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§6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,)n n V P a a a σα→a L 12(,,,),n a a a L 1122n na a a αεεε=+++L 12()(,,,),n a a a σα=L σσ这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=∀∈L 归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(),n k a a a k σα==L 从而一、同构映射的定义设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质：V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与.V V ′≅ii) ()()(),,V σαβσασβαβ+=+∀∈iii) ()(),,k k k P V σασαα=∀∈∀∈i) 为双射σ为V 的一组基，则前面V 到P n 的一一对应例1 V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL :,nV P σ→12(,,,)n a a a αa L V α∀∈这里为在基下的坐标，α12(,,,)n a a a L 12,,,n εεεL 就是一个V 到P n 的同构映射，所以.nV P ≅1 数域P 上任一n 维线性空间都与P n 同构.二、同构的有关结论同构映射，则有()()()00,.σσασα=−=−1）2 设是数域P 上的线性空间，的V V σ′是到,V V ′2）1122()r r k k k σααα+++L 1122()()(),r r k k k σασασα=+++L ,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=L线性相关（线性无关）.3）V 中向量组线性相关（线性无关）12,,,r αααL 的充要条件是它们的象12(),(),,()r σασασαL 4）dim dim .V V ′=5）的逆映射为的同构映射.V V σ′→：1σ−V V ′到是的子空间，且V ′dim dim ().W W σ=(){()}W W σσαα=∈6）若W 是V 的子空间，则W 在下的象集σ中分别取即得01,k k ==−与()()()00,σσασα=−=−证：1）在同构映射定义的条件iii)()()k k σασα=2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由11220r r k k k ααα+++=L 可得1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 反过来，由1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 可得1122()0.r r k k k σααα+++=L而是一一对应，只有σ(0)0.σ=所以可得11220.r r k k k ααα+++=L 因此，线性相关（线性无关）12,,,r αααL 12(),(),,()r σασασα⇔L 线性相关（线性无关）.4）设为V 中任意一组基.12,d ,,im ,n V n εεε=L 由2）3）知，为的一组基.σ12(),(),,()n σεσεσεL 所以dim dim .V n V ′==11(())()σσαβσσαβαβ−−′′′′′′+=+=+o 任取,,V αβ′′′∈11,,V V I I σσσσ−−′==o o I 为恒等变换.1111()()(())(())σσασσβσσασσβ−−−−′′′′=+=+o o 11(()())σσασβ−−′′=+5）首先是1－1对应，并且1:V V σ−′→同理，有11()(),,k k V k P σασαα−−′′′′=∀∈∀∈所以，为的同构映射.1σ−V V ′到σ再由是单射，有111()()()σαβσασβ−−−′′′′+=+σ6）首先，()()W V V σσ′⊆=()()(),W W σσσ∈∴≠∅Q 且0=0其次，对有W 中的向量(),,W αβσ′′∀∈,αβ使()(),.σαασββ′′==于是有()()()αβσασβσαβ′′+=+=+()(),k k k k Pασασα′==∀∈由于W 为子空间，所以,.W k W αβα+∈∈从而有()(),.W k W αβσασ′′′+∈∈由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dim dim ().W W σ=故所以是的子空间.V ′()W σ()W W σ≅显然，也为W 到的同构映射，即()W σσ注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构,:V V V V στ′′′′→→：3 两个同构映射的乘积还是同构映射.()()()()τσαβτσασβ+=+o ()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+o o ()()()()()k k k τσατσατσα==o ()()()k k τσατσα==o 任取,,V k P αβ∈∈，有映射，则乘积是的1－1对应.V V ′′到τσo 所以，乘积是的同构映射.V V ′′到τσo同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注,V V V V V V σττσ′′′′′′≅≅⇒≅o VI V V≅1V V V Vσσ−′′≅⇒≅4 数域P 上的两个有限维线性空间同构12,V V 12dim dim .V V ⇔=证：""⇒""⇐若由性质2之4）即得12,V V ≅12dim dim .V V =（法一）若12dim dim ,V V =12.V V ∴≅由性质1，有12,n nV P V P ≅≅设分别为V 1,V 2的一组基.1221,,;,,n n e e e εεεL L 定义使12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε∀=+++∈L 1122()n na e a e a e σα=+++L 则就是V 1到V 2的一个映射.σ（法二：构造同构映射）""⇐又任取设11,,n ni i i i i i a b αεβε====∑∑1,,V αβ∈1,2,,,i n =L 从而，所以是单射..αβ=σ若即则()(),σασβ=11,n n i i i i i i a e b e ===∑∑,i i a b =任取设2,V α′∈1,ni i i a e α=′=∑所以是满射.σ再由的定义，有σ(),1,2,,i i e i n σε==L ()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=易证，对有1,,k P V αβ∀∀∈∈12.V V ≅所以是V 1到V 2的一个同构映射，故σ则有使11,n i i i a V αε==∈∑().σαα′=例2 把复数域看成实数域R 上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2C R ≅首先，可表成1,,x a bi a b R =+∈,x C x ∀∈其次，若则0.a bi ab =1+=0,=所以，1，i 为C 的一组基，dim 2.C =又，2dim 2R =2dim dim .C R =所以，12.V V ≅故，证法二构造同构映射则为C 到R 2的一个同构映射.σ作对应()()2:,,.C R a bi a b σσ→+=作成实数域R 上的线性空间.把实数域R 看成是自身上的线性空间.,ka b ab k a a⊕==o 例3 全体正实数R +关于加法⊕与数量乘法：o 证明：并写出一个同构映射. ,R R +≅证作对应():,ln ,R R a a a R σσ++→=∀∈易证为的1－1对应.σR R +到且对有,,,a b R k R +∀∈∀∈()()()()ln ln ln a b ab ab a b a b σσσσ⊕===+=+()()()ln ln kk k a a a k a k a σσσ====o 所以，为的同构映射.σR R +到故.R R +≅方法二作对应():,,x R R x e x R ττ+→=∀∈易证：为的1－1对应，而且也为同构映射.R R +到τ事实上，为的逆同构映射.τσ2）证明：复数域C 看成R 上的线性空间与W 同构，设集合(){},a b W a b R b a =∈−练习1）证明：W 为的子空间，并求出W 的维数22R×与一组基.并写出一个同构映射.。
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
同构映射的定义同构映射的定义§6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,)n n V P a a a σα→a L 12(,,,),n a a a L 1122n na a a αεεε=+++L 12()(,,,),n a a a σα=L σσ这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=?∈L 归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(),n k a a a k σα==L 从而一、同构映射的定义设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质：V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与.V V ′?ii) ()()(),,V σαβσασβαβ+=+?∈iii) ()(),,k k k P Vσασαα=?∈?∈i) 为双射σ为V 的一组基，则前面V 到P n 的一一对应例1 V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL :,nV P σ→12(,,,)n a a a αa L V α?∈这里为在基下的坐标，α12(,,,)n a a a L 12,,,n εεεL 就是一个V 到P n 的同构映射，所以.nV P ?1 数域P 上任一n 维线性空间都与P n 同构.二、同构的有关结论同构映射，则有()()()00,.σσασα=?=?1）2 设是数域P 上的线性空间，的V V σ′是到,V V ′2）1122()r r k k k σααα+++L 1122()()(),r r k k k σασασα=+++L ,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=L线性相关（线性无关）.3）V 中向量组线性相关（线性无关）12,,,r αααL 的充要条件是它们的象12(),(),,()r σασασαL 4）dim dim .V V ′=5）的逆映射为的同构映射.V V σ′→：1σ?V V ′到是的子空间，且V ′dim dim ().W W σ=(){()}W W σσαα=∈6）若W 是V 的子空间，则W 在下的象集σ中分别取即得01,k k ==?与()()()00,σσασα=?=?证：1）在同构映射定义的条件iii)()()k k σασα=2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由11220r r k k k ααα+++=L 可得1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 反过来，由1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 可得1122()0.r r k k k σααα+++=L而是一一对应，只有σ(0)0.σ=所以可得11220.r r k k k ααα+++=L 因此，线性相关（线性无关）12,,,r αααL 12(),(),,()r σασασα?L 线性相关（线性无关）.4）设为V 中任意一组基.12,d ,,im ,n V n εεε=L 由2）3）知，为的一组基.σ12(),(),,()n σεσεσεL 所以dim dim .V n V ′==11(())()σσαβσσαβαβ??′′′′′′+=+=+o 任取,,V αβ′′′∈11,,V V I I σσσσ??′==o o I 为恒等变换.1111()()(())(())σσασσβσσασσβ′′′′=+=+o o 11(()())σσασβ??′′=+5）首先是1－1对应，并且1:V V σ?′→同理，有11()(),,k k V k Pσασαα??′′′′=?∈?∈所以，为的同构映射.1σ?V V ′到σ再由是单射，有111()()()σαβσασβ′′′′+=+σ6）首先，()()W V V σσ′=()()(),W W σσσ∈∴≠?Q 且0=0其次，对有W 中的向量(),,W αβσ′′?∈,αβ使()(),.σαασββ′′==于是有()()()αβσασβσαβ′′+=+=+()(),k k k k Pασασα′==?∈由于W 为子空间，所以,.W k W αβα+∈∈从而有()(),.W k W αβσασ′′′+∈∈由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dim dim ().W W σ=故所以是的子空间.V ′()W σ()W W σ?显然，也为W 到的同构映射，即()W σσ注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构,:V V V V στ′′′′→→：3 两个同构映射的乘积还是同构映射.()()()()τσαβτσασβ+=+o ()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+o o ()()()()() k k k τσατσατσα==o ()()()k k τσατσα==o 任取,,V k P αβ∈∈，有映射，则乘积是的1－1对应.V V ′′到τσo 所以，乘积是的同构映射.V V ′′到τσo同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注,V V V V V V σττσ′′′′′′o VI V V1V V V Vσσ?′′4 数域P 上的两个有限维线性空间同构12,V V 12dim dim .V V ?=证：""?""?若由性质2之4）即得12,V V ?12dim dim .V V =（法一）若12dim dim ,V V =12.V V ∴?由性质1，有12,n nV P V P ??设分别为V 1,V 2的一组基.1221,,;,,n n e e e εεεL L 定义使12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε?=+++∈L 1122()n na e a e a e σα=+++L 则就是V 1到V 2的一个映射.σ（法二：构造同构映射）""?又任取设11,,n ni i i i i i a b αεβε====∑∑1,,V αβ∈1,2,,,i n =L 从而，所以是单射..αβ=σ若即则()(),σασβ=11,n n i i i i i i a e b e ===∑∑,i i a b =任取设2,V α′∈1,ni i i a e α=′=∑所以是满射.σ再由的定义，有σ(),1,2,,i i e i n σε==L ()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=易证，对有1,,k P V αβ??∈∈12.V V ?所以是V 1到V 2的一个同构映射，故σ则有使11,n i i i a V αε==∈∑().σαα′=例2 把复数域看成实数域R 上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2C R ?首先，可表成1,,x a bi a b R =+∈,x C x ?∈其次，若则0.a bi ab =1+=0,=所以，1，i 为C 的一组基，dim 2.C =又，2dim 2R =2dim dim .C R =所以，12.V V ?故，证法二构造同构映射则为C 到R 2的一个同构映射.σ作对应()()2:,,.C R a bi a b σσ→+=作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间.,ka b ab k a a⊕==o 例3 全体正实数R +关于加法⊕与数量乘法：o 证明：并写出一个同构映射. ,R R +?。
