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三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线在平面内射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α垂线和斜线，AO 是PO 在平面α射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间垂直关系。
（4）直线a 及PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理实质是平面一条斜线和平面内一条直线垂直判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理逆命题，并证明它正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上射影是BCD ∆垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面内射影在这个角平分线上 已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 斜线，。
(1)求PA 及面ABC 所成角大小;(2)当PA 长度等于多少时候，点P 在平面ABC 内射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
灵活活用三垂线定理及其逆定理解题三垂线定理及其逆定理揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影这三线的垂直关系，简化了线面垂直，从而证明线与平面内直线垂直的过程大大被简化．下面举例说明如何灵活运用两定理解题．【例１】 已知a ，b 为异面直线，A 、C 两点在a 上， B 、D 两点在b 上，且AB ⊥CD ， AD ⊥BC ，如图1，求证：直线a ⊥直线b【分析】根据已知中的线线垂直，可选择平面BCD ，相对这个平面使用三垂线定理的逆定理，可证出A 点在平面BCD 内的射影为∆BCD 的垂心，再使用三垂线定理即可得证．【证明】过A 作AO ⊥平面BCD 于O ， 连结BO 、CO 、DO∵ AB ⊥CD ，∴AO ⊥平面BCD ∴由三垂线定理的逆定理：BO ⊥CD 同理，DO ⊥BC ，∴ O 为∆BCD 的垂心，∴BD ⊥CO由三垂线定理得，AC ⊥BD ，即直线a ⊥直线b【评注】此例证明中由已知线线垂直，选取平面BCD ，作出AO ⊥平面BCD 来使用三垂线定理及逆定理，是证明的关键．因此在解题、证题时，结合题设条件选择哪一个平面来使用三垂线定理及逆定理是十分重要的．【例2】如图2，平面α内有Rt ∆ABC ，∠C=900 ，P 是平面α外一点，且PA=PB=PC ， P 点到平面α的距离是40cm ，AC=18cm ，求点P 到BC 的距离．ACBDO图1ab【解析】∵PA=PB=PC ，作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则AO=BO=CO ， ∴ O 点是∆ABC 的外心，又∵090=∠C ，∴O 点落在AB 边的中点上. 作OD ⊥BC,由三垂线定理知PD ⊥BC,∴PD 就是点P 到BC 边的距离. 且OD ∥AC,且OD=21AC ， ∴ OD ＝9(cm) , 在POD Rt ∆中,)(4122cm OD PO PD =+=,所以P 到BC 的距离为41 cm.．【评注】解答本题的关键是根据已知条件，利用三垂线定理寻找到点Ｐ到BC 的距离PD ．进而在POD Rt ∆中解出PD 的长度．例３ 已知Ｐ是正方形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ．过点Ａ作一平面与PC 垂直,且分别交PB 、PC 、PD 于E 、H 、F, 求证：Ｅ、Ｆ分别是Ａ点在直线PB 、PD 上的射影．分析：此题实质上是证明线线垂直，即证明AE ⊥PB, AF ⊥PD ．可考虑用三垂线定理或其逆定理．证明：如图3所示，∵ PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥BC. ∵AB ⊥BC, ∴BC ⊥平面PA B. ∴PC 在平面PAB 上的射影为PB.∵PC ⊥平面AEHF,⊂AE 平面AEFHF, ∴ PC ⊥AE. 故PB ⊥AE (三垂线的逆定理), 即E 是A 点在直线PB 上的射影. 同理可证, F 是A 点在直线PD 上的射影.ABC OD Ｐ 图２Ｐ A BCDＥ图３ＦＨ评注:与线线垂直有关的问题,一般都能借助三垂线定理或其逆定理来解决.关于定理的应用，关键是找出平面的垂线，射影则是由垂足、斜足、来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明“a ⊥b ”的一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平面及平面的垂线．第二：找射影线，这时a 、b 便成为平面上的一条直线及一条斜线． 第三：证明射影线与直线a 垂直，从而得出a ⊥b ．。
