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对此部分，《教学大纲》要求是理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题，而《课程标准》要求，通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
与大纲比较，标准降低要求，不再要求掌握和应用“组合数的两个性质”。
因此教科书以选学内容的方式对它们进行介绍。
“组合数的性质”是学生学习了函数的图像与性质、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式定理的基础，并且能结合实际生产和生活中的问题。
本课题不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；不仅具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神，而且能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生的创新精神。
数学基础知识与典型例题完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．排列称为全排列，排列数为个元素并成一组，叫做从≤n..n rC -123n +展b c)n①对立事件的概率和等于1：1P(A)=+P(=+.P(A)A)A如果在一次试验中某事件发生的概率为①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止n n x p ++ξ的数学期望或平均数、均值的数学期望：(E E a ηξ=+n的根方差或标准差.随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dξ越小，稳定性越高，波服从几何分布即(,N μσ均可化为标准正态总体(0,1)N ξ来进行研究.(,N μσ只需作变换η=(0,1)N ,∴有公式()()x F x μσ-=Φ.∴若(,N ξμσ则(P a ξ<≤)()a μσ--Φ”原则.的数学期望与方差.数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案例1.A 例2.C 例3.D 例4.C例5.C 例6.B 例7.D 例8.B例9.510例10. 解：⑪如图1，先对a 1部分种植，有3种不同的种法，再对a 2、a 3种植， 因为a 2、a 3与a 1不同颜色，a 2、a 3也不同。
所以S （3）=3×2=6（种）。
如图2，S （4）=3×2×2×2－S （3）=18（种）。
⑫如图3，圆环分为n 等份，对a 1有3种不同的种法， 对a 2、a 3、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1与a i （i =2、3、……、n －1）不同颜色， 但不能保证a 1与a n 不同颜色.于是一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为()(3)S n n ≥种. 另一类是a n 与a 1同色的种法，这时可以把a n 与a 1看成一部分， 这样的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为)1(-n S . 共有3×2n －1种种法.这样就有123)1()(-⨯=-+n n S n S . 即]2)1([2)(1----=-n n n S n S ，则数列{()2}(3)n S n n -≥是首项为32)3(-S 公比为－1的等比数列. 则33()2[(3)2](1)(3).n n S n S n --=--≥由⑪知：6)3(=S ，∴3()2(68)(1)n n S n --=--.∴3()22(1)n n S n -=-⋅-. 答：符合要求的不同种法有322(1)(3).n n n --⋅-种≥例11.D 例12.C 例13.C例14.B 例15.D 例16.B例17. 73 例18. 542例19. ①，③例20. 解：（1）显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件： ①A 1：“A 、B 均取红球”； ②A 2：“A 、B 均取白球”； ③A 3：“A 、B 均取黄球”.123111(),(),()626366x y z P A P A P A =⨯=⨯=⨯12332()()()(),36x y zP A P A P A P A ++∴=++=32()136x y zP B ++∴=-（2）由（1）知32()36x y zP A ++=，6,0,0,0x y z x y z ++=又≥≥≥ 于是32121(),36362x y z x z P A +++-==≤ 6,0x y z ∴===当，即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为.21例21.B 例22.A 例23.B例24.A 例25.D 例26.B例27.D 例28. 1.2 例29. 0.32 , 72例30. 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力. 解（Ⅰ）一次实验中，设事件A 表示“试验成功”，则4445(),()1().6699P A P A P A =⨯==-=（Ⅱ）依题意得：:),95,4(~其概率分布列为B ξ52054804,4.999981E D ξξ∴=⨯==⨯⨯=10、如果你设定了“伟大的目标”，先“疯狂地达成小目标”吧！短期目标疯狂突破了，长期目标才能全面征服！Breakthroughs together with ,persistence lead to success!我总结十几年的英语训练和人生的成功之路，我深刻地体会到，不论是英语学习，还是为成功而奋斗，单凭毅力是靠不住的，没有成就感的支撑，人是坚持不了多久的，我们必须不断创造成就感，才会变得更有“毅力”。
![1[1].2.2组合(二三)](https://uimg.taocdn.com/26fb405f804d2b160b4ec0d1.webp)
《组合数的两个性质》知识解读性质一:C C m n mn n−=. 该性质反映了组合数的对称性,其组合意义是:从n 个不同的元素中取出m 个元素后,就剩下n m −个元素,因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法,与从n 个元素中取出n m −个元素的方法是一一对应的,它们是一样多的,就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着从n 个不同元素中取出n m −个元素的唯一的一个组合,反过来也一样.故从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ,等于从n 个不同的元素中取出n m −个元素的组合数C n m n −,也就是C C m n mn n −=. 性质二:11C C C m m m n n n −+=+.性质二的实际意义:一般地,从121,,,n a a a +这1n +个不同元素中取出m 个元素的组合数是1C m n +,这些组合可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出1m −个元素与1a 组成的,共有1C m n −个;不含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有C m n 个.在这里,主要体现了从特殊到一般的归纳思想和“含与不含某元素”的分类思想. 归纳总结 如何理解性质一?性质一表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合,与剩下的n m −个元素的组合是一一对应关系.性质一的应用:(1)简化计算:当2n m >时,通常将计算C m n 转化为计算C n mn −,如5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯;(2)列等式,C C x y n n x y =⇒=或x y n +=.如388C C 3xx =⇒=或3+8x =.如何理解性质二?性质二表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合,可以分为两类:第1类,取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合,只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可,有C m n 个组合;第2类,取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合,只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m −个后再取出元素a 即可,有1C m n −个组合. 要注意性质二11C C C m m m n n n −+=+的顺用、逆用、变形用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形用是变形为11C C C m m m n n n −+=−再使用,为某些项前后相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.性质二的应用:恒等变形,简化运算.在后面学习二项式定理”时,我们会看到它的具体应用. 知识延伸 常见组合恒等式 (1)11C C m m n n n m m −−+=; (2)1C C m mn n n n m−=−; (3)11C C m m n n n m−−=; (4)1121C C C C C r r rr r r r r n n ++++++++=;(5)011C C C C r r m n m n −+++0C C C r rm n m n +=.说明:在后面学习“二项式定理”时,我们可以得到更多组合恒等式.。
组合数的两个性质组合数的两个性质一、复习知识1、一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号m n C 表示3、组合数的公式(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、新课讲解练习:计算 310C 和710C问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相同怎样对这一结果进行解释从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素,就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。
因此,从10个元素中取7个元素的组合,与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的。
问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n - m 个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数。
组合数的性质1:m n nm n C C -= 证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -= ∴m n n m n C C -= 说明:1、当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化. 2、我们规定10=n C3、y n x n C C =y x =?或n y x =+组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球①从口袋里取出3个球,共有多少种取法②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球,有多少种取法③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.一般地,从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC . 证明:)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m nn )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+=m n C +1-m nC . 说明:1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.小结:组合数的性质1:m n nm n C C -= 组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC常用的组合数性质公式还有:子子宫子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子了解三、例题分析例1、计算例2、解方程或不等式7234135n n n C A ---=、62213132n n C C +-=、456113m m m m C C C --->+、例3、证明111111m m m m n n n n C C C C --+--=++、1112n n n n n n n m n m C C C C ++++++++= 、例4、在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)一共有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种四、小结通过这一节课的学习我们要进一步熟悉组合数的公式;了解组合数性质推导时的思维方法,掌握组合数的两个性质五、作业优化设计:P84强化训练:6、8、10;P86强化训练:7相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。
组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ yn x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C1+＝m n C +1-m n C ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝mn C +1-m n C ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．补充例题⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：nn n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。
