坐标本征态的 Fock 表象表示

光学Mach-Zehnder干涉仪的宇称测量研究王帅;裴明旭;朱小芹【摘要】Mach-Zehnder干涉仪是量子精密测量中一种典型的光学仪器.对于一般的双模量子纯态作为探测态时,借助量子力学中最基本的狄拉克符号法和量子力学表象变换理论,给出了宇称算符在Mach-Zehnder干涉仪输出端量子态中期望值的一种简单计算方法.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2018(037)012【总页数】4页(P30-32,36)【关键词】宇称测量;MZI干涉仪;Fock态;狄拉克符号法【作者】王帅;裴明旭;朱小芹【作者单位】江苏理工学院数理学院,江苏常州213001;江苏理工学院数理学院,江苏常州213001;江苏理工学院数理学院,江苏常州213001【正文语种】中文【中图分类】O413.1宇称算符是量子力学中一种简单的可测量量. 虽然它是没有经典对应的物理量，却在量子力学、量子光学等领域得到了重要应用．譬如，宇称算符可用于处理一维谐振子、一维对称方势阱[1]；量子光学中准概率相空间Wigner分布函数亦是宇称算符的期望值[2]．最近，宇称算符在量子精密测量中也得到了广泛关注[3]．在量子精密测量中，光学Mach-Zehnder干涉仪(MZI干涉仪)是一种最典型的且已被广泛研究的相位估计模型．利用MZI干涉仪对相位进行测量时，求解宇称算符在MZI干涉仪输出端量子态中的期望值，称为宇称测量．1981年，Caves教授提出在MZI干涉仪两个端口分别输入相干态和压缩真空作为探测态(输入态)[4]，发现对相位的测量精度将会大大超越经典统计学中的标准量子极限[5]，甚至达到海森伯精度极限[6,7]．这一研究结果在德国的GEO600引力波探测器和美国的汉福德激光干涉引力波天文台得到了重要应用[8,9]．基于宇称测量等探测方案，人们发现了更多的可以用于提高测量精度的探测态，譬如N00N态[3]．另外，Gerry研究并给出双孪子Fock态(具有相同光子数的双模Fock态)作为探测态时，宇称测量的结果[10]．基于Gerry的研究结果[10]，双模压缩真空态、光子扣除或增加双模压缩真空态作为干涉仪的探测态，它们在提高相位测量精度的性能表现得到了进一步的研究[11-13]．对于量子精密测量中的宇称测量方案，推导出宇称算符在MZI干涉仪输出端量子态中的期望值是关键一步．在量子力学中，一般的双模纯态都可以在Fock空间展开成(1)式中cm,n为展开系数.因此，以一般的双模Fock态|m〉a|n〉b作为探测态，计算出宇称测量的结果具有一定的普适意义．本文将基于量子力学最基本的狄拉克符号法和宇称算符的相干态表象表示，把文献[10]的工作推广到一般双模Fock态的情况，并给出宇称算符在MZI干涉仪输出量子态中期望值的一种简单计算方法．1 双模Fock态经过MZI干涉仪后的输出量子态本文考虑一般的双模Fock态作为探测态，并在MZI干涉仪的一个输出端口(比如选择a模输出端口)进行宇称测量．它的工作原理模型如图1所示．图1 Mach-Zehnder干涉仪工作原理图MZI干涉仪由分束器、全反射镜和相位产生器3种关键光学器件构成．通常分束器取为50:50的对称形式，基于Schwinger表象的SU(2)群[14]，分束器BS1和BS2由以下幺正算符描述[15](2)相位产生器(phase shifter)描述光经过干涉仪的两条光路所产生的相位差φ．在真实实验中，它可以用于模拟某些原因(如引力波或者存在某种介质)造成的光程改变所引起的相位差，这正是需要测量的相位．相位产生器也由一个幺正算符来描述，即U(φ)=exp[iφ(a†a-b†b)/2](3)幺正算符UBS和U(φ)对MZI干涉仪输入端的玻色产生算符的变换关系为UBSa†(4)以及U(φ)a†U†(φ)=a†eiφ/2，U(φ)b†U†(φ)=b†e-iφ/2(5)当某一个量子态(以纯态为例)作为输入态时，MZI干涉仪输出的量子态为|out〉MZI=UBS2U(φ)UBS1|ψ〉in(6)通过以上幺正变换关系式(4)和(5)，原则上可以导出量子态经过MZI干涉仪后的输出量子态．对于一般双模Fock态作为MZI干涉仪的探测态，若继续按照文献[10]所给出的方式来推导输出量子态是十分困难的，也给后面的宇称测量带来极大的不便．为了简化宇称测量的计算过程，本文首先将一般的双模Fock态写成如下指数形式，即(7)利用变换式(4)和式(5)，双模Fock态经过干涉仪后，根据式(6)容易算出输出的量子态为(8)在导出式(8)的过程中，还应用了以下关系式UBS|0，0〉=|0，0〉和U(φ)|0，0〉=|0，0〉．基于式(8)，不仅可以简化宇称算符在MZI干涉仪输出态中期望值的计算，而且还能为进一步研究输出量子态的非经典性质提供方便．2 宇称算符在MZI干涉仪输出量子态中的期望值与量子精密测量的其它测量方案相比，宇称测量只需要探测其中一个输出端口的光子数是奇数还是偶数就可以了，测量方法较为简单．在量子力学中，宇称算符(-1)a†a在相干态表象中可表示为[16](9)式中|z〉=exp[-|z|2/2+a†z]|0〉是相干态，它是湮没算符a的本征态．如图1所示，当一般的双模Fock态作为MZI干涉仪的探测态，进行宇称测量，即计算宇称算符在输出量子态中的期望值(10)把式(8)带入上式，并利用湮没算符a的本征态方程a|z〉=z|z〉，以及Baker-Hausdorff公式eA+B=eAeBe-[A,B]/2=eBeAe[A,B]/2(11)和相干态内积关系式(12)经简单计算可得(13)最后，再利用积分公式(14)积分收敛条件为Re(ζ)<0，对上式积分并化简有(15)上式右端指数展开后，直接求导可得(16)这样本文就得到了双模Fock态作为MZI干涉仪的探测态时，宇称算符在输出量子态中的期望值，即为宇称测量的结果．另外，注意到当n，n+α，n+β和n+α+β为非负整数时，数学中的雅可比多项式可以写为(17)式(16)还可以用雅可比多项式表示为如下紧凑形式(18)根据式(1)和式(18)，对于一般的双模量子纯态作为MZI干涉仪的探测态，可立即给出宇称测量的结果(19)式(18)和式(19)是本文的主要结果，作为它们的简单应用，下面考虑MZI干涉仪的两种探测态．首先，考虑双孪子Fock态(m=n)作为干涉仪的探测态．在m=n情况下，雅可比多项式退化为勒让德多项式Pn(x)，由式(18)立即可得宇称测量结果〈Πa(φ)〉n,n=Pn(-cos 2φ), 这正是文献[10]中的研究结果．其次，最近Birrittella等人[17]利用混合Fock态和相干态作为MZI干涉仪的探测态，给出宇称测量的结果．根据公式(19)或采用本文相同的计算过程，把相干态在Fock空间展开，即得宇称测量的结果为(20)或(21)式中Ln(x)为拉盖尔多项式．本文的结果式 (21)，不但比Birrittella等人[17]的结果更为简洁紧凑，而且计算过程简单得多．根据宇称测量，由统计物理学中的误差传播理论，就可给出相位测量的精度，即相位涨落其中Δφ越小，相位的测量精度越高．综上所述，一般的双模Fock态作为MZI干涉仪的探测态时，基于Fock态的指数化表示和宇称算符的相干态表示，可以明显地简化宇称测量的计算过程．同时，给出了一般双模量子纯态作为探测态时的宇称测量结果，具有一定的普适意义．对于MZI干涉仪的宇称测量方案，本文所给出的计算方法比较新颖、推导过程简单易懂，也可作为量子力学中狄拉克符号法和表象变换论的一个教学研究范例．【相关文献】[1] 曾谨言. 量子力学导论[M ]. 北京:北京大学出版社, 1998.[2] Royer A. Wigner function as the expectation value of a parity operator[J]. Physical Review A, 1977, 15(2): 449-450.[3] Gerry C C, Mimih J. The parity operator in quantum optical metrology[J]. Contemporary Physics, 2010, 51(6): 497-511.[4] Caves C M. Quantum-mechanical noise in an interferometer[J]. Physical Review D, 1981, 23(8): 1693-1708.[5] Xiao M, Wu L A, Kimble H J. Precision measurement beyond the shot-noiselimit[J].Physical Review Letters, 1987, 59(3): 278-281.[6] Pezzè L, Smerzi A. Mach-Zehnder Interferometry at the Heisenberg Limit with Coherent and Squeezed-Vacuum Light[J]. Physical Review Letters, 2008, 100(7):073601. [7] Seshadreesan K P, Anisimov P M, Lee H, et al. Parity detection achieves the Heisenberg limit in interferometry with coherent mixed with squeezed vacuum light[J]. New Journal of Physics, 2011, 13(7):083026.[8] LIGO Scientific Collaboration. A gravitational wave observatory operating beyondthe quantum shot-noise limit[J]. 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Quantum Theory of Angular Momentum[J]. New York: Academic, 1965.[15] Yurke B, McCall S L, Klauder J R. SU(2) and SU(1,1) interferometers[J]. Physical Review A, 1986, 33(6): 4033-4054.[16] 王帅，李体俊. 研究宇称算符的一种新方法[J]. 大学物理,2009,28(3): 1-3.[17] Birrittela R, Mimih J, Gerry C C. Multiphoton quantum interference at a beam splitter and the approach to Heisenberg-limited interferometry[J]. Physical Review A, 2012, 86(6): 063828.。

第二章 算符Fredholm 积分方程的构建及其解由于有序算符内积分技术的发明，我们可以建立若干算符Fredholm 积分方程，以适应不同的物理需要，并求其解，在解的过程中需要引入双变量Hermite 多项式，它有明确的物理意义。

§ 2.1 双变量Hermite 多项式及其性质Hermite 多项式在数学、物理中都有广泛的应用，作为后面内容的预备知识我们将一般的单变量Hermite 多项式拓展到双变量Hermite 多项式，并总结其一般的性质, 注意后者并不是前者两个的直积。

将母函数22xt t e-按nt 展开的展开系数就是单变量Hermite 多项式：()220!nxt t n n t eH x n ∞-==∑， （2.1.1）其表达式为()()()()()222201!12!2!n knnn kxxn n k n d H x e e x k n k dx⎡⎤⎢⎥⎣⎦--=-=-=-∑。

（2.1.2）可以证明其有如下性质：（1） 微分方程 ()()()''2'20n n n H x xH x nH x -+= （2.1.3）（2） 正交性()()20,2x mnnm n H x H x edx n m n∞--∞≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰ （2.1.4）（3） 递推公式 ()()()1122n n n H x xH x nH x +-=+，()()1'2n n H x nH x -=， （2.1.5） ()()()1nn n H x H x -=-。

参考单变量Hermite 多项式()n H x 的定义，若将*exp ''tt t t ξξ⎡⎤-++⎣⎦按'm nt t 展开，可以定义双变量Hermite 多项式序列()*,,m n H ξξ，即()()**,,0',exp '',!!m nm n m n t t H tt t t m n ξξξξ∞==-++∑（2.1.6） 这里()*,,m n H ξξ为()()()()()()min ,***,'00!!,exp '',!!!'ln m m nm ln lm n m n t t l n m H tt t t l m l n l t t ξξξξξξ+--===-∂==-++--∂∂∑（2.1.7）于是有()()()****',',,,,,.m n m n n m H H H ξξξξξξ⎡⎤==⎣⎦其性质有： （1） 正交性()()22***,',',',',,.m n m n m m n n d H H e ξςξξξξδπ-⎡⎤=⎣⎦⎰（2.1.8） （2） 递推公式（2.1.9）（3） 微分公式（2.1.10）()()()2****,,,**,,,0m n m n m n H H nH ξξξξξξξξξξ∂∂-+=∂∂∂， （2.1.11） ()()()2***,,,*,,,0m n m n m n H H mH ξξξξξξξξξξ∂∂-+=∂∂∂。

用纠缠态表象导出复杂量子介观电路的特征频率笪诚;范洪义【摘要】以讨论有互感和共用电容的两回路介观电路的量子化为例，我们提出复杂量子介观电路的特征频率的概念。

在给出该电路正确的量子Hamilton 算符后，用纠缠态表象求出了系统在恒稳电路状态下的能量量子化公式以及特征频率，发现互感越大，特征频率越高。

文中同时也得到了系统的波函数和零点能，这在经典框架中是无从顾及的。

【期刊名称】《安徽建筑大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2016(024)003【总页数】8页(P73-80)【关键词】纠缠态表象;介观电路;正则变换;特征频率【作者】笪诚;范洪义【作者单位】[1]巢湖学院数理工程研究中心,安徽合肥238000;[2]巢湖学院机械与电子工程学院,安徽合肥238000;[3]中国科学技术大学材料科学与工程系,合肥230026【正文语种】中文【中图分类】O413.1随着微电子学和纳米技术的飞速发展，尤其是许多高新技术诸如隧道扫描显微镜（STM）等的发展和应用，电路集成度的大幅度提高及电子器件的日益小型化，其集成单元间的空间尺寸已达原子量级。

显而易见，当荷电粒子的非相干长度达到费米波长量级时，以粒子的整体平均运动为基础的经典器件的物理学将不再适用，或者说当电子输运尺度达到电子两次非弹性碰撞之间的尺度时必须考虑电路和器件的量子效应[1]，由此对介观物理量的量子特性的研究变得越来越重要，这对于进一步设计微小电路，压低噪声影响具有重要的指导意义。

上个世纪80年代，Louisell首先考虑了LC单回路的量子化，获得了真空态的量子噪声[2]。

进入本世纪以来，有很多文章研究复杂介观电路的量子化、噪声和量子涨落[3-10]，如顾永建发展了一种有源RLC电路的量子化方案并研究了压缩真空态下介观RLC电路中电流和电荷的量子涨落[4]；王继锁等人基于介观电路中电荷应是量子化的这一基本事实，给出了介观电感耦合电路的量子理论和库仑阻塞条件，并讨论了该介观电感耦合电路的量子涨落[6]；汪仲清利用热场动力学的方法研究了介观RLC电路在具有热噪声的真空态下电荷和磁通（电流）的量子涨落,从而得到了有限温度下这一电路在热真空态下的量子涨落与温度的关系[8]；龙超云等人给出耗散介观电容耦合电路的量子化，并在此基础上研究电荷和电流在能量本征态下的量子涨落[10]。

写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。

在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。

而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。

1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。

随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。

1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。

这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。

同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。

以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。

2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。

它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。

2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。

其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。

对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。

由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。

2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。

这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。

基于算符的正规乘积导出Fock空间的动量本征态张春早;任刚【摘要】利用算符的傅里叶变换和Baker-Hausdorf公式,运用算符的正规乘积技术推导出Fock空间中的动量算符本征态的显式,为本科生的量子力学课程教学提供一定的参考.【期刊名称】《淮南师范学院学报》【年(卷),期】2018(020)002【总页数】3页(P118-119,148)【关键词】Fock空间;正规乘积;产生算符;湮没算符;本征态【作者】张春早;任刚【作者单位】淮南师范学院电子工程学院,安徽淮南 232038;淮南师范学院电子工程学院,安徽淮南 232038【正文语种】中文【中图分类】O413.11 引言Fock空间的研究由来已久，可追溯到20世纪60年代。

最早引入Fock空间的是Bargmann[1]。

研究者们发现Fock空间与量子理论有着广泛的联系，Fock空间已成为量子物理中非常重要的数学工具之一。

在量子力学及相关研究领域中，力学量的可观测性和对应算符的本征态的完备性总是相互呼应的。

受不确定原理的制约，坐标本征态和动量本征态均为理想的态，但其在粒子数表象中的显式表示却具有较为广泛的意义。

应用范洪义先生创造的有序算符内的积分技术（IWOP），可以方便地推导出动量本征态的Fock表示。

2 算符正规乘积简介[2]任意由玻色产生算符a和湮没算符a组成的多项式算符函数f（a，a）可分解为：其中 j，k，l，L，m 是正整数或零。

所谓正规乘积，就是利用玻色算符的对易关系[a，a]=1，总是可以将（1）式中的所有产生算符a均移到所有湮没算符的a左边，此时称f（a，a）已被排列成为正规乘积形式，以::标记。

其主要性质如下：性质一：正规乘积内的玻色算符相互对易，即:a a:=:aa:=a a，若要把:aa:中的::删去，必须首将其写成:a a:，再去掉::。

借助正规乘积记号，就可以在若干种运算中把算符作为可对易的参数处理，但算符的本性并未失去；性质二：常数可自由出入正规乘积记号::；性质三：正规乘积的嵌套，即正规乘积内部的正规乘积记号可以取消，即:f（a ，a）:g（a ，a）::=:f（a ，a）g（a ，a）:；性质四：正规乘积与正规乘积之和满足：:f（a ，a）:+:g（a ，a）:=:[f（a ，a）+g（a ，a）]:；性质五：真空投影算符|0〉〈0|的正规乘积展开式：|0〉〈0|=:e-a a；性质六：在正规乘积内部下列两个等式成立：对于多模情形，上式可推广为：利用以上算符的正规乘积技术和相关性质，就可以推导Fock空间中的动量本征态的显式。

关于一类单模算符e~(iφ)和e~(-iφ)的本征态和本征值詹永欣【摘要】研究一类单模算符e~(iφ)=1/f(N)a和e~(-iφ)=a~-1/f(N).通过应用Bose算符的性质和算符的技巧,发现了该算符在Fock表象的本征态.这在光子和原子的相互作用方面有重要贡献.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(034)001【总页数】3页(P45-47)【关键词】湮没算符;产生算符;Fock空间;本征态;本征值【作者】詹永欣【作者单位】四川农业大学,理学院,四川,雅安,625014;电子科技大学,物电学院,四川,成都,610054【正文语种】中文【中图分类】O413Fock在建立粒子表象后，研究了湮没算符a和产生算符a+的性质，后来Dirac 和其他学者也对它们进行讨论，得到湮没算符和产生算符的许多重要性质.这些性质在量子力学的发展过程中起到了重要的作用.由于研究量子光学的需要,Susskind-Glogower在研究光子位相在光信息中的作用过程中,首先提出并且定义相位算符为其中N=a+a是光子数算符.在Fock表象中由于N|0〉=|0〉，这使eiφ|0〉无意义[1-4].由于a+=e-iφf(N)，a=f(N)eiφ,得到a+a=f2(N-1)e-iφeiφ,(1)aa+=f(N)eiφe-iφf(N).(2)根据(2)式,有以下结论(3)对于(3)式有很多人在这方面做了许多工作，并且取得了很大的成绩，得到了和e-iφ=的本征态在粒子表象的形式，然而对eiφ和e-iφ的一般形式的本征态在粒子表象的形式的讨论还不多见.在该文中，应用文献[11-13]的方法研究了相位算符eiφ与e-iφ的一般表示形式,并且得到了它们的本征态在粒子表象的形式.1 相位算符eiφ的本征矢的一般形式为了研究(1)式和(2)式的一般解，设eiφ有如下的形式(4)其中，f(x)是x整函数.显然(4)式是(1)式和(2)式的解.设|ξ〉是eiφ的本征值为ξ的本征矢，即eiφ|ξ〉=ξ|ξ〉.在Fock空间求|ξ〉的表示形式，因此，设则(5)即(6)所以(7)其中，f(n)!=f(1)f(2)…f(n).把(7)式带入中，有由归一化条件所以因此，得到(8)得到eiφ的本征矢之后，下面讨论e-iφ的本征矢.2 相位算符e-iφ的本征矢的一般形式设|ξ〉*是e-iφ的本征值为ξ*的本征矢，则e-iφ|ξ〉*=ξ*|ξ〉*.用粒子数表象展开|ξ〉*(9)因为所以e-iφ|ξ〉*(10)得到关系式ξ*c0=0和由xf(x)=0，可以得到f(x)=δ(x)，在围道积分的意义下c0=δ(ξ*(11)其中，c是包含原点的积分路径.所以在围道积分的意义下(12)因此(13)当|ξ*|=1时，ξ*=eiφ,则(13)变为参考文献：[1] Dirace P A M. Lecture on Quantum field theory[M].New York:Academic Press,1966:151-170.[2] Heitler W. The Quantum theory of radiation[M].3rd ed. London:Oxford Claredon Press,1954:115-156.[3] Loudon R. The Quantum theory of light[M].Oxford: Oxford University Press,1973:46-64．[4] Agarwal G S. Eigenstates of the phase operator ala Dirac for a two-model field [J].Opt Commun,1993,100:479.[5] 党兰芬,邹丽新.逆算符在Fock空间的性质及基本特征[J].苏州大学学报,2002,18(4):67-70.[6] Fan H Y. Inverse operators in Fock space studied via a coherent-stateapproach[J].Phys Rev,1933,47:4521-4523.[7] 刘汉俊,王晓芹,逯怀新，等.用超对称幺正变换解具有逆场算符的Jaynes-cummings模型[J].量子电子学报,2001,18(3):244-248.[8] Fan H Y, Zaidi H R. An exact calculation of the expectation values of phase operators in squeezed states[J].Opt Commun,1988,68:143.[9] Fan H Y. On the common eigenvectors of two-mode creation operators and the charge operator[J].Mod Phys Lett A,1994,9:1291.[10] Fan H Y. Complex representation of the density matrix obtained via creation operator eigenvectors[J].Phys Lett A,1996,219:175.[11] Fan H Y, Fan T F. Inverse of radiation field operators and generalized Jaynes-cummings model[J].Commun Theor Phy,1994,22(4):495-498. [12] 范洪义．量子力学纠缠态表象及其应用[M].上海：上海交通大学出版社，2001：20-25.[13] 王继锁，冯健．一种新的奇偶非线性相干态及其量子统计性质[J].物理学报，2002,51(11)：2509-2513．[14] 孟祥国，王继锁．新的奇偶非线性相干态及其非经典性质[J].物理学报，2007，56(4):2154-2159.。

第七章 IWOP 技术推导正规乘积算符公式当一个算符排成正规乘积以后，它的相干态矩阵元就立刻可以得出，即()()*':,:'',z f a a z z z f z z +=，利用IWOP 技术可以将很多量子力学算符化成正规乘积，它们在量子力学的各项计算中会有潜在的应用，帮助我们进一步分析物理性质。

另一方面，新的表象的建立也为导出新的算符恒等式提供了基础，如从纠缠态表象、相干态表象，我们都可以导出许多新的公式。

§7.1 n 维球极坐标空间中完备性的正规乘积[1]在球极坐标系统中，矢径2222123ˆˆˆˆr x x x=++，那么相应的正规乘积展开形式是什么呢？我们不妨把这个问题推广到n 维坐标空间去讨论。

利用n 维坐 标算符本征态的Fock空间展开式/422111exp 022n n i i i i i x x a a π-++=⎧⎫⎡⎤=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑ （7.1.1）并考虑到n 维真空投影算符的展开式1:exp :00n i i i a a +=⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑，我们看到()()/222211:exp :2n n i i i i i i i i i x x x a a a a a a π-+++=⎧⎫⎡⎤=-+-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑{}2/22:exp 2:n r x X X π-=-+⋅- （7.1.2）为了证明x的完备性，将'nd x转化成在球极坐标中的体积元，即''11''212''11221''1221cos sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin n n n n n n x r x r x r x r θθθθθθθθθθθ-----==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅这里 110, ... 0, 02.n n θπθπθπ-≤<≤<≤<则转换的Jacobi 式为()()'''12'123122'11,,...,sin sin sin .,,...,n n n n n n x x x J r r θθθθθ-----∂==⋅⋅⋅∂ （7.1.3）因此{}2/2'1212'123'2'1221sin sin sin :exp 2cos :.n n n n n n n n d x x x dr d d d r r r r r ππππθθθθθθθ∞-------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅-+-⎰⎰⎰⎰⎰ （7.1.4）利用一个已知的积分公式01122sin 12mm d m πθθ+⎛⎫⎛⎫ΓΓ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫Γ+ ⎪⎝⎭⎰ 并用IWOP 技术对方位角231,,,n θθθ-⋅⋅⋅依次进行积分得2''212cos ''12211102:sin :.r r r nn r n n d x x x dr r e d eeπθθθ∞-----⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰ （7.1.5）这里我们令ˆ2',12ni rr z v -=-=，（3n ≥）,再用Poisson 积分公式[2] ()()()()20/21exp cos sin Re 12,2z J z iz d υπυυθθθυυ=>-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰（7.1.6） 看到()()'12cos 2'111122'12sin2.r r n n n n d eJi r r i r r πθθθ----⎛⎫⎪⎝⎭=--⎰ （7.1.7）将其代入到（7.1.6）得()()2'212'''122:2:.nnrnrn ed x x x re J i rr dr i r --∞--=--⎰⎰（7.1.8）使用Bessel 和Gamma 函数的定义()()()201!1ll l z J z l l υυυ+∞=-=Γ++∑ ， （7.1.9） ()()10Re 0t z z e t dt z ∞--Γ=>⎰ （7.1.10）得到()()()2ˆ221'2201021ˆ2:'''ˆ!2l nr n l nr nl e d x x x r e i r r dr n l l i r -∞∞+---=⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪⎛⎫Γ+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰⎰2221/200201::!21:: 1.!l r l n l l rl e d r e n l l r e l λλλ∞∞---+=∞-=⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭∑⎰∑ （7.1.11） 这就用IWOP 技术证明了n 维坐标空间完备性。

相干态在量子相空间中二维正态分布李海英;赵建英【摘要】Normal distribution in mathematical statistics and the uncertainty of quantum mechanics in physics are effec-tively combined,by two dimensional normal distribution density function and orderly operator of integral technology,sim-ple quantum particle in the spacecoordinate|x〉,momentum intrinsic state|p〉and coherent state|z〉expression in Fock representation are obtained effectively,and its completeness is also proved.By using mathematical statistics and normal product method,we show that the obtained result is not only accurate but also greatly simplifies the process of verifica-tion.%将数理统计中的正态分布与物理学中的量子力学不确定性有效结合，通过二维正态分布密度函数和有序算符内的积分技术，简单有效地求得量子空间中粒子坐标｜x〉，动量本征态｜p〉及相干态｜z〉在 Fock 表象中的表达式，并证明其完备性。

结果表明：通过采用数理统计及正规乘积方法，求证结果准确，且大大简化了求证过程。

【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】4页(P391-394)【关键词】正态分布;量子空间;相干态;分布密度;正规乘积【作者】李海英;赵建英【作者单位】内蒙古师范大学数学系，内蒙古呼和浩特 010022; 内蒙古商贸职业学院社科与基础教学部，内蒙古呼和浩特 010070;内蒙古商贸职业学院社科与基础教学部，内蒙古呼和浩特 010070【正文语种】中文【中图分类】O211.3;O413.1德国物理学家海森堡通过矩阵、正则变换、算符等数学语言创建算符与矩阵的关系式，提出物质系统的光谱关系式、海森堡对易关系式、测不准关系式、海森堡的矩阵力学方程等,以及数学化的矩阵力学理论阐述微观世界的本质.利用具有统计性质的几率密度描述量子在空间中的运动情况，量子的粒子状态则采用波函数描写.通过宏观的轨道参数方程无法判定量子某一时刻是出现在A点或是B点，只能通过波函数测算量子出现在空间中某一点的概率，微观粒子无固定轨道运动.数学方法在科学技术中的应用已有很多报道[1].本文根据微观粒子的不确定性(统计性质)与数学概率统计中概率密度函数的相似性，利用二维正态分布的概率密度函数研究粒子的运动状态.一维随机变量X的密度函数为式(1)中:μ,σ均为常数，若σ>0，则变量X服从常数μ,σ的正态分布.如果二维随机变量(X,Y)联合分布函数为F(x,y)，当f(x,y)≥0时，对任意实数x,y都满足函数f(x,y)是二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度或分布密度，如果其概率密度满足则二维随机变量(X,Y)的概率密度为式(4)中:σ1,σ2,u1,u2,ρ均为已知参数，如果σ1>0,σ2>0，-1<ρ<1，则二维随机变量(X,Y)服从参数σ1,σ2,u1,u2的二维正态分布.当x,y,u1,u2的物理意义确定后，同样可采用量子力学中的算符代替.力学量在量子力学中不一定是确定值，不能直接采用力学量的时间变化函数衡量微观粒子的运动状态.因此,引入力学算符描述粒子运动状态时的力学量信息.算符指作用在一个函数上，得出另一个函数的运算符号，如为微商算符.其中，位置算符、动量算符分别为=x和x=-ih(∂/∂x).物理学家 Louisell为了简化算符计算过程，在量子场论中，提出任意1个包含玻色湮灭算符a和产生算符a+的多项式算符f(a,a+)可分解成a+ja+la+k…amanf(j,l,k…,m,n).其中，j,l,k,…,m,n为非负整数.上述为正规乘积的概念[2].湮灭算符a和产生算符a+满足对易[a,a+]=1，如果所有的a+都移到a左边，则f(a,a+)为正规乘积形式，采用∶∶标记，且满足以下6点性质.1) f(a,a+)的正规乘积中a和a+是相互对易，且a+a=∶a+a∶=∶aa+∶；2) 所有非算符数在正规乘积符号中出入，不影响计算结果；3) 正规乘积中正规乘积符号可进行合并；4) 正规乘积中，∶W∶+∶V∶=∶(W+V)∶；5) 真空投影算符|0〉〈0|的正规乘积展开式为∶exp(aa+)∶=|0〉〈0|；6) 正规乘积内，有f(a,a+)∶=[a,∶f(a,a+)∶].正规乘积的以上性质可简化量子力学算符符号的积分运算，即正规乘积内的积分技术.狄拉克最早把“表象”引入量子力学中，表象主要描述在不同坐标系下，体系的状态和力学量的具体表示形式[3].他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢，完备性是基矢成为表象的必要条件.设Q,P分别为量子力学中坐标表象的坐标算符和动量表象的动量，Q,P本征态分别为|x〉和|p〉.由狄拉克符合表示方法，有式(5)中:为xi的共轭函数，且|，|).由对易关系，有式(6)中:h为普朗克常数，引用Q,P的湮灭算符a和产生算符a+，a和a+满足厄米共扼关系，一维谐振子的哈密顿量[4]为由式(7)可知:a，a+满足根据式(8)，可得如果量子的坐标及动量的分布密度在量子空间中服从二维正态分布，令,ρ=0.将式(9)代入式(4)可以得到由a，a+构成的f(a,a+)函数.为了计算简单化，令m=ω=h=1，根据正规乘积算符积分法[5]，有再根据正规乘积性质和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，有令则式(12)改写为同理可证式(13)，(14)是坐标及动量本征态在Fock表象中的形式.在理论物理中，如果任意物理量A的算符A′作用在描述微观体系状态的某一状态函数φ上，等于常数a乘以φ，即A′φ=aφ.则物理量A具有的确定数值a称为物理量算符A′的本征值，φ称为算符A′的本征态或本征函数. 由式(13)，(14)可知：f(x,p)=|x〉〈x||p〉〈p|，由量子力学中量子状态的完备性,可得利用式(15)不难得出dxdpf(x,p)=1,说明f(x,p)在量子态下粒子表象具有完备性的性质.通过以上证明，在量子空间中，则(x,p)服从参数σ1,σ2,u1,u2的二维正态分布.湮灭算符的本征态为|z〉相干态，复数z则为本征值[6-11].取σ1=1,σ2=1,ρ=0，则式(10)变为根据正规乘积性质和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，联合式(9)，(16)，有如果令||0〉，则式(16)为如果令(x+ip)，则|z〉=|x,p〉，式(17)等于式(19)中:|z〉=|x,p〉|z|2+za+))，湮灭算符a作用于式(19)，并考虑 a|0〉=0，根据量子物理学算符计算可得a|z〉=z|z〉.因此，|z〉为相干态.上述计算所得相干态|z〉与量子力学中结果完全吻合，且根据式(4)易证dz|z〉〈z|=1.综上所述，纯相干态|z〉在量子空间呈现出以(x,p)为随机变量的二维正态分布.在量子力学中阐述粒子状态是建立在几率的基础上，通过数学中概率统计特性，将量子空间中的粒子状态与概率统计有效地结合，利用概率统计中的连续型二维正态分布密度函数，推导出量子力学中的坐标表象、动量表象和相干态表象在Fock 表象中的关系式.同时，简捷地证明了其完备性.此方法不仅简单、新颖、有效地简化了推导过程，且很好地把数学方法应用于量子力学基本表象.【相关文献】[1] 杨金勇.一类非线性比式和问题的分支定界算法[J].华侨大学学报(自然科学版),2015，35(3)：14-16.[2] WICK G.Quantum phase space theory based on intermediate coordinate-momentum representation[J].Phys Rev,1950，80：131-138.[3] DIRAC P A M.The principles of quantum mechanics[J].Phys Lett B,1930，72：38-41.[4] DIRAC P A M.量子力学原理[M].4 版.陈咸享，译.北京:科学出版社,2010：61-89.[5] 范洪义.量子力学表象与变换论[M].上海:上海科学技术出版社,1997：97-181.[6] 曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)[M].4版.北京:科学出版社，2000：91-148.[7]KLAUDER J R,SKARGERSTAM B S.Coherent states world scientific[J].J Sediment Res,1985,2 3(7):67-69.[8] 范洪义.相干态在参数量子相空间的两维正态分布[J].物理学报，2014,63(2):15-20.doi:10.7498/aps.63.020302.[9] GLAUBER R J.The philosophy of quantum mechanics[J].Phys Rev,1963,131(29):2766-2769.[10]DIRAC P A M.Recollections of an exciting area, history of 20th century physics[M].New Yor k:Academic Press,1977：59-102.[11] CHEN Lin.Sources of quantum mechanics[J].Math J Phys,1966,23(7):781-785.。