一线三等角专题.pdf

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

专题训练－一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角．一线三等角模型经常出现在等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形、等边三角形以及正多边形中．模型总结：引例：如下图，AB＝AC，∠B＝∠ADE＝α，AEαB C(1)求证：△ADE∽△ACD；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝α，∵∠B＝∠ADE＝α，∴∠C＝∠ADE＝α，又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD；(2)求证：△ABD∽△DCE；证明：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠α＋∠1＝∠α＋∠3，即：∠1＝∠3，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE；(3)AB＝AC＝m，BC＝2n，D点不与B，C重合，①求CE的最大值(用含m，n的代数表示)，②求CE的取值范围(用含m，n的代数表示)，当CE的值最大时，D点的位置在哪里？2n -y解析：设EC ＝x ，BD ＝y ，DC ＝2n －y ， 由(2)知△ABD ∽△DCE ，AB BDDC EC =，2m y n y x=-， mx ＝2ny －y 2， y 2－2ny ＝－mx ， y 2－2ny ＋n 2＝－mx ＋n 2， (y －n )2＝－mx ＋n 2， ∵(y －n )2≥0， ∴－mx ＋n 2≥0， mx ≤n 2，x ≤2n m，又∵D 点不与B ，C 重合， ∴x ＞0，∴EC 的取值范围是0＜EC ≤2n m ，当取等号时，EC 的最大值为2n m，此时y －n ＝0，y ＝n ， 即BD ＝n ＝12BC ， 即D 为BC 的中点．引例：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，且D 不与B ，C 重合，以D 为顶点作∠EDF ＝∠B ； (1)求证：△BDE ∽△CFD ；证明：∵∠EDC 是△EBD 的外角， ∴∠α＋∠1＝∠α＋∠3， 即：∠1＝∠3， 又∠B ＝∠C ， ∴△BDE ∽△CFD ；(2)当D 为BC 中点时，求证：①△BDE ∽△DFE ∽△CFD ；②DE 平分∠BEF ，DF 平分∠CFE ； ABC DFE证明：①由(1)知△BDE ∽△CFD ，BE DECD DF=， 又∵D 为BC 中点时， ∴BD ＝DC ， ∴BE DE BD DF =，BE BDDE DF=， 而∠EDF ＝∠B ， △BDE ∽△DFE ， 又∵△BDE ∽△CFD ， ∴△BDE ∽△DFE ∽△CFD ； ②∵△BDE ∽△DFE ， ∴∠BED ＝∠FED ， 即：DF 平分∠CFE ， ABC DFE ααα β β βγ γ γ∵△DFE ∽△CFD ， ∴∠CFD ＝∠EFD ， 即：DE 平分∠BEF ；引例：如下图，AB ＝AC ＝m ，BC ＝2n ，∠B ＝∠ADE ＝α，ABCEα(1)当△DCE 为直角三角形时，求BD (用含m ，n 的代数表示)； ①当∠DEC ＝90°， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴∠DEC ＝90°＝∠ADB ， 即：AD ⊥BC ， 又∵AB ＝AC ，∴由三线合一定理可知， BD ＝12BC ＝n ； ②当∠EDC ＝90°， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴∠EDC ＝90°＝∠BAD ，方法1：用相似求∵∠B ＝∠B ，∠AHB ＝∠DAB ＝90°， ∴△BAH ∽△BDA ，AB BH BD AB =，m nBD m =，解得2m BD n=，方法2：用三角函数求 在Rt △ABH 中， cos B ＝BH nAB m=， 在Rt △ABD 中， cos B ＝AB m nBD BD m==，解得2m BD n=，③当∠C ＝90°，△ABC 中就会有两个直角，×(2)当△ADE 为等腰三角形时，求BD (用含m ，n 的代数表示)；ABCDEα①当AD ＝AE 时， ∠ADE ＝∠AED ＝α，此时，点D 与点B 重合，点E 与点C 重合， ∴BD ＝0； ②当DA ＝DE 时， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴△ABD ≌△DCE ， ∴AB ＝DC ＝m ， ∴BD ＝2n －m ； ③当EA ＝ED 时， 设EA ＝ED ＝x ，∵△ADE ∽△ACD ，AD AE DEAC AD DC ==， x AEm x =， 2x AE m =，2x EC m m=-，∵△ABD ∽△DCE ，AB BD DC EC=，22m n xx x m m -=-， 2222m x nx x -=-， 22m nx =， 22m x n =；∴BD ＝222m n n-；练习题组：1．（9995）如图，等腰直角△ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，且∠APD ＝45°，则CD 的长为( ) A ．35；B ．3132-；C ．3123-；D ．53；2．（28838）如图，正六边形ABCDEF 的边长为3，P 为BC 上一点，BP ＝1，Q 为CD 上一点，若∠APQ ＝120°，则QD ＝( ) A ．73；B ．1；C ．23；D ．2； AB C DFQP※3．（2580）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为( ) A ．32；B ．23；C ．12；D ．34；ADC P B60°※4．（11402）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝4，CE ＝43，则△ABC 的面积为( )A．B ．15；C．D． AEC B※5．（13171）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为( ) A ．12；B ．23；C ．34；D ．1；ABCD P60°※6．（26231）如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( ) A ．1；B ．2；C ．3；D ．4；ABDFCE7．（15227）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB ＋∠EDC ＝120°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为( ) A ．9；B ．12；C ．16；D ．18； ABCDE8．（22163）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为____________． ABDC E※9．（25060）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252； ④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是____________．(把你认为正确结论的序号都填上)ABCEα※10．（9217）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，DE ，且∠1＝∠B ＝∠C ； (1)由题设条件，请写出三个正确结论：(要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明)答：结论一：____________；结论二：____________；结论三：____________． (2)若∠B ＝45°，BC ＝2，当点D 在BC 上运动时(点D 不与B 、C 重合)， ①求CE 的最大值；②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．(注意：在第(2)的求解过程中，若有运用(1)中得出的结论，须加以证明)ABDC E1AB备用图CE※11．（25092）△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B ；(1)如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．(2)如图(2)，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． (3)在图(2)中，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14时，求线段EF 的长．ABCD EM N图1A B CD EM N 图2FAB CD EM N 备用图F※12．（28455）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在边BC 上移动(点D 不与点B 、C 重合)，E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝∠B ， (1)求证：△BDE ∽△CFD ；(2)如图2，当D 为BC 中点时，连EF ，求证：∠DFC ＝∠DFE ； ABCDE FA BC DF E答案1．（9995）C ．；∠1＋∠3＝135°，∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，又∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABD ∽△PCD ；2．（28838）A ．；解析：∠B ＝∠APQ ＝∠C ＝120°，由一线三等角模型可知，△ABP ∽△PCQ ，∴AB BPPC CQ=，312CQ =，CQ ＝23，QD ＝27333-=． 3．（2580）B ．；解析：△ABP ∽△PCD ；4．（11402）C ．；解：∵△ABC 是等边三角形，∠ADE ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝∠ADE ＝60°，AB ＝BC ，∵∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ，∠DEC ＝∠ADE ＋∠DAC ，∴∠ADB ＝∠DEC ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB BDDC CE=，∵BD ＝4，CE ＝43，设AB ＝x ，则DC ＝x －4，∴4443x x =-，∴x ＝6，∴AB ＝6，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt△ABF中，AF＝AB•sin60°＝6×32＝33，∴S△ABC＝12BC•AF＝12×6×33＝93．故选C．AECDB F5．（13171）B．；解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠APB＝∠P AC＋∠C，∠PDC＝∠P AC＋∠APD，∵∠APD＝60°，∴∠APB＝∠P AC＋60°，∠PDC＝∠P AC＋60°，∴∠APB＝∠PDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即312CD=，∴CD＝23．6．（26231）B．；解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD＝AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF＝AE：EF，∴AB：BD＝CD：CF，即9：3＝(9－3)：CF，∴CF＝2．7．（15227）A．；8．（22163）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120°∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则AB DC BD CE=，即963CE =，解得：CE ＝2，故AE ＝AC －CE ＝9－2＝7．9．（25060）①②③④；解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ；故①结论正确，②AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cos α＝45，∴BC ＝16，∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDEB CAB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△DCE (ASA )．故②正确，③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ，∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cos α＝45．AB ＝10，BD ＝8．当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°，∵∠B ＝α且cos α＝45．AB ＝10，∴cos ∠B ＝AB BD ＝45，∴BD ＝252．故③正确．④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ， ∴AB BDDC CE =， ∴1016yy x =-，整理得：y 2－16y ＋64＝64－10x ，即(y －8)2＝64－10x ，∴0＜y ≤8，0＜x ≤6.4．故④正确．10．（9217）解：(1)AB ＝AC ；∠AED ＝∠ADC ；△ADE ∽△ACD ；(2)①∵∠B ＝∠C ，∠B ＝45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴AC ＝2BC ＝2×2，∵∠1＝∠C ，∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，∴AD ：AC ＝AE ：AD ，即AD 2＝AE •AC ，∴AE ＝2ADAC 22•AD 2，当AD 最小时，AE 最小，此时AD ⊥BC ，AD ＝12BC ＝1，∴AE 的最小值为2×12＝2，∴CE －2＝2；②当AD ＝AE 时，∴∠1＝∠AED ＝45°，∴∠DAE ＝90°，∴点D 与B 重合，不合题意舍去；当EA ＝ED 时，如图1，AB D CE1图1∴∠EAD ＝∠1＝45°，∴AD 平分∠BAC ，∴AD 垂直平分BC ，∴BD ＝1；当DA ＝DE 时，如图2，AB D CE1图2∵△ADE ∽△ACD ，∴DA ：AC ＝DE ：DC ，∴DC ＝CA ，∴BD ＝BC －DC ＝2∴当△ADE是等腰三角形时，BD 的长的长为1或211．（25092）解：(1)图(1)中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE ． 证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD ，又∵∠MDN ＝∠B ，∴△ADE ∽ABD ，同理可得：△ADE ∽△ACD ，∵∠MDN ＝∠C ＝∠B ，∠B ＋∠BAD ＝90°，∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∠B ＝∠MDN ，∴∠BAD ＝∠EDC ，∵∠B ＝∠C ，∴△ABD ∽△DCE ，∴△ADE ∽△DCE ，(2)△BDF ∽△CED ∽△DEF ，证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°，又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE ，由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED ， ∴BD ECDF DE =．∵BD ＝CD ， ∴CDECDF DE =．又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF ．(3)连接AD ，过D 点作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H ．AB C D EMN FG H∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6．在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×12×8＝48．S △DEF ＝14S △ABC ＝14×48＝14．又∵12AD •BD ＝12AB •DH ， ∴DH ＝AD BDAB ⋅＝8610⨯＝245，∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ， ∴DH ＝DG ＝245．∵S △DEF ＝12×EF ×DG ＝14，∴EF ＝1212DG＝5．12．（28455）解：(1)在△BDE 中，∠1＋∠2＋∠B ＝180°，而∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠B ＝∠3＋∠4， 又∵∠B ＝∠3，∴∠1＝∠4，又∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD ； AB C D EF12 3 4(2)由(1)知，△BDE ∽△CFD ， ∴DEBDDF FC =，又∵D 为BC 中点， ∴BD ＝DC ，∴DE DCDF FC =，又∵∠3＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△CDF ， ∴∠DFC ＝∠DFE ； AB C D FE。

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

12.2(8)专题：双垂图（直角三角形及斜边上的高）与全等一．【知识要点】1.“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等或相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，也称为“一线三等角”。

2.【方法归纳】利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化.若遇等腰直角弯：过两端点向直角顶点所在直线（水平线，铅垂线）作垂线构造全等三角形。

如图：二．【经典例题】1．(1)如图(1)，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．2.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线L 经过顶点C.过A,B 两点别作L 的垂线AE,BF ,垂足分别为点E,F.(1)当直线L 不与底边AB 相交时,求证:EF=AE+BF.(2)如图2所示,将直线L 绕点C 顺时针旋转,使L 与底边AB 交于点D,请你探究直线L 在如下位置时,EF,AE,BF 之间的关系.①图2中,AD>BD;②图3中,AD=BD;③图4中,AD<BD.3.在△ABC 中，AB=BC,90ABC ∠=︒,△AB C 在平面直角坐标系中的位置如图所示。

（1）如图1,已知A(0,-4) ,B(1,0),求点C 的坐标 （2）如图2,已知A(0,0) ,B(3,1),求点C 的坐标 (3)如图3,已知A(3,1),B(0,3),求点C 的坐标4.如图,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,D为CB延长线上一点,AE=AD,且AE⊥AD,BE与AC的延长线交于点P.(1)求证:BP=PE;(2)若AC=3PC,求DBBC的值.5.己知△ABC中,AB=AC,直线l 是过点A 的一条直线,点B,C 在直线l 同侧.(1)如图1,若∠BAC=90°,过B,C 两点分别向直线l 作垂线BD,CE,垂足为D,E,求证:DE=BD+CE;(2)如图2,若∠BAC=60°,∠BDA=∠AEC=60°,请写出BD,CE,DE 之间的数量关系、并证明； (3)如图3,若∠BAC=90°,BF的垂直平分线DE 经过点A 并交FC 于点E,且AD 请直接写出ABD AECSS的值.三．【题库】 【A 】1.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B 、C 作经过点A 的直线的垂线BD 、CE ， 若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝ .2.如图，已知，垂足为，，垂足为，，，则＝_________．3.如图（1），AB ⊥AD ，ED ⊥AD ，AB ＝CD ，AC ＝DE ，试说明BC ⊥CE 的理由； 如图（2），若△ABC 向右平移，使得点C 移到点D ，AB ⊥AD ，ED ⊥AD ，AB ＝CD ，AD ＝DE ，探索BD ⊥CE 的结论是否成立，并说明理由．4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于点E ； （1）若B 、C 在DE 的同侧（如图所示）且AD ＝CE ．求证：AB ⊥AC ；（2）若B 、C 在DE 的两侧（如图所示），且AD ＝CE ，其他条件不变，AB 与AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．AB BD ⊥B ED BD ⊥D AB CD =BC DE =ACE∠5.已知AC=BC,AC⊥BC,过C点任作直线l,过点A、B分别作l的垂线AD、BE,垂足分别为D,E.若AD=2,BE=4.(1)如图1,若直线l在△ABC外部,求DE的长;(2)如图2,若直线l与AB相交,求DE的长.【B】1.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.2.（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线,MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。

若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

完整版)一线三等角专题训练一线三等角问题在三角形ABC中，角B为直角，CD垂直于AC，DE垂直于AB并与BC延长线相交于点E。

我们需要证明△ABC∽△CED。

除此之外，还有其他常见的一线三等角图形，比如等腰三角形中底边上的一线三等角、等腰梯形中底边上的一线三等角、直角坐标系中的一线三等角、矩形和正方形中的一线三等角。

等腰三角形中底边上的一线三等角例如，在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上的一点，BD=2，E是BC上的一动点，射线EF与线段AC相交于点F。

我们需要证明△DBE∽△ECF。

这类题的共同特点是，只要等腰三角形底边上存在三等角，那么三角形就一定相似。

等腰梯形中底边上的一线三等角例如，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=42，∠B=45˚，直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F。

如果△ABE为等腰三角形，那么CF的长度等于多少？同样地，在等腰梯形中，将腰延长后交于一点也会构成等腰三角形，因此之前提到的等腰三角形中底边上的一线三等角的结论同样适用于等腰梯形。

直角坐标系中的一线三等角此外，直角坐标系中的一线三等角也很常见。

在这种情况下，我们可以根据坐标系中的点来解决问题。

练题练1（浦东新区22题）在等边△ABC中，边长为8，点D、BC、AC上，BD=3，E分别在边AB、F、E为AC的中点。

如果△BPD与△PCE相似，那么BP的值等于多少？练2（宝山22题）在△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠XXX∠C。

我们需要证明BF×CE=AB²。

练3（徐汇区25题）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作∠XXX∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF。

1）我们需要证明△MEF∽△BEM；2）如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形，那么EF的长度等于多少？例4、四边形ABCD中，AD∥BC，ABC（0<α<90），点E在直线DC上，AB=DC=3，BC=5.点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），且APE。

一线三等角专题1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上,连接AC,将纸片OABC 沿AC 折叠,使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4,8），则点D 的坐标是____．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= —2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形,曲线在第一象限经过点D.则________．3．如图，在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长．4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°， 连接AF,AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长．5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C,∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ．（1)写出图中三对相似三角形,并对其中一对作出证明； (2)连接FG ，设α=45°，AB=4，AF=3，求FG 长．6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0）的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标(1，1）．（1)求反比例函数的解析式；(2)根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？（3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形?若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ．（1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1,S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ．①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围；②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． (4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？（5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上?若存在,求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCDOy x图4FE CBA8．如图1，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． （1）试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（1）中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗?并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S △AEF=______．（4）如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H 。

专题06全等三角形之一线三等角模型全攻略目录【知识点归纳】 (1)【例题精讲】 (2)【课后练习】 (13)【知识点归纳】“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。

基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠，CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE⇒ ≌异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠，任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE ⇒ ≌【例题精讲】例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，且∠DBA ＋∠BAD ＝180°−α，可得∠DBA ＝∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）①∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD 、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GN GHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）∴EI=GI∴I 是EG 的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．例2．（异侧一线三直角）如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．OA OB ⊥，OC OD ⊥90AOB COD ∴∠=∠=︒，AOB AOC AOC ∠+∠=∠ AOD BOC ∴∠=∠，又 OA OB =，OC OD =AOD BOC ∴ ≌()SAS ，（3）如图，过点,C D ，分别作90CFO OGD ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒ ，90COF GOD ∴∠=︒-∠=∠又CO DO = ，()AAS CFO OGD ∴ ≌，FO GD ∴=，AOC 的面积为1S ，BOD 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ，求证：ABD CAF V V ≌；（2）如图2，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E 、F 都在MAN ∠内部的射线AD 上，已知AB AC =，且12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌；（3）如图3，已知ABC 的面积为15，且AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ACF △与BDE △的面积之和是6，求:CD BC 的值．∵12∠=∠，∴AFC BEA ∠=∠，∵34BAC ∠+∠=∠，1∠∴4ABE ∠=∠，∵AB AC =，∴()AAS ABE CAF △≌△∵12BAC ∠=∠=∠，∴3ACF ∠=∠，BEA ∠∵AB AC =，∴(AAS ABE CAF △≌△∴ABE CAF S S = ，∵ACF △与BDE △的面积之和是∴ABD ABE BDE S S S =+ △△∵ACD 与ABC 等高，∴底边之比3：5，∴:3:5CD BC =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等的判定方法，是解题的关键．例4．（坐标系中的K 字模型）A B y 轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为5，求点B 的坐标；（2）如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求CD AM的值；（3）如图③，若点A 的坐标为()4,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限中作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE ，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变求PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．例．（）已知等腰ABE 和，连接，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC ∠=；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC ∠=∠=︒==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ⊥交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC 的面积．如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD ∠=∠=︒==∴BAD EAC ∠=∠，（2）作BM AF ⊥于M ，CN AF ⊥于N ，∵AF D E ⊥，∴90BMA AFE ∠=∠=︒，∵90,BAE AB AE ∠=︒=，∴90BAM FAE ∠+∠=︒，E FAE ∠+∠=∴BAF E ∠=∠，∴BAM AEF ≌，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【课后练习】1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE △≌△．进而得到AC =___________，BC =___________．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,6，点B 为平面内任一点．若AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【答案】(1)DE ；AE(2)①证明见解析；②()4,2或()2,4-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM △≌△，ACF EAN △≌△，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG △≌△，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，过点B '作B H x '⊥轴于点H ，B H '交DE 于点G ，利用（1）的结论即可解答．【详解】（1）解：∵12290D ∠+∠=∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABC 和DAE 中，1D ACB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DAE △≌△，∴AC DE =，BC AE =．故答案为：DE ；AE ．（2）①证明：如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，90BAD ∠=︒，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，12190B ∠+∠=∠+∠=︒∴2B ∠=∠，在ABF △和DAM △中，2BFA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAM △≌△，∴AF DM =，∵BC AF ⊥，90CAE ∠=︒，∴90CFA ANE ∠=∠=︒，90FAC NAE FAC C ∠+∠=∠+∠=︒∴C NAE =∠∠，在ACF △和EAN 中，CFA ANE C NAE AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．【答案】(1)9(2)=-PE CP AE ；理由见解析(3)10【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）由ABM BCN ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到2AM BN ==，7BM CN ==，即可得到MN ；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到ABE BCP ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到AE BP =，BE CP =，由BE BP PE =+中，即可得到三者的数量关系；（3）延长FE ，过点C 作CP FE ⊥于P ，由两个三角形全等的判定定理得到ABE BCP ≌△△，从而1PC BE ==，5PB AE ==，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥于F ，由平行线间的平行线段相等可得4CF PE ==，代入面积公式得ACE S ，即可得到答案．【详解】（1）解：ABM BCN ≌，2AM =，7CN =，2AM BN ∴==，7BM CN ==，9MN BM BN ∴=+=；故答案为：9．（2）解：=-PE CP AE理由：90ABC ∠=︒ ，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，CP BE ⊥ ，90CPB ∴∠=︒，90BCP CBP ∴∠+∠=︒ABE BCP ∴∠=∠，90AEB ∠=︒ ，90AEB CPB ∴∠=∠=︒，AB BC = ，ABE BCP ∴V V ≌，AE BP ∴=，BE CP=BE BP PE =+ ，PE BE BP PC AE ∴=-=-；90ABE EBC ∠+∠=︒ ，ABE ∠EBC BAE ∴∠=∠，90AEB CPB ∠=∠=︒Q ，AB ABE BCP ∴V V ≌，1PC BE ∴==，5PB AE ==514PE PB BE ∴=-=-=，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥AF PE ⊥Q ，CP PE ⊥，AF CP ∴∥，AF PE ⊥Q ，CF AF ⊥，PE CF ∴∥，由平行线间的平行线段相等可得115422ACE S AE CF =⨯⨯=⨯⨯V 故答案为：10．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，ACF ECG ECG ∴∠+∠=∠+∠ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．4．综合与实践：在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 在直线l 上，点A 、B 在直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D ．(1)问题情境：如图1，在直线l 上取点E ，使BE l ⊥．则BE 与CD 的数量关系是_________________，此时AD BE DE 、、之间的数量关系是_________________．(2)探究证明：如图2，在直线l 上取点F ，使BF BC =，猜想CF 与AD 的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在直线l 上任取一点P ，连接BP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形BPM ，作MN l ⊥于点N ，请直接写出在图3、图4中MN AD CP 、、之间的数量关系．【答案】(1),BE CD AD BE DE =+=；(2)2CF AD =，理由见解析(3),MN AD CP MN AD CP+=-=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．（1）根据AAS 证明ACD CBE ≌，得BE CD =，CE AD =，进而可证AD BE DE +=；（2）过点B 作BH l ⊥于点H ，根据AAS 证明DAC HCB ≌，得AD CH =，由三线合一得2CF CH =，进而可得；2CF AD=（3）如图3，作BH l ⊥于点H ，作PF l ⊥，作BF PF ⊥于点F ，作ME PF ⊥于点E ，可证四边形MEPN 和四边形PFBH 都是矩形，从而BF BH =，MN PE =．结合ACD CBH △≌△，可证MN AD CP +=；如图4，作BH l ⊥于点H ，由ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，得MN PH =，AD CH =，进而可证MN AD CP -=．【详解】（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90CAD ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠．∵AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌，∴BE CD =，CE AD =，∵CE CD DE +=，∴AD BE DE +=．故答案为：BE CD =，AD BE DE +=；（2）2CF AD=理由如下：过点B 作BH l ⊥于点H ，如图，则90BHC ∠=︒，∴四边形MEPN 和四边形PFBH 都是长方形，∴BF BH =，MN PE =．由（1）知，ACD CBH △≌△， ∴AD CH PE BF ==，，∴PH MN =，∵CH PH CP +=，∴MN AD CP +=；由（1）知，ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，∴MN PH AD CH ==，，∵PH CH CP -=，∴MN AD CP -=．5．如图1所示，已知AB 为直线a 上两点，点C 为直线a 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作△ACD 和△BCE ，且90DAC CBE ∠=∠=︒，AD AC =，BC BE =，过点D 作1DD a ⊥于点1D ，过点E 作1EE a ⊥于点1E ．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．他的方法是：作直线CH AB ⊥于点H ，可以先证明1ADD CAH ≌△△和1BEE ≌△________，于是可得：________和________，所以得到线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，试探究三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，小华同学测得线段11D E m =，AB n =，请用含有m 、n 的代数式表示△ABC 的面积为________．三角形面积公式求出答案.【详解】解：（1）∵1DD a ⊥，CH AB ⊥，∴∠1DD A =∠CHA=90DAC ∠=︒，∴∠1D DA+∠1D AD=90°，∠1D AD+∠CAH=90°，∴∠1D DA=∠CAH ，∵AD=AC ，∴△1D DA ≌△HAC ，同理1BEE ≌△△CBH ，∴D 1D =AH ，1EE =BH ，∴11AB DD EE =+故答案为：△CBH ，1DD AH =，1EE BH =，11AB DD EE =+；（2）11AB DD EE =-．理由：如图，过点C 作CG a ⊥于点G ，∵1DD a ⊥，CG a ⊥，1EE a ⊥，∴1DD A AGC ∠=∠，1CGB BE E ∠=∠，∴1190DAD ADD ︒∠+∠=，90∠+∠=︒CBG BCG ，∵90DAC CBE ∠=∠=︒，∴190DAD CAG ︒∠+∠=，190CBG E BE ︒∠+∠=，∴1ADD CAG ∠=∠，1BCG EBE ∠=∠，在1ADD 和CAG 中，11,,,ADD CAG DD A AGC AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴1ADD ≌CAG ，∴1DD AG =，同理可得：1BCG EBE ≅△△，∴1BG EE =，由图可得：AB AG BG =-，∴11AB DD EE =-；侧作AE AD ⊥，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EF AC ⊥于F ，求证：ACD EFA △≌△；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线AC 于点M ．试探究BM 与EM 的数量关系，并说明理由．(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于点M ，若4AC CM =，求ADB AEMS S △△的值．=90DAE ∠︒，F ACD MCB ∴∠=∠=∠，90FAE CDA ∠=∠=在FAE 和CDA 中，F ACD FAE CDA AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FAE CDA ∴ ≌，EF AC BC ∴==，MCB F ∠=∠⎧90FAE D DAC ∴∠=∠=︒-∠，在AFE △和DCA △中，F ACD FAE D AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFE DCA ∴ ≌，AF DC ∴=，EF AC BC ==，AF AC DC BC ∴-=-，CF DB ∴=，18090BCM ACB ∠=︒-∠=︒ ，4AC n ∴=，3AM n ∴=，11222ADB S DB AC n AC n AC ∴=⋅=⨯⋅=⋅ ，12AEM S AM EF =⋅ ∴2332ADB AEM S n AC S n AC ⋅==⋅ ，综上所述，ADB AEM S S △△的值为25或23．。

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A 在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y=8x(x<0)上的一个动点，点B在双曲线y=kx上移动，∴S△AOC=12×|-8|=4，S△BOD=12|k|，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OA=2OB，∴S△BODS △AOC=(OBOA)2=14，∴12|k|4=14，∴|k|=2．∴k<0，∴k=-2，故答案为：-2．2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.【解答】解：∵反比例函数y=−4xx<0的图象过点A(-1，a)，∴a=-4-1=4，∴A(-1，4)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE=4，OE=1，∵AB∥x轴，∴BF=4，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴AEOF=OEBF，∴OF=16，∴B(16，4)，∴k=16×4=64，∵直线OA过A(-1，4)，∴直线AO的解析式为y=-4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y=-4x+b，∴4=-4×16+b，∴b=68，∴直线MN的解析式为y=-4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M(17，0)，N(0，68)，解y=-4x+68y=64x得，x=1y=64或x=16y=4，∴C(1，64)，∴△OBC的面积=S△OMN-S△OCN-S△OBM=12×17×68-12×17×4-12×68×1=510，故答案为510．3(广益)如图，点A ，B 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为．【解答】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥AM 于N ，∵∠OAB =90°，∴∠OAM +∠BAN =90°，∵∠AOM +∠OAM =90°，∴∠BAN =∠AOM ，∴△AOM ∽△BAN ，∴AM BN =OMAN，∵点A ，B 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，∴A (2，k2)，B (k ，1)，∴OM =2，AM =k 2，AN =k 2-1，BN =k -2，∴k2k -2=2k 2-1，解得k 1=2(舍去)，k 2=8，∴k 的值为8，故答案为：8．4(长沙中考2020)在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ΔADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．(1)求证：ΔABF ∼ΔFCE(2)若AB =23,AD =4，求EC 的长；(3)若AE -DE =2EC ，记∠BAF =α,∠FAE =β，求tan α+tan β的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，∴∠AFB +∠BAF =90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE =∠D =90°，∴∠AFB +∠CFE =90°，∴∠BAF =∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．(2)解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF =AD =4，∴BF =AF 2-AB 2=42-23 2=2，∴CF =BC -BF =AD -BF =2，由(1)得△ABF ∽△FCE ，∴CE BF =CF AB ，∴CE 2=223，∴EC =23 3．(3)解：由(1)得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tanα+tanβ=BFAB +EFAF=CECF+EFAF，设CE=1，DE=x，∵AE-DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= AE2-DE2=4x+4∵△ABF∽△FCE，∴ABAF =CFEF，∴x+14x+4=x2-1x，∴x+122x+1=x+1∙x-1x，∴12=x+1x，∴x=2x-1，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=x2-1=3，EF=x=2，AF=AD=AE2-DE2=4x+4=23，∴tanα+tanβ=CECF +EFAF=13+223=233．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠BEP=90°，由折叠知，∠DPE=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠CPD=90°，∴∠BEP=∠CPD，∵∠B=∠C=90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=8，BC=AD=12，由折叠知，PE=AE，DP= AD=12，在Rt△DPC中，CP=DP2-CD2=45，∴BP=BC-CP=12-45，在Rt△PBE中，PE2 -BE2=BP2，∴AE2-(8-AE)2=(12-45)2，∴AE=18-65；(2)如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-x，∵∠A=∠EPD=90°，∠EGP=∠DHP=90°，∴∠EPG+∠DPH=90°，∠DPH+∠PDH=90°，∴∠EPG=∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH =PGDH=EPPD=412=13，∴PH=3EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2=PD2，∴(3x)2+(4+x)2=122，解得x=165(负值已经舍弃)，∴BG=4-165=45，在Rt△EGP中，GP=EP2-EG2=125，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴EG EB =GPBF，∴1654=125BF，∴BF=3．6(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，OQ =182，点P 是x 轴正半轴上一点，tan ∠POC =1，连接PQ ，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求⊙A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求⊙A 的半径；(3)在(2)的条件下，若OP <10，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足tan ∠OFM =12的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：(1)∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC =1，OQ =182，∴PQ =OP ，∵在Rt △OPQ 中，OQ =PQ 2+OP 2=2OP =182．∴OP =18．∴⊙A 的半径为9；(2)如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ 是⊙A 的切线，∴AP ⊥PQ ，则∠APQ =90°，∵AM ⊥x 轴，QB ⊥x 轴，∴∠AMP =∠PBC =90°，∴∠PAM =90°-∠APM =∠QPB ，∴△APM ∽△PBQ ，∴AM PB =MPBQ，∵tan ∠POC =1，QB =182，∴OB =QB =18，∵AM =2，设MP =MO =x ，∴PB =18-2x ，∴218-2x =x18，解得x =3或x =6，∴MO =3或MO =x ，∴A (3，2)或A (6，2)，∴AP =32+22=13或AP =32+62=210．∴半径为13或210．(3)∵OP<10，∴BO=3，P(6，0)，∴A(3，2)，∵tan∠POC=1，设D(a，a)，∵AD=13，∴(3-a)2+(2-a)2=13，解得：a=0或a=5，∴D(5，5)，设抛物线解析式为y=ax2+bx，将点P(6，0)，D(5，5)代入得，36a+6b=0 25a+5b=5，解得：a=-1b=6，∴y=-x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，tan∠OFM=12，则|K FM |=12，设直线MF：y=-12x+b或y=12x+b，联立y=-x2+6xy=-12x+b，y=-x2+6xy=12x+b，得x2-132x+b=0或x2-112x+b=0，当△1=b2-4ac=1694-4b=0或△2=b2-4ac=1214-4b=0，解得：b=16916或12116，∴直线MF：y=12x+16916或y=12x+12116，令y=0，解得：x=1698或x=-1218，∴6<x F<1698或-1218<x F<0．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．【解答】解：(1)如图1，设∠A=90°，AC≤AB，S△ABC=12 AC•AB，①若AC=2，i )AB =2AC =2，∴S =12×2×2=2，ii )BC =2AC =2，则AB =BC 2-AC 2=4-2=2，∴S =12×2×2=1，②若AB =2，i )AB =2AC ，即AC =AB 2=1，∴S =12×1×2=22，ii )BC =2AB =2，则AC =BC 2-AB 2=4-2=2∴S =12×2×2=1，③若BC =2，若AB =AC =BC 2=1，∴S =12×1×1=12，若AB =2AC ，AB =233，63，S =12×63×233=23，故答案为：2或1或22或12或23．(2)证明：如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △BCD 中，∠B =30°，∴BC =2CD ，∠BCD =90°-∠B =60°，∵∠ACB =105°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCD =45°，∴Rt △ACD 中，AD =CD ，∴AC =AD 2+CD 2=2CD ，∴BC AC =2CD2CD=2，∴△ABC 是智慧三角形．(3)∵△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，∴BC =2AB ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 不可能为斜边，即∠ACB ≠90°∴∠ABC =90°或∠BAC =90°①当∠ABC =90°时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥EB 于F ，过C 作CG ⊥x 轴于G ，如图3，∴∠AEB =∠F =∠ABC =90°，∴∠BCF +∠CBF =∠ABE +∠CBF =90°，∴∠BCF =∠ABE ，∴△BCF ∽△ABE ，∴BF AE =CF BE =BCAB=2，设AE =a ，则BF =2AE =2a ，∵A (3，0)，∴OE =OA +AE =3+a ，∵B 的纵坐标为2，即BE =2，∴CF =2BE =2，CG =EF =BE +BF =2+2a ，B (3+a ，2)，∴OG =OE -GE =OE -CF =3+a -2=1+a ，∴C (1+a ，2+2a )，∵点B 、C 在在函数y =kx上(x >0)的图象上，∴2(3+a )=(1+a )(2+2a )=k解得：a 1=-2(舍去)，a 2=1，∴k =42，②当∠BAC =90°时，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，如图4，∴∠CMA =∠ANB =∠BAC =90°，∴∠MCA +∠MAC =∠MAC +∠NAB =90°，∴∠MCA =∠NAB ，∴△MCA ∽△NAB ，∵BC =2AB ，∴2AB 2=BC 2=AB 2+AC 2，∴AC=AB，∴△MCA≌△NAB(AAS)，∴AM=BN=2，∴OM=OA-AM=3-2，设CM=AN=b，则ON=OA+AN=3+b，∴C(3-2，b)，B(3+b，2)，∵点B、C在在函数y=kx上(x>0)的图象上，∴(3-2)b=2(3+b)=k解得：b=92+12，∴k=18+152，综上所述，k的值为42或18+152。

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。

专题06全等三角形中的一线三等角模型1、一线三等角模型构造全等三角形条件一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等2、一线三等角基本类型【例1】（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【变式1】（2020秋•东川区期中）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．【例2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F 分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE CF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．、1.李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF．2．已知，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，且AD＝CE．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．3.如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．（3）若点D在线段AB外（线段AB所在的直线上且除线段AB），点E是BC延长线上一点，且CE＝BD，连接AE，与DC的延长线交于点P，直接写出∠APC的度数．。

专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

数学组刘龙赞全等三角形专题复习————“一线三等角〞型【授课目的】1、会用“一线三等角〞的根本图形解决全等中的相关问题2、经过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角〞全等型的根本图形解题。

【难点】“一线三等角〞的根本图形的提炼、变式和运用【授课方法】合作研究、小组谈论【教具准备】三角尺，多媒体．【授课过程】一．类比研究，问题导入：（1〕如图，∠ A=∠BCD=∠E=90°， BC=CD,图中有没有全等三角形？并说明原由。

△BAC≌△ CED BDAEC（2〕如图，∠ A=∠BCD=∠E=60°， BC=CD，图中有没有全等三角形？并说明原由。

△ABC≌△ ECD B D设计妄图一、导入新课 , 揭穿目标情况：〔 1〕师生解读学习目标〔2〕三个问题表现供应了同类全等三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验〞由“量〞变产生“质“变。

从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。

追问：三个图形有什么共同点？〔引入“一线三等角〞的概括性名称〕〔 3〕如图，∠ A=∠BCD=∠E=120°，BC=CD,图中有没有全等三角形？并说明原由。

△BAC≌△ CEDAE CBDAEC二、抽象模型，揭穿实质抽象模型的目的是让学生的认识从“特别“上升到“一般〞，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要修业生写出证明过程，同时让学生对“一线三等角〞根本图形的实质理作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的收效。

二、抽象模型，揭穿实质如图，∠ A=∠ BCD=∠ E=α°， BC=CD,图中有没有全等三角形，并写出证明过程 . 结论： 图中△ ABC ≌△ ECD原由：∵∠ BCE=∠A+∠BBD=∠ BCD+∠DCE又∵∠ A=∠ BCDα∴∠ B=∠DCE α αAE∵∠ A=∠E,BC=CDC∴△ ABC ≌△ ECD总结规律：顺口溜： “一线三等角，两头对应好，互补导等角，全等轻易找〞 三．运用新知，看图作答以下每个图形中，∠ 1=∠ 2=∠3，请你想一想再补充一组条件，快速找出“一线三等角〞的根本图形所形成的全等三角形〔要求对应的极点写在对应的地址〕AADEE2GB13C21DB3CFA DEFA D1232F13BECCB〔3〕〔 4〕四、小结收获 交流概括（ 1〕由“一线三等角〞根本图形搭建桥梁可以获取全等三角形，熟悉这类题经常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。

专题07一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（原卷版）基础模型已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论1:△APC ≌△BDP已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论2:△APC ≌△BDP模型拓展已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论3:△APC ≌△BDP 结论4:△APC ≌△BDP专题简介：本份资料包含一线三等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三垂直模型类压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题。

适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。

题型1：一线三等角模型中档大题1.如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．2.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别为AB 、BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ．3．（雅礼）如图，在△ABC 中，B C ∠=∠，点D 是边BC 上一点，CD AB =，点E 在边AC 上．（1）若ADE B ∠=∠，求证：①BAD CDE ∠=∠；②BD CE =；（2）若BD CE =，70BAC ∠=︒，求ADE ∠的度数．4.如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．5.已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D.E，求证：DE=BD+CE.(2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A.E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由。