第19讲.线性空间的同构与综合例题

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

⎪⎩⎪⎨⎧↓映射集合线性空间的同构直和和并子空间与子空间的运算与坐标变换过度矩阵线性空间的基变换坐标基线性空间的维数→→→→,,:)(,,,同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构 二．习题举例例1：求线性空间的维数1）数域P 上所有反对称矩阵组成的线性空间。

2)1(-n n 2）数域P 上所有上三角形矩阵组成的线性空间。

2)1(+n n例2：证明：P n 的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。

证明：设V 是P n 的任意一个真子空间，不仿设 V=L(r ααα ,,21)，)(n r < 它是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=+++--,0,0,0)(11)(22221211212111n n r n r n nn n n x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间， 记k W 为线性方程组02211=+++n kn k k x b x b x b ，k=1,2,…,n -r 的解向量空间,显然是P n 的n-1维子空间，且V 恰好是这n-r 个n-1维子空间的交。

例3设n ααα ,,21是n 维线性空间V 中的n 个向量，V 中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：n ααα ,,21是V 的一组基。

证明：只须证明n ααα ,,21线性无关，事实上，如果rk r r ααα ,,21是n ααα ,,21的一个极大线性无关组，则rk r r ααα ,,21是V 的一组基，所以n k =，向量组rk r r ααα ,,21就是向量组n ααα ,,21，是线性无关。

例4：在5R 中求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-+-=+-+-02203224022543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ，的解空间的维数与一组基。

解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211213224111122A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→533605336021121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000035112021121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000351120310001；解空间的维数是3，一组基是 )6,0,0,5,2()0,2,0,1,0(),0,0,2,1,0(321=-==βββ例5：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A ，证明：实数域上矩阵A 的全体实系数多项式)(A f 组成的空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==0110|)(A A f V 与 复数域C 作为实数域R 上的线性空间},|{R b a bi a V ∈+='同构。

线性空间的同构理论以下内容来⾃上学期我的⾼等代数学习⼼得下⾯简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下⾯的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)定理1(同构的万有性质)设V1和V2同构，φ是同构映射，则对于任意向量空间W，对任意σ∈L(V1,W),存在唯⼀的σ′∈L(V2,W),使得σ=σ′∘φ定理2(商空间的万有性质)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,πS是V→V/S的⾃然同态.对于向量空间W,若τ∈L(V,W)满⾜S⊂ker(τ),则存在唯⼀的τ′∈L(V/S,W)，使得τ=πS∘τ′下⾯的对应原理也相当重要定理3(对应原理)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,则在⾃然同态下，V的所有包含S的向量空间与V/S的所有⼦空间建⽴了⼀⼀对应由此可推出下⾯的三个同构定理定理4(第⼀同构定理)设V,W是两个向量空间,σ∈L(V,W)是线性映射.则V/Ker(σ)≅Im(σ)定理5(第⼆同构定理)设S,T⊂V是向量空间V的两个⼦空间，则(S+T)/S≅S/(S∩T)定理6(第三同构定理)设S⊂T⊂V均为向量空间，则V/ST/S≅V/T另外，还有命题1设V=V1⊕V2,S=S1⊕S2均为向量空间，则V S=V1⊕V2S1⊕S2≅V1S1⊞V2S2下⾯的定理与对偶空间相关定理7设V是向量空间，则dim(V)≤dim(V∗).等号成⽴当且仅当V是有限维.定理8设V是向量空间，对α∈V,定义¯α∈V∗∗，满⾜¯α(f)=f(α).则映射τ:V→V∗∗:α↦¯α是单同态。

且当V是有限维的时候，τ是同构映射命题2τ(span(M))=M00命题3(S+T)0=S0∩T0,(S∩T)0=S0+T0命题4设V=S⊕T均为向量空间，则T∗≅S0从⽽，当V有限维时，dim S+dim S0=dim V命题5设V=S⊕T均为向量空间，则(S⊕T)∗=S0⊕T0下⾯⼏个命题与转置映射有关定理9设V,W是向量空间,τ∈L(V,W)是线性映射，τt∈L(W∗,V∗)是转置映射，(τt)t∈L(V∗∗,W∗∗)是转置映射的转置映射，则(τt)t(¯α)=¯τα定理10设V,W是向量空间，τ∈L(V,W)，则ker(τt)=Im(τ)0Im(τt)=ker(τ)0 Processing math: 100%。

§6.8 线性空间的同构教学目的 理解同构的定义、性质，并能应用其处理一般问题，初步了解现代代数学同构思想的实质.重 点 同构定理 难 点 同构的定义 课 型 新授课 教学过程一 同构映射设V 为n 维向量空间12,,,n εεε 为V p 的一个基作:ϕαα→在12,,,n εεε 下的坐标（12,,,n ααα ），V —P n 由坐标的唯一性，ϕ是一个1-1对应（1-1的，映上的） 11,nni i i i i i a b αεβε==∀==∑∑ p k ∈∀11(),()n ni i i i i i i a b k k αβεααε==+=+=∑∑()()()()11221212,,,,,,,,,n n n n b a b b a a a b b b ϕαβαα∴+=+++=+ ()()βϕαϕ+=()()()()1212,,,,,,n n k ka ka ka k a a a k ϕαϕα===ϕ 有一个很重要的特征，保持和的象=象的和，欲数的象的俗数,引出了下面重要的概念.定义11，设V, V ’用期为P 上线性空间，'11V V δ→-是的对应,使,,V k p αβ∀∈∀∈有（1）()()()δαβδαδβ+=+ （2）()()k k δαδα=则称δ为'V V →的一个同构映射，并称V 与V 同构，记作 'V V ≅注1o由前面的讨论，n V p =dim 则n P P V ≅注2o 要证'V V ≅只须找1个，同构映射即可，（不须找2个以上，甚至验证所在）二 基本性质3o 反射性 ,V V ≅而1,v ααα=→即可 4o 对称性：若'V V≅，则V V ≅'证：p k V ∈∈∀''',,βα设()()()()''''Q k k δααββαβαβδαα==+=+=则 ()()()()()11'1''1'1,,2δααδββδαββδδβ-----==+=+=∂+ ()()1'1'hd k k δαδα--== 1α-∴是一个同构映射V V V V ≅→‘',故 5o 传递性，若''''',:V V V V V V α≅≅≅则使 证：'':,,V V V k P ααβ→∀∈∈且()()()()()()()()()()τδαβτδαβτδαδβτδβτδαταβ+=+=+==+()()()()()()()()()()k c k k k k τδαδατδατδατδα==== 故'':V V ≅τδ附带说明了，同构映射的逆和积仍为同构映射结论：若数域P 上两个线性空间V ，V ′且‘'dim dim V V V v ≅=则 证：设 n n o P V P V n V V ≅≅=='’,1dim dim 由济由4o'V p n ≅由5o ，V ≌V ′反过来数域P 上的同构的线性空间是否维数相同？ 6o()()()00,δδαδα=-=-证 ()()()00.0.0δδαδα===()()()()()1.10δαδαα-=-=-=7o()()()11221122()r r r r k k k k k k δαααδαδαδα+++=+++()()1122)(r r k k k δαδαδ=+++∂= 左右 线性组俣的条是象的线性组合.8o 若12,,,s d d α 线性相关，则()()12,,,()s δαδαδα 线性相关 证：12,,,s k k k ∃ 不全为0，()()1122(00s s k k k δδαδαδαδδ=+++=== 左）（）（）（）右9o 若12,,,s ααα 线性无关，则()()()12,,s δαδαδα ,线性无关证：设()110,0ss i i i i i i k k δαδα==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑则()1100δδ-= 是的故0只有一个原象0，∑==∴si i i k 10α而1212,,,0s s k k k ααα∴==== 线性关 因此()()()1,,,s s δαδαδα 线性无关 10o设'11,V V V V V δ≤≅那么的象集()(){}'11V V V δδαα=∈≤证()()100V δδ∈= ()1‘1,V V 记作非空∂∴()()’''''111,,,,,V V αβαβααδββ∀∈∃∈∂==则使()1'''1V V ∈+=+∈+βαβαδβα且()'1'1V k k V k ∈=∈ααδα且 ''1V V ≤∴11o设()1111dim 'dim ,''V V V V V VV =≅≤则δδ证：设()121,,,''r i i V αααδαα=∈ 的基 ()()121112',',,'',,,r r L V V L αααααα∴⊆=⋯ 而()'''1‘1ββδββ=∈∃∈∀V V 则由()()()12111''',',,'r r ri i i i i i r i i i k d k k L ββδβααααα====⇒===∈∑∑∑()112'',',,'r V L ααα∴⊆即()112'',',,'r V L ααα= 由0912',',,'r ααα 线性无关，秩为r()()11212dim '',',,'',',,'r r V r αααααα=== 秩秩 1dim r =结论 若δ≅V 'dim dim 'V V V =则 证：'dim dim 'V V V =∴则映上δ综合上面2结论有定理12：数域P 上两个线性空间同构当且 仅它们维数相同线性空间并不问元素是什么，运算的意义是什么。

第19讲，综合复习与线性空间的同构关于线性空间的基本要求（一）1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理.3.求给定线性空间的基和维数4.求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标5.知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数,熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.12综合例题例1 实数域上全体m ⨯n 实矩阵所构成的集合V = M m ,n (R)在矩阵的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出M m ,n (R) 的一组基, 并求dim M m ,n (R).解如果用E ij 来表示(i , j ) 位置上的元素为1, 其余位置上的元素为0 的m ⨯n 矩阵, 容易证明这mn 个矩阵作为V 的向量组是线性无关的.容易看出来对任意A = (a ij )m ⨯n 都有∑∑===m i n j ij ij E a A 11,可见E ij , i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn 个矩阵组成V 的一组基, 自然dim M m,n (R) = mn.3例2求实数域R 上全体n 阶对称矩阵所构成的线性空间U 的一组基和维数.解容易看出实数域上全体n 阶对称矩阵构成构成的矩阵集合U 是V = M m ,n (R) 的子空间.由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为U 的基:⎩⎨⎧≤<≤+==.1;,,,,n j i E E j i E F i j j i i i j i 所以dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.4例3R n [x ] 是实数域R 上次数小于n 的多项式与零多项式所组成的线性空间. 给定n 个互不相同的数a 1, a 2,⋯, a n , 令),())(()(21n a x a x a x x f ---= 试证多项式组),,2,1()/()()(n i a x x f x f i i =-=是R n [x ]的一组基.解我们知道dim R n [x ] = n , 只需要证明f i (x ) (i =1, 2,…, n ) 线性无关就可以了.).,,2,1,;(0)(,0)(n j i j i a f a f j i i i =≠=≠设,0)()()(11=++++x f k x f k x f k n n i i 由上式, 当x = a i 时, 得到k i f i (a i ) = 0.故k i = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以f 1(x ), f 2(x ), …, f n (x ) 线性无关, 从而构成R n [x] 的基.5例4证明W = {f (x )|f (1) = 0, f (x )∈R n [x ]} 关于多项式加法和数乘也作成线性空间, 求W 的一组基和维数.解在例3中取a i = i , (i =1, 2,…, n ), 则f 1(x )∉W, 而其它多项式f i (x ) (i = 2,…, n ) 属于W, 由此我们知道了dim W = n -1,例5 设W 1, W 2 是线性空间V 的两个子空间, 则W 1和W 2的并是V 的一个子空间⇔W 1包含W 2, 或W 2包含W 1.证明充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然,存在元素u 属于W 1, 但不属于W 2, 元素v 属于W 2但不属于W 1. 则u+v 不属于W 1与W 2 的并, 与W 1和W 2的并是V 的一个子空间矛盾.且f i (x ) (i = 2,…, n ) 就是W 的一组基.6例6 线性空间V 的任意有限个子空间的并是V 的一个子空间⇔它们均包含在其中一个子空间之中.证明充分性是显然的. 现证必要性:对子空间的个数归纳: 设V 有s 个子空间, 分别记为W 1, W 2,⋯, W s , 它们的并是V 的一个子空间, 若11,s s W W W -⊆⋃⋃ 则11s W W -⋃⋃ 是V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包含在其中一个子空间之中,W s 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设11,s s W W W -⊄⋃⋃ 则存在α∈W s ,11,s W W -α∉⋃⋃ 且11,s s W W W -⋃⋃⊄ 且存在11,,s s W W W -β∈⋃⋃β∉ 由例5必有s > 2, 故,,(1),s s W α+β-α+β∉ 1s W W ⋃⋃ 是V 的一个子空间21,,(1),s s W W -∴α+β-α+β∈⋃⋃ 由抽屉原理其中有两个属于同一个W i , 由此可知iW α∈与11s W W -α∉⋃⋃ 矛盾.7例7. 证明：所有n 阶方阵空间M n 是线性子空间空间L 1和L 2的直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。

向量空间判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：- - ,k R,作成实数域R上的向量空间•( )•(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:k ： = 0, k • R,作成实数域R上的向量空间•().(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间•().(4) 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间M n(R)的子空间•().n(5) ｛( X「X2，…，X n)「X i =1,X i • R｝为R n的子空间•()•i :i⑹所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M n (R)的子空间•( )•⑺｛(冷0, ,0,人)区人R｝为R n的子空间•( )•(8) 若〉1，〉2, >3, >4是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么〉1，〉2，〉2 V3，〉3 *4是V的一组基•( )•(9) n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基•( )•(10)设冷，〉2，…，〉n是向量空间V中n个向量，且V中每一个向量都可由〉i，〉2，i，〉n线性表示，则二，—,…，：」是V的一组基•( )•(11) 设〉1,〉2,…/ n是向量空间V的一个基,如果'-1, '-2/' , 'n与〉1,〉2，…n等价，则"J,…，=也是V的一个基•( )•(12) x3关于基X3,X3 X,X2 1,X 1 的坐标为(1,1,0,0) •( )•(13) 设W ,V s为n维空间V的子空间，且V =V1 V^ V s •若dim V1 dimV2dimV s二n，贝U V| V2 V s为直和•(). (14) 设V1，V2,…，V s为n维空间V的子空间，且V =V「V2 • V s •若V1 V2 =0，(V1 V2) V3=0，，(V1 V2 V s4)V s=0,则V1 V2 V s 为直和•(). (15) 设V为n维空间V的子空间，且V二V, • V2• V s.若V i (\ V j)二｛0｝,则V, V2 -V s 为直和. (). (16) 设V V为n维空间V的子空间，且V =V, V2 - V s •若V i(V j)二｛0｝，i=j，则V, V2V s为直和•(). (17) 设MM,…，Vs为n维空间V的子空间，且V =V,•…，Vs.零向量表法是唯一的，则V| • V2亠•亠V s为直和•(). (18) 设冷，〉2，U 是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个基是f C 1)，f(：2)，…，f (： n). ( )•(19) 设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上的n维向量空间. (). (20) 把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类. ().答案(1)错误(2)错误(3)正确(4)错误(5错误(6正确(7)正确(8)正确(9)正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确(18)正确(19正确(20错误二填空题(1) 全体实对称矩阵，对矩阵的__________________ 作成实数域R上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R ［对加法和纯量乘法a二b =ab,k匕=a k,构成R上的向量空间则此空间的零向量为—.(3) 全体正实数的集合R，对加法和纯量乘法a二b = ab,k a = a k,构成R上的向量空间则a E R+的负向量为 ________ .(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)二(c, d) = (a c, b d ac),k (a,b) =(ka,kb k(k ^a2),2构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为—.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)二(c, d) = (a c, b d ac),k(k—1) 2k (a,b)二(ka, kb a ),2构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为_____________ .(6) 数域F上一切次数Wn的多项式添加零多项式构成的向量空间F n[x]维数等于______ .(7) 任一个有限维的向量空间的基__________ 的，但任两个基所含向量个数是_________ .(8) 复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于________ ,它的一个基为_________ .(9) 复数域C看成它本身上的向量空间，维数等于 __________ ,它的一个基为________ .(10) 实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于______ .(11) 向量=(0,0,0,1)关于基2 =(2,1,3,1),：3 = (1,1,0,0)% =(0,1,—1,—1)的坐标为__________ .(12) x2+2x+3关于F3[x]的一个基x3,x3+x, X2+1, x+1 的坐标为__________ .(13) 三维向量空间的基r =(1,1,0)」2 = (10,1),则向量-(2,0,0)在此基下的坐标为_________ .(14) V和W 是数域F上的两个向量空间，V到W 的映射f满足条件______________________________________________ ,就叫做一个同构映射.(15) 数域F上任一n维向量空间V都与向量空间________ 同构.(16) 设V 的子空间W,W2,W3,有W W2 二W W3 =W, W3=o,则W1 W2 W3________ 直和.答案1 2(1)加法和数量乘法(2)1 (3) — (4) (0,0) (5) (-a,a2 -b) (6) n 1 (7)不唯一，相a等(8)2;1i, (9)1; 1 (10卿1)(11)(1,0,-1,0) (12](0,0,1, 2(1 3(1, 1,1)2(1 4)f是V到W的双射；对任意\ ■ V , f - )= f e ) f 6对任意a F,x E V, f(a:)二af (: ) (1 5 F n(1 6不一 -定是三简答题(1) 设V二M n(R).问下列集合是否为V的子空间，为什么？1) 所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W;2) 所有可逆的实n阶矩阵的集合W2；(2) 设L(R)是实数域R上所有实函数的集合，对任意f,g・ L(R), ■ • R,定义(f g)(x) = f (x) g(x),(，f )(x) V f (x), x R对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间.下列子集是否是L(R)的子空间？为什么？1) 所有连续函数的集合W ;2) 所有奇函数的集合W,;3) WA ={f |f L(R), f(0) = f(1)};(3) 下列集合是否为R n的子空间？为什么？其中R为实数域.1) W =W=(X1,X2，…，X n) |X1 +X2 十…+X n =0,x E R}；2) W2 ={ ：= (x1,x2,,xn)丨xn =0,xi 尺；3) W s ={，(X1,X2, ,X n) | 每个分量X 是整数};⑷设A, X, b分别为数域F上m n,n 1,m 1矩阵，问AX = b的所有解向量是F上的向量空间吗？说明理由.(5) 下列子空间的维数是几？1) L((2, -3,1),(H4,2),(5, -2,4)) R3;2) L(x -1,1 -x2,x2 -x) F[x](6) 实数域R上m n矩阵所成的向量空间M mn(R)的维数等于多少？写出它的一个基.(7) 实数域R 上,全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若：仆〉2,…，〉n是数域F 上n维向量空间V 的一个基，>1 *2,〉2叱込,…，打二心n,〉n孔斯也是V的一个基吗?(9) x-1, x 2,(x-1)(x 2)是向量空间F2［X］的一个基吗？(10) 取R4的两个向量〉i =(1,0,1,0)厂2 =(1,-1,2,0) •求R4的一个含：-i^-2 的基•(11) 在R3中求基=(1,0,1),色=(1,1,—1),5 = (1—1,1)到基'^(3,0,1), ' ^(2,0,0), ' ^(0,2, -2)的过渡矩阵.(12) 在中F4求向量© =(1,2,1,1)关于基％=(1,1,1,1)宀=(1,1,一1,—1),4 = (1,—1,1,—1) ：4 =(1, -1, -1,1)的坐标.(13) 设W表示几何空间V3中过原点之某平面~1的全体向量所构成的子空间，W2为过原点之某平面二2上的全体向量所构成的子空间，则W W2与W W是什么？W W2能不能是直和？(14) 设W =L(：1,：2,： 3),W2 =L「1「2),求W W2和W W2.其中% =(1,2, —1,—2),勺=(3,1,1,1),叫=(一1,。

线性空间的同构线性空间的同构由前面的讨论知道，给定数域F上的n维线性空间V的一个基?1,?2,V中的任意一个向量x由?1,?2,,?n后，,?n唯一线性表示，即存在唯一的,?n]a。

反之，对任意一个向量,?n]a，所以在线性空间V和Fn之a??a1a2an??Fn，使得x?[?1,?2,Ta?Fn，存在唯一的x?V，使得x?[?1,?2,间存在一一的线性映射。

这样，V的一些性质在Fn中会有所体现，所以研究Fn的属性将对V中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。

定义1 设U,V是数域F上的线性空间，T是从U到V的线性映射，如果T是一一映射且为满射，则称T为从U到V的同构映射。

若线性空间U,V之间存在同构映射，则称U,V 同构。

若T为从U到U的同构映射，则称T为U的自同构映射。

例1 数域F上的n维线性空间V与Fn同构。

?01?22TR?x?R例2 定义T(x)??，，则为的自同构映射。

x??10?定理1 设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，且为满射，则T为U到V的同构映射充分必要条件是若T(x)??v有x??u。

证明必要性设T为U到V的同构映射，由于T是一一映射及T(?u)??v，故有若T(x)??v，则x??u。

充分性只要证明T是一一映射即可。

设T(x1)?T(x2)，则T(x1?x2)??v，所以x1?x2??u，故x1?x2，所以T是一一映射。

推论1设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，则T为U到V的同构映射充分必要条件是R(U)?V且N(T)?{?u}。

证明由定理1显然。

由定义判断线性空间同构要求两空间之间存在同构映射，较为麻烦，而对于有限维线性空间，我们有下面的定理。

定理2 设U,V是数域F上的有限维线性空间，则U,V同构的充分必要条件是dimU?dimV。

证明充分性设dimU?dimV?n，由例1得U与Fn之间存在同构映射f，Fn与V之间存在同构映射g，令T?gf，易证T为U到V的同构映射。

§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。

线性空间的同构分析线性空间的同构分析是线性代数中的一个重要概念，用来研究两个线性空间之间的一一映射关系。

在本文中，我们将探讨线性空间的同构概念及其相关性质，以及同构与线性变换之间的关系。

1. 同构的定义与性质线性空间的同构可以定义为两个线性空间之间的一一映射，使得这个映射保持线性结构。

具体而言，对于两个线性空间V和W，存在一个从V到W的映射φ，如果满足以下条件，那么称φ为V到W的同构映射：(1) φ是双射，即φ是一个一一对应的映射；(2) 对于任意的向量v1和v2，以及任意的标量t，都有φ(tv1 + v2) = tφ(v1) + φ(v2)。

同构的一个重要性质是保持线性结构，即同构映射保持向量的线性运算。

这意味着如果两个线性空间是同构的，它们之间的向量运算都是相容的。

此外，同构映射还保持向量的线性无关性和线性相关性，以及维数和基的映射关系。

2. 同构的判定方法判定两个线性空间是否同构有多种方法。

常用的方法包括维数判定、基的映射和矩阵判定法。

(1) 维数判定：如果两个线性空间的维数相等，则它们可能是同构的。

然而，维数相等并不意味着一定存在同构映射，还需要进一步验证。

(2) 基的映射：如果两个线性空间的基可以通过线性变换互相映射，那么它们是同构的。

具体地，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，如果存在一个线性变换T，使得T(vi) = wi (1≤ i ≤ n)，则V和W是同构的。

(3) 矩阵判定法：设V和W的维数均为n，如果存在一个n×n的可逆矩阵A，使得对于任意的v∈V，有Av∈W，那么V和W是同构的。

其中，A的每一列都是W中对应的基向量的坐标表示。

3. 同构与线性变换的关系线性变换是线性代数中另一个重要的概念，与同构密切相关。

事实上，同构映射可以看作是线性空间之间的线性变换，且是双射的特殊情况。

对于同构映射φ：V → W，我们可以定义一个线性变换T：V → W，使得对于任意的v∈V，都有T(v) = φ(v)。

§8.线性空间的同构一、 同构映射的定义 引入我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量 有唯一确定的坐标 ，向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于. 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 与对应，就得到V 到np 的一个单射反过来，对于中的任一元素 是V 中唯一确定的元素，并且 即 也是满射.因此， 是V 到np 的一一对应.这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取 设则 从而这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的,,V αβ∈12:,(,,,)n n V P a a a σα→12(,,,)n a a a 1122n na a a αεεε=+++12()(,,,),n a a aσα=12(,,,)n a a a 12,,,nεεε12(,,,)n a a a 1122,n n a a a αεεε=+++1122n nb b b βεεε=+++12()(,,),n a a a σα=12()(,,,)n b b b σβ=1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=∀∈12(,,)(),n k a a a k σα==αααασσ运算.一、同构映射的定义设 都是数域P 上的线性空间，如果映射 具有以下性质： i) 为双射 ii) iii)则称 的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 例1、V 为数域P 上的n 维线性空间， 为V 的一组基，则前面V 到np 的一一对应这里 为在 基下的坐标，就是一个V 到Pn 的同构映射，所以 二、 同构的有关结论1、数域P 上任一n 维线性空间都与np 同构.2、设 是数域P 上的线性空间，的同构映射，则有1） 2）3）V 中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是它,V V 'V V σ'→：()()(),,Vσαβσασβαβ+=+∀∈()(),,k k k P Vσασαα=∀∈∀∈12,,,n εεε:,n V P σ→Vα∀∈12(,,,)n a a a 12,,,n εεε.n V P ≅,V V 'V V σ'是到()()()00,.σσασα=-=-1122()r r k k k σααα+++1122()()(),r r k k k σασασα=+++,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=12,,,r ααασV V σ'是到V V '与.V V '≅12(,,,)n a a a α们的象 线性相关（线性无关）.4） 5） 的逆映射 为 的同构映射. 6） 若W 是V 的子空间，则W 在下的象 是的 子空间 证： 1）在同构映射定义的条件iii) 中分别取即得 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为 可得反过来，由可得 而 是一一对应，只有 所以可得 因此，线性相关（线性无关） 线性相关（线性无关）.4）设 为V 中任意一组基.由2）3）知， 为的一组基. 所以 5）首先是1－1对应，并且 I 为恒等变换任取 由于 是同构映射，有dim dim .V V '=V V σ'→：(){()}W W σσαα=∈dim dim ().W W σ=()()k k σασα=01,k k ==-与()()()00,σσασα=-=-11220r r k k k ααα+++=1122()0.r r k k k σααα+++=(0)0.σ=11220.r r k k k ααα+++=12,,,r ααα12(),(),,()r σασασα⇔12,d ,,im ,n V n εεε=12(),(),,()n σεσεσεdim dim .V n V '==11,,V V I I σσσσ--'==,,V αβ'''∈11(())()σσαβσσαβαβ--''''''+=+=+1111()()(())(())σσασσβσσασσβ----''''=+=+12(),(),,()r σασασα1σ-V V '到σV '1122()()()0r r k k k σασασα+++=1122()()()0r r k k k σασασα+++=σ1:V V σ-'→σ11(()())σσασβ--''=+再由 是单射，有 同理，有所以， 为的同构映射.6）首先， 其次，对 有W 中的向量 使 于是有由于W 为子空间，所以 从而有 所以 是的 子空间. 显然， 也为W 到 的同构映射，即 注由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.3、两个同构映射的乘积还是同构映射.证：设 为线性空间的同构映射，则乘积 是 的1－1对应. 任取111()()()σαβσασβ---''''+=+11()(),,k k V k P σασαα--''''=∀∈∀∈()()W V V σσ'⊆=()()(),W W σσσ∈∴≠∅且0=0(),,W αβσ''∀∈,αβ()(),.σαασββ''==,.W k W αβα+∈∈()(),.W k W αβσασ'''+∈∈()W W σ≅,:V V V V στ''''→→：,,V k P αβ∈∈，()()()()τσαβτσασβ+=+()()()()()k k k τσατσατσα==σ1σ-V V '到()()()αβσασβσαβ''+=+=+()(),k k k k Pασασα'==∀∈()W σV '()W σσdim dim ().W W σ=故τσV V ''到()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+()()()k k τσατσα==所以，乘积 是 的同构映射. 注同构关系具有： 反身性：对称性： 传递性： 4、数域P 上的两个有限维线性空间 同构 证 若 由性质2之4）即得 ""⇐ （法一）若 由性质1 ，有""⇐ （法二：构造同构映射）设 分别为V1, V2的一组基. 定义使则 就是V1到V2的一个映射.又任取 设 若 即 则从而，所以 是单射. 任取 设 则有 使 所以 是满射.再由 的定义，有 VI V V≅,VV V V V V σττσ''''''≅≅⇒≅12,V V 12dim dim .V V ⇔=""⇒12,V V ≅12dim dim .V V =12dim dim ,V V =1221,,;,,n n e e e εεε12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε∀=+++∈1122()n na e a e a e σα=+++1,,V αβ∈11,,nni i i i i i a b αεβε====∑∑()(),σασβ=11,nni i i i i i a e b e ===∑∑1,2,,,i n =.αβ=2,V α'∈1,ni i i a e α='=∑11,ni i i a V αε==∈∑(),1,2,,i i e i nσε==τσV V ''到1V V V V σσ-''≅⇒≅12,n nV P V P ≅≅12.V V ∴≅σσσ易证，对 有所以 是V1到V2的一个同构映射，故 例2、把复数域看成实数域R 上的线性空间， 证明： 证法一：证维数相等首先， 可表成 其次，若 则 所以，1，i 为C 的一组基， 又， 所以， 故， 证法二：构造同构映射作对应 则 为C 到2R 的一个同构映射.例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ： 作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间. 证明： 并写出一个同构映射.证：作对应 易证 为 的1－1对应. 且对 有1,,k P V αβ∀∀∈∈()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=1,,x a bi a b R =+∈dim 2.C =2dim dim .C R =12.V V ≅()()2:,,.C R a bi ab σσ→+=,k a b ab k a a ⊕==,R R +≅():,ln ,R R a a a R σσ++→=∀∈σ12.V V ≅2C R ≅,x C x ∀∈0.a bi a b =1+=0,=2dim 2R =σR R +到,,,a b R k R +∀∈∀∈()()()()ln ln ln a b ab ab a b a b σσσσ⊕===+=+()()()ln ln k k k a a a k a k a σσσ====所以， 为 的同构映射. 故 方法二：作对应 易证： 为 的1－1对应，而且也为同构映射. 事实上， 为 的逆同构映射.():,,x R R x e x Rττ+→=∀∈σR R+到.R R +≅τR R +到τσ。

【精选】线性空间的同构线性空间同构是线性代数中的重要概念之一，它是指两个线性空间在保持线性运算和结构不变的情况下，存在一一映射互为逆映射的关系。

同构可以用来研究两个线性空间的相似性和等价性，对于线性映射与矩阵之间的关系也有着重要的作用。

一、同构的定义设$V$和$W$是两个线性空间，$f:V \rightarrow W$是一一线性映射，如果存在一个一一线性映射$g:W \rightarrow V$，使得$$g(f(x))=x, \forall x \in V$$则称$f$和$g$互为同构映射，$V$和$W$互为同构空间。

简单来说，同构意味着两个线性空间结构和元素一一对应，可以互相转化。

二、同构的性质1.同构映射保持线性结构，即对于$V$中任意两个元素$x,y$和任意标量$k$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)$和$f(kx)=kf(x)$。

2.同构映射是单射和满射，即其一一映射和满射性质都满足。

3.同构映射的逆映射也是线性映射，因此同构映射是可逆的。

4.同构映射保持基的关系，即如果$V$有一组基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则$f(B)=\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\}$是$W$的一组基，且$\dim V=\dim W$。

三、同构的应用1.矩阵的同构两个矩阵$A,B$同构，当且仅当它们代表的线性映射相同。

设$A$是线性映射$f$在基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$下的矩阵，$B$是在基$C=\{w_1,w_2,...,w_n\}$下的矩阵，则$A$和$B$同构当且仅当$V$和$W$同构，即存在一一线性变换$T:V \rightarrow W$，使得$f=T^{-1}BT$。

2.线性代数的基本定理同构在线性代数的基本定理中也有着重要的应用。

对于$n$阶方阵$A$，它是可逆矩阵当且仅当它的列向量线性无关。

同样的，$A$与$n$维列向量空间$V$同构，而$V$中的一组基是由$A$的列向量组成的。

同构典型例题
同构是一个重要的概念，在离散数学和计算机科学中被广泛应用。

同构指的是两个结构相同但形式不同的对象。

例如，两个无向图，它们的节点和边相同，但是它们的布局不同，就可以被认为是同构的。

同构的判定问题在计算机科学中非常关键，因为它涉及到数据结构和算法的设计。

在同构判定中，我们需要判断两个对象是否属于同一类别。

一般来说，同构问题可以通过枚举或者哈希等算法来解决。

但是，如果数据规模很大，这些算法的时间复杂度可能会很高。

下面是一个同构的典型例题：
给定两个字符串s和t，判断它们是否同构。

同构的定义是：如果s中的每个字符可以被替换成另一个字符，使得t中的每个字符都可以被替换成s中的相应字符，那么s和t是同构的。

例如，输入s='egg', t='add'，那么s和t是同构的，因为e
可以被替换成a，g可以被替换成d，所以s和t是同构的。

解题思路：
同构问题可以通过哈希表来解决。

我们可以用两个哈希表分别记录s和t中每个字符的映射关系。

具体来说，我们可以将s中的每个字符作为键，t中相应字符作为值，然后遍历s和t，判断它们的映
射关系是否相同即可。

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