元素中选取k-1个的组合数加上选取k个的组合数。

三、组合的应用1. 排列组合问题：组合数可以用于计算排列组合问题，如从n 个元素中选取k个元素进行排列的方式数目。

2. 概率计算：组合数可用于计算事件发生的概率，如从一副扑克牌中抽取几张牌中包含某个特定的组合的概率。

3. 数学证明：组合数在数学证明中有广泛的应用，可以用于推导和证明各种数学定理。

四、组合的例题解析例题1：某班有10个男生和8个女生，从中选取5个同学参加运动会，其中至少有2个男生。

问有多少种可能的选择方案。

解析：根据题意，我们可以分别计算选取2个男生加上3个女生、3个男生加上2个女生、4个男生加上1个女生、5个男生这四种情况的组合数，然后将它们相加即可得到总的方案数。

例题2：从整数1到10中选取3个数，求这3个数的和为偶数的方案数。

解析：我们可以分别计算奇数个数和偶数个数的选取情况，并将它们相加。

选取奇数个数的情况即从5个奇数中选取3个数的组合数；选取偶数个数的情况即从5个偶数中选取1个数的组合数乘以从5个奇数中选取2个数的组合数。