高等量子力学第一章习题

第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题⼀、练习题1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。

( )解：光⼦波长⾃由电⼦300g⼩球。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。

解：6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。

其值是多少？若⽆，求其平均值。

解：⾓动量⾓动量平均值7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。

(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。

(2)⼆维势箱中的10个电⼦。

(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。

当，⼏率P怎样变？解：10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。

求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。

取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？解：12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。

解：13．在什么条件下?解：14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。

量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。

解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。

解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。

解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。

第一章习题1.1 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求德布罗意波长。

解： A 09.71009.7210=⨯≈==-m mEh p h λ1.2 用单色光和金属钠作光电效应实验发现，当入射光波长A 3000=λ时，打出的光电子动能为1.85eV ；当A 4000=λ时，光电子的动能为0.82eV 。

求：（1）Planck 常数h 的数值；（2）用电子伏特为单位表示的钠的逸出功； （3）钠金属光电效应的截止波长。

解： 钠金属光电效应已知：A 30001=λ 1k E =1.85eVA 40002=λ 2k E =0.82eV① 求Planck 常数。

设钠的逸出功为W ，则有W -11νh E k =，W -22νh E k = ，两式相减得：)1-1()-(E -E 2121k2k1λλννhc h ==所以：78192110)4131(109979.2106021.103.1)1-1()(21⨯-⨯⨯⨯=-=-λλc E E h k k S J ⋅⨯=-34106.6053② 逸出功82.0106021.1104109979.2106053.619783422-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=---k E h W νeV 27.282.06021.14/109979.26053.60=-⨯⨯⨯=③ 截止频率0W -E K ==νh∴W h =min νh W /min =ν 3419106053.6/106021.127.2--⨯⨯⨯= z H ⨯=1410506.51.3 设)(11)(t x i e x af ωαψ-=和)(22)(t x i e x bf ωβψ-=分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态21ψψψ+=时的相对几率分布。

a ，b 为复常数，1f ，2f 为实函数。

解：2)(22)(12212||||||||t x i t x i e bf e af ωβωαψψψ--+=+=21)()(222212)(21)(21][)(||)(||f f e ab be a x f b x f a e f f ab e f bf a x i x i xi x i βαβαβαβα-*--*-**--**+++=++代入2=a，i b =得ie ef f x f x f xi x i 24)()(4||)()(2122212--++=---βαβαψx f f x f x f )sin(4)()(4212221βα-++=1.4 计算下面两个定态波函数的几率流密度，并说明其物理意义。

第一章绪论一、填空题1、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。

2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为h/p=h/√2mE(不考虑相对论效应)。

3、写出一个证明光的粒子性的：康普顿效应的发现,从实验上证实了光具有粒子性。

4、爱因斯坦在解释光电效应时，提出光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目概念。

5、德布罗意关系为p=h/λ n〔没有写为矢量也算正确〕。

7、微观粒子具有波粒二象性。

8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为E=hv9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子，其动能为已知。

10、量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。

11、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。

用来解释光电效应的爱因斯坦公式为已知。

12、设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为待定nm。

13、索末菲的量子化条件为在量子理论中，角动量必须是h的整数倍，E待定。

应用这个量子化条件可以求得一维谐振子的能级=n14、德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系〔公式〕为见P11。

15、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。

根据其理论，质量为 ，动量为p的粒子所对应的物质波的频率为，波长为若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为待定〔保留三位有效数字〕。

16、1923年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为100伏加速的电子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。

二、选择题1、利用爱因斯坦提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。

A. 普朗克B. 爱因斯坦C. 玻尔D. 波恩2、1927年C和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。

（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。

答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。

QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。

原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。

2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。

第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。

描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。

用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。

右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。

二、请简述线性算符的运算规则和性质。

(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。

(8)，表示算符A的函数。

三、幺正变换的基本性质有哪些。

幺正变换具有许多非常有意义的性质。

(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。

(2)幺正变换下算符方程的形式不变。

(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。

(4)幺正变换下算符的行列式不变。

(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。

(6)幺正变换下算符的迹不变。

(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。

(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。

1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。

六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。

七、请列举混合态密度算符的性质。

k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。

在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。

问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。

3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。

4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。

5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Q ˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Q ˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换。

在变换ˆ(,)'(,)(,)r t r t Q r t Y ®Y =Y若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti H i H ¶Y =Y ¶Y =Y进而有进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --¶Y =YÞ¶Y =Y Þ=Þ=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转q d 角，试写出几何转动算符)(q d R ze的矩阵表示。

的矩阵表示。

解：解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zq q q q q -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z qq q =+ìï<<Þ=-+íï=î若用矩阵表示用矩阵表示 '10'10'01x d x y d y z z q qæöæöæöç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø还可表示为还可表示为 '()ze r R d r q =10()1001zed R d d q q q æöç÷=-ç÷èø3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转q d 角，在此转动下，态函数由),,(z y x y 变为),,(),()',','(z y x d n U z y x y q y=。