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线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
线性空间的同构理论以下内容来⾃上学期我的⾼等代数学习⼼得下⾯简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下⾯的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)定理1(同构的万有性质)设V1和V2同构，φ是同构映射，则对于任意向量空间W，对任意σ∈L(V1,W),存在唯⼀的σ′∈L(V2,W),使得σ=σ′∘φ定理2(商空间的万有性质)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,πS是V→V/S的⾃然同态.对于向量空间W,若τ∈L(V,W)满⾜S⊂ker(τ),则存在唯⼀的τ′∈L(V/S,W)，使得τ=πS∘τ′下⾯的对应原理也相当重要定理3(对应原理)设S⊂V是向量空间V的⼦空间,则在⾃然同态下，V的所有包含S的向量空间与V/S的所有⼦空间建⽴了⼀⼀对应由此可推出下⾯的三个同构定理定理4(第⼀同构定理)设V,W是两个向量空间,σ∈L(V,W)是线性映射.则V/Ker(σ)≅Im(σ)定理5(第⼆同构定理)设S,T⊂V是向量空间V的两个⼦空间，则(S+T)/S≅S/(S∩T)定理6(第三同构定理)设S⊂T⊂V均为向量空间，则V/ST/S≅V/T另外，还有命题1设V=V1⊕V2,S=S1⊕S2均为向量空间，则V S=V1⊕V2S1⊕S2≅V1S1⊞V2S2下⾯的定理与对偶空间相关定理7设V是向量空间，则dim(V)≤dim(V∗).等号成⽴当且仅当V是有限维.定理8设V是向量空间，对α∈V,定义¯α∈V∗∗，满⾜¯α(f)=f(α).则映射τ:V→V∗∗:α↦¯α是单同态。
且当V是有限维的时候，τ是同构映射命题2τ(span(M))=M00命题3(S+T)0=S0∩T0,(S∩T)0=S0+T0命题4设V=S⊕T均为向量空间，则T∗≅S0从⽽，当V有限维时，dim S+dim S0=dim V命题5设V=S⊕T均为向量空间，则(S⊕T)∗=S0⊕T0下⾯⼏个命题与转置映射有关定理9设V,W是向量空间,τ∈L(V,W)是线性映射，τt∈L(W∗,V∗)是转置映射，(τt)t∈L(V∗∗,W∗∗)是转置映射的转置映射，则(τt)t(¯α)=¯τα定理10设V,W是向量空间，τ∈L(V,W)，则ker(τt)=Im(τ)0Im(τt)=ker(τ)0 Processing math: 100%。
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
第六章 线性空间与线性变换沈 鸿6.1 基本概念 基本定理：6.1.1线性空间基本概念1、线性空间的概念设V 是一非集合，F 是一定数域，如果在V 中定义了两种运算：（1）加法，即对V 中任意两个元素α与β，按某一法则，在V 中都有惟一的元素γ与之对应，称γ为α和β的和，记作γ=α+β；（2）数乘，即对V 中任意元素α和F 中任意数k ，按某一法则，在V 中有惟一的一个元素δ与之对应，称δ为k 与α的积，记作δ=k α;并且这两种运算满足以下八条运算规则，那么V 就称为数域F 上的一个线性空间。
其中八条运算规则是： （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中有一元素，记为0，对V 中任一元素α，都有α+0=α，称元素0为V 的零元素；（4）对V 中每一个元素α，都有V 中的一个元素β，使得α+β=0，β称为α的负元素，记作-α，即α+（-α）=0。
（5）1·α=α;（6）k (l α)=(k l ) α； （7）(k +l ) α=k α+l α； （8）k (α+β)=k α+k β.其中α，β，γ是集合V 中的任意元素，k , l 为F 中的任意娄。
2、子空间设V 是一个线性空间，L 是V 的一个非空子集，如果L 对于V 中所定义的加法和数乘运算也构成一个线性空间，就称L 为V 的子空间。
n 元齐次线性方程组AX=0的解的全体是R n的一个子空间，称为AX=0的解空间。
定理1 线性空间V 的非空子集L 构成子空间的充分必要条件是L 对于V 中的线性运算封闭。
6.1.2基、维数与坐标1、基与维数定义在线性空间V 中，如果存在n 个元素α1，α2，…，αn ，且满足： （1）α1，α2，…，αn 线性无关；（2）V 中的任一元素都可表示为α1，α2，…，αn 的线性组合，则称α1，α2，…，αn 为线性空间V 的一个基；n 称为线性空间V 的维数，并记为dimV=n.线性空间中的任一元素都可表示为它的一个基的线性组合，且这种表示是惟一的。
