第二课时 组合数的两个性质

组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。

即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。

要证明这个等式成立，即证明两个量相等。

那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。

我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。

于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。

6.2.3~6.2.4 第2课时 组合数公式教学目标1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 教学知识梳理 知识点一 组合数公式规定：C 0n ＝1.知识点二 组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n . 性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 教学案例题型一 组合数公式【例1】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________； (2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.【答案】(1)329 (2)16【解析】(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16. 【变式1】 (1)计算C 98100＋C 199200； (2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ； (3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150. (2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C45＋C46＋C47＋C48＋1＝1＋C45＋C46＋C47＋C48＝C55＋C45＋C46＋C47＋C48＝C56＋C46＋C47＋C48＝C57＋C47＋C48＝C58＋C48＝C59＝C49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.题型二有限制条件的组合问题【例2】有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种放法，根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144(种)不同的放法．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个盒子中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84(种)．【变式2】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．题型三分组、分配问题【例3】判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关．(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．【变式3】给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？解：(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．【例4【答案】32【解析】不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32．【变式4】平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解：法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．课堂小结1．知识清单：(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．(4)分组分配问题．2．方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想．3．常见误区：分组分配中是否为“平均分组”．当堂检测1.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【解析】分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．【答案】4722.某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？解：法一按选西医的人数分三类：第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有C47种；第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有C34C12C46种；第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有C24C45.故由分类加法计数原理知，共有C47＋C34C12C46＋C24C45＝185种选法．法二按均精通的专家分类：第一类，两人均不参加，有C45C44种；第二类，两人有一人参加，有C12(C35C44＋C34C45)种；第三类，两人均参加，有(C35C34)×2＋C25C44＋C45C24种．由分类加法计数原理知，共有C45C44＋[C12(C35C44＋C34C45)]＋[(C35C34)×2＋C25C44＋C45C24]＝185种选法．3.设集合A ＝{1,2,3，…，10}．(1)设A 的3个元素的子集的个数为n ，求n 的值；(2)设A 的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a 1，a 2，…，a n ，求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 的值．解：(1)A 的3元素子集的个数为n ＝C 310＝120.(2)在A 的3元素子集中，含数k (1≤k ≤10)的集合个数有C 29个，因此a 1＋a 2＋…＋a n ＝C 29×(1＋2＋3＋…＋10)＝1 980.4.在∠MON 的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点(含O 点)为顶点，可以得到多少个三角形？解：法一 (直接法)分几种情况考虑：O 为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM 、ON 上，所以有C 15·C 14个，O 不为顶点的三角形中，两个顶点在OM 上，一个顶点在ON 上，有C 25·C 14个，一个顶点在OM 上，两个顶点在ON ，上有C 15·C 24个．因为这是分类问题，所以用分类计数原理，共有C 15·C 14＋C 25·C 14＋C 15·C 24＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．法二 (间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C 310，但其中OM 上的6个点(含O 点)中任取三点不能得到三角形，ON 上的5个点(含O 点)中任取3点也不能得到三角形．所以共可以得到C 310－C 36－C 35，即C 310－C 36－C 35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90个． 法三 也可以这样考虑，把O 点看成是OM 边上的点，先从OM 上的6个点(含O 点)中取2点，ON 上的4点(不含O 点)中取一点，可得C 26·C 14个三角形，再从OM 上的5点(不含O 点)中取一点，从ON 上的4点(不含O 点)中取两点，可得C 15·C 24个三角形．所以共有C 26·C 14＋C 15·C 24＝15×4＋5×6＝90个.。

《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, r)。

其计算公式为：C(n, r) ＝ n! ／ r!（n r)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n×（n 1)×（n 2)××2×1 。

为了更好地理解组合数，我们先来看一个简单的例子。

假设有 5 个不同的水果，分别是苹果、香蕉、橙子、梨和草莓，现在要从中选取 3 个水果，那么选取的方式一共有 C(5, 3) 种。

二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, r) ＝ C(n, n r) 。

这意味着从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n r 个元素的组合数是相等的。

比如说，从 10 个元素中选取 7 个元素的组合数 C(10, 7) 与从 10 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(10, 3) 是相等的。

我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。

C(n, r) ＝ n! ／ r!（n r)！，C(n, n r) ＝ n! ／（n r)！r! ，可以看出二者是相等的。

这个性质在计算组合数时非常有用，如果要计算 C(100, 98) ，我们可以直接计算 C(100, 2) ，因为二者相等，而计算 C(100, 2) 会相对简单很多。

2、加法原理C(n, r 1) ＋ C(n, r) ＝ C(n ＋ 1, r) 。

假设我们要从 n ＋ 1 个元素中选取 r 个元素，可以分为两种情况。

一种是不选取第 n ＋ 1 个元素，那么就从前面 n 个元素中选取 r 个，组合数为 C(n, r) ；另一种是选取第 n ＋ 1 个元素，那么就要从前面 n 个元素中选取 r 1 个，组合数为 C(n, r 1) 。

将这两种情况相加，就得到了从 n ＋ 1 个元素中选取 r 个元素的组合数 C(n ＋ 1, r) 。

组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ yn x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C1+＝m n C +1-m n C ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝mn C +1-m n C ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．补充例题⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：nn n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。

组合（2）——组合数的性质一、课题：组合（2）——组合数的性质二、教学目标：1．掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；2．进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题。

三、教学重、难点：组合数的性质。

四、教学过程： （一）复习、引入：1．排列和组合的定义及其区别，组合数公式； 强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：（1）45210=C （组合问题） （2）90210=A （排列问题）3．练习 （1）计算：① 310C 和710C ；26C 和46C ．根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。

答案：① 120，120； ② 15，15．（此练习的目的为下面学习组合数的性质1打下基础）． （二）新课讲解：1．组合数的性质1m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。

证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -=。

说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化，例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．示例：（课本101例4）一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C ；（2）2127=C ；（3）3537=C ．引导学生发现：=38C +27C 37C ，并要求用组合的知识解释，根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。