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6.8线性空间的同构第六章线性空间学习单元8：线性空间的同构_________________________________________________________● 导学学习目标：了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性空间同构的判别。
学习建议：建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。
重点难点：重点：线性空间的同构映射的概念与性质。
难点：同构映射在实际问题中的应用。
_________________________________________________________● 学习内容一、n 维线性空间中向量与坐标的对应关系令V 为P 上n 维线性空间，1,,n ααL 为V 的一个基，V 中每个向量在1,,n ααL 下有唯一的坐标，令:n V P σ→αα→在1,,n ααL 下的坐标即当11n n x x ααα=++L 时，1()(,,)n x x σα=L 。
命题σ为V 到n P 的一一映射（双射），并且()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈；()(),,k k k P V σασαα=∈∈。
注：这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。
二、线性空间同构的概念定义设V 与'V 均为数域P 上线性空间，若存在V 到'V 的双射σ满足。
（1）()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈（即σ保持加法）。
（2）()(),,k k k P V σασαα=∈∈（即σ保持数乘）。
则称σ为V 到'V 的一个同构映射。
若V 到'V 之间存在同构映射，则称V 与'V 同构，记为'V V ?。
定理设V 为数域P 上n 维线性空间，则n V P ?。
三、线性空间同构的性质令,'V V 为P 上线性空间，σ为V 到'V 的同构映射。
§6.8 线性空间的同构教学目的 理解同构的定义、性质，并能应用其处理一般问题，初步了解现代代数学同构思想的实质.重 点 同构定理 难 点 同构的定义 课 型 新授课 教学过程一 同构映射设V 为n 维向量空间12,,,n εεε 为V p 的一个基作:ϕαα→在12,,,n εεε 下的坐标（12,,,n ααα ），V —P n 由坐标的唯一性，ϕ是一个1-1对应（1-1的，映上的） 11,nni i i i i i a b αεβε==∀==∑∑ p k ∈∀11(),()n ni i i i i i i a b k k αβεααε==+=+=∑∑()()()()11221212,,,,,,,,,n n n n b a b b a a a b b b ϕαβαα∴+=+++=+ ()()βϕαϕ+=()()()()1212,,,,,,n n k ka ka ka k a a a k ϕαϕα===ϕ 有一个很重要的特征，保持和的象=象的和，欲数的象的俗数,引出了下面重要的概念.定义11，设V, V ’用期为P 上线性空间，'11V V δ→-是的对应,使,,V k p αβ∀∈∀∈有（1）()()()δαβδαδβ+=+ （2）()()k k δαδα=则称δ为'V V →的一个同构映射，并称V 与V 同构，记作 'V V ≅注1o由前面的讨论，n V p =dim 则n P P V ≅注2o 要证'V V ≅只须找1个，同构映射即可，（不须找2个以上，甚至验证所在）二 基本性质3o 反射性 ,V V ≅而1,v ααα=→即可 4o 对称性：若'V V≅，则V V ≅'证：p k V ∈∈∀''',,βα设()()()()''''Q k k δααββαβαβδαα==+=+=则 ()()()()()11'1''1'1,,2δααδββδαββδδβ-----==+=+=∂+ ()()1'1'hd k k δαδα--== 1α-∴是一个同构映射V V V V ≅→‘',故 5o 传递性，若''''',:V V V V V V α≅≅≅则使 证：'':,,V V V k P ααβ→∀∈∈且()()()()()()()()()()τδαβτδαβτδαδβτδβτδαταβ+=+=+==+()()()()()()()()()()k c k k k k τδαδατδατδατδα==== 故'':V V ≅τδ附带说明了，同构映射的逆和积仍为同构映射结论：若数域P 上两个线性空间V ，V ′且‘'dim dim V V V v ≅=则 证：设 n n o P V P V n V V ≅≅=='’,1dim dim 由济由4o'V p n ≅由5o ，V ≌V ′反过来数域P 上的同构的线性空间是否维数相同？ 6o()()()00,δδαδα=-=-证 ()()()00.0.0δδαδα===()()()()()1.10δαδαα-=-=-=7o()()()11221122()r r r r k k k k k k δαααδαδαδα+++=+++()()1122)(r r k k k δαδαδ=+++∂= 左右 线性组俣的条是象的线性组合.8o 若12,,,s d d α 线性相关，则()()12,,,()s δαδαδα 线性相关 证：12,,,s k k k ∃ 不全为0，()()1122(00s s k k k δδαδαδαδδ=+++=== 左）（）（）（）右9o 若12,,,s ααα 线性无关，则()()()12,,s δαδαδα ,线性无关证：设()110,0ss i i i i i i k k δαδα==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑则()1100δδ-= 是的故0只有一个原象0，∑==∴si i i k 10α而1212,,,0s s k k k ααα∴==== 线性关 因此()()()1,,,s s δαδαδα 线性无关 10o设'11,V V V V V δ≤≅那么的象集()(){}'11V V V δδαα=∈≤证()()100V δδ∈= ()1‘1,V V 记作非空∂∴()()’''''111,,,,,V V αβαβααδββ∀∈∃∈∂==则使()1'''1V V ∈+=+∈+βαβαδβα且()'1'1V k k V k ∈=∈ααδα且 ''1V V ≤∴11o设()1111dim 'dim ,''V V V V V VV =≅≤则δδ证：设()121,,,''r i i V αααδαα=∈ 的基 ()()121112',',,'',,,r r L V V L αααααα∴⊆=⋯ 而()'''1‘1ββδββ=∈∃∈∀V V 则由()()()12111''',',,'r r ri i i i i i r i i i k d k k L ββδβααααα====⇒===∈∑∑∑()112'',',,'r V L ααα∴⊆即()112'',',,'r V L ααα= 由0912',',,'r ααα 线性无关，秩为r()()11212dim '',',,'',',,'r r V r αααααα=== 秩秩 1dim r =结论 若δ≅V 'dim dim 'V V V =则 证：'dim dim 'V V V =∴则映上δ综合上面2结论有定理12：数域P 上两个线性空间同构当且 仅它们维数相同线性空间并不问元素是什么，运算的意义是什么。
