林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附答案)

初中数学58种模型之一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。

这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。

对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。

“一线三等角”的起源DE 绕A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”结论：△ADB ∽△CEA二、锐角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB三、钝角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB下面总结几种常考类型：类型一三角齐见，模型自现类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．类型二隐藏局部，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．类型三一角独处，两侧添补类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．类型四线角齐藏，经验来帮类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60°再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFDCADB EF（2）∵△BDE ∽△CFD∴BECDBD FC =∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD∴DF DECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBDDE BE = ∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；DA（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

一线三等角相似三角形判定的基本模型A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型CB EDA一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：【应用】1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）直接写出点B 的坐标 ． （2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2 ，求点P 的坐标．2、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．模型训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．ABCDEEDC BAP（第25题图）EDCBA（备用图）共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．【例题精讲】例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若S ABCD=25，求DP的长。

林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附专题17 一线三等角模型破解策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．DC1A3P2B 如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．CD3APB 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD 如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．C1A3P2BD 2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．C3BPA12D 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD 3．当点P 在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．CP3A12BD 证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD．例题讲解例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC 的边AB所在直线上．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式．②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD ＝b，直接写出S1S2的表达式．CCNEAMDBFCEMADNFBM ADEBNF 图1图2图3 解：如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．CNEAGMHDBF 则S1 S2＝1MGAD211NHBD＝ADAM243．2ABDBN．题意可知∠A＝∠B＝60o，所以sinA＝sinB＝“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN．∴AMAD，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．?BDBN①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．CEMANHFBGD 则S1S2＝1MGAD211NHBD＝ADAM24ABDBN．“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，所以AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab，?BDBN1a2b2sin2a；4所以S1S2＝②如图6，分别过点M，N作AB 的垂线，垂足分别为G，H．CMADGEBHNF 则S1 S2＝1MGAD211NHBD＝ADAM24ABDBN．“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，所以AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab，?BDBN1a2b2sin2a；4所以S1S2＝例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D 是BC边上的一个动点，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．AEBDC 解∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A 作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝1AB ＝1，2∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23，则DC＝23?x，EC＝2－y ∵△ABD∽△DCE，∴ABDC，?BDCE223?x，?x2?y∴化简得：y?12x?3x?20?x?23．2??AEBCD ①当AD＝DE时，如图2，△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝23?x，x ＝23?2，代入y?12x?3x?2 2解得：y＝4?23，即AE＝4?23，②当AE＝ED时，如图，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°11 EC，即y＝2222解得y ＝，即AE＝；33则ED＝③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－23或AE＝ 2 3AEB进阶训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E 在BC边上移动．满足∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．ADFBECDC 1．略【提示】题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．“一线三等角模型”可得△BDE∽△CEF，可得所以2．如图，在等边△ABC中，点D，E 分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG 于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．ADHGBEBEDE＝．而BE＝CE·CFEFCEDE＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．CFEFFC AEB进阶训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E 在BC边上移动．满足∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．ADFBECDC 1．略【提示】题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．“一线三等角模型”可得△BDE∽△CEF，可得所以2．如图，在等边△ABC中，点D，E 分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG 于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．ADHGBEBEDE＝．而BE＝CE·CFEFCEDE＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．CFEFFC。

全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则 ．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则 ； （填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。

一线三等角模型练习题
[模型分析]
1.点P在线段AB上(同侧型)，∠1=∠2=∠3.
结论:△APC∽△BDP.
2.点P 在线段AB的延长线上(异侧型)，∠1=∠2=∠
3.
结论:△APC∽△BDP.
注:当两个三角形有一组对应边相等时，两个三角形全等.
3.中点型一线三等角
如图，当∠1=∠2=∠3，D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.
1.如图，在矩形ABCD中，P是AB的中点，Q是BC上一动点，△BPQ 沿着PQ折叠，点B落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM.
(1)求证:△PAM≌△PEM；
(2)当DQ⊥PQ时，将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F 处.
①求证:△PAM∽△DCQ；
②若AM=1 ，sin∠DMF =3/5，求BC的长.
2.如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A( -1，0) ，B(2，0)两点，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是直线BC下方的抛物线上一点，连接AC、BD、CD，当四边形ABDC的面积最大时，求点D的坐标；
(3)点M是抛物线上一点，将线段 AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，若点N在抛物线的对称轴上，求点M的坐标.。

一线三等角相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型AD B C E一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例△1】如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°A（△1）求证：BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BEE FB D C【例△2】如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFEAFEB D C【例△3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM 交AC于点M，使∠APM=∠B；（△1）求证：ABP∽△PCM；A（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．（△3）当APM为等腰三角形时，求PB的长．MB P C【例4】（1）在∆ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线C B、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC.A①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；BQP C（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线C B、DC上．．（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90︒.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.AB C备用图A DB C图12点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

中考数学“一线三等角”模型解析一、“一线三等角” 模型定义两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .二、“一线三等角” 模型类型（1）点 P 在线段 AB 上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型（2）点 P 在线段 AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型三、“一线三等角” 模型常出现的题型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形（正方形）；4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；5、等边三角形的翻折；6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .四、典例解析（一）一线三等角模型——等腰三角形【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点 M 是边 AB 的中点，点 E 、G 分别是边 AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与 MG 的延长线相交于点 F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接 EG，当 AE = 3 时，求 EG 的长 .解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）.（2）AE = 3 , CE = 1 ,由△AEM∽△BMG 可计算出 BG = 8/3 ，则 CG = 4/3 .在Rt△CEG 中，由勾股定理可得 EG = 5/3 .另解：点 M 是 AB 的中点，恰好是“中点型一线三等角”，则有△AEM∽△BMG∽△MEG .对可解△AEM 由余弦定理可计算出ME = √5 ，由△AEM∽△MEG，可得 AE/ME = ME/EG ,即3/√5 = √5/EG ,解得 EG = 5/3 .（二）一线三等角模型——等腰梯形【例题2】已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5 , AB = DC = 2 .（1）如图，点 P 为 AD 上的一点，且满足∠BPC = ∠A .①求证：△ABP∽△DPC；②求 AP 的长 .（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A 、D 不重合），且满足∠BPE = ∠A ，PE 交直线 BC 于点 E , 同时交直线 DC 于点 Q ，那么①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP = x , CQ = y , 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当 CE = 1 时，写出 AP 的长 .解析：（1）①由等腰梯形同一底上两个底角相等+ 三角形内角和及平角（∠APD）等于180°，可证△ABP∽△DPC .② ∵ △ABP∽△DPC ，∴ AP/DC = AB/PD ,∴ AP/2 = 2/（5 - AP），解得 AP = 1 或 AP = 4 .（2）①建立 y 关于 x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则DQ = 2 = y ,易证：△ABP∽△DPQ，∴ AB/PD = AP/DQ ,即 2/（5 - x）= x/（2 + y）,∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,定义域：由于点 Q 在线段 DC 的延长线上，故 DQ > 2 , 即 y + 2 > 2 ,∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即 1 < x < 4 .②分类讨论点 E 的位置如下：1、当点 E 在线段 BC 上时，CE = 1 , 过 C 点作 PQ 的平行线交AD 于点 H ，由△ABP∽△DHC，∴ AB/DH = AP/DC ,∴ 2/（5 - 1 - x）= x/2 ,解得 x = 2 .2、当点 E 在线段 BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点 E 作 CD 的平行线交 AD 的延长线于点 M ，由△ABP∽△MPE，∴ AB/MP = AP/ME ,∴ 2/（5 + 1 - x）= x/2 ,解得 x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.五、小结1、此次课程展示了相似模型“一线三等角型” 在初中数学范围内常见的两种考题形式；2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .。

中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。

一线三等角相似三角形判定的基本模型Ａ字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型CB EDA一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：【应用】1.如图,在平面直角坐标中,四边形ＯＡBC 是等腰梯形,C Ｂ∥ＯA,OA=7,B Ｃ=1,AB ＝5，点P 为ｘ轴上的一个动点，点P 不与点０、点Ａ重合．连接C Ｐ，过点P 作PD 交ＡB 于点Ｄ． (1)直接写出点B 的坐标 .ﻫ（2)当点P 在线段O Ａ上运动时,使得∠CPD=∠OAB ，且ＢD: ＡD=3:2 ，求点P 的坐标．２、已知在梯形AB ＣD 中，ＡD ∥B Ｃ,ＡD <ＢC ，且BC =6，AB =ＤＣ=4,点Ｅ是A Ｂ的中点. (1）如图,P 为B Ｃ上的一点，且BP =2．求证：△BE Ｐ∽△ＣPD ； （2）如果点Ｐ在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠E ＰF =∠C ,PF 交直线ＣＤ于点F ,同时交直线ＡＤ于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设B Ｐ=x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域;②当BEP DMF S S ∆∆=49时,求BP 的长．模型训练：1. 如图,在△ABC 中，8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠． (1） 求证:△ABD ∽△DCE ;(２) 如果x BD =,y AE =，求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ＡD Ｅ是什么三角形，并说明理由．ABCDEEDC BA P（第25题图）EDCBA（备用图）。

中考数学压轴题一线三等角一线三等角模型一 . 一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。

二 . 一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠ 1= ∠ 2= ∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△ AEC ≌ △ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式 (了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5 .“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

一线三等角模型基本模型：例题精讲1(直角K 字型)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE =AD -BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)见解析；(3)DE =BE -AD【详解】(1)①如图1，∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠ACB =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∠ECB +∠DCA =90°，∴∠DAC =∠ECB ，∴∠ADC =∠CEB∠DAC =∠ECB AC =CB，∴△ADC ≌△CEB ．②∵△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ,DC =BE ，∵DE =DC +CE ，∴DE =AD +BE ．(2)如图2，∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE,DC=BE，∵DE=CE-DC，∴DE=AD-BE．(3)线段DE、AD、BE的熟练关系为：DE=BE-AD或AD=BE-DE或BE=AD+DE．理由如下：如图3，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE,DC=BE，∵DE=DC-CE，∴DE=BE-AD或AD=BE-DE或BE=AD+DE．2(非直角K字型)【探究】如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．若AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【详解】探究证明：∵∠A =∠BAE +∠ABE ，∠BAC =∠CAF +∠BAE ，又∵∠BAC =∠1，∴∠ABE =∠CAF ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠CFA ，在△ABE 和△CAF 中，∠AEB =∠CFA∠ABE =∠CAF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF AAS ；应用：解：∵△ABE ≌△CAF ，∴S △ABE =S △CAF ，∴S △CDF +S △CAF =S △ACD ，∵CD =2BD ，△ABC 的面积为9，∴S △ACD =23S △ABC=6，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6．【变式训练】1(1)如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．证明：(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．请写出DE ,BD ,CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)DE =BD +CE ，证明见解析【详解】(1)DE =BD +CE ．理由如下：如图1，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA =90°AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，∴DE =CE +BD ；(2)DE =BD +CE ，理由如下：如图2，∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∴△ADB ≌△CEA (AAS )，∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；2(1)观察理解：如图1，∠ACB =90°，AC =BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB．(2)理解应用：如图2，过△ABC 边AB 、AC 分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ．利用(1)中的结论证明：I 是EG的中点．(3)类比探究：①将图1中△AEC 绕着点C 旋转180°得到图3，则线段ED 、EA 和BD 的关系；②如图4，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，将腰DC 绕D 点逆时针旋转90°至DE ，△AED 的面积为．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①ED =EA -BD ；②1【详解】(1)证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC =∠BDC =90°，又∵∠ACB =90°∴∠A +∠ACE =∠ACE +∠BCD =90°，∴∠A =∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，∠AEC =∠CDB∠A =∠BCDAC =BC∴△AEC ≌△CDB (AAS )；(2)证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N ，由(1)得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM =AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI =90°EM =GN∴△EMI ≌△GNI (AAS )；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；(3)解：①由(1)得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA -BD ；故答案为：ED =EA -BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由(1)得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为12AD ⋅EN =12×2×1=1．故答案为：13已知：△ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，D 为直线BC上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE ⊥AD ，且AE =AD ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH ⊥AC 于H ，连接DE ，求证：EH =AC ；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM =EM ；(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若2AC =5CM ，则S △ADB S △AEM 的值为．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)47或43【详解】(1)∵AE ⊥AD ,EH ⊥AC ,∠ACB =90°，∴∠AHE =∠C =∠DAE =90°，∵∠AEH +∠EAH =90°，∠DAC +∠EAH =90°，∴∠AEH =∠DAC ，在△AEH 和△DAC 中，∠AHE =∠C∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH ≌△DAC (AAS )，∴EH =AC ．(2)如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°,∠ACD =180°-∠ACB =90°,∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，∠F =∠ACD∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE ≌△CDA (AAS )，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC和△EMF中，∠MCB=∠F∠BMC=∠EMF BC=EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM=EM．(3)当点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°，∵∠DAE=90°，∵∠D+∠DAC=90°，∠DAC+∠GAE=90°，∴∠GAE=∠D，在△AGE和△DCA中，∠G=∠ACD ∠GAE=∠D AE=DA，∴△AGE≌△DCA(AAS)，∴AG=DC,EG=AC，∵AC=CB，∴EG=AC=BC∴AG-AC=DC-BC，∴CG=DB，∵∠BCM=180°-∠ACB=90°，∴∠G=∠BCM，在△EGM和△BCM中，∠G=∠BCM∠EMG=∠BMC EG=BC，∴△EGM≌△BCM(AAS)，∴GM=CM，设GM=CM=m，则DB=CG=2m，∵2AC=5CM，∴AC=52CM=52m，∴AM=52CM+CM=72CM=72m，∴SΔADB=12DB⋅AC=12×2m⋅AC=m⋅AC，SΔAEM=12AM⋅EG=12×72m⋅AC=74m⋅AC，∴⋅SΔADBSΔAEM=m⋅ACm4m⋅AC=47，∴⋅SΔADBSΔAEM的值为47；当点D在线段BC上时，作EG⊥AM于点G，同理可证：EG=AC=BC，GM=CM，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，∵2AC=5CM，∴AC=52CM,∴AM=52CM-CM=32CM=32n，∴SΔADB=12DB⋅AC=12×2n⋅AC=n⋅AC，SΔAEM=12AM⋅EG=12×32n⋅AC=34n⋅AC，∴SΔADBSΔAEM=n⋅AC34n⋅AC=43，综上所述，S ΔADB S ΔAEM的值为47或43，故答案为：47或43．4【问题背景】(1)如图1，在Rt△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∠ADC =90°，BE ⊥CD ，垂足为E ．求证：CD =BE ；【变式运用】(2)如图2，在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =∠CDA =90°，CD =2．求S △BDC ；【拓展迁移】(3)如图3，在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，CD 与AB 交于点E ，AD =1，BE =4AE ，直接写出S △BDC 的值．【答案】(1)详见解析；(2)2；(3)8．【详解】解：(1)∵∠ACB =∠ADC =90°，BE ⊥CD ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，∴∠ACD =∠CBE ，在△ACD 与△CBE 中，∠ACD =∠CBE∠ADC =∠CEBAC =BC∴△ACD ≌△CBE (AAS )，∴CD =BE ；(2)过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，∵AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，由(1)知，BE =CD =2，∴S △BDC =12CD ⋅BE =2；(3)过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，∵AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，由(1)知BF =CD ，AE BE =S △ACE S △BCE =AD BF ，∵BE =4AE ，∴BF =4，AD =4，CD =BF =4，∴S △BDC =12CD ⋅BF =8．课后训练5如图，△ABC 为等边三角形，D是BC 边上一点，在AC 上取一点F ，使CF =BD ，在AB 边上取一点E ，使BE =DC ，则∠EDF 的度数为()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，在△EDB 和△DFC 中，BD =CF∠B =∠C =60°BE =CD,∴△EDB ≌△DFC ，∴∠BED =∠CDF ，∵∠B =60°，∴∠BED +∠BDE =120°，∴∠CDF +∠BDE =120°，∴∠EDF =180°-(∠CDF +∠BDE )=180°-120°=60°.故选C .6如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CFA =α．(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA =90°，α=90°，则BE CF ．②如图2，若0°<∠BCA <180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3．若线CD 经过∠BCA 的外部，α=∠BCA ，请提出关于EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由【答案】(1)①BE =CF ；②α+∠BCA =180°，理由见解析(2)EF =BE +AF ，理由见解析【详解】(1)①∵∠BEC =∠CFA =α=90°，∴∠BCE +∠CBE =180°-∠BEC =90°．又∵∠BCA =∠BCE +∠ACF =90°，∴∠CBE =∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，∠BEC =∠CFA∠CBE =∠ACFBC =AC∴△BCE ≌△CAF (AAS )．∴BE =CF ．②α+∠BCA=180°，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α．又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α．又∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α．∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BCE和△CAF中，∠CBE=∠ACF ∠BEC=∠CFA BC=CA∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE=CF．故答案为：①BE=CF；②α+∠BCA=180°(2)EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-α．又∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠FCA ∠BEC=∠FCA BC=CA∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE=CF，EC=FA．∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF ．7如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF=20°，∠ADE=50°，则∠ABC=°；(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．①填空：△DEG≌△；②求证：AE=AF+BC；(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．【答案】(1)60°；(2)①EFA；②见解析；(3)AE=AF+BC，理由见解析【详解】(1)解：如图1：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，∵∠1=20°，∴∠2=∠DEF-∠1=70°，∵∠EDA+∠2+∠3=180°，∠ADE=50°∴∠3=60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠4=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=∠C-∠4=60°．(2)解：①如图1，过D作DG⊥AE于G，在△DEG中，∠2+∠5=90°，∵∠2+∠1=90°，∴∠1=∠5，∵DE=FE，在△DEG与△EFA中，∠DGE=∠EAF ∠5=∠1DE=EF，∴△DEG≌△EFA，故答案是：EFA；②∵△DEG≌△EFA，∴AF=EG，∵∠4+∠B=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠B，在△DAG与△ABC中，∠3=∠B∠DGA=∠C AD=AB，∴△DAG≌△ABC，∴BC=AG，∴AE=EG+AG=AF+BC．(3)解：AE+AF=BC，理由如下：如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°，∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，在△ADM 与△BAC 中，∠M =∠C∠2=∠B AD =AB，∴△ADM ≌△BAC ，∴BC =AM ，∵EF =DE ，∠DEF =90°，∵∠3+∠DEF +∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∵∠3+∠5=90°，∴∠4=∠5，在△MED 与△AFE 中，∠M =∠EAF∠5=∠4DE =EF，∴△MED ≌△AFE ，∴ME =AF ，∴AE +AF =AE +ME =AM =BC ，即AE +AF =BC ．8已知：等腰Rt ΔABC 和等腰Rt ΔADE 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠EAD =90°．(1)如图1，延长DE 交BC 于点F ，若∠BAE =62°，则∠DAC 的度数为；(2)如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若∠AEC =90°，点M 为BD 中点，求证：EC =2AM ；(3)如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，AG =8，AH =2，则ΔAEC 的面积为．【答案】(1)62°；(2)见解析；(3)16【解析】(1)解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAC -∠EAC =∠EAD -∠EAC ，即∠BAE =∠DAC ，∵∠BAE =62°，∴∠DAC =62°，故答案为：62°；(2)证明：如图2，延长AM 至点N ，使MN =AM ，连接BN ，在ΔAMD 和ΔNMB 中，DM =MB∠AMD =∠NMB AM =MN，∴ΔAMD ≅ΔNMB SAS ，∴AD =BN ，∠N =∠DAM =90°，∴BN =AE ，在Rt ΔANB 和Rt ΔCEA 中，BN =AE AB =AC ，∴Rt ΔANB ≅Rt ΔCEA HL ，∴EC =AN =2AM ；(3)解：如图3，延长AG 至K ，使GK =AG ，连接CK 、CD 、BE ，设AE 交BC 于点P ，∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAE +∠EAC =∠EAC +∠CAD ，∴∠BAE =∠CAD ，∵ΔABC 是等腰直角三角形，ΔADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，AE =AD ，在ΔABE 与ΔACD 中，AB =AC∠BAE =∠CAD AE =AD，∴ΔABE ≅ΔACD SAS ，∴S ΔABE =S ΔACD ，BE =CD ，∵G 点是EC 的中点，∴EG =GC ，∵∠AGE =∠KGC ，AG =GK ，∴ΔAGE ≅ΔKGC SAS ，∴AE =CK ，∠AEG =∠KCG ，∴AE =KC =AD ，∠ACK =∠ACB +∠BCE +∠KCG =45°+∠AEC +∠BCE =45°+∠ABC +∠BAP =90°+∠BAE =∠BAD ，∴ΔAKC ≅ΔABD SAS ，∴BD =AK =16，∠CAK =∠ABD ，∵∠BAG +∠CAG =90°，∴∠ABD +∠BAG =90°，即∠AHB =90°，∵AH =2，∴S ΔABD =12×BD ×AH =12×16×2=16，∵S ΔAEC =S ΔAEG +S ΔAGC =S ΔGCK +S ΔAGC =S ΔACK =S ΔABD =16，∴S ΔAEC =16，故答案为：16．9如图△ABD 与△AEC 均为等腰直角三角形，AD =AB ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．(1)如图1，若反向延长△ABC 的高AM 交DE 于点N ，过D 作DH ⊥MN ．求证：DH =AM ，DN =EN ；(2)如图2，若AM 为△ABC 的中线，反向延长AM 交DE 于点N ，试探究AM 与DE 的数量关系，并说明理由；(3)由(1)(2)的探究我们发现S △ABC S △ADE ．(填“<”“>”或“=”号，无需证明)【答案】(1)见解析；(2)DE=2AM，见解析；(3)=【详解】(1)证明：如图，过点E作EP⊥MN交MN的延长线于点P，∵DH⊥MN，AM⊥BC，∴∠DHA=∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAM+∠DAH=90°，∴∠DAH=∠ABM，在△DAH与△ABM中，∠DHA=∠AMB ∠DAH=∠ABM AD=AB∴△DAH≌△ABM(AAS)，∴DH=AM，同理可得：△APE≌△CMA(AAS)，∴EP=AM，∴EP=DH，∵DH⊥MN，EP⊥MN，∴∠DHN=∠EPN=90°，在△DHN与△EPN中，∠DHN=∠EPN ∠DNH=∠ENP DH=EP∴△DHN≌△EPN(AAS)，∴DN=EN；(2)解：DE=2AM，理由如下：如图，延长AM至点G，使AM=MG，连接GC，∵AM为△ABC的中线，∴BM=CM，在△ABM与△GCM中，BM=CM∠AMB=∠GMC AM=MG∴△ABM≌△GCM(SAS)，∴AB=GC，∠ABM=∠GCM，∴AB⎳GC，∴∠BAC+∠ACG=180°，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAE+∠BAC=360°-∠BAD-∠CAE=180°，∴∠DAE=∠ACG，∵AB=GC，AB=AD，∴AD=GC，在△ADE与△CGA中，AE=AC∠DAE=∠ACG AD=CG∴△ADE≌△CGA(SAS)，∴DE=AG，∵AM=MG，∴AG=2AM，∴DE=2AM；(3)解：∵△ABM≌△GCM，∴S△ABM=S△GCM，∴S△ABM+S△AMC=S△GCM+S△AMC，∴S△ABC=S△AGC，∵△ADE≌△CGA，∴S△AGC=S△DAE，∴S△ABC=S△DAE，故答案为：=．10如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC 为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且∠DAC=∠CBE=90°，AD=AC，BC=BE，过点D作DD1⊥a于点D1，过点E作EE1⊥a于点E1．(1)【问题探究】小华同学想探究图1中线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线CH⊥AB于点H，可以先证明△ADD1≌△CAH和△BEE1≌，于是可得：和，所以得到线段DD1、EE1、AB之间的数量关系是；(2)【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段D1E1=m，AB =n，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为．【答案】(1)△CBH；DD1=AH；EE1=BH；AB=DD1+EE1；(2)AB=DD1-EE1，理由见解析；(3) 14n(m-n)．【详解】解：(1)∵DD 1⊥a ，CH ⊥AB ，∴∠DD 1A =∠CHA =∠DAC =90°，∴∠D 1DA +∠D 1AD =90°，∠D 1AD +∠CAH =90°，∴∠D 1DA =∠CAH ，∵AD =AC ，∴△D 1DA ≌△HAC ，同理△BEE 1≌△CBH ，∴DD 1=AH ，EE 1=BH ，∴AB =DD 1+EE 1故答案为：△CBH ，DD 1=AH ，EE 1=BH ，AB =DD 1+EE 1；(2)AB =DD 1-EE 1．理由：如图，过点C 作CG ⊥a 于点G ，∵DD 1⊥a ，CG ⊥a ，EE 1⊥a ，∴∠DD 1A =∠AGC ，∠CGB =∠BE 1E ，∴∠DAD 1+∠ADD 1=90°，∠CBG +∠BCG =90°，∵∠DAC =∠CBE =90°，∴∠DAD 1+∠CAG =90°，∠CBG +∠E 1BE =90°，∴∠ADD 1=∠CAG ，∠BCG =∠EBE 1，在△ADD 1和△CAG 中，∠ADD 1=∠CAG ,∠DD 1A =∠AGC ,AD =CA ,∴△ADD 1≌△CAG ，∴DD 1=AG ，同理可得：△BCG ≅△EBE 1，∴BG =EE 1，由图可得：AB =AG -BG ，∴AB =DD 1-EE 1；(3)∵CG =BE 1，CG =D 1A ，∴BE 1=D 1A =12(D 1E 1-AB )=12(m -n )，∴△ABC 的面积=12AB ⋅CG =12×12n (m -n )=14n (m -n )，故答案为：14n (m -n ).11(1)如图1，已知：在ΔABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥l ，CE ⊥l 垂足分别为点D、E ．证明：①∠CAE =∠ABD ；②DE =BD +CE ．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在ΔABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，过ΔABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA 交EG于点I，求证：I是EG的中点．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)成立：DE=BD+CE；证明见解析；(3)见解析【详解】(1)①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC∴△ADB≌△CEA(AAS)∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC∴△ADB≌△CEA(AAS)∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；(3)如图过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N∴∠EMI =GNI =90°由(1)和(2)的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中∠GIH =∠EIMEM =GN∠GHI =∠EMI∴△EMI ≌△GNI (AAS )∴EI =GI∴I 是EG 的中点．12已知点C 是AB 上的一个动点．(1)问题发现如图1，当点C 在线段AB 上运动时，过点C 作DC ⊥AB ，垂足为点C ，过点A 作EA ⊥AB ，垂足为点A ，且DC =AB ，AE =BC ．①△ABE 与△CDB 全等吗？请说明理由；②连接DE ，试猜想△BDE 的形状，并说明理由；③DC =AE +AC 是否成立？(填“成立”或“不成立”)．(2)类比探究如图2，当点C 在线段AB的延长线上时，过点C 作DC ⊥AB ，垂足为点C ，过点A 作EA ⊥AB ，垂足点A ，且DC =AB ，AE =BC ．试直接写出△BDE 的形状为；此时线段DC 、AE 和AC 之间的数量关系为(直接写出结论，不用说明理由)．【答案】(1)①全等，理由详见解析；②△BDE 是等腰直角三角形，理由详见解析；③成立；(2)等腰直角三角形，AC =AE +DC【详解】解：(1)①全等．理由如下：∵DC ⊥AB ，EA ⊥AB ，∴∠BCD =90°=∠EAB ，又∵DC =AB ，AE =BC ，∴△ABE ≅△CDB ．②△BDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵△ABE ≅△CDB ，∴BD =BE ，∠ABE =∠CDB ，在△BCD 中．∠CDB +∠DBC =90°，∴∠ABE +∠DBC =90°，即∠DBE =90°，∴△BDE是等腰直角三角形．③∵△ABE≌△CDB，∴AE=BC，AB=CD，∴CD=AB=AC+BC=AC+AE,故答案为：成立；(2)∵DC⊥AB，EA⊥AB，∴∠BCD=90°=∠EAB，又∵DC=AB，AE=BC，∴△ABE≅△CDB．∴BD=BE，∠ABE=∠CDB，在△BCD中．∠CDB+∠DBC=90°，∴∠ABE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，∴△BDE是等腰直角三角形．∵AB=CD，AE=BC，∴AC=AB+BC=AE+CD，故答案为：等腰直角三角形，AC=AE+DC.13已知：△ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC于F，连DE，问BD 与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC= 3MC，请直接写出DBBC的值．【答案】(1)见详解，(2)BD=2CF，证明见详解，(3)2 3．【详解】(1)证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90°，∵∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，∵BC=AC，∴ΔBCF≅ΔACD(AAS)，∴BF=AD．(2)结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，∴∠ADC=∠EAH，∵AD=AE，∴ΔACD≅ΔEHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，∵CB=CA，∴BD=CH，∵∠EHF=∠BCF=90°，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴ΔEHF≅ΔBCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．(3)如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，∴∠ADC=∠EAH，∵AD=AE，∴ΔACD≅ΔEHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，∵CB=CA，∴BD=CH，∵∠EHM=∠BCM=90°，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴ΔEHM≅ΔBCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．∵AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB BC =2a3a=23．14(1)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)在(1)的条件下，当直线MN旋转到图2的位置时，猜想线段AD，DE，BE的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BC，BF⊥BC于B，BF=CD，CE⊥BC于C，CE= BD，求证：∠EAF+∠BAC=90°．【答案】(1)证明见解析；(2)DE=AD-BE，证明见解析；(3)证明见解析．【详解】解：(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；(2)DE=AD-BE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(3)如图3，连接CF、BE，AD⊥BC于D，BF⊥BC于B，∴∠ADC=∠CBF=90°，在△ADC和△CBF中，AD=BC∠ADC=∠CBF=90°CD=BF，∵△ADC≌△CBF(SAS)，∴∠CAD=∠FCB，AC=CF；∴∠ACF=∠FCB+∠ACD=∠CAD+∠ACD=∠ADC=90°∴△ACF为等腰直角三角形．∴∠CAF=45°，同理可证：△ABE为等腰直角三角形．∴∠EAB=45°，∴∠EAF+∠BAC=∠CAF+∠EAB=90°．。

中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60°再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFDCADB EF（2）∵△BDE ∽△CFD∴BECDBD FC =∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD∴DF DECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBDDE BE = ∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；DA（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。