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§4.4-5 线性空间的同构

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高等代数线性空间的同构

高等代数线性空间的同构

. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1

线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

数学竞赛讲座：同构

数学竞赛讲座：同构
线性空间的同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。

线性空间的同构

线性空间的同构

τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有

向量空间的同构知识点总结

向量空间的同构知识点总结

向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。

同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。

在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。

二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。

2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。

3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。

4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。

5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。

6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。

7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。

8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。

9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。

在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。

内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。

三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。

具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。

此时，我们将T称为从V到W的同构映射。

同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。

四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。

第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛

第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛

T-1(k1y1+k2y2)=k1T-1y1+k2T-1y2T-1是线性算子。
定理5 （巴拿赫逆算子定理）设X, Y都是巴拿赫空间TB(X,Y)是 双射，则T-1是有界线性算子。 证 T是双射T-1存在且T-1是线性算子（定理4） 同时，T是双射 T是开映射 设 GX 是开集(T-1)-1(G)=T(G)Y是开集
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
间，T: DY是线性算子，如果T的图像GT是XY的闭线性 子空间，则称T为闭线性算子。
定理9 (闭线性算子的充要条件) 设X, Y都是线性赋范空间，DX 是线性子空间。T: DY是线性算子，则T是闭线性算子的充要条 件是对{xn}D, 当xnxX, TxnyY时，有xD, 且Tx=y. 证 “” (x,y)GT{(xn,Txn)}GT, 使(xn,Txn)(x,y) {xn}D，使xnx, Txny xБайду номын сангаасD, 且 Tx=y (x,y)=(x,Tx)GT GT=GT T是闭线性算子 “” GT是闭集, 设{xn}D, 且xnxX, TxnyY (xn,Txn)(x,y) {(xn,Txn)}GT, GT是闭集(x,y)GT xD, 且Tx=y
对yY,有
S T Y X Y S T y sy T (Sy ) I y y y
2) T-1T=Ix, TT-1=Iy 3) 若T是线性算子，则T-1也是线性算子(将在后面证明)。

线性空间的同构商空间总结

线性空间的同构商空间总结
6
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
2 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,

线性空间的基与维数及线性同构

线性空间的基与维数及线性同构

有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使

线性空间的基与维数及线性同构

线性空间的基与维数及线性同构

f
(
n

1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11


1 0
0 0
,
E
12


0 0
1 , 0
E
21


0 1
0 0
,
E
22


0 0
0 1

线性空间的同构.ppt

线性空间的同构.ppt
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注
由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ) ，向量的坐标是P上的n元数组，因此
属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an )与 对应，就得到V到Pn的一个单射
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )

线性代数上19线性空间的同构

线性代数上19线性空间的同构

定义 设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从 V1 到 V2 的一个双射满足： (1)∀α , β ∈V1 , 有 ϕ (α + β ) = ϕ (α ) + ϕ ( β ), (2)∀α ∈V1 , k ∈ F , 有 ϕ (kα ) = kϕ (α ), 则称 ϕ 是同构映射, 称 V1 与 V2 是同构的. 例2 设矩阵 A 经过一系列初等行变换变为 B, 即:
例4 证明 W = {f(x)|f(1) = 0, f(x)∈Rn[x]} 关于多项式加法和 数乘也作成线性空间, 求 W 的一组基和维数. 解 在例3中取 ai = i, (i =1, 2,…, n), 则 f1(x)∉W, 而其它多项 式 fi(x) (i = 2,…, n) 属于 W, 由此我们知道了 dim W = n-1, 且 fi(x) (i = 2,…, n) 就是 W 的一组基. 例5 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1 和 W2 的并是 V 的一个子空间 ⇔ W1 包含 W2, 或 W2 包含 W1. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然, 存在元素 u 属于 W1, 但不属于 W2, 元素 v 属于 W2 但不 属于 W1. 则 u+v 不属于 W1 与 W2 的并, 与 W1 和 W2 的 并是 V 的一个子空间矛盾.
因为 P 可逆, 所以 R(A) 与 R(B) 同构.
2
例3 F 上的 n 维线性空间 V 同构于 Fn. 证明 设 ε1 ,L , ε n 为 V 的一组基, ∀α∈V, α 在 ε1 ,L , ε n 下的坐 标 X 是唯一确定的, 所以可定义 V 到 Fn 的映射 ϕ 使得 ϕ (α ) = X , 显然 ϕ 是双射, 且若 ϕ (α ) = X = ( x1 ,L , xn )T ,

线性空间的同构

线性空间的同构

§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。

线性空间的同构分析

线性空间的同构分析

线性空间的同构分析线性空间的同构分析是线性代数中的一个重要概念，用来研究两个线性空间之间的一一映射关系。

在本文中，我们将探讨线性空间的同构概念及其相关性质，以及同构与线性变换之间的关系。

1. 同构的定义与性质线性空间的同构可以定义为两个线性空间之间的一一映射，使得这个映射保持线性结构。

具体而言，对于两个线性空间V和W，存在一个从V到W的映射φ，如果满足以下条件，那么称φ为V到W的同构映射：(1) φ是双射，即φ是一个一一对应的映射；(2) 对于任意的向量v1和v2，以及任意的标量t，都有φ(tv1 + v2) = tφ(v1) + φ(v2)。

同构的一个重要性质是保持线性结构，即同构映射保持向量的线性运算。

这意味着如果两个线性空间是同构的，它们之间的向量运算都是相容的。

此外，同构映射还保持向量的线性无关性和线性相关性，以及维数和基的映射关系。

2. 同构的判定方法判定两个线性空间是否同构有多种方法。

常用的方法包括维数判定、基的映射和矩阵判定法。

(1) 维数判定：如果两个线性空间的维数相等，则它们可能是同构的。

然而，维数相等并不意味着一定存在同构映射，还需要进一步验证。

(2) 基的映射：如果两个线性空间的基可以通过线性变换互相映射，那么它们是同构的。

具体地，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，如果存在一个线性变换T，使得T(vi) = wi (1≤ i ≤ n)，则V和W是同构的。

(3) 矩阵判定法：设V和W的维数均为n，如果存在一个n×n的可逆矩阵A，使得对于任意的v∈V，有Av∈W，那么V和W是同构的。

其中，A的每一列都是W中对应的基向量的坐标表示。

3. 同构与线性变换的关系线性变换是线性代数中另一个重要的概念，与同构密切相关。

事实上，同构映射可以看作是线性空间之间的线性变换，且是双射的特殊情况。

对于同构映射φ：V → W，我们可以定义一个线性变换T：V → W，使得对于任意的v∈V，都有T(v) = φ(v)。

【精选】线性空间的同构

【精选】线性空间的同构

【精选】线性空间的同构线性空间同构是线性代数中的重要概念之一，它是指两个线性空间在保持线性运算和结构不变的情况下，存在一一映射互为逆映射的关系。

同构可以用来研究两个线性空间的相似性和等价性，对于线性映射与矩阵之间的关系也有着重要的作用。

一、同构的定义设$V$和$W$是两个线性空间，$f:V \rightarrow W$是一一线性映射，如果存在一个一一线性映射$g:W \rightarrow V$，使得$$g(f(x))=x, \forall x \in V$$则称$f$和$g$互为同构映射，$V$和$W$互为同构空间。

简单来说，同构意味着两个线性空间结构和元素一一对应，可以互相转化。

二、同构的性质1.同构映射保持线性结构，即对于$V$中任意两个元素$x,y$和任意标量$k$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)$和$f(kx)=kf(x)$。

2.同构映射是单射和满射，即其一一映射和满射性质都满足。

3.同构映射的逆映射也是线性映射，因此同构映射是可逆的。

4.同构映射保持基的关系，即如果$V$有一组基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则$f(B)=\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\}$是$W$的一组基，且$\dim V=\dim W$。

三、同构的应用1.矩阵的同构两个矩阵$A,B$同构，当且仅当它们代表的线性映射相同。

设$A$是线性映射$f$在基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$下的矩阵，$B$是在基$C=\{w_1,w_2,...,w_n\}$下的矩阵，则$A$和$B$同构当且仅当$V$和$W$同构，即存在一一线性变换$T:V \rightarrow W$，使得$f=T^{-1}BT$。

2.线性代数的基本定理同构在线性代数的基本定理中也有着重要的应用。

对于$n$阶方阵$A$，它是可逆矩阵当且仅当它的列向量线性无关。

同样的，$A$与$n$维列向量空间$V$同构，而$V$中的一组基是由$A$的列向量组成的。

矩阵论同构

矩阵论同构

矩阵论同构
在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。

更一般地说，同构是指一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

在线性代数中，同构指的是两个线性空间之间存在一个双射，且该双射是线性映射，满足保持运算性质。

这意味着，同构的线性空间具有相同的维度。

在矩阵论中，同构是指两个内积空间之间存在一个双射，且该双射满足特定的条件。

同构的欧氏空间具有相同的维度，并且，在数域F上，任意两个n维欧氏空间同构。

同构可以帮助我们理解和处理数学对象的结构，并揭示出这些对象的属性或者操作之间存在的关系。

在矩阵论中，同构的概念对于研究内积空间、向量距离和最小二乘法等问题具有重要意义。

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§4.4 线性空间的同构下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。

设V 与V '都是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。

定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =，其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。

同构的线性空间具有如下性质。

定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0；（2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-；（3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则)()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ；（4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组；（5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。

证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。

（4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得011=++m m k k αα由（1）和（3）得0)()(11'=++m m k k ασασ所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。

反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得0)()(11=++m m k k ασασ即0)(11=++m m k k αασ因为σ是双映射，所以011=++m m k k αα ，从而m ααα,,,21 线性相关。

（5） 由（4）知)(,),(1n εσεσ 是V '的线性无关向量组。

对任意∈'αV '，因为σ是满映射，所以存在∈αV 使得αασ'=)(。

因为 n n x x εεα++= 11，则)()()(1111n n n n x x x x εσεσεεσα++=++='由定理4.2.1知V '是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。

□ 类似于定理3.2.8, 有如下结论。

定理4.4.2 设V V V ''',,都是数域P 上的线性空间。

如果σ为V 到V '的同构映射，τ是V '到V ''的同构映射，则（1）τσ是V 到V ''的同构映射；（2）1-ϕ是V '到V 的同构映射。

在数域P 上线性空间组成的集合中同构是一个等价关系。

因此，如果只涉及线性空间在线性运算下的代数性质，那么同构的线性空间具有相同的性质。

定理4.4.3设V 是数域P 上的n 维线性空间，则V 与n P 同构。

证明 设n εεε,,,21 是V 的一组基。

对V 中任一向量α，它可唯一地表示为n n x x x εεεα+++= 2211 。

令σ：V → nP ，n n x x x εεεα+++= 2211 → x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21，则σ是V 到nP 上的双映射，并且σ保持运算关系不变。

事实上，对∈k P 及V 中向量β，有 n n y y y εεεβ+++= 2211，n n n y x y x y x εεεβα)()()(222111++++++=+ ， n n kx kx kx k εεεα+++= 2211 。

因为==x )(ασ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21， =)(βσ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则)()()(βσασβασ+=+=+y x ，)()(ασασk kx k == ， 即σ是V 到n P 的同构映射。

因此，n 维线性空间V 与n P 同构。

□定理4.4.3说明在n 维线性空间V 中取定一组基以后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射。

因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论，n 维向量空间n P 的一些结论在一般的n 维线性空间中也成立。

定理4.4.4 数域P 上的两个有限维线性空间V 与V '同构的充分必要条件是它们的维数相同。

证明 必要性由定理4.4.1(5)即得。

下面证充分性。

设n V V ='=)dim()dim(。

由定理4.4.3知，V 与nP 同构，并且V '与nP 同构。

因为线性空间的统购是等价关系，所以V 与V '同构。

□§4.5 商空间设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的子空间。

我们可以在V 上定义一个关系“～”：对任意V ∈βα,，βα~当且仅当W ∈-βα， （4.5.1） 则这个关系是V 中的一个等价关系。

线性空间V 按等价关系～可构造商集~/V 。

因为等价关系～是由V 的子空间W 确定的，所以将~/V 称为线性空间V 对子空间W 的商集，记为W V /。

此商集的元素为等价关系～的等价类。

用[]α表示包含元素α的等价类。

对[]βα∈，则W ∈-αβ，从而存在W ∈γ使得W ∈+=γγαβ,。

反之，若V ∈β可表示为上述形式，则αβ~，从而[]βα∈。

因此，等价类[]α可表示为[]{|}W W αααγγ=+=+∈。

（4.5.2）通常称W +α为一个W 型的线性流形（manifold ），并称)dim(W 为线性流形W +α的维数。

线性流形W +α等于α确定的等价类[]α，于是}|{/V W W V ∈+=αα， （4.5.3）即商集W V /由V 的所有W 型的线性流形组成。

线性流形W +α中α称为代表元。

对V ∈βα,，由定理1.5.1知，[][]αβ=的充分必要条件是βα~。

因此，W W +=+βα当且仅当W ∈-βα。

（4.5.4）因为0[0]W W =+=，所以子空间W 也是一个线性流形。

定理4.5.1 若域P 上的n 元非齐次线性方程组 m n m P b P A b Ax ∈∈=⨯,,有解，则它的解集合是一个线性流形)(0A N +γ，其中0γ是b Ax =的一个解，)(A N 是A 的零空间。

证明 设线性方程组b Ax =的所有解组成的集合记为S ，则S A N ⊆+)(0γ。

任取S ∈γ，则)(0A N ∈-γγ。

于是)()(000A N +∈-+=γγγγγ，所以)(0A N S +⊆γ。

因此，)(0A N S +=γ。

□我们可以在线性空间V 对子空间W 的商集W V /上定义加法与数量乘法运算。

定理4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的子空间，对[],[]/V W αβ∈，P k ∈，令 [][]()()()[]W W W αβαβαβαβ+=+++=++=+， （4.5.5） []()[]k k W k W k αααα=+=+=， （4.5.6） 则W V /按上述加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

证明 （4.5.5）和（4.5.6）都用到线性流形的代表元，但一个线性流形的代表元可以有多种选取方式，因此我们首先证明（4.5.5）和（4.5.6）的结果不依赖于代表元的选取。

设W W W W +=+'+=+'ββαα,，由（4.5.4）得W W ∈-'∈-'ββαα,。

因为W 是V 的子空间，所以W ∈-'+-'=+-'+')()()()(ββααβαβα，W k k k ∈-'=-')(αααα，则由（4.5.4）得W k W k W W +=+'+'+=+'+'ααβαβα,)()(。

上式说明（4.5.5）和（4.5.6）定义了W V /上的加法与数量乘法，并且由定理4.5.2容易验证W V /按（4.5.5）和（4.5.6）定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

□W V /按上面定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

这个线性空间称为线性空间V 对子空间W 的商空间，其零元素是0[0]W W =+=。

定理4.5.3 设W 是域P 上有限维线性空间V 的子空间，则)dim()dim()/dim(W V W V -=。

（4.5.7）证明 设m W n V ==)dim(,)dim(，m αα,,1 是W 的一组基。

把m αα,,1 扩充成V 的一组基n m m αααα,,,,,11 +。

任取W V W /∈+β，设n n x x x αααβ+++= 2211，则)()()()()()()()()(111111112211W x W x W x W x W W W x W x W x W x Wx x x W n n m m n n m m n n m m m m n n ++++=+++++++=+++++++++=++++=+++++++αααααααααααβ 。

这表明W V /中任一向量可经W W n m +++αα,,1 线性表示。

下面证明W W n m +++αα,,1 线性无关。

现设W W k W k n n m m =++++++)()(11αα ，则W W k k n n m m =+++++)(11αα ，从而W k k n n m m ∈++++αα 11。

于是 m m n n m m k k k k αααα---=++++ 1111 ，即01111=+++++++n n m m m m k k k k αααα 。

因为n m m αααα,,,,,11 +线性无关，所以011======+n m m k k k k ，因此W W n m +++αα,,1 线性无关，即W W n m +++αα,,1 是W V /的一组基，从而)dim()dim()/dim(W V m n W V -=-=。

□一般地，线性空间V 及其子空间W 都是无限维的，而商空间W V /是有限维的。

在这种情况下，定理4.5.4不适用。

定义4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的一个子空间，如果V 对子空间W 的商空间W V /是有限维的，则)/dim(W V 称为子空间W 在V 中的余维数（codimension ），记为W co V dim 或W co dim 。