1-5 线性空间的同构

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

第一章 线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。

§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要，先引入数域的概念。

定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。

显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。

另外，数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域，但整数集不是数域。

我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。

另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。

还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。

我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。

定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足：（1）交换律 αββα+=+（2）结合律 )()(γβαγβα++=++（3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0；（4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）；2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任意P l k ∈,，任意V ∈α，满足（5）αα=1；（6）结合律 αα)()(kl l k =；（7）左分配律 αααl k l k +=+)(；（8）右分配律 βαβαk k k +=+)(；则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。

向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。

同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。

在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。

二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。

2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。

3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。

4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。

5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。

6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。

7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。

8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。

9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。

在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。

内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。

三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。

具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。

此时，我们将T称为从V到W的同构映射。

同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。

四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。

§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。

有限维线性空间的同构与同构定理在线性代数中，我们经常需要研究线性空间之间的映射关系以及它们的性质。

同构是一种重要的映射方式，在研究线性空间的同构性质时具有重要的作用。

本文将探讨有限维线性空间的同构以及同构定理。

一、同构的定义在有限维线性空间中，如果存在一种双射线性映射，将一个线性空间映射到另一个线性空间，并且保持向量加法和数乘运算，则称这两个线性空间是同构的。

简而言之，同构是指两个线性空间在结构上完全等价。

二、同构的性质1. 同构是一种等价关系。

同构具有自反性、对称性和传递性的特点。

对于任意的有限维线性空间V，V与自身一定是同构的；如果V与W是同构的，那么W与V 也是同构的；如果V与W是同构的，W与X是同构的，那么V与X也是同构的。

2. 同构保持线性空间的维度。

如果V与W是同构的有限维线性空间，那么它们的维度一定相等。

这意味着同构保持了线性空间的维度结构。

3. 同构保持线性相关和线性无关的关系。

如果V与W是同构的有限维线性空间，那么它们的向量组的线性相关和线性无关关系是一样的。

这意味着同构保持了线性相关和线性无关性质。

三、同构的判定方法在有限维线性空间中，我们可以通过维度的判定方法来判断两个线性空间是否同构。

设V和W是两个n维线性空间，如果存在一个双射线性映射T：V→W，那么V与W是同构的；反之，如果V与W是同构的，那么必然存在一个双射线性映射T：V→W。

四、同构定理同构定理是研究有限维线性空间同构性质的重要定理，它为我们判定线性空间的同构提供了方便和准确的方法。

1. 维度定理设V和W是两个有限维线性空间，如果V与W是同构的，那么它们的维度一定相等。

即dim(V) = dim(W)。

2. 基定理设V和W是两个n维线性空间，如果V与W是同构的，那么V和W的基空间一定是同构的。

即V的基空间与W的基空间是同构的。

3. 像空间和核空间的关系设V和W是两个有限维线性空间，T：V→W是一个线性映射。

那么T的像空间im(T)与V的核空间ker(T)是同构的。

线性空间的同构分析线性空间的同构分析是线性代数中的一个重要概念，用来研究两个线性空间之间的一一映射关系。

在本文中，我们将探讨线性空间的同构概念及其相关性质，以及同构与线性变换之间的关系。

1. 同构的定义与性质线性空间的同构可以定义为两个线性空间之间的一一映射，使得这个映射保持线性结构。

具体而言，对于两个线性空间V和W，存在一个从V到W的映射φ，如果满足以下条件，那么称φ为V到W的同构映射：(1) φ是双射，即φ是一个一一对应的映射；(2) 对于任意的向量v1和v2，以及任意的标量t，都有φ(tv1 + v2) = tφ(v1) + φ(v2)。

同构的一个重要性质是保持线性结构，即同构映射保持向量的线性运算。

这意味着如果两个线性空间是同构的，它们之间的向量运算都是相容的。

此外，同构映射还保持向量的线性无关性和线性相关性，以及维数和基的映射关系。

2. 同构的判定方法判定两个线性空间是否同构有多种方法。

常用的方法包括维数判定、基的映射和矩阵判定法。

(1) 维数判定：如果两个线性空间的维数相等，则它们可能是同构的。

然而，维数相等并不意味着一定存在同构映射，还需要进一步验证。

(2) 基的映射：如果两个线性空间的基可以通过线性变换互相映射，那么它们是同构的。

具体地，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，如果存在一个线性变换T，使得T(vi) = wi (1≤ i ≤ n)，则V和W是同构的。

(3) 矩阵判定法：设V和W的维数均为n，如果存在一个n×n的可逆矩阵A，使得对于任意的v∈V，有Av∈W，那么V和W是同构的。

其中，A的每一列都是W中对应的基向量的坐标表示。

3. 同构与线性变换的关系线性变换是线性代数中另一个重要的概念，与同构密切相关。

事实上，同构映射可以看作是线性空间之间的线性变换，且是双射的特殊情况。

对于同构映射φ：V → W，我们可以定义一个线性变换T：V → W，使得对于任意的v∈V，都有T(v) = φ(v)。

第19讲，综合复习与线性空间的同构关于线性空间的基本要求（一）1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理.3.求给定线性空间的基和维数4.求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标5.知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数,熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.12综合例题例1 实数域上全体m ⨯n 实矩阵所构成的集合V = M m ,n (R)在矩阵的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出M m ,n (R) 的一组基, 并求dim M m ,n (R).解如果用E ij 来表示(i , j ) 位置上的元素为1, 其余位置上的元素为0 的m ⨯n 矩阵, 容易证明这mn 个矩阵作为V 的向量组是线性无关的.容易看出来对任意A = (a ij )m ⨯n 都有∑∑===m i n j ij ij E a A 11,可见E ij , i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn 个矩阵组成V 的一组基, 自然dim M m,n (R) = mn.3例2求实数域R 上全体n 阶对称矩阵所构成的线性空间U 的一组基和维数.解容易看出实数域上全体n 阶对称矩阵构成构成的矩阵集合U 是V = M m ,n (R) 的子空间.由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为U 的基:⎩⎨⎧≤<≤+==.1;,,,,n j i E E j i E F i j j i i i j i 所以dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.4例3R n [x ] 是实数域R 上次数小于n 的多项式与零多项式所组成的线性空间. 给定n 个互不相同的数a 1, a 2,⋯, a n , 令),())(()(21n a x a x a x x f ---= 试证多项式组),,2,1()/()()(n i a x x f x f i i =-=是R n [x ]的一组基.解我们知道dim R n [x ] = n , 只需要证明f i (x ) (i =1, 2,…, n ) 线性无关就可以了.).,,2,1,;(0)(,0)(n j i j i a f a f j i i i =≠=≠设,0)()()(11=++++x f k x f k x f k n n i i 由上式, 当x = a i 时, 得到k i f i (a i ) = 0.故k i = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以f 1(x ), f 2(x ), …, f n (x ) 线性无关, 从而构成R n [x] 的基.5例4证明W = {f (x )|f (1) = 0, f (x )∈R n [x ]} 关于多项式加法和数乘也作成线性空间, 求W 的一组基和维数.解在例3中取a i = i , (i =1, 2,…, n ), 则f 1(x )∉W, 而其它多项式f i (x ) (i = 2,…, n ) 属于W, 由此我们知道了dim W = n -1,例5 设W 1, W 2 是线性空间V 的两个子空间, 则W 1和W 2的并是V 的一个子空间⇔W 1包含W 2, 或W 2包含W 1.证明充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然,存在元素u 属于W 1, 但不属于W 2, 元素v 属于W 2但不属于W 1. 则u+v 不属于W 1与W 2 的并, 与W 1和W 2的并是V 的一个子空间矛盾.且f i (x ) (i = 2,…, n ) 就是W 的一组基.6例6 线性空间V 的任意有限个子空间的并是V 的一个子空间⇔它们均包含在其中一个子空间之中.证明充分性是显然的. 现证必要性:对子空间的个数归纳: 设V 有s 个子空间, 分别记为W 1, W 2,⋯, W s , 它们的并是V 的一个子空间, 若11,s s W W W -⊆⋃⋃ 则11s W W -⋃⋃ 是V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包含在其中一个子空间之中,W s 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设11,s s W W W -⊄⋃⋃ 则存在α∈W s ,11,s W W -α∉⋃⋃ 且11,s s W W W -⋃⋃⊄ 且存在11,,s s W W W -β∈⋃⋃β∉ 由例5必有s > 2, 故,,(1),s s W α+β-α+β∉ 1s W W ⋃⋃ 是V 的一个子空间21,,(1),s s W W -∴α+β-α+β∈⋃⋃ 由抽屉原理其中有两个属于同一个W i , 由此可知iW α∈与11s W W -α∉⋃⋃ 矛盾.7例7. 证明：所有n 阶方阵空间M n 是线性子空间空间L 1和L 2的直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。

线性空间的同构理论以下内容来⾃上学期我的⾼等代数学习⼼得下⾯简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下⾯的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)定理1(同构的万有性质)设V1和V2同构，φ是同构映射，则对于任意向量空间W，对任意σ∈L(V1,W),存在唯⼀的σ′∈L(V2,W),使得σ=σ′∘φ定理2(商空间的万有性质)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,πS是V→V/S的⾃然同态.对于向量空间W,若τ∈L(V,W)满⾜S⊂ker(τ),则存在唯⼀的τ′∈L(V/S,W)，使得τ=πS∘τ′下⾯的对应原理也相当重要定理3(对应原理)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,则在⾃然同态下，V的所有包含S的向量空间与V/S的所有⼦空间建⽴了⼀⼀对应由此可推出下⾯的三个同构定理定理4(第⼀同构定理)设V,W是两个向量空间,σ∈L(V,W)是线性映射.则V/Ker(σ)≅Im(σ)定理5(第⼆同构定理)设S,T⊂V是向量空间V的两个⼦空间，则(S+T)/S≅S/(S∩T)定理6(第三同构定理)设S⊂T⊂V均为向量空间，则V/ST/S≅V/T另外，还有命题1设V=V1⊕V2,S=S1⊕S2均为向量空间，则V S=V1⊕V2S1⊕S2≅V1S1⊞V2S2下⾯的定理与对偶空间相关定理7设V是向量空间，则dim(V)≤dim(V∗).等号成⽴当且仅当V是有限维.定理8设V是向量空间，对α∈V,定义¯α∈V∗∗，满⾜¯α(f)=f(α).则映射τ:V→V∗∗:α↦¯α是单同态。

且当V是有限维的时候，τ是同构映射命题2τ(span(M))=M00命题3(S+T)0=S0∩T0,(S∩T)0=S0+T0命题4设V=S⊕T均为向量空间，则T∗≅S0从⽽，当V有限维时，dim S+dim S0=dim V命题5设V=S⊕T均为向量空间，则(S⊕T)∗=S0⊕T0下⾯⼏个命题与转置映射有关定理9设V,W是向量空间,τ∈L(V,W)是线性映射，τt∈L(W∗,V∗)是转置映射，(τt)t∈L(V∗∗,W∗∗)是转置映射的转置映射，则(τt)t(¯α)=¯τα定理10设V,W是向量空间，τ∈L(V,W)，则ker(τt)=Im(τ)0Im(τt)=ker(τ)0 Processing math: 100%。

线性空间的同构线性空间的同构由前面的讨论知道，给定数域F上的n维线性空间V的一个基?1,?2,V中的任意一个向量x由?1,?2,,?n后，,?n唯一线性表示，即存在唯一的,?n]a。

反之，对任意一个向量,?n]a，所以在线性空间V和Fn之a??a1a2an??Fn，使得x?[?1,?2,Ta?Fn，存在唯一的x?V，使得x?[?1,?2,间存在一一的线性映射。

这样，V的一些性质在Fn中会有所体现，所以研究Fn的属性将对V中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。

定义1 设U,V是数域F上的线性空间，T是从U到V的线性映射，如果T是一一映射且为满射，则称T为从U到V的同构映射。

若线性空间U,V之间存在同构映射，则称U,V 同构。

若T为从U到U的同构映射，则称T为U的自同构映射。

例1 数域F上的n维线性空间V与Fn同构。

?01?22TR?x?R例2 定义T(x)??，，则为的自同构映射。

x??10?定理1 设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，且为满射，则T为U到V的同构映射充分必要条件是若T(x)??v有x??u。

证明必要性设T为U到V的同构映射，由于T是一一映射及T(?u)??v，故有若T(x)??v，则x??u。

充分性只要证明T是一一映射即可。

设T(x1)?T(x2)，则T(x1?x2)??v，所以x1?x2??u，故x1?x2，所以T是一一映射。

推论1设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，则T为U到V的同构映射充分必要条件是R(U)?V且N(T)?{?u}。

证明由定理1显然。

由定义判断线性空间同构要求两空间之间存在同构映射，较为麻烦，而对于有限维线性空间，我们有下面的定理。

定理2 设U,V是数域F上的有限维线性空间，则U,V同构的充分必要条件是dimU?dimV。

证明充分性设dimU?dimV?n，由例1得U与Fn之间存在同构映射f，Fn与V之间存在同构映射g，令T?gf，易证T为U到V的同构映射。

同构映射的定义同构映射的定义§6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,)n n V P a a a σα→a L 12(,,,),n a a a L 1122n na a a αεεε=+++L 12()(,,,),n a a a σα=L σσ这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=?∈L 归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(),n k a a a k σα==L 从而一、同构映射的定义设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质：V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与.V V ′?ii) ()()(),,V σαβσασβαβ+=+?∈iii) ()(),,k k k P Vσασαα=?∈?∈i) 为双射σ为V 的一组基，则前面V 到P n 的一一对应例1 V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL :,nV P σ→12(,,,)n a a a αa L V α?∈这里为在基下的坐标，α12(,,,)n a a a L 12,,,n εεεL 就是一个V 到P n 的同构映射，所以.nV P ?1 数域P 上任一n 维线性空间都与P n 同构.二、同构的有关结论同构映射，则有()()()00,.σσασα=?=?1）2 设是数域P 上的线性空间，的V V σ′是到,V V ′2）1122()r r k k k σααα+++L 1122()()(),r r k k k σασασα=+++L ,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=L线性相关（线性无关）.3）V 中向量组线性相关（线性无关）12,,,r αααL 的充要条件是它们的象12(),(),,()r σασασαL 4）dim dim .V V ′=5）的逆映射为的同构映射.V V σ′→：1σ?V V ′到是的子空间，且V ′dim dim ().W W σ=(){()}W W σσαα=∈6）若W 是V 的子空间，则W 在下的象集σ中分别取即得01,k k ==?与()()()00,σσασα=?=?证：1）在同构映射定义的条件iii)()()k k σασα=2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由11220r r k k k ααα+++=L 可得1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 反过来，由1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 可得1122()0.r r k k k σααα+++=L而是一一对应，只有σ(0)0.σ=所以可得11220.r r k k k ααα+++=L 因此，线性相关（线性无关）12,,,r αααL 12(),(),,()r σασασα?L 线性相关（线性无关）.4）设为V 中任意一组基.12,d ,,im ,n V n εεε=L 由2）3）知，为的一组基.σ12(),(),,()n σεσεσεL 所以dim dim .V n V ′==11(())()σσαβσσαβαβ??′′′′′′+=+=+o 任取,,V αβ′′′∈11,,V V I I σσσσ??′==o o I 为恒等变换.1111()()(())(())σσασσβσσασσβ′′′′=+=+o o 11(()())σσασβ??′′=+5）首先是1－1对应，并且1:V V σ?′→同理，有11()(),,k k V k Pσασαα??′′′′=?∈?∈所以，为的同构映射.1σ?V V ′到σ再由是单射，有111()()()σαβσασβ′′′′+=+σ6）首先，()()W V V σσ′=()()(),W W σσσ∈∴≠?Q 且0=0其次，对有W 中的向量(),,W αβσ′′?∈,αβ使()(),.σαασββ′′==于是有()()()αβσασβσαβ′′+=+=+()(),k k k k Pασασα′==?∈由于W 为子空间，所以,.W k W αβα+∈∈从而有()(),.W k W αβσασ′′′+∈∈由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dim dim ().W W σ=故所以是的子空间.V ′()W σ()W W σ?显然，也为W 到的同构映射，即()W σσ注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构,:V V V V στ′′′′→→：3 两个同构映射的乘积还是同构映射.()()()()τσαβτσασβ+=+o ()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+o o ()()()()() k k k τσατσατσα==o ()()()k k τσατσα==o 任取,,V k P αβ∈∈，有映射，则乘积是的1－1对应.V V ′′到τσo 所以，乘积是的同构映射.V V ′′到τσo同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注,V V V V V V σττσ′′′′′′o VI V V1V V V Vσσ?′′4 数域P 上的两个有限维线性空间同构12,V V 12dim dim .V V ?=证：""?""?若由性质2之4）即得12,V V ?12dim dim .V V =（法一）若12dim dim ,V V =12.V V ∴?由性质1，有12,n nV P V P ??设分别为V 1,V 2的一组基.1221,,;,,n n e e e εεεL L 定义使12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε?=+++∈L 1122()n na e a e a e σα=+++L 则就是V 1到V 2的一个映射.σ（法二：构造同构映射）""?又任取设11,,n ni i i i i i a b αεβε====∑∑1,,V αβ∈1,2,,,i n =L 从而，所以是单射..αβ=σ若即则()(),σασβ=11,n n i i i i i i a e b e ===∑∑,i i a b =任取设2,V α′∈1,ni i i a e α=′=∑所以是满射.σ再由的定义，有σ(),1,2,,i i e i n σε==L ()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=易证，对有1,,k P V αβ??∈∈12.V V ?所以是V 1到V 2的一个同构映射，故σ则有使11,n i i i a V αε==∈∑().σαα′=例2 把复数域看成实数域R 上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2C R ?首先，可表成1,,x a bi a b R =+∈,x C x ?∈其次，若则0.a bi ab =1+=0,=所以，1，i 为C 的一组基，dim 2.C =又，2dim 2R =2dim dim .C R =所以，12.V V ?故，证法二构造同构映射则为C 到R 2的一个同构映射.σ作对应()()2:,,.C R a bi a b σσ→+=作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间.,ka b ab k a a⊕==o 例3 全体正实数R +关于加法⊕与数量乘法：o 证明：并写出一个同构映射. ,R R +?。