学年高中数学第一章解三角形章末复习课新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形章末知识整合新人教A版必修5一、本章的中心内容——如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的——应用数学能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．8．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．9．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．10．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．11．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．12．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：①已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；②已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；③已知三边(先用余弦定理求角)；④已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．例1在△ABC中，c＝4，b＝7，BC边上的中线AD长为72，求a.解析：如图，设CD＝DB＝x，在△ACD中，cos C＝72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫722 2×7×x，在△ACB中，cos C＝72＋（2x）2－422×7×2x，所以72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫7222×7×x＝72＋（2x）2－422×7×2x.解得x＝9 2 .所以a＝2x＝2×92＝9.例2如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2 3.∵BC＝CD＝2，C＝120°，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，∴S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3.答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B，sin(A－B)＝0⇔A＝B，sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．例3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解析：方法一 由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C)＋sin C ， 展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1， ∴sin (C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．方法二 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c)2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b sin A a.若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A)c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．例4 在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理asin A＝bsin B得：①当b sin A＜a＜b时，有两解，此时23＜b＜43；②当a≥b时或B为90°(b为斜边)时，有一解，此时b≤23或b＝43；③当a＜b sin A时无解，此时b＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用例 5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B 处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．解析：如下图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝（BE－FC）2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。

数学·必修5(人教A版)题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A＝b sin B，得sinB ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．。

人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b无解 无解 一解a<ba>bsinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。