一线三等角

一线三等角设计思路一线三等角设计是指在设计中使用一条线将一个角分为三等份。

这种设计思路常见于建筑、绘画、平面设计以及工业设计等领域。

通过使用一线三等角设计思路，可以使作品更加均衡、美观，并增加视觉的吸引力。

在建筑设计中，一线三等角设计思路常常被用来布置房间内的家具和装饰品。

通过将房间的空间划分为三个等分，并将家具和装饰品放置在其中一个等分中，可以使整个房间的布局更加平衡。

例如，在客厅中，可以将沙发和茶几放置在一线三等角的交叉点上，这样可以使整个客厅的布局更加和谐。

在绘画和平面设计中，一线三等角设计思路可以用来构图和排版。

通过将画面或页面划分为三个等分，并将重要的元素放置在其中一个等分中，可以使整个作品更加有层次感和平衡感。

例如，在一幅风景画中，可以将天空、地面和远山分别放置在一线三等角的三个等分中，这样可以使画面更加丰富和有趣。

在工业设计中，一线三等角设计思路可以用来设计产品的外观和功能布局。

通过将产品的外观和功能区域划分为三个等分，并将各个部分放置在其中一个等分中，可以使产品的外观更加流畅和美观，同时也可以提高产品的易用性和人机交互性。

例如，在手机设计中，可以将屏幕、按键和摄像头分别放置在一线三等角的三个等分中，这样可以使手机的外观更加整齐和美观，同时也可以方便用户的操作和使用。

总结一线三等角设计思路的优点，可以说它可以使作品更加均衡、美观，并增加视觉的吸引力。

通过将作品划分为三个等分，并将重要的元素放置在其中一个等分中，可以使整个作品的布局更加平衡和有层次感。

同时，一线三等角设计思路也可以提高产品的易用性和人机交互性，使用户更加方便和舒适地使用产品。

在实际应用中，设计师可以根据具体的需求和要求来选择是否使用一线三等角设计思路。

对于某些需要强调均衡和美观的作品或产品，使用一线三等角设计思路是非常有效的。

然而，在某些情况下，可能并不适合使用一线三等角设计思路，因此设计师需要根据具体情况来决定是否使用。

一线三等角全等模型结论
一线三等角全等模型是指在一个三角形中，如果其中一条边与另外两条边的夹角分别相等，则这个三角形是全等的。

具体结论如下：
1. 如果一个三角形的两条边分别相等，且它们夹角相等，则这个三角形是全等的。

2. 如果一个三角形的两个夹角分别相等，且它们夹角对应的边相等，则这个三角形是全等的。

3. 如果一个三角形的两个夹角分别相等，且它们夹角对应的边相等，则这个三角形是全等的。

这些结论是根据一线三等角全等模型的定义得出的。

在几何学中，全等是指形状和大小都完全相同。

因此，根据这个模型，只要满足上述条件，就可以确保三角形是全等的。

一线三等角模型证明过程1. 认识一线三等角模型说到一线三等角模型，嘿，别急，我们先来点背景知识。

想象一下，数学就像一座神秘的宝藏，里面埋藏着无数的秘密，而一线三等角模型就是其中一个闪闪发光的宝石。

这玩意儿，简单来说，就是把一个三角形分成三部分，然后看看它们之间的关系。

好比把一块美味的蛋糕切成三块，既有视觉的享受，又能品味其中的奥妙。

1.1. 什么是三等角首先，咱们得搞明白“三等角”是什么。

简单来说，就是一个三角形的三个角都是相等的，像极了三个好朋友一起吃冰淇淋，谁都不想多吃一点，公平得很。

这样的三角形叫做“等边三角形”，可别小看它，这可是一切三角形的王者，立马吸引了数学家的目光。

1.2. 一线三等角的妙用一线三等角模型可不仅仅是好看，它的用处可大着呢！比如，咱们在建筑设计、工程测量上，都能看到它的身影。

想象一下，建筑师用它来确保大楼的角度完美无瑕，真是既实用又充满艺术感啊。

2. 证明过程的步骤接下来，就让我们开启证明的旅程吧！首先，咱们得找到一个合适的三角形，当然，选择等边三角形最好，因为它的角度都是60度，简直是稳稳的让人安心。

然后，咱们在这个三角形的底边上画一条线，嘿，这可不是普通的线，它能将三角形分成三部分，每一部分都恰到好处。

2.1. 分割与重组接下来，咱们要用一种很神奇的方法，把这三部分重新组合。

就像把玩具拆散再组装成新的样子，数学的魅力在于这种变化。

我们把每一部分的角度和边长一一对应，最后，嘿，咱们会发现，它们都是相等的！这就像一场精彩的变魔术，大家都惊呼“哇，太神奇了！”2.2. 视觉化证明为了让这个证明更加直观，我们可以用图形来辅助。

画出一个大的等边三角形，再在底边上画出一条平行线，把它分割成几个小三角形。

然后，咱们来个巧妙的观察，发现这些小三角形也是等边的，角度完全相等，真是让人拍手叫绝！这就如同把同一颗星星用不同的角度观察，看到的却是不同的美。

3. 结论与应用最后，经过一番折腾，我们终于证明了一线三等角模型的奥秘。

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角类型一：一线三直角模型如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ．321DBPAC 模型介绍类型二：一线三锐角与一线三钝角模型如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BP D．证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CP A，∠C＝180°－∠1－∠CP A，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BP D．（证明同锐角）【解题关键】构造相似或全等三角形.考点一：一线三等角直角模型【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为cm2．3CDBPA231DBPAC例题精讲➢变式训练【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（，3），（﹣，4）B．（，3），（﹣，4）C．（，），（﹣，4）D．（，），（﹣，4）【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（）A．B．C．D．考点二：一线三等角锐角或钝角模型【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于（）A．1B．2C．3D．4➢变式训练【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为．【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是．【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF ＝90°．（1）求证：＝；（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝45°，求的值．实战演练1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（）A．B．C．D．3.如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．13B.617C．√55D.√10104．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（）A．B．C．D．5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（）A．B．C．2D．36．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的面积，则只需知道（）A．△ABC的面积B．△BFG的面积C．四边形AFGH的周长D．△BDE的面积7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．8．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（）A．B．C．D．19．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB 于点E，则EB的长为．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为．11．已知反比例函数y＝，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝上找出一点P，使∠POE＝45°，则此点P的坐标为．12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．14．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．（1）若∠AED＝30°，则∠ADB＝°．（2）求证：△BED≌△CDF．（3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为．A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大15．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．16．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长（用含m的代数式表示）；（2）当2≤m≤4时，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），求a的取值范围；（3）如图，在y轴上有一点P（0，3），当∠APB＝∠ABC时，求m的值．。

"一线三等角" 全等 模型及其变形何为“一线三等角”顾名思义：“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的图形。

该图形的几何结构是：两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该第三角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组三角形，若该组三角形中有一组对应边相等则构成全等三角形。

（本质上这组三角形是相似三角形，因初学全等的同学并没有学习该知识点，故本文不涉及。

）基本模型首先由等角的大小不同，分为“锐角、直角和钝角”型。

再由第三角的顶点所处位置不同，造成一组三角形的位置不同，分为“同侧和异侧”两种；约定：相等两角顶点为、，第三角顶点为,假设已知.、在线段上1.锐角型（同侧）2.直角型（同侧）3.钝角型（同侧）、在线段的延长线上4.锐角型（异侧）5.直角型（异侧）6.钝角型（异侧）基本处理办法也可以理解为“一线三等角”模型中对应三角形的全等判定方法。

判定三角形全等必须先有一组对应边（已知或者间接证得），所以余下的条件对于“一线三等角”模型就是找到两个角，其中一组角为模型已知的等角，那么另一组角就是利用“三角形内角和或者外角等于不相邻两内角和”或者“平角直角定义”等导角。

从而构成“”或“”型全等。

例如图形1中：利用外角定理：（）又利用平角和三角形内角和（）：又例如图形5中根据互余：其它基本模型的情况相同，大家可以自己完成。

基本型的变形若一个三角形沿着A B平移，图形就会发生变化，但全等关系依旧成立。

1.锐角型（同侧）变形若一个三角形沿着A B平移，图形就会发生变化，但全等关系依旧成立。

此时，易证，从而得到全等。

2.直角型（同侧）变形如果补全外部的边框，则就变成正方形中经典的“十字架”模型3.直角型（异侧）变形如果把基本模型5（异侧直角型）的外形补齐，则很容易联想到勾股定理中的“弦图”：如果把基本模型5（异侧直角型）的连接，再旋转90°，就会得到另一个经典的变形：典型练习题总结把握“一线三等角”全等的本质和基本导角的方法很重要。

一线三等角模型特征及结论好嘞，咱们来聊聊“一线三等角模型”，这个听起来高大上的名词其实也没那么复杂。

就像一碗热腾腾的面条，虽然看起来简单，但其中却藏着不少讲究。

咱们先说说这“一线三等角”是个啥。

简单来说，就是在某些情况下，我们可以把事情简化成一条线和三个角。

这听起来是不是有点像数学课上学的那些东西？但实际上，它在很多领域里都能派上用场，比如说设计、分析，甚至日常生活中也能找到它的身影。

想象一下，你和朋友们一起去泡温泉，那个水雾缭绕的地方，大家围坐在一起，谈笑风生。

这时候，气氛就像那一条线，大家都聚在这条线上，享受着温暖。

而那些欢声笑语，正是那三个角，分别代表着不同的情感、不同的观点。

你看，一个简单的场景，运用这个模型，就能让我们更好地理解和分析这个过程。

这就是“一线三等角”的魅力所在，能把复杂的事情，变得简单又生动。

再说说这个模型的特征。

这条线就代表着一个核心主题或者主线，围绕着这个主题，大家可以展开不同的讨论。

就像我们在聊天的时候，始终围绕着一个话题，有时候跑偏了，但大家又会很自然地拉回来。

这种核心的连结，让人觉得踏实，也让讨论有了方向。

这三个角嘛，分别代表着不同的视角。

比如说，一个角可能是乐观的，一个是现实的，还有一个可能是有点悲观的。

每个角都有它的价值，咱们不能只看一个角度，这样就会错过很多精彩的细节。

可能有人会想，这种模型有什么用呢？嘿嘿，别急，接下来咱们就来看看它的实际应用。

想想看，在工作中，我们常常需要开会讨论项目。

这个时候，一条主线就是项目的目标，而三个角可以代表不同团队的反馈和建议。

大家围绕着这个目标，分享各自的想法，碰撞出火花，真是热闹得很。

经过这样的讨论，最后能形成一个更完善的方案，让大家都心服口服，简直就像是团队合作的缩影。

在学习上，咱们也能用这个模型。

想象你在复习一门课程，主线就是你要掌握的知识点，而那些角度则可以是不同的例题、应用和理论。

换个角度看问题，会让你豁然开朗，原来原本的难题竟然也能迎刃而解。

初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。

几何模型04——一线三等角一、一线三等角（45度）基本图形：例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA ＝∠ABO，求m的值．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CP A＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CP A＝∠ABO＝45°，所以∠BP A+∠OPC＝∠BAP+∠BP A＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则∠PCD∠∠APB，所以＝，即＝，解得m＝12．例2.如图，∠ABC中，AB＝3，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt∠ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE＝2，求CD的长解：过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，过点E作EG∠CD，∠∠B＝∠ADE＝45°，∠∠BAD＝∠EDF，∠∠ABD∠∠DFE，∠，∠∠ADE是等腰直角三角形，∠DE＝AD，∠AB＝3，∠DF＝3，∠∠EFD＝45°，∠AED＝45°，∠∠EFC＝∠DEC＝135°，∠∠EFC∠∠DEC，∠，∠EC＝2，∠EC2＝FC•CD＝FC•（3+FC），∠（2）2＝FC（3+FC），∠FC2+3FC﹣20＝0，解得：FC＝﹣5（舍）或2．∠CD＝DF+FC＝2+3＝5练习1.已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB ＝45°，求OC提示：练习2.如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，求点P的坐标．二、一线三等角（60度）基本图形：例3.如图，正∠ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，∠APD＝60°，BP＝1，2D3C ，则∠ABC的边长为．解：设∠ABC的边长为x，∠∠ABC是等边三角形，∠∠DCP＝∠PBA＝60°．∠∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，∠∠BAP＝∠CPD．∠∠ABP∠∠CPD．∠，∠＝．∠x＝3．即∠ABC的边长为3．练习3.如图，∠ABC为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使CF＝BD，在AB上取一点E，使BE＝DC，则∠EDF＝．三、一线三垂直基本图形：例4.（1）如图1，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标；（2）如图2，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标；（3）如图3，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝AB，AC∠AB，点B（2，2），C （4，﹣2），求点A的坐标．解：（1）如图，作BD∠x轴于D点，∠BD∠x轴于D点，∠∠AOC＝∠CDB＝90°，∠∠ACB＝90°，∠∠ACO+∠BCD＝90°，∠∠ACO+∠OAC＝90°，∠∠OAC＝∠BCD，在∠AOC和∠CDB中，，∠∠AOC∠∠CDB（AAS），∠CD＝AO，OC＝BD，∠点C（1，0），A（0，3），∠OC＝1，BD＝1，CD＝3，∠OD＝4，∠点B的坐标为（4，1）；（2）如图2，过点C作直线l∠x轴，作AE∠l于E，BF∠l于F，∠∠ACB是等腰直角三角形，∠AC＝BC，∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°，∠∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，∠∠EAC＝∠BCF，在∠AEC和∠CFB中，，∠∠AEC∠∠CFB（AAS），∠AE＝CF＝3，BF＝EC＝2，∠EF＝5，∠点B的坐标为（4，1）；（3）如图3，过点A作直线l∠y轴，过点B作BE∠l于点E，过点C作CF∠l 于点F∠BE∠l，CF∠l，∠∠BEA＝∠CF A＝90°＝∠BAC，∠∠BAE+∠CAF＝90°＝∠BAE+∠ABE，∠∠ABE＝∠CAF，在∠ABE和∠CAF中，，∠∠ABE∠∠CAF（AAS），∠BE＝AF，CF＝BE，设点A（m，n），∠点B（2，2），C（4，﹣2），∠2﹣n＝4﹣m，n+2＝2﹣m，∠m＝1，n＝﹣1，∠点A的坐标为（1，﹣1）练习4.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米例5.已知直线l1：y＝﹣x+4与x、y轴分别交于点A、B，直线l2过点B，且与l1的夹角等于45°，如图2，求直线l2的函数表达式．解：由y＝﹣x+4得，OB＝4，OA＝3，作∠BAC＝90°，交l2于C，作CD∠OA于D，∠∠ABC＝45°，∠可得∠BAC是等腰直角三角形，由上知：∠AOB∠∠CDA，∠AD＝OB＝4，CD＝OA＝3，∠OD＝OA+AD＝7，∠C（7，3），设l2的解析式是：y＝kx+b，∠，∠，∠y＝﹣x+4，练习5.如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标．练习6.如图，在∠ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∠l2∠l3，l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离等于2，且l1、l2、l3分别经过点A、B、C，则边AC的长为．练习7.如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ∠EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（）A．6 B．2C．3 D．4例6.如图，直角梯形ABCD中，AD∠BC，AB∠BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC 绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，求∠ADE的面积解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，∠∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDG＝90°，∠∠EDF＝∠CDG，又∠∠EFD＝∠CGD＝90°，DE＝DC，∠∠EDF∠∠CDG（AAS），∠EF＝CG，∠CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2，∠EF＝2，∠S∠ADE＝×AD×EF＝×3×2＝3．练习8.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B 三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是．练习8.已知，如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE∠AD 于E，若CE＝2，则S∠BEC＝．例6.如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，求点C的坐标解：如图，过B作BF∠AC于F，过F作FD∠y轴于D，过A作AE∠DF于E，则∠ABF为等腰直角三角形，易得∠AEF∠∠FDB，设BD＝a，则EF＝a，∠点A（2，3）和点B（0，2），∠DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∠AE+OD＝3，∠2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∠F（，），设直线AF的解析式为y＝k'x+b，则，解得，∠y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∠C（﹣1，﹣6），练习9.如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为．练习10.如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3过点A（1，0），B（0，﹣3），与x轴交于另一点C．若在第三象限的抛物线上存在点P，使∠PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；解：过点P作PD∠y轴，垂足为D，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∠点C（﹣3，0），∠B（0，﹣3），∠∠BOC为等腰直角三角形，∠∠CBO＝45°，∠PB∠BC，∠∠PBD＝45°，∠PD＝BD．∠可设点P（x，﹣3+x），则有﹣3+x＝x2+2x﹣3，∠x＝﹣1，∠P点坐标为（﹣1，﹣4）；四、一线三等角（普通角度）例7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，∠ABC的面积为S，求S与t的函数关系；解：过点A作EA∠AB交PC于点E，过E点作EG∠y轴，垂足为G，过点P作PF∠y轴，垂足为F，∠∠P AE＝90°，∠∠P AF+∠EAG＝90°，∠∠P AF+∠APF＝90°，∠∠APF＝∠EAG，∠∠EGA＝∠AFP＝90°，∠∠AEG∠∠P AF，∠tan∠APC＝，∠＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∠AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∠点A的坐标为：（0，2），∠E（），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∠C（0，2﹣），∠AC＝2﹣﹣2＝﹣，∠BO＝4，∠S＝＝﹣t，练习11.如图，在∠ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C 重合），点D，F分别在边AB，AC上，且满足∠DEF＝∠B．（1）求证：∠BDE∠∠CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．五、课后练习1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF．已知AG∠GF，AC＝，则AB的长为（）A．B．2B．C．D．2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME∠AM，ME交AD的延长线于点E，若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．B．18B．C．D．3.如图所示，已知∠ABC中，∠BAC＝45°，AD∠BC于D，BD＝2，CD＝3，试求AD的长．4.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC 与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是．5.在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O 作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为﹣时，则点B的坐标为．6.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．7.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，连OD，求∠AOD的度数；。

几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类全等篇D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角D DDAP A A B P PB BC C C异侧相似篇D D C D C C BA BA P P ABP同侧钝角直角锐角D DDAP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE.∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE.AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2.3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且D 是 BC) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用．1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅ ，已知：在ABC 中，【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS 可证明ADB CEA ≌，可得AE BD AD CE ==，，可得DE BD CE =+．（2）由已知条件可知180BAD CAE α∠+∠=︒−，180DBA BAD α∠+∠=︒−，可得DBA CAE ∠=∠，结合条件可证明ADB CEA ≌，同（1）可得出结论．【详解】证明：（1）如图1，∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）如图2，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到AE BD AD CE ==，是解题的关键．例2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE △的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD+CE(2)DE ＝BD+CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】（1）解：DE ＝BD+CE ∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ，故答案为：DE ＝BD+CE ．（2）DE ＝BD+CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC•h ＝12，S △ABF ＝12BF•h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF+S △ABD ＝S △FBD+S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【答案】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由见解析；（2）PC ⊥PQ ，证明见解析；（3）存在，当t ＝1s ，x ＝2cm/s或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【分析】（1）利用SAS 定理证明ACP BPQ ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质判断线段PC 和线段PQ 的位置关系；（3）分ACP BPQ ∆≅∆，ACP BQP ∆≅∆两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由如下：当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，则BP ＝9﹣2＝7，∴BP ＝AC ，又∵∠A ＝∠B ＝90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B CA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）；（2）PC ⊥PQ ，证明：∵△ACP ≌△BPQ ，∴∠ACP ＝∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ ＝∠APC+∠ACP ＝90°．∴∠CPQ ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；（3）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∴9﹣2t ＝7，解得，t ＝1（s ），则x ＝2（cm/s ）；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，则2t ＝12×9，解得，t ＝94（s ），则x ＝7÷94＝289（cm/s ），故当t ＝1s ，x ＝2cm/s 或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分 类讨论思想的灵活运用是解题的关键．例4．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M 的坐标为（1，3）；（3）R （203，0）【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，判断出MF=NG ，OF=MG ，设M （m ，n ）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l ，∴∠ACB ＝∠ADC ．∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC ．∴△ACD ≌△CBE ，∴CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°，∴由（1）得△OFM ≌△MGN ，∴MF ＝NG ，OF ＝MG ，设M （m ，n ），∴MF ＝m ，OF ＝n ，∴MG ＝n ，NG ＝m ，∵点N 的坐标为（4，2）∴42m n n m +=⎧⎨−=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩∴点M 的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x+4，由x ＝0得y ＝4，∴P （0，4），∴OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，∴Q （1，0），OQ ＝1，∵∠QPR ＝45°，∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ．∴PQ ＝SQ ．∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ．∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．∴S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=−⎪⎩．∴直线PR 为y ＝35-x+4． 由y ＝0得，x ＝203，∴R （203，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。