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![高等代数考研复习[线性空间]](https://img.taocdn.com/s1/m/988c69e4e009581b6bd9ebdc.png)
第六章线性空间［教学目标］1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。
2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。
3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。
4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。
5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。
6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。
7了解直和的概念和充要条件。
8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。
［教学重难点］线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。
［教学方法］讲授［教学时间］22学时。
［教学内容］集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构［考核目标］会判断一个集合是否为线性空间。
会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。
会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。
教学过程：§1 集合·映射一集合的相关概念1、集合：若干个固定事物的全体，简称集。
一般用大写拉丁字母A,,表示。
把不包含任何元素的集合叫空集，记为BC∅。
2、元素：集合中的每一个事物，简称元。
一般用小写拉丁字母a,,表示。
bc二者关系：元素属于或不属于某个集合。
记为a∈A,a∉A.3、子集、真子集及其表示方法。
（集合与集合之间是包含或不包含的关系）,.⊂⊆A B A B4、集合相等：BA=等价于A与B互相包含。
5、交集{}B=∈A∈xxBAorx6、并集{}B∈=,A∈xAxxB7、性质A 的子集。
A 是A、B的子集，A与B是BB二映射1、定义：B A ,是两个集合，σ是A 到B 的对应法则，如果A a ∈∀，按照这个对应法则，在B 中存在唯一的元素B b ∈与之对应，我们称σ是A 到B 的映射，记为:A B σ→， b 叫a 在σ下的象，a 叫b 在σ下的一个原象。
第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。
两种运算要封闭，八条公理要齐备。
V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。
V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。
满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。
常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。
（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。
（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。
[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。
（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。
当n m =时，记为()F M n m ⨯。
（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。
⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。
⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。
⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。
记为V dim 。
⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。
()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。
记为(n a a a ,,21 )。
⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。
第六章线性空间§1基本知识§1. 1 基本概念1、集合的相关概念：2、映射：3、单射：4、满射：5、双射（一一映射）：6、可逆映射及其逆映射：7、线性空间：8、向量的线性组合：9、向量组的等价：10、向量的线性相关与无关：11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）：12、线性空间的基与坐标：13、过渡矩阵：14、线性空间的子空间：15、生成子空间：16、子空间的和：17、两个子空间的直和：18、有限个子空间的直和：19、线性空间的同构：§1. 2 基本定理1、基与维数的判定定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上n 个线性无关的向量，如果V 上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V 是n 维的，n ααα,,,21 是它的一组基.2、子空间的判定定理：设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 的两种运算是封闭的，那么W 是V 的一个子空间.3、生成子空间的相等与维数的判定定理：（1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价；（2）),,,(),,,(dim 2121r r R L αααααα =.4、基的扩充定理：设m ααα,,,21 是n 维线性空间V 上任意m 个线性无关的向量，如果n m <，那么在V 上必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,211 ++，使得n ααα,,,21 是V 的一组基.5、子空间的交的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V ⋂也是V 的子空间.6、子空间的和的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V +也是V 的子空间.7、维数定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么)dim(dim dim )dim(212121V V V V V V ⋂-+=+.推论：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，如果2121dim dim )dim(V V V V +<+，那么{}021≠⋂V V .8、直和的判定定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的（1）21V V +是直和；（2）若221121,,0V V ∈∈=+αααα，则021==αα；（3）{}021=⋂V V ；（4）2121dim dim )dim(V V V V +=+9、直和的判定定理续：设m V V V ,,,21 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的（1）m V V V +++ 21是直和；（2）若m i V i i m ,,2,1,,021 =∈=+++αααα，则021====m ααα ；（3）{}m i V V ij ji ,,2,1,0 ==⋂∑≠； （4）∑==++mi i m V V V V 121dim )dim(10、直和的存在性定理：设W 是线性空间V 的任何一个子空间，那么一定存在V 的一个子空间U ，使得W U V ⊕=.11、有限维线性空间同构的判定定理：（1）数域P 任何一个n 维线性空间都同构于n P ；（2）有限维线性空间同构的充分必要条件是，它们的维数相等.§1. 3 基本性质1、线性空间的性质：（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）ααα-=-==)1(;00;00k ；（4）000==⇔=αα或k k .2、过渡矩阵的性质：（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；（2）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，则基n βββ,,,21 到基n ααα,,,21 的过渡矩阵是1-A ；（3）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，n βββ,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是B ，则基n ααα,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是AB .（4）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，向量α在基n ααα,,,21 和n βββ,,,21 下的坐标分别是),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121. 3、子空间的交与和的性质：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，则如下条件等价（1）21V V ⊂； （2）121V V V =⋂； （3）221V V V =+；4、同构映射的性质：设τ是线性空间V 到线性空间W 的同构映射，则（1）0)0(=τ；)()(ατατ-=-；（2）)()()()(22112211m m m m k k k k k k ατατατααατ+++=+++ ；（3）⇔线性相关m ααα,,,21 )(,),(),(21m ατατατ 线性相关；（4）同构映射的逆映射1-τ是线性空间W 到线性空间V 的同构映射；（5）若ρ是线性空间W 到线性空间U 的同构映射，则ρτ是线性空间V 到线性空间U 的同构映射.§2 基本题型及其常用解题方法§2. 1 线性空间的判定与证明1、利用定义例6.1（北大教材，P267，3）2、利用子空间的判定定理例6.2（北大教材，P267，3）§2.2 基、维数的计算、判定与证明1、利用定义例6.3（北大教材，P268，8）2、利用定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上的n 个线性无关的向量，若V 上任意一个向量可以由n ααα,,,21 线性表出，那么V 是n 维线性空间且n ααα,,,21 是它的一个基。
例6.4（北大教材，P270，14）3、利用向量组的秩与极大无关组),,,(),,,(dim 2121s s R L αααααα =，s ααα,,,21 的一个极大无关组就是生成子空间),,,(21s L ααα 的一个基。
例6.5 （北大教材，P270，16）例6.6（北大教材，P270，18）§2.3 求过渡矩阵1、利用定义例6.7（北大教材，P269，9）2、利用过渡矩阵的性质：若基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，n βββ,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是B ，则n ααα,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是B A 1-，)|(B A 经过行初等变换 )|(1B A E -。
例6.8（北大教材，P269，9）§2.4 求坐标1、利用定义例6.9（北大教材，P268，7）2、利用坐标变换公式例6.10（北大教材，P269，9）§2.5 直和的判定与证明1、利用定义例6.11（北大教材，P271，20）2、利用定理：21V V +是直和，当且仅当这个和中的每一个向量α都可以唯一的表示为221121,,V V ∈∈+=ααααα例6.12（北大教材，P271，20）3、利用定理：21V V +是直和，当且仅当}0{21=⋂V V例6.12（北大教材，P270，19）4、利用维数公式6.12（北大教材，P271，21）§2.6 子空间例6.13设21,V V 是线性空间V 的子空间，证明：21V V ⋃是子空间的充分必要条件是21V V ⊂或12V V ⊂。
例6.14（北大教材，P272，补充题，4）例6.15（北大教材，P272，补充题，5）§2.7 同构的判定与证明1、利用定义例6.16（北大教材，P269，10）2、利用有限维向量空间同构的充要条件例6.17设数域P 上的矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0=Ax 的解空间同构于][x P r n -。
§3 例题选讲§3.1线性空间的判定与证明的例题例6.18（1）设C 是数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，对任意正整数m ，求mC ；（2）用)(K M n 表示数域K 上的所有n 级矩阵关于矩阵的加法和数量乘法构成的线性空间，数域K 上的n 级矩阵1321121a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵，用U 表示表示数域K 上的所有n 级循环矩阵组成的集合。
证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求它的一个基和维数。
例6.19 设B A ,分别为数域P 上的n m ⨯与s n ⨯矩阵，又{}1,0|⨯∈==s P AB B W ααα，证明：W 是1⨯n P 的子空间，且)()()(AB r B r W diw -=.§3.2基、维数的计算、判定与证明的例题例6.20 用)(K M n 表示数域K 上的所有n 级矩阵关于矩阵的加法和数量乘法构成的线性空间，与)(K M n 中所有矩阵可交换的矩阵全体构成)(K M n 的一个子空间，称为)(K M n 的中心，求它的维数和一个基。
例6.21 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A ，求与矩阵A 可交换的3阶实方阵全体组成的线性空间的一组基和维数。
例6.22 （北大教材，P269，13）§3.3求过渡矩阵的例题例6.23 （北大教材，P271，1）例6.24（05，4分）设A 是(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第二行得矩阵B ，,A B ** 分别是,A B 的伴随矩阵，则（A ）交换A *的第1列与第2列得矩阵B *. （B ）交换A *的第1行与第2行得矩阵B *.（C ）交换A *的第1列与第2列得矩阵B *-. （D ）交换A *的第1行与第2行得矩阵B *-.§3.4求坐标的例题例6.25 设有方程01=+-+-Q P B PBR PA P A T T ，其中)1(,10,0010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R B A ， ),0(001>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a a Q 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211b b b b P ，使得0||,011>>P b . §3.5直和的判定与证明的例题例6.26例6.27例6.28§3.6子空间的例题例6.29例6.30§3.7同构的判定与证明的例题例6.31例6.32§4 练习题§4.1 北大教材题目P197-P203，习题1、2、3、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、19、20、21、23、24、25、286、259、30、P203-P204，习题1、8、 9、§4.2 补充习题1、（88，1分）设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001001001001000A ，则逆矩阵=-1A 2、（91，3分）设4阶方阵520021000012011A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则A 的逆矩阵1A -= 3、（94，3分）设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00000000000121nn a a a a A ，其中),,2,1(0n i a i =≠，则1A -= 4、（95，3分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-*1)(A5、（95，3分）设3阶方阵A B 、满足关系式16A BA A BA -=+，其中10031041007A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则B = .6、（99，3分）已知A B AB =-，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200010021B ，则=A 7、（01，3分）设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 是单位矩阵，则1()A E --=8、（02，3分）设矩阵E A A B A 23,32112+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，则=-1B 9、（03，4分）设B A ,均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知,2B A AB +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，则1()A E --=10、（03，4分）设n 维向量E a a a T ,0,),0,,0,(<= α是n 阶单位矩阵.,T E A αα-=T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则=a .6、（06，4分）设矩阵E A ,2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=是二阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B .12、（91，3分）设n 阶方阵A B C 、、满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BAC E = (D) BCA E = 13、（92，3分）设11,,,--++B A B A B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+B A 等于 （A ）11--+B A (B)B A + (C) B B A A 1)(-+ (D) 1)(-+B A 14、（96，3分）设n 阶矩阵A 非奇异*≥A n ),2(是A 的伴随矩阵，则 （A ）A A A n 1||)(-**= (B) A A A n 1||)(+**= (C) A A A n 2||)(-**= (D) A A A n 2||)(+**=15、（05，4分）设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，若CA A C AB E B +++=,，则C B -为（A ）E (B)E - (C)A (D) A -16、（87，7分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵.B17、（88，6分）已知n 阶方阵A 满足方程0232=--E A A ，其中A 给定，而E 是单位矩阵，证明A 可逆，并求出1-A .18、（88，6分）已知AP PB =，其中100100000,210001211B P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求A 及5.A19、（89，5分）已知B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=350211,101111010B A ，求矩阵X . 20、（90，6分）设4阶矩阵1100213401100213,0011002100010002B C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且矩阵A 满足关系式E C B C E A T T =--)(1，其中E 是4阶单位矩阵，1C -表示C 的逆矩阵，TC 表示C 的转置，将上述关系式化简并求矩阵.A21、（91，5分）设n 阶矩阵B A ,满足条件AB B A =+. （1）证明：E A -为可逆矩阵，其中E 是n 阶单位矩阵；（2）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200012031B ，求矩阵A . 22、（92，5分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，矩阵X 满足X A I AX +=+2，其中I 是3阶单位矩阵，试求出矩阵X .23、（93，8分）已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.24、（95，8分）设三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα，其中列向量T T )2,1,2(,)1,2,2(),2,2,1(321--=-==ααα试求矩阵A .25、（96，6分）设T A I ξξ=-，其中I 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，T ξ是ξ的转置，证明：（1）2A A =的充要条件是1T ξξ=； （2）当1T ξξ=时，A 是不可逆矩阵.26、（95，3分）设n 维向量),0,,0,(2121 =α，矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=，其中I 是n 阶单位矩阵，则AB 等于（A ）0 (B) I - (C)I (D) ααTI +27、（96，3分）设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则必有（A ）12APP B = (B) 21AP P B = (C) 12PP A B = (D) 21P PA B = 28、（02，3分）设B A ,为n 阶可逆矩阵，**B A ,分别为B A ,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00，则C 的伴随矩阵*C 为（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B B A A ||00|| (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A A B B ||00|| (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A B B A ||00|| (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B A A B ||00|| 29、（94，6分）设A 为n 阶非零实方阵，A *是A 的伴随矩阵，TA 是A 的转置矩阵，当T A A *=时，证明||0.A ≠30、（01，8分）已知3阶矩阵A 与3维列向量x ，使得向量组2,,x Ax A x 线性无关，且满足3232.A x Ax A x =-（1）记2(,,)P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使1A PBP -=； （2）计算行列式||.A E +。
