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组合数的两个性质

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高中数学-组合数的两个性质-课标分析

高中数学-组合数的两个性质-课标分析

对此部分，《教学大纲》要求是理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题，而《课程标准》要求，通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

与大纲比较，标准降低要求，不再要求掌握和应用“组合数的两个性质”。

因此教科书以选学内容的方式对它们进行介绍。

“组合数的性质”是学生学习了函数的图像与性质、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式定理的基础，并且能结合实际生产和生活中的问题。

本课题不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；不仅具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神，而且能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生的创新精神。

1[1].2.2组合(二三)

1[1].2.2组合(二三)

四、组合数两个性质
性质一
, 探究 用计算器计算下列各组 组合数的值你发现了什 ? ? 么 你能解释你的发现吗
4 8 3 7 3 C12与C12 ;C18与C15 ;C10与C10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 18
不难发现各组的两个组合数都相 ,而且两个组合数的上 , 等 , 标之和等于下标 如 4 + 8 = 12, 3 +15 = 18,7 + 3 = 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
中任取四个点，其中不共面的情形共有 ______ 种。
4 不考虑限制条件共有 C10 = 210
4 共面情形在面上共有 4C 6 = 60
一棱上取三点， 取中点， 一棱上取三点，对棱上 取中点，共有 6种情形
取四棱中点情形有3种
共有 210－60－6－3＝141
练习： 个点， 个点在一直线上， 练习：（1）平面内有 个点，其中 个点在一直线上， ）平面内有9个点 其中4个点在一直线上 此外没有3点在一条直线上 点在一条直线上， 过这9个点可确定多 此外没有 点在一条直线上，①过这 个点可确定多 少条直线？ 过这9个点可以作多少个三角形 个点可以作多少个三角形？ 少条直线？②过这 个点可以作多少个三角形？
m+1
m−1+
m−1
m−1
n
)
组合（ 1.2.2 组合（３）
－－题型整合 －－题型整合
2010.7.8
”“至少 题型一： 至多”“至少” 题型一：“至多”“至少”问题
在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时, 100件产品中有98件合格品， 件次品。产品检验时, 件产品中有98件合格品 100件产品中任意抽出 件产品中任意抽出3 从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (1)一共有多少种不同的抽法? 一共有多少种不同的抽法 (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的

组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件

组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件

[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.

《组合数的两个性质》知识解读

《组合数的两个性质》知识解读

《组合数的两个性质》知识解读性质一:C C m n mn n−=. 该性质反映了组合数的对称性,其组合意义是:从n 个不同的元素中取出m 个元素后,就剩下n m −个元素,因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法,与从n 个元素中取出n m −个元素的方法是一一对应的,它们是一样多的,就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着从n 个不同元素中取出n m −个元素的唯一的一个组合,反过来也一样.故从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ,等于从n 个不同的元素中取出n m −个元素的组合数C n m n −,也就是C C m n mn n −=. 性质二:11C C C m m m n n n −+=+.性质二的实际意义:一般地,从121,,,n a a a +这1n +个不同元素中取出m 个元素的组合数是1C m n +,这些组合可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出1m −个元素与1a 组成的,共有1C m n −个;不含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有C m n 个.在这里,主要体现了从特殊到一般的归纳思想和“含与不含某元素”的分类思想. 归纳总结 如何理解性质一?性质一表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合,与剩下的n m −个元素的组合是一一对应关系.性质一的应用:(1)简化计算:当2n m >时,通常将计算C m n 转化为计算C n mn −,如5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯;(2)列等式,C C x y n n x y =⇒=或x y n +=.如388C C 3xx =⇒=或3+8x =.如何理解性质二?性质二表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合,可以分为两类:第1类,取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合,只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可,有C m n 个组合;第2类,取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合,只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m −个后再取出元素a 即可,有1C m n −个组合. 要注意性质二11C C C m m m n n n −+=+的顺用、逆用、变形用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形用是变形为11C C C m m m n n n −+=−再使用,为某些项前后相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.性质二的应用:恒等变形,简化运算.在后面学习二项式定理”时,我们会看到它的具体应用. 知识延伸 常见组合恒等式 (1)11C C m m n n n m m −−+=; (2)1C C m mn n n n m−=−; (3)11C C m m n n n m−−=; (4)1121C C C C C r r rr r r r r n n ++++++++=;(5)011C C C C r r m n m n −+++0C C C r rm n m n +=.说明:在后面学习“二项式定理”时,我们可以得到更多组合恒等式.。

组合数的两个性质

组合数的两个性质

Ⅱ、形式公式往往有现实意义的解释；换一个角度来说，有时，也可 能从现实解释中，发现又一个形式公式.
Ⅲ、公式一有改变计数角度，简化运算的作用.（当时 m n，通常将计
算
C
m n
改为计算C

nm n
.）
2
例4：在8件产品（其中1件次品）中， ①随机抽取3件进行检验，有几种可能？ ②随机抽取3件进行检验，若次品一定抽到，有几种可能？ ③随机抽取3件进行检验，若次品一定不抽到，有几种可能？
探究与发现《组合数的两个性质》
复习：组合数两个公式
用学过的公式计算：（1）C19080 （2）C41, C43 及 C51, C52 , C53 , C54 的值
问题1：观察（2）中数值，看有什么发现？你会简化（1）的计算吗？ 问题2：能否有一个更一般的式子？ 问题3：能否用组合公式给出证明？
一种现实内容的解释 我们已证明了公式：公式是一种抽象的数量关系的形式.此公式恰有确切的现实 意义，反映了一类具体的现实关系. 例1：某班早晨派4名同学值日，要求3人扫地，1人打水，问有多少种分派方法？
例2：在a,b,c,d四个元素中任选3个，问有多少种选法？
例3：填空：
①C2107 =________；
② C19080 =_________;
③若
C
x 20
C
2x7 20
，则
x ___________.
思想方法小结 问题4：通过以上的学习，你对公式的获得和公式的理解有何看法？
Ⅰ、形式公式，有时可以从特例的计算中获得发现.
问题5：仿照上述例子，把组合数 C42 分两类进行叙述？并写出我们得到的一般结论？
Cnm1 Cnm Cnm1(n m 1)

探究与发现组合数的两个性质

探究与发现组合数的两个性质

3.若C138n6
C 4n2 18
,
则n
4.已知： C225x C2x57 ,求x．
1.思考并计算下面各题 (1)C83与C73 C72 (2)C53与C43 C42
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？
猜想:
Cnm+1 = C?n + C?n
Cnm+1
=
Cm-1
n
+
Cnm
猜想：
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的组合数 一一对应
从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的组合数
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于
从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
C
m n
C nm n
练习题
1.计算
C198 200
C 2005 2006
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
m
A m Cn
n m
n(n
1)( n
2)(n m!
m
1)
Am
Cm n!
n m!(n m)!
计算下列各式
(1) C53 与 C52
(2) C73 与 C74
解：C53
543 3 21
10
C52
54 21
10
C73
765 3 21
35
跟踪练习：
若C
7 n 1
Cn7
Cn8 .
求n
2024/8/1
C74
7654 43 21
35
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？

组合数的两个性质

组合数的两个性质

即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n

组合数的性质(2)

组合数的性质(2)

（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出

2.组合数的两个性质

2.组合数的两个性质
第1页，共13页。
复习提问
• 排列的定义
• 组合的定义
• 二者的区别
• 排列数、组合数的公式（乘 积的形式和阶乘的形式）
第2页，共13页。
某班级一个小组有10名同学,参加班级组 织的一次大扫除活动(这一组负责公共区和 教室) (1)从中选7人打扫公共区有多少种选法 (2)从中选3人打扫教室多少种选法
第6页，共13页。
组合数的两个性质:
C C 性质1
m
n
nm n
性质2
C m1 n
Cnm
Cm n 1
第7页，共13页。
• 性质1体现的是:“取法”与“剩法”一一 对应的思想
• 性质2体现的是“含与不含其它元素” 的分类讨论的思想.
• 这两种思想是解决复杂排列与组合的常用 思想.
第8页，共13页。
4、若Anm 60,Cnm 10,则m＝
5、若Cn71 Cn7 Cn8 ,则n＝ 6、C40 C51 C62 ..... C19060
，n＝
第12页，共13页。
思考题：
（6）100件产品,有10件是次品,从这100件产品中任意抽出3件 1)一共有多少种不同的抽法? 2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种? 3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
(1)C170
10!
C C (2)C130
C170
10 9 8
C31!30
120
m n
nm n
第3页，共13页。
组合数的性质
性质1 Cmn ＝Cnn－m 规定： C0n ＝1
例：（1）求C210907
（2）已知C158n
C n2 18
4，求n
n=1,2,4

组合数的两个性质ppt 人教课标版

组合数的两个性质ppt 人教课标版
n! (n m)![n (n m)]! n! m !(n m)!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2

C
7
3 !

CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!

组合数的两个性质

组合数的两个性质

组合数的两个性质组合数的两个性质一、复习知识1、一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号m n C 表示3、组合数的公式(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、新课讲解练习:计算 310C 和710C问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相同怎样对这一结果进行解释从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素,就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。

因此,从10个元素中取7个元素的组合,与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的。

问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n - m 个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数。

组合数的性质1:m n nm n C C -= 证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -= ∴m n n m n C C -= 说明:1、当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化. 2、我们规定10=n C3、y n x n C C =y x =?或n y x =+组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球①从口袋里取出3个球,共有多少种取法②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球,有多少种取法③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.一般地,从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC . 证明:)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m nn )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+=m n C +1-m nC . 说明:1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.小结:组合数的性质1:m n nm n C C -= 组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC常用的组合数性质公式还有:子子宫子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子了解三、例题分析例1、计算例2、解方程或不等式7234135n n n C A ---=、62213132n n C C +-=、456113m m m m C C C --->+、例3、证明111111m m m m n n n n C C C C --+--=++、1112n n n n n n n m n m C C C C ++++++++= 、例4、在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)一共有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种四、小结通过这一节课的学习我们要进一步熟悉组合数的公式;了解组合数性质推导时的思维方法,掌握组合数的两个性质五、作业优化设计:P84强化训练:6、8、10;P86强化训练:7相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

组合与组合数公式(二)

组合与组合数公式(二)
透过率仪 https:///product/LS183.html 透过率仪
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。
c
b
a
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
d
bc
d
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc abd acd bcd d cba
abc abd acd bcd 含元素a 的组合数: 不含元素a 的组合数:
例4 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场?
例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件:
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
作业：
课本第243页练习5(3)(4)(5) , 6 , 7 题;习题三十第1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 题．
选做题:复习参考题九第1 , 2题.
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
色球拍模样的爪子……轻飘的墨黑色磨盘般的五条尾巴极为怪异，嫩黄色烤鸭模样的插头兽皮肚子有种野蛮的霸气。墨灰色细竹一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息 时有种浅橙色草籽般的气味，乱叫时会发出鲜红色闪电样的声音。这个巨鬼头上亮蓝色海胆一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如螃蟹一样的铃铛浮动的脑袋认为很是 出色但又带着几分帅气。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公 主组成了一个巨大的玻璃管蟹眼仙！这个巨大的玻璃管蟹眼仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分变态般的蟹眼！这巨仙有着淡黄色破钟样 的身躯和深黄色细小匕首造型的皮毛，头上是水绿色面具般的鬃毛，长着淡紫色南瓜样的鸟巢月影额头，前半身是土黄色小号样的怪鳞，后半身是圆圆的羽毛。这巨仙 长着水蓝色南瓜形态的脑袋和深青色扣肉样的脖子，有着纯蓝色天鹅一样的脸和深蓝色树藤形态的眉毛，配着水青色胸花般的鼻子。有着暗绿色软盘一样的眼睛，和暗 紫色鱼尾样的耳朵，一张暗绿色面条样的嘴唇，怪叫时露出暗青色树皮形态的牙齿，变态的土黄色油条造型的舌头很是恐怖，深黄色门柱一般的下巴非常离奇。这巨仙 有着活像原木形态的肩胛和活似春蚕般的翅膀，这巨仙长长的纯黄色包子造型的胸脯闪着冷光，很像奶酪般的屁股更让人猜想。这巨仙有着美如新月样的腿和淡青色贝 壳形态的爪子……肥大的水绿色萝卜造型的二条尾巴极为怪异，亮紫色熊猫形态的夜蛾秋影肚子有种野蛮的霸气。纯黄色玉笋般的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有 种水青色硬币造型的气味，乱叫时会发出淡蓝色剑鞘一样的声音。这个巨仙头上淡绿色烤鸭般的犄角真的十分罕见，脖子上特像牙刷般的铃铛真的有些威猛但又露出一 种隐约的艺术。这时那伙校精组成的巨大水草象背鬼忽然怪吼一声！只见水草象背鬼扭动花哨的耳朵，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整 个怪物像巨大的浅灰色种子一样裂开……二千九百七十五条紫红色小路模样的贪婪巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵乳白色履带模样的炽热巨大 怪芽疯速膨胀起来……一簇簇碳黑色面条模样的残暴巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵浅灰色镊子模样的阴森巨蕾恐怖地钻了出来……随着深黑色菊花模样的凶恶 巨花狂速盛开，无数钢灰色折扇模样的奇寒花瓣和碳黑色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数碳黑色布条模样的炽热果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每 个巨大果实上都

高中数学组合 (4)

高中数学组合 (4)

三、相同元素分配,隔板处理
练习1： 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛, 每校至少有1人,这样有几种选法?
练习2：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒 至少1球的放法有多少种？ 变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可 空，不同的放法有多少种？
二、相同元素不相邻问题
例：某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C 2C 3C C 126
1 6 2 6 3 6 4 6
种分法.
例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
4
4 256种方法；
2 3 A.(C C7 )(C7 C82 ) 3 2 C.C C C7 C8 3 8 3 2 8 7
C
3 2 3 B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不 都入选的不同选法种数共有（ ）
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
练习： 10名学生均分成2组，每组选出正、 副组长各1人，共有多少种不同的方法？
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
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组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。

即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。

要证明这个等式成立，即证明两个量相等。

那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。

我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。

于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。

（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。

所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c mn 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数cm n n-，即c mn =cm n n-。

（4）当2n m >时，利用这个公式，可是cm n的计算简化。

如：3621892979979=⨯⨯===-c c c ，49502199100210098100=⨯⨯==c c 。

（5） 注意：当m=n 时，公式c m n =c mn n-变形为c c n nn 0=，又cn n=1，所以规定：cn0=1即 0！=1（6）在这样的一组组合数：cn0，cn1，cn2……cn n2-，cn n1-，cn n中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。

如：c n=cn n，c n1=cn n1-，c n2=cn n2-，……。

2． 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）（1）用计算的方法考察组合数：c 35与c c 2434+， c58与c c 4757+的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）∵1021452535=⨯⨯==c c106424142434=+=+=+C C c c∴c 35=c c 2434+∵563216783858=⨯⨯⨯⨯==c c563521321567216737274757=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+c c c c∴c58=c c 4757+规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则c c c m nmn m n 11-++=，（或c c cm n m n m n111---+=）定理2c c c m nmn mn 11-++= (n,m ∈N,且m ≤N)（2） 定理2的证明。

要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n cc m nm n)!1(!)1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=-++-+=c mn m n m n 1)!1(!)!1(+=-++=∴cm n 1+=cc m nm n1-+（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1+n a这n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，一类不含1a 。

含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cm n1-，不含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数为cmn 。

再由加法原理，得：cc c m nm nm n 11-++=。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，等于从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 与从n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数cm n1-的和。

这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、课堂练习： 1． 计算c 198200与c c299399+；2． 求c c2738-；3． 利用定理2证明：c c c cc c m nm m m m m n mn mn 11321...++---=+++++证明：c c cmn m n m n1111-+-++=c c c c c c c m n mn mn mn m n m n m n 133211221+----+---+++=++=……c c cc c mmm m m n m n m n ++++++---=1321...又证：将原式左边的各项写成：c c cm n m n m n 1111+-+--=，c c c m n m n mn 12112+-+---=，c c c m n m n m n 12113+-+---=， ……c c c m m m m m m 11121+++++-=，cc m m m m11++=，将上述的等式两边相加，得：c c c cc c m nm m m m m n m n m n 11321...++---=+++++四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求c c c c c 5545352515222++++2. 证明: c c cc c n m n n m n n n n n n n11121+++++++=+⋅⋅⋅+++3.书上。